《图形的位似》与图形的相似

第28讲 图形的相似与位似

1．比例线段

(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有ab＝bc，则b叫做a，c的比例中项．

(2)比例的基本性质及定理

①ab＝cd⇒ad＝bc；

②ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；

③ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.

4．相似三角形的性质及判定

(1)相似三角形的性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

(2)相似三角形的判定

①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；

②两角对应相等，两三角形相似；

③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

④三边对应成比例，两三角形相似；

⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；

⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．

5．射影定理

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．

(1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC.

6．相似三角形的实际应用

(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤：

①将实际问题所求线段长放在三角形中；

②根据已知条件找出一对可能相似的三角形；

③证明所找两三角形相似；

④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．

(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．

如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.

25.7 相似多边形和图形的位似一、选择题

1.（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC C. ACABAEAD D.

ADEABCSS3

第1题图 第2题图 第3题图

2.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（ ）

A．63 B．123 C．183 D．243

3.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB与△BDG的面积之比为（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9

5.（2012贵州铜仁，8，4分）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）

A．∠E=2∠K B. BC=2HI C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长

D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK

6.（2012陕西5，3分）如图，在BEADABC,中，是两条中线，则ABCEDCSS:（ ）

A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4

7.（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）．A．(2，0) B．(23，23) C．(2，2) D．(2，2)

1 相似多边形与位似图形

【学习目标】

1、了解相似多边形的含义。

2、了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。

3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。

【知识要点】

1、相似多边形的定义。

2、相似多边形的性质。

3、位似图形的定义。

4、位似图形的性质。

5、位似图形性质的应用。

【重点、难点】

重点：相似多边形及位似图形的性质。

难点：相似多边形及位似图形的性质应用。

【知识讲解】

1、相似多边形：

两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

提示1：只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。

例如：两个正方形，各对应角都是90°，且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多边形。

提示2：相似多边形的读、写法，在表示两个多边形相似时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。

2、相似比：

相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。

例如：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB与A′B′是对应边，若，则说四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1；反之，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为1∶3。

3、相似多边形的性质：

(1)对应边成比例；

(2)对应角相等。

如：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，则有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠E＝∠E′，且。

(3)相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。

(5)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。

4、位似图形的定义：

如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。

图形的相似与位似

一、知识网络：

二、考点链接：

考点一 比例及比例线段

图形的相似与位似 相似多边形 判定

性质

判定 相似三角形

位似图形 概念

坐标变换

1．对于四条线段a，b，c，d，如果ab＝ cd ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例．

3．连比：连在一起的三个数的比，叫做连比． 性质

4．比例的基本性质：如果ab＝cd，那么 ad＝bc，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做

比例内项．特殊地，ab＝bc⇔b2＝ac.

5．比例的合比性质

如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.

3．平行于三角形一边截

其他两边(或两边的延长

线)所得的对应线段成比例． 6．比例的等比性质

如果ab＝cd＝„＝mn，且b＋d＋„＋n≠0，那a＋c＋„＋mb＋d＋„＋n＝ab.

考点二 平行线分线段成比例定理

1．定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．

2．几何语言叙述：如图，当l3∥l4∥l5时，有ABBC＝DEEF，ABAC＝DEDF，BCAC＝EFDF等．

考点三 相似三角形的判定及性质

1.相似三角形的判定方法：

① 两角对应相等的两三角形相似.

② 三边对应成比例的两三角形相似

③ 两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.

2.相似三角形及性质：

（1） 定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫相似比.相似三角形的形状相同，大小不一定相同.全等三角形是相似比为1的相似三角形.

（2） 性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

考点四 相似多边形的判定及性质

1．定义：各角对应相等，各边对应 成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应边的比称为 相似比.