反证法典型例题

潍坊滨海中学 高二数学 导学案

知识改变命运 学习成就未来

1 反证法导学案

编写：王长德 审核：朱效利 日期2012.3.2

一、学习目标

知识与技能：了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题。

过程与方法：理解并体会反证法的思想内涵。

情感态度与价值观：通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念。

二、学习重、难点

重点：反证法的证明步骤。

难点：运用反证法证题。

三、学习过程

（一）、课前思考

问题1

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

问题2

妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没外出旅游.他是如何推断该命题的正确性的?

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2

（二）、课内探究

各小组根据上面的问题1与问题2的分析交流总结以下问题：

1、反证法的定义：

__________。

2、反证法的步骤：（1）先假设 。

（2）然后通过 ，推出与 、

第19讲 正难则反与反证法

正与逆通常指事物矛盾的双方，反映在数学解题中，主要体现于解题的思维进程中，一般的解决问题的过程，总是先从正面入手进行思考，即从条件出发顺向的思考，这是解题的一种基本的思想方法.大量的习题都是循着正向思维来解决的，强化这种思维定式，在数学解题中有着决定性的作用，但有时会遇到从正面入手不易解决，即正向思维受阻的情况.根据事物往往互为因果，具有双向性和可逆性的特征，此时应从问题的反面去思考，“顺难则逆、直难则曲、正难则反”，顺向推导有困难就逆向推导，直接证明有困难就间接证明，正向求解有困难就反向逆找，探求问题的可能性有困难时就探求不可能性，等式证明从左到右不顺利时就从右到左，即从对立的立场、角度、层次、侧面去进行思考，从而使问题获得解决“正难则反”的解题方法常能收到意料不到的功效，这种“逆”恰好弥补了“正”的不足。

正难则反的解题方法的运用主要包括两个方面：一是使用定义、定理、公式、法则时的逆向思维；二是运用思想方法时的逆向思维，它包括举反例、反证法、分析法、同一法、主客元的互换、分子有理化、补集思想等方法策略，因为运用逆向思维解题能打破常规，所以解法往往不落俗套.

中国历史上流传至今的“草船借箭”与“司马光砸缸”的故事，其魅力概源于逆向思维.三国时代周瑜妒忌诸葛亮的才能，委托诸葛亮10日之内督造出10万支箭，这根本是办不到的，诸葛亮明知周瑜要害他但还是痛快地答应只需3天便可造出10万支箭，但诸葛亮压根就没有去造，而是“借”，并且不是从朋友，而是从敌人曹操那里去借，并且获得成功，这是诸葛亮处处留心观察天时、地利，精心筹划，随着实际情况而灵活运用的成果，这种开放性思考是周瑜辈所“望尘莫及”的.同样，司马光砸缸救人的故事也体现了逆向思维的功效.因为在一般人的思维中，有人落水，要救人必须让“人离开水”，而仅靠一起玩要的小伙伴，要做到把人营救出水缸是不可能的，司马光的机智在于面对紧急险情，果断地用石头把缸砸破，让“水离开人”，巧妙地运用“正难则反”的策略解决问题，

反证法教学设计

教学目标：

1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用反证法证明不等式。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

教学过程:

一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：

例1、已知x>0,y>0,且x+y>2,求证:xy1与yx1中至少有一个小于2.

思路分析：由于题目的结论是:两个数中“至少有一个小于2”情况比较复杂,会出现异向不等式组成的不等式组,一一证明十分繁杂,而对结论的否定是两个“都大于或等于2”构成的同向不等式,结构简单,为推出矛盾提供了方便,故采用反证法.

证明:假设xy1≥2,yx1≥2.

∵x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y.

两式相加,得2+x+y≥2(x+y),∴x+y≤2.

这与已知x+y>2矛盾.

４２　主　ｓＨｕｘｕＥｌＩＡｏＹｕ　反证法在数学证明中．的应用　摘要：反证法是数学证明的一个重　要方法，但从实际教学效果来看，学生对　反证法的掌握往往不尽人意，究其关键　是学生只会机械地模仿教师做题，而对　反证法的逻辑原理、思维方式、运用步骤　等认识不足．　本文就反证法的定义、逻辑原理、证　明模式和步骤作出较为深刻的说明，并通　过对一些典型例题的证明来说明反证法　在数学证明中的应用，以期使大家对反证　法有更加深刻的了解．　关键字：反证法逻辑原理思维方　式运用步骤　我们在平时做题时常常遇到一些数　学证明题在其证明过程中会出现直接证　明非常困难，甚至无法证明，这时我们采　用反证法往往可以收到非常好的效果．反　证法是一种非常重要的数学证明方法，它　在数学证明中有着不可替代的作用。但是　在实际教学中学生在运用这一方法做题　时，往往只会模仿教师的例题演示，机械　地照搬照抄，～旦遇到比较陌生的题目就　束手无策了．究其原因是由于学生对该方　法的实质、逻辑原理理解不深刻，做题只　是照葫芦画瓢，故而常常出错。本文就反　证法的定义、逻辑原理、证明模式和步骤　等作出较为深刻的说明，并通过典型例题　的演示让学生能对反证法的运用有更加　深刻的认识，从而提高其运用反证法解题　的能力．　一、反证法的定义及实质　反证法是一种间接证明方法，即肯定　命题的题设而否定其结论，然后从被否定　的结论出发通过推理导出矛盾，进而证明　命题．它的最大特点就是采用逆向思维方　式，不直接证明结论，而是间接地去否定　与事物相反的一面，从而得出事物真实的　面，是一种让步的、间接的证明方法．反　证法是反设后通过“归谬”使命题得到证　明的方法，所以反证法也叫“归谬法”．在　实际教学中有些命题的反面不只一个，这　时学生往往无法给出正确的否定形式。我　们通过对定义的理解，如果我们设原命题　江西省南昌市豫东学校黄志燕　为Ｐ，那么其否定形式就是　，具体的方法　是：在原命题的题设下找到所有可能的结　果设为全集　，原命题Ｐ即为ｕ的子集Ａ，　那么　就是我们所要的　。然后将　中的　每个结果～一驳倒．　二、反证法的逻辑原理　反证法逻辑上的理论依据是形式逻　辑中的两个基本规律——矛盾律和排中　律．　矛盾律是亚力士多德形式逻辑的基　本规律之一，其基本内容是：在同一个论　证过程中，对同一对象的两个互相矛盾　的、对立的判断，其中至少有一个是假的，　它的公式是：Ａ不是Ａ．在同一论证过程　中，对同一对象的两个互相矛盾（对立）的　判断其中至少有一个是伪的，它的符号表　示为Ｐ＾Ｐ．　排中律是形式逻辑的又一个基本规　律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同　对象的肯定判断和否定判断，这两个互　相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式　是：或者是Ａ或者是　，排除了第三种情况　的可能，在数学论证中常常根据排中律进　行推理．在同一论证过程中，对同一对象的　两个互相矛盾的判断，不能同为伪，其中必　有一个是真的，它的符号表示为ＰＶＰ　三、反证法的步骤　反证法证明问题的一般步骤是　第一步，审题析意，分清命题的前提　和结论．　第二步，否定结论，作出反设＿１限定结　论不成立，则结论的反面一定成立．如果　结论的反面只有一种情况，则只须作出一　种反设；如果结论的反面不止一种情况，　则对每一种情况都必须作出反设．　第三步，进行推理，导出矛盾．作出反　设后，从反设出发，根据真实论据，进行　正确推理，导出矛盾．这里所说的矛盾可　以是与已知公理、定理、定义、题设相矛　盾，也可以与反设相矛盾，也可以是自相　矛盾．　第四步，否定反设，肯定结论．由反设　推出矛盾，推理论据真实，推理方法正　确，因而反设必不成立，从而得出命题结　论成立．　四、几类典型例题　１．基本定理或初始命题的证明．　在数学中，许多基本定理是使用反证　法来证明的，例如“过直线外一点只有该　直线的一条平行线”，“过平面外一点只有　该平面的一条垂线”，“两直线异面”的判　定等都是使用反证法来证明的，因为在证　明这种基本定理时，往往没有相应的判定　定理，而直接用定义证明又非常困难，这　时常用反证法．　例１　如果三角形中有两个角的平分　线相等，那么这个三角形是等腰三角形．　如图：ＡＡＢＣ中ＢＥ、ＣＦ是　』４ＣＢ、　Ｚ．ＡＢＣ的平分线，且ＢＥ＝ＣＦ，要证明　ＡＡＢＣ是等腰三角形，只要证明ＡＢ＝ＡＣ　即可，我们使用反证法．　证明：假设ＡＡＢＣ不是等腰三角形　（假设命题结论不成立），不妨设ＡＢ＜ＡＣ　（命题结论否定方面成立，并以此为条件），　则　ＡＣ曰＜ＡＢＣ．　・．・ＢＥ、ＣＦ是ＡＡＢＣ、／＿Ａ　ＣＢ的平分线，　．‘．　２＜　１．　毽　ＦＧ＝ＢＥ，　ＦＧ｝｝ＢＥ．　连结ＥＧ、ＣＧ，则　ＦＧ＝ＢＥ＝ＣＦ，且四边　形ＢＥＧＦ是平行四　边形，ＡＣＧＦ是等腰　三角形，　．’．　３一　１．　３＋　５：　２＋Ｌ４．Ｂ　Ｃ　２＜　３，从而　５＜　４　在Ａ　ＣＥＧ中，ＣＥ＜ＥＧ＝ＢＦ，　在△ＢＣＥ和△ＣＢＦ中，・．・ＢＣ＝ＢＣ，　ＢＥ＝ＣＦ，且ＣＥ＜ＢＦ，　１　１　．・．　朋ｃ＜　脚，即　ＬＡＢＣ＜　［　ＡＣＢ　．　Ａ曰Ｃ＜　ＡＣＢ，　与　ＡＣＢ＜　／＿ＡＢＣ相矛盾（推出自相矛盾的结论），　ｏ＇ｏＡＢＫＡＣ不成立．　ＡＢ＞ＡＣ（命题结论的另一否定方面　成立，并以此为条件）　厶４Ｃ　＞ＬＡＢＣ，同