秋高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学案新人教A版必修1(20

2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

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- 2 - / 7- 2 - 3.1。1 方程的根与函数的零点

学习目标：1。理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2。会求函数的零点．(重点）3。掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点）

[自 主 预 习·探 新 知］

1．函数的零点

对于函数y＝f(x），把使f(x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

思考1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?

［提示］ 不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．

2．方程、函数、函数图象之间的关系

方程f（x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x）有零点．

3．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a)·f（b）〈0。那么，函数y＝f(x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈(a,b),使得f（c）＝0,这个c也就是方程f（x)＝0的根．

思考2:该定理具备哪些条件？

［提示］ 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b］上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f（b)〈0。

[基础自测］

1．思考辨析

（1)所有的函数都有零点．（ ）

(2）若方程f（x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x）的零点为（x1,0）(x2，0)．（ )

（3）若函数y＝f（x）在区间(a，b)上有零点，则一定有f（a)·f（b)〈0。( ）

[答案］ (1）× （2)× (3)×

2．函数y＝2x－1的零点是（ )

A。错误! B。错误!

C。错误! D．2

A [由2x－1＝0得x＝错误!。]

3．函数f（x）＝3x－4的零点所在区间为( ）

【导学号:37102345】

A．（0，1） B．(－1,0)

C．（2,3） D．（1，2）

D ［由f(1)＝3－4＝－1〈0，f（2）＝9－4＝5>0得f(x）的零点所在区间为（1，2)．］ 2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

- 3 - / 7- 3 - 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c〈0，则函数有________个零点．

两 ［由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．］

[合 作 探 究·攻 重 难］

求函数的零点

(1）求函数f(x）＝错误!的零点；

（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.

【导学号：37102346】

［解] (1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0,解得x＝－3;

当x>0时，令－2＋ln x＝0,解得x＝e2.

所以函数f（x）＝错误!的零点为－3和e2.

(2)由已知得f（3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.

故g（x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．

令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，

解得x＝0或x＝－错误!。

所以函数g（x)的零点为0和－错误!。

［规律方法] 函数零点的求法

代数法:求方程fx＝0的实数根。

几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0,可以将它与函数y＝fx的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点

[跟踪训练]

1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．

（1）f(x)＝x2＋7x＋6；

（2)f（x)＝1－log2(x＋3）;

（3）f(x）＝2x－1－3;

(4)f(x）＝错误!.

[解] （1）解方程f（x)＝x2＋7x＋6＝0，

得x＝－1或x＝－6，

所以函数的零点是－1，－6。

（2)解方程f(x）＝1－log2(x＋3）＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.

（3）解方程f（x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26。 2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

- 4 - / 7- 4 - （4)解方程f（x）＝错误!＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.

判断函数零点所在的区间

(1)函数f（x）＝ln（x＋1)－错误!的零点所在的大致区间是（ )

A．(3,4） B．（2，e)

C．(1,2) D．(0,1）

（2)根据表格内的数据,可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )

【导学号：37102347】

x －1 0 1 2 3

ex 0。37 1 2.72 7.39 20.08

x＋3 2 3 4 5 6

A。(－1，0) B．（0，1）

C．（1,2) D．(2,3）

（1)C (2)C ［(1）因为f（1)＝ln 2－错误!<0,f（2)＝ln 3－1>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

所以函数的零点所在区间为（1,2)．故选C。

(2)构造函数f（x)＝ex－x－3,由上表可得f（－1）＝0。37－2＝－1.63<0，

f（0）＝1－3＝－2<0，

f（1）＝2。72－4＝－1.28<0，

f（2）＝7.39－5＝2。39〉0，

f（3)＝20。08－6＝14.08>0，

f（1)·f(2）〈0，所以方程的一个根所在区间为（1，2），故选C。]

[规律方法］

判断函数零点所在区间的三个步骤

代入:将区间端点值代入函数求出函数的值

判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断

结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点

［跟踪训练]

2．若函数f（x）＝x＋ax(a∈R）在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是( ） 2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

- 5 - / 7- 5 - A．－2 B．0 C．1 D．3

A ［f（x)＝x＋ax（a∈R)的图象在(1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f（1）＝1－2＝－1<0，f（2)＝2－1＝1〉0。故f(x）在区间(1,2）上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]

函数零点的个数

[探究问题］

1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f（x）及y＝a的图象交点个数什么关系?

提示：相等．

2．若函数f（x）＝x2－2x＋a有零点，如何求实数a的取值范围?

提示：法一：若函数f（x）＝x2－2x＋a有零点,则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2）2－4a≥0，故a≤1。

法二：由f(x)＝0有解可知a＝－x2＋2x＝－（x－1)2＋1≤1，即a的范围为a≤1.

法三：在同一坐标系中分别画出y＝a及y＝－x2＋2x的图象，数形结合得a的范围为a≤1。

已知0〈a<1，则函数y＝a｜x｜－|logax|的零点的个数为（ )

A．1 B．2 C．3 D．4

思路探究：错误!→错误!→错误!

B [函数y＝a｜x｜－|logax|（0〈a<1）的零点的个数即方程a|x｜＝｜logax｜（0

画出函数f(x)＝a|x｜(0

母题探究：1。把本例函数“y＝a｜x｜－|logax|”改为“y＝2x｜logax|－1”,再判断其零点个数．

［解] 由2x｜logax｜－1＝0得｜logax｜＝错误!x,作出y＝错误!x及y＝｜logax｜（0〈a〈1）的图象如图所示．

由图可知,两函数的图象有两个交点， 2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点学案 新人教A版必修1

- 6 - / 7- 6 - 所以函数y＝2x｜logax|－1有两个零点．

2．若把本例条件换成“函数f（x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．

[解］ 由f（x）＝｜2x－2|－b＝0，得|2x－2｜＝b.

在同一平面直角坐标系中分别画出y＝｜2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0〈b〈2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝｜2x－2｜－b有两个零点．

[当 堂 达 标·固 双 基］

1．函数f(x）＝2x2－3x＋1的零点个数是( ）

【导学号:37102348】

A．0 B．1

C．2 D．3

C ［由f（x）＝0得2x2－3x＋1＝0,∴x＝错误!或x＝1,所以函数f(x)有2个零点．]

2．函数f(x）＝2x－3的零点所在的区间是（ )

A．（0，1) B．（1，2)

C．(2，3） D．(3,4)

B [∵f(1)＝2－3＝－1〈0，f（2)＝4－3＝1>0，

∴f（1)·f（2)<0,即f(x）的零点所在的区间为(1,2）．]

3．对于函数f(x），若f（－1)·f(3)〈0，则( )

【导学号:37102349】

A．方程f(x)＝0一定有实数解

B．方程f（x）＝0一定无实数解

C．方程f(x)＝0一定有两实根

D．方程f(x)＝0可能无实数解

D ［∵函数f(x)的图象在（－1，3)上未必连续,故尽管f(－1）·f（3)<0,但方程f（x）＝0在（－1,3）上可能无实数解．]

4．若f（x）＝x＋b的零点在区间（0,1）内，则b的取值范围为________．

（－1,0) ［∵f（x)＝x＋b是增函数，又f（x）＝x＋b的零点在区间(0,1)内,

∴错误!∴错误!∴－1〈b<0。］

5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.