北师大版必修5 等差数列前n项和学案

北师大版高中必修52.2等差数列的前n项和课程设计1. 前言本课程设计的主要目的是帮助学生掌握等差数列前n项和的求法，进一步提高学生的数学水平和解题能力。

本课程设计适用于学习过北师大版高中必修五年级初级数学的学生，使用前需了解等差数列的概念、通项公式等相关知识。

2. 题目解析题目要求求解等差数列前n项和，即 $S_n = a_1 + (a_1 + d) + \\cdots + [a_1 + (n-1)d]$ 的值。

其中，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

3. 课程设计教学建议3.1 知识点概述等差数列前n项和的求法是一种基础数学知识，是解决复杂问题的基础。

本课程设计主要涉及如下概念：•等差数列的概念•等差数列的通项公式•等差数列前n项和的求法3.2 课程教学内容•等差数列的定义和性质•推导等差数列通项公式的方法•等差数列前n项和的求法•小学和初中知识的综合运用3.3教学步骤第一步老师介绍等差数列的定义、性质和通项公式的推导过程。

第二步老师讲解等差数列前n项和的求法，并与学生一起解决一些简单且易于理解的练习题。

第三步老师提供一些中等难度的例题，讲解解题思路和方法，鼓励学生积极思考和探索，提高他们的解题能力。

第四步老师提供一些高难度的综合应用题，要求学生运用小学和初中阶段的知识进行综合运用和解决。

第五步老师对学生参与课堂活动的情况进行评价，并提出相应的建议和指导。

4. 练习题目1.若等差数列 $1, 5, 9, 13, \\cdots$ 的前n项和为S n，求S n与a n之间的关系。

2.已知等差数列 $a_1, a_2, \\cdots, a_n, \\cdots$ 前20项的和为100，已知a4=9，a8=11，求公差与首项。

3.求等差数列 $7,9,11,13\\cdots$ 的前10项和。

5. 总结本课程设计涵盖了等差数列前n项和的求法及其相关知识点。

通过课程的学习和练习，学生可以加深对等差数列的理解，掌握等差数列前n项和的求法，并提高他们的解题能力。

1.2《等差数列的前n 项和》教学设计【学习目标】1.掌握数列的前n 项和的概念，会根据前n 项和求通项．理解并掌握等差数列的前n 项和公式，掌握公式的推证方法——倒序相加法，掌握等差数列前n 项和公式的简单应用；2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.【学习新课】1.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）a n －a n －1＝d (n ≥1)，d 为常数.（2）若a ，A ，b 为等差数列，则A ＝a ＋b2（3)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（其中m ，n ，p ，q 均为正整数） 2. 问题情境导入：例：如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题.新课学习阶段1.等差数列的前n 项和的推导：首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……第50项与倒数第50项的和：，于是所求的和是这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.2.等差数列的前n项和的具体推导：有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：例1等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：解：例2 在等差数列{a n}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：例3有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.例4 若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.课堂小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2d 及其获取思路. 作业见同步练习部分拓展提升1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ )A.310B.13C.18D.192.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（ ）A. 15B. 16C. 17D. 183.在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，则n a 中最大的负数为 （ ） A. 17S B. 18S C. 19S D. 20S4.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .5.已知等差数列{}n a 共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .6.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，100,7,141===n S a a ，则=n . 8.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10,10010010==S S ，求110S .9．已知数列{}n a 满足()1111,32n n n a a a n --==+≥.（Ⅰ）求23,a a ； （Ⅱ）证明：312n n a -=.10.⑴已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n .11.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.12.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=- ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b =，且1n T =，求n 的值.13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a ⑴当n 为何值时，n S 取得最大值；⑵求208642a a a a a +++++ 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和.n T参考答案 新授课阶段1.等差数列的前n 项和的推导： 50＋51＝101； 101×1002＝5050.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+,把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？ 分析题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{a n }，其中a 1＝1，a 120＝120，n ＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{a n }，其中n ＝120，a 1＝1，a 120＝120. 则：S 120＝120（1＋120）2 ＝7260答案：这个V 形架上共放着7260支铅笔. 例1分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{a n }，前n 项为的S n ，由题意可知：a 1＝－10，d ＝(－6)－(－10)＝4，S n ＝54由等差数列前n 项求和公式可得： －10n ＋n （n －1）2 ×4＝54解之得：n 1＝9，n 2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54. 例2分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a 1，a 16，d ，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a 1＋a 16的和，于是问题得以解决.（2）要求S 11只需知道a 1＋a 11即可，而a 1与a 11的等差中项恰好是a 6，从而问题获解. 解：（1）∵a 2＋a 15＝a 5＋a 12＝a 1＋a 16＝18 ∴S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8×18＝144.（2）∵a 1＋a 11＝2a 6∴S 11＝11（a 1＋a 11）2 ＝11a 6＝11×20＝220.例3分析一：利用S n ＝na 1＋n （n －1）2d 解题.解法一：设该数列的首项为a 1，公差为d ，奇数项为a 1，a 1＋2d ，…其和为S 1，共n ＋1项；偶数项为a 1＋d ，a 1＋3d ，a 1＋5d ，…，其和为S 2，共n 项.∴S 1S 2 ＝（n ＋1）a 1＋12 （n ＋1）[（n ＋1）－1]2dn （a 1＋d ）＋12 n （n －1）2d＝n ＋1n. 分析二：利用S n ＝n （a 1＋a n ）2解题.解法二：由解法一知：S 1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2 ，S 2＝n （a 2＋a 2n ）2例4分析一：利用性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法一：设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n . 则：a 11＝a 1＋a 212 ，b 11＝b 1＋b 212,∴a 11b 11 ＝a 1＋a 212 b 1＋b 212 ＝a 1＋a 212 ·21b 1＋b 212 ·21 ＝S 21T 21 ＝7×21＋14×21＋27 ＝43分析二：利用等差数列前n 项和S n ＝An 2+Bn 解题. 解法二：由题设，令S n ＝(7n ＋1)·nk ，T n ＝(4n ＋27)·nk 由a n ＝S n －S n －1＝k (14n －6)，得a 11＝148k ，n ≥2 b n ＝T n －T n －1＝k (8n －23)，得b 11＝111k ，n ≥2, ∴a 11b 11 ＝148k 111k ＝43. 评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，则：（1）a n b n ＝S 2n －1T 2n －1 ；(2) a m b n ＝2n －12m －1 ·S 2m －1T 2n －1 .拓展提升1.A 【解析】根据等差数列的性质232,,m m m m m S S S S S --……成等差数列，即可得解.2.D 【解析】由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由161()326,36,324,182n n n n a a S a a S n +=∴+=∴==∴= 3.C 【解析】1910201011190,10()0S a S a a =<=+>.4.24【解析】 由492-=n a n 知{}n a 是等差数列，.250>⇒>n a n ∴.24=n5.4【解析】 已知两式相减，得.4205=⇒=d d6.1)1(21++n n 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.7.解：设等差数列的公差为d ，则23171414=-=--=a a d101002)1(21=⇒=⨯-+=n n n n S n . 8.解：方法1：设等差数列的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+100109950111049501001004510111d a d a d a ∴110109110211101110-=⨯⨯+=d a S ；方法2： 2902)(90100111001110100-=+⇒-=+=-a a a a S S∴1102)(1102)(110100*********-=+=+=a a a a S .9.解：（Ⅰ）解：∵11,a =∴223314,3413a a =+==+=. （Ⅱ）证明：由已知113n n n a a ---=，故112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+123331n n --=++++312n -=，∴ 312n n a -=10. 分析：⑴利用等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=求出1a 及d ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出n a a +1，代入n S 可求项数n . 解：⑴设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则3,186893111-==⇒⎩⎨⎧-=+=+d a d a d a∴7,663)1(231821==⇒=--=n n n n n S n ⑵ 124,363214321=+++=+++---n n n n a a a a a a a a3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a ∴40160)(411=+⇒=+n n a a a a ∴39780207802)(1=⇒=⇒=+=n n a a n S n n 11.解：⑴当2≥n 时，)(22111----=⇒=n n n n n n n S S S S a S S∴21111-=--n n S S ，且3111=S ，∴{}n a 是以21-为公差的等差数列，其首项为31 .∴nS n n S S n n 356635)1(21111-=⇒-=--= ∴当2≥n 时，)53)(83(18211--==-n n S S a n n n 当1=n 时，11018)53)(83(18a ≠=--，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ；⑵0)23)(53)(83(181>---=-+k k k a a k k ，得3532<<k 或38>k ，∴当3≥k 时，1+>k k a a 恒成立，所求最小的正整数.3=k12.解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则2,22288220111=-=⇒⎩⎨⎧-=+-=+d a d a d a ∴242)1(222-=-+-=n n a n⑵ 242log 2-=n b n ，∴2422-=n n b∴n n n n n n n b b b b T 24)1(24)321(232122-+-++++===令(1)240n n n +-=，得23=n ∴当23n =时，.1=n T 13.解：⑴ 等差数列{}n a 中，.16,2541==a a ∴公差31414-=--=a a d ∴283+-=n a n ，令90283≤⇒>+-=n n a n∴当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a .∴当9=n 时，n S 取得最大值；⑵ 数列{}n a 是等差数列∴208642a a a a a +++++ 20)9325(10102)(1011202-=⨯-==+=a a a ；⑶由⑴得，当9≤n 时，0>n a ；当9>n 时，0<n a∴n n n S S a a a a a a T -=+++-+++=911109212)(印刷版高中数学 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯=)1(2325)336259(2n n n 234253232+-=n n。

2．2 等差数列的前n 项和(二)[学习目标] 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .[知识链接]如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？ 答 若n ＝1时，a 1＝S 1，若n ≥2时，a n ＝S n －S n －1. 对于S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数) 当c ＝0时，{a n }是等差数列， 当c ≠0时，{a n }不是等差数列． [预习导引]1．数列中a n 与S n 的关系对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).2．由数列的S n 判断数列的类型由于等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn ，所以S n 是关于n 的常数项为0的二次函数，反过来，对任意数列{a n }，如果S n 是关于n 的常数项为0的二次函数，那么这个数列也是等差数列． 3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0确定．(2)因为等差数列前n 项和可变为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．要点一 利用S n 与a n 的关系求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)， 可知，当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，公差d ＝a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－12－2n ＋12＝2.由此可知：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列．规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪演练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.要点二 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．另解a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×(－57)＝－57n ＋407.a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9＜0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项或前8项和最大．规律方法 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪演练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值． 解 方法一 ∵a n ＝2n －14， ∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<…. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42. 方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 要点三 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)]＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N ＋)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n ＞0； 当n ≥35时，a n ＜0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝2S 34－S n ＝2(－32×342＋2052×34)－(－32n 2＋2052n )＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n (n ≤34且n ∈N ＋)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35且n ∈N＋).规律方法 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}．若原等差数列{a n }中既有正项，也有负项，那么{|a n |}不再是等差数列，求和关键是找到数列{a n }的正负项分界点处的n 值，再分段求和．跟踪演练3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 ∵a 1＝13，d ＝－4， ∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2； 当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，2n 2－15n ＋56，n ≥5.1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( ) A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又因a 1＝1适合a n ＝2n －1，所以，a n ＝2n －1.2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1答案 B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.3．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或6 解析 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0， ∴a 6＝0，∵a 1＞0，∴a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞a 6＝0，a 7＜0.故当n ＝5或6时，S n 最大． 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5.(2)当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝21－1＝1≠5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)，2n －1(n ≥2).1.因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2才有意义．所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点.一、基础达标1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于( ) A ．7 B ．8C ．9D ．17答案 A解析 a 4＝S 4－S 3＝(42－1)－(32－1)＝7.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( ) A ．10 000 B ．8 000 C ．9 000D ．11 000答案 A解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000，故选A.3．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A ．11或12 B ．12 C ．13D ．12或13 答案 D解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列． 又a 1＝24，d ＝－2， ∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－(n －252)2＋6254.∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 最大，故选D.4．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3C ．－2D ．－1答案 B解析 (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) －(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1) ＝nd ＝72－90＝－18. 又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.5．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整数n 的值是________． 答案 6或7解析 由|a 5|＝|a 9|且公差d ＞0，得a 5＜0，a 9＞0， 又a 5＋a 9＝0，即2a 1＋12d ＝0，化简得a 1＋6d ＝0， 即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________． 答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1. ∴a 5＝a 1＋4d ＝0，∴S 4＝S 5同时最大．∴n ＝4或5.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解 (1)∴a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.(2)∵S 12>0，S 13＜0，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0.∴a 6>0.又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项的和最大． 二、能力提升8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1， 由S m ＝m (a 1＋a m )2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.10．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________． 答案 4 006解析 由条件可知数列单调递减， 故知a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006(a 1＋a 4 006)2＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0，S 4 007＝4 007(a 1＋a 4 007)2＝4 007×a 2 004＜0，故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006.11．已知等差数列{a n }中，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N ＋)． 当n ＝5时，a n >0；当n ＝6时，a n <0.①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).12．数列{a n }的各项都为正数，且满足S n ＝(a n ＋1)24(n ∈N ＋)，求数列的通项公式a n .解 方法一 (消S n )：由S n ＝(a n ＋1)24(n ∈N ＋)，得4a n ＋1＝4(S n ＋1－S n )＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，因为a n ＞0， ∴a n ＋1－a n ＝2，又4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2得a 1＝1， 故{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以a n ＝2n －1.方法二 (消a n )：由上可知2S n ＝a n ＋1，∴2S n ＝S n －S n －1＋1(n ≥2)， 化简可得(S n －1)2＝S n －1， (S n ＋S n －1－1)(S n －S n －1－1)＝0，又S 1＝1，{a n }的各项都为正数， 所以S n －S n －1＝1.所以S n ＝n ，从而S n ＝n 2，所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．a 1＝1也适合， 故a n ＝2n －1. 三、探究与创新13．已知数列{a n }，a n ∈N ＋，S n 是其前n 项和，S n ＝18(a n ＋2)2.(1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．(1)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2，解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，整理得，(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.∵a n ∈N ＋，∴a n ＋a n －1＞0，∴a n －a n －1－4＝0， 即a n －a n －1＝4(n ≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)解 设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n ＝12a n －30，且由(1)知a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2， ∴b n ＝12(4n －2)－30＝2n －31，故数列{b n }是单调递增的等差数列． 令2n －31＝0，得n ＝1512，∵n ∈N ＋，∴当n ≤15时，b n ＜0；当n ≥16时，b n ＞0，即b 1＜b 2＜…＜b 15＜0＜b 16＜b 17…， 当n ＝15时，T n 取得最小值， 最小值为T 15＝－29－12×15＝－225.。

北师大版高中必修5 2.2等差数列的前n项和教学设计一、教学目标1.知道等差数列的概念与性质，会判断一个数列是否为等差数列。

2.熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式和其简单应用。

3.能使用前n项和公式解决等差数列实际问题。

二、教学重难点1.等差数列前n项和公式的理解与应用;2.等差数列的真正意义以及其在实际生活中的应用。

三、教学内容1. 等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义等差数列是指从第二项开始，每项与其前一项的差相等的一种数列，这个差叫做等差数列的公差。

1.2 等差数列的性质•通项公式：a n=a1+(n−1)d•前n项和公式：$S_n=\\frac{(a_1+a_n)n}{2}=\\frac{2a_1+(n-1)d}{2}×n$•等差中项：$a_m=\\frac{a_n+a_1}{2}$2. 等差数列的前n项和公式的应用以数列 $\\{4,7,10,...\\}$ 为例，在确定其为等差数列后，我们可以用前n项和公式计算前10项的和:$S_{10}=\\frac{(4+31)×10}{2}=175$3. 等差数列的实际应用等差数列在实际中的很多场景中都有应用，特别是在数理金融、经济策略等领域。

例如，假设你每个月存款1000元，而存款利息每年15%的情况下，求10年后本金和利息的总和。

数字小说以等差数列 $\\{12000,12600,13200,...\\}$ 来表示10年后每年的本息总和。

因此，我们可以使用前n项和公式来计算该数列的和：$S_{10}=\\frac{(24000+37200)×10}{2}=306000$四、教学过程1. 复习让学生们回顾等差数列的定义和通项公式，在黑板上让学生们做一些简单的题目。

2. 教学1.介绍等差数列的前n项和公式，并给出一个实例来说明该公式的应用；2.引入等差数列的实际场景，并尝试将其转化为等差数列；3.让学生尝试使用前n项和公式来计算等差数列的总和并解决实际问题。

第3课时 等差数列的前n 项和思路方法技巧命题方向 有关等差数列的基本量的运算 ［例1］ 已知等差数列{a n }中，（1）a 1=23,d =-21,S n =-15,求n 和a n ; （2）a 1=1,a n =-512，S n =-1022,求公差d .［分析］ a 1,d,n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量表示，五个基本量a 1,d,n,a n ,S n 中可“知三求二”.［解析］ (1)∵S n =n ·23+2)1(-n n ·（-21）=-15，整理，得n 2-7n -60=0.解之得n =12或n =-5(舍去).∴a 12=23+ (12-1)×（-21）=-4.(2)由S n =2)(1n a a n +=2)5121(-n =-1022,解之得n =4.又由a n =a 1+(n -1)d ,即-512=1+(4-1)d , 解之得d =-171.［说明］ 等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.变式应用1 在等差数列｛a n ｝中， （1）已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8; （2）已知a 3+a 15=40,求S 17. ［解析］ （1）∵a 6=10,S 5=5, a 1+5d =10 a 1=-5 ∴ ，解得 . 5a 1+10d =5 d =3∴a 8=a 6+2d =16,S 8=2)(881a a +=44. (2)∵a 1+a 17=a 3+a 15,∴S 17=2)(17171a a +=2)(17153a a +=24017⨯＝340. 命题方向 等差数列前n 项和的性质［例2］ 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和. ［分析］ 解答本题可利用前n 项和公式求出a 1和d ,即可求出S 110,或利用等差数列前n 项和的性质求解.［解析］ 方法一：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S n ,则S n =na 1+2)1(-n n d .10a 1+2910⨯d =100 ① 由已知得100a 1+299100⨯d =10 ② ①×10－②，整理得d =-5011, 代入①，得a 1=1001099.∴S 110=110a 1+2109110⨯d=110×1001099+2109110⨯×（-5011）=110（100111091099⨯-）＝－110.故此数列的前110项之和为－110．方法二：数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…，S 100-S 90,S 110-S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10+2910⨯×D =S 100=10⇒D =-22， ∴S 110-S 100=S 10+（11-1）D =100+10×（-22）=-120. ∴S 110=-120+S 100=-110. 方法三：设S n =an 2+bn . ∵S 10=100,S 100=10,102a +10b =100 a =-10011 ∴ ，⇒ .1002a +100b =10 b =10111∴S n =-10011n 2+10111n . ∴S 110=-10011×1102+10111×110=-110. 方法四：∵S 100-S 10=a 11+a 12+…+a 100 =2)(9010011a a +=2)(901101a a +.又S 100-S 10=10-100=-90, ∴a 1+a 110=-2.∴S 110=2)(1101101a a +=-110.方法五：在等差数列中，因为点（n , nSn ）共线，所以（10，1010S ）,（100，100100S ）,（110，110110S）三点共线，故101001010010100--S S ＝101101011010110--S S即9010101-＝10010110110-S ∴110110S =10+910×(101-10)=-1 ∴S 110=-110.［说明］ 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前n 项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S m =70，S 2m =110,则S 3m ＝ . ［答案］ 120［解析］ ∵{a n }为等差数列， ∴S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列, ∴2(S 2m -S m )=S m +S 3m -S 2m ,即2（110-70）＝70+S 3m -110， ∴S 3m =120.命题方向 等差数列前n 项和的最值问题［例3］ 已知数列{a n ｝是等差数列，a 1=50,d =-0.6. (1)从第几项开始有a n <0;(2)求此数列的前n 项和的最大值.［分析］ 对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n ∈N ＋；对于（2）实际上是研究S n 随n 的变化规律，由于等差数列中S n 是关于n 的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由a n 的变化推测S n 的变化.［解析］ （1）因为a 1=50，d =-0.6, 所以a n =50-0.6(n -1)=-0.6n +50.6.令-0.6n +50.6≤0，则n ≥6.06.50≈84.3. 由于n ∈N ＋，故当n ≥85时，a n <0，即从第85项起以后各项均小于0. （2）解法一：因为d =-0.6<0,a 1=50>0,由（1）知a 84>0,a 85<0,所以S 1<S 2<…<S 84,且S 84>S 85>S 86>….所以当n =84时，S n 有最大值，即S 84=50×84+28384⨯×(-0.6)=2108.4.解法二：S n =50n +2)1(-n n ×(-0.6)=-0.3n 2+50.3n =-0.3（n -6503）2+1205032.当n 取接近于6503的自然数，即n =84时，S n 达到最大值S 84=2108.4. ［说明］ 求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法：方法一：根据项的正负来定.若a 1>0,d <0，则数列的所有正数项之和最大； 若a 1<0,d >0，则数列的所有负数项之和最小.方法二：S n =na 1+2)1(-n n d =2d n 2+（a 1-2d）n =2d (n +d d a 21-)2-d d a 2)2(21- =2d [n -（21-d a 1）]2-2d （21-da1）2. 由二次函数的最大、最小值知识及n ∈N +知，当n 取最接近（21-da 1）的正整数时，S n 取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（21-da 1）的正整数有时有1个，有时有2个.变式应用3 在等差数列{a n ｝中，a 1=25,S 17=S 9,求S n 的最大值.［解析］ 解法一：利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17=S 9得25×17+217 (17-1)d =25×9+29(9-1)d ,解得d =-2, ∴S n =25n +2n(n -1)(-2)=-(n -13) 2+169,∴由二次函数性质，当n =13时，S n 有最大值169. 解法二：同解法一先求出d =-2.因为a 1=25>0,a n =25-2(n -1)≥0 n ≤1321由 ，得 ，a n+1=25-2n ≤0 n ≥1221 所以当n =13时，S n 有最大值169.解法三：同解法一先求出d =-2.由S 17=S 9，得a 10+a 11+…+a 17=0，而a 10+a 17=a 11+a 16=a 12+a 15 =a 13+a 14,故a 13+a 14=0.因为d =-2<0,a 1>0,所以a 13>0,a 14<0,故n =13时，S n 有最大值169. 解法四：同解法一先求出d =-2.由d =-2，得S n 的图像如图所示（图像上一些孤立点），由S 17=S 9知图像对称轴为n =2179+=13,所以当n =13时，S n 取得最大值169.探索延拓创新命题方向 等差数列前n 项和在实际问题中的应用［例4］ 有30根水泥电线杆，要运往1000 m 远的地方开始安装，在1000 m 处放一根，以后每隔50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共多少？［分析］ 这是一道等差数列求和的应用题.对于应用题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论.［解析］ 解法1：如图所示示意图，假定30根水泥电线杆存放M 处.a 1=|MA |=1000(m),a 2=|MB |=1050(m),a 3=|MC |=1100(m),a 6=a 3+50×3＝1250(m),…a 30=a 3+150×9（m ）.由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a 3,a 6,a 9,…,a 30这些地方，这样组成公差为150 m ，首项为1100的等差数列，令汽车行程为S ，则有S ＝2(a 3+a 6+…+a 30)=2(a 3+a 3+150×1＋…＋a 3+150×9)＝2（10a 3+150×291+×9）＝2（11000＋6750） ＝35.5（km ）.答：这辆汽车行程共有35.5 km.解法2（略解）：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列｛a n ｝,其a 1=100,d =150,n =10,则S 10=10a 1+2)110(10-d =7750(m). 所以总共行程为7750×2＋1000×20＝35.5（km ）.解法3（略解）：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中 a 1=(1000+50×2)×2＝2200，a 2=(1000+50×5)×2＝2500， …d =150×2＝300，项数共有10项， ∴S n =10a 1+2)110(10-d =10×2200＋5×9×300＝35.5（km ）.［说明］ 有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究，建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，一般求解步骤如下：(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列的通项还是求数列的前n 项和; (3)列出等式（或方程）求解; (4)得到问题的答案.变式应用4 为了参加5000 m 长跑比赛,李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ，李强10天一共要跑多少路程？［解析］ 将李强每一天跑的路程记为数列｛a n ｝, 则a 1=5000m,公差d =400m.∴S 10＝10a 1+2)110(10-⨯×d =10×5000＋45×400＝68000（m ）故李强10天一共要跑的路程为68000m.名师辨误做答［例5］ 已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为S n 、T n ，且nnT S ＝27417++n n (n ∈N +),求1111b a . ［误解］ 由n n T S =27417++n n ,设S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k,k ≠0.则a 11=S 11-S 10=(7×11+1)k -(7×10+1)k =7k , b 11=T 11-T 10=(4×11+27)k -(4×10+27)k =4k . ∴1111b a =k k 47=47. ［辨析］ 错误的原因是“设S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k,k ≠0”.这种设法虽然可以使n n T S =27417++n n 成立，但是相对于变量n 来说，k 是常数，故S n =(7n +1)k,T n =(4n +27)k 是n 的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n 项和为n 的二次函数不符合.［正解］ 由于等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝an 2+bn =a ·n (n +ab ), 设S n =(7n +1)·kn,T n =(4n +27)·kn ,∴a 11=S 11-S 10=(7×11+1)·11k -(7×10+1)·10k ＝148k ， b 11=T 11-T 10=(4×11+27)·11k -(4×10+27)·10k =111k . ∴1111b a =k k 111148=34.。

《等差数列的前n项和》教学设计课标分析本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用，也是培养学生数学能力的良好题材。

数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其进行重点考察，不仅选择题填空题每年必考，而且解答题也是重点考察的对象。

等差数列作为数列部分的主要内容，也就备受关注。

教材分析教材的地位与作用：本节课是《北师版·数学·必修5》的《第二章§2.2等差数列的前n 项和》的第一课时，是等差数列的前n 项和公式的推导简单应用问题，高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1、从特殊到一般的研究方法；2、等差数列的基本元表示；3、倒序相加求和。

不仅得出了等差数列前n 项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

学情分析学生已经学过了等差数列的定义和性质，虽然已经具备了一定的理解及合作交流能力，但学起等差数列的前n项和在理解上还是有一些难度，所以创设了一些情境帮助学生理解。

本班学生自主学习能力比较强，课堂气氛不是很活跃，所以我多引入一些小故事来引导学生，并调动学生的积极性，培养其勇于探索钻研的精神。

学习目标根据等差数列的前n项和在教材内容中的地位与作用，本节课应实现如下教学目标：1、知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；能熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

2、过程与方法：通过小组合作，讨论交流，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

第3课时 等差数列的前n 项和知能目标解读1.理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，能够应用等差数列的前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题.2.体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系，能用二次函数的相关知识解决有关的数列问题.3.熟练掌握等差数列的五个基本量a 1,d,n,a n ,S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.4.进一步熟悉由数列的前n 项和S n 求通项的方法.重点难点点拨重点：探索等差数列前n 项和公式的推导方法，掌握前n 项和公式，会用公式解决一些实际问题.体会等差数列的前n 项和与二次函数之间的联系.难点：等差数列前n 项和公式的推导和应用公式解题时公式的选取.学习方法指导1.等差数列前n 项和公式中涉及五个量a 1,d,n,a n ,S n ,已知其中任意三个就可以列方程组求另外两个（简称“知三求二”），它是方程思想在数列中的体现.2.等差数列求和公式的推导，用的是倒序相加法，要注意体会这种求和方法的适用对象和操作程序，并能用来解决与之类似的求和问题.注意公式S n =2)(1n a a n +,S n =na 1+2)1(-n n d ，S n =na n -2)1(-n n d 之间可以相互转化. 3.S n 是n 的二次函数，{a n }不一定是等差数列.如果S n =an 2+bn +c ，则在c =0时{a n }是等差数列，在c ≠0时{a n }不是等差数列；反过来{a n }是等差数列，S n 的表达式可以写成S n =an 2+bn 的形式，但当{a n }是不为零的常数列时，S n =na 1是n 的一次函数.知能自主梳理1.等差数列的前n 项和公式若数列｛a n ｝是等差数列，首项为a 1,公差为d ,则前n 项和S n = = .2.等差数列前n 项和的性质（1）等差数列｛a n ｝的前k 项和为S k ,则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成公差为 的等差数列.（2）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则｛n S n ｝也是 . ［答案］ 1. 2)(1n a a n + na 1+2)1(-n n d 2.(1)k 2d (2)等差数列。

§2.2 等差数列的前n 项和看课本，完成下列问题，梳理知识1、若干根钢管堆放成如图所示的一堆，共7层，最上一层为第一层，各层的钢管根数以此构成一个数列，5,6,7,8,9,10,11.计算这堆钢管共有多少根？ 表示为：76543217a a a a a a a s ++++++=看下图计算：上图可以表示为：76543217a a a a a a a s ++++++=———————① 12345677a a a a a a a s ++++++=———————②①+②得：++++=)()(262717a a a a s ∵=+=+)()(2617a a a a +=12a =d=7s2、一般对于一个等差数列}{n a 的前n 项和，可写出： S n =a 1+a 2+ 根据通项公式a n =a 1+(n-1)d ，上式可写为：S n =a 1+(a 1+d)+ ①a 6=10a 7=11a 5=9a 4=8a 3=7a 2=6a 1=5如果倒序相加，根据等差数列的性质a m =a n -(n-m)d(如a 5=a n -(n-5)d) 可写为:S n =a n +(a n -d)+ ②把①、②两等式两边分别相加，得 2S n == ∴S n =联想记忆，梯形的面积S=h b a )(21+，h b a ,,分别是体形的上底，下底和高，在等差数列中， 可以看成是梯形的面积S ， 可以看成是梯形的上底， 可以看成是梯形的下底， 可以看成是梯形的高.根据等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和S n 可以由a 1,d,和n 表示为： S n = 3、等差数列的性质: ①若数列{}n a 是等差数列，n S是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k kS S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++证明：②奇数项和与偶数项和的关系：设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质 前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，d2nS =-奇偶S ，其中d 为公差；证明：当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n=-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n（其中中a 是等差数列的中间一项）证明：③、前n 项和与通项的关系：若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}nb 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a基础自测1.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6等于 ( ) A.16 B.24 C.36 D.48 2.已知等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 3+a 9=6,则S 11等于（A.12B.33C.66D.11 3.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10等于（A.138B.135C.95D.23 4.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ,则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ A.2 B.3 C.4 D.55.数列a,b,m,n 和x,n,y,m 均成等差数列，则2b+y -2a+x的值为（A.正实数B.负实数C.零D.例1 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .求证：数列{b n }是等差数列.例2 在等差数列{a n }中，（1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61;(2)已知a 6=10,S 5=5，求a 8和S 8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0,求a 1.例3 在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.练习11.设两个数列{a n },{b n }满足b n =nna a a a n++++++++ 32132321，若{b n }为等差数列，求证：{a n }也为等差数列.2.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求T n .3.等差数列{a n }中，a 1＜0,S 9=S 12,该数列前多少项的和最小？练习2一、选择题1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1,a 3=3,则S 4等于 （ ）A.12B.10C.8D.62.在等差数列{a n }中，已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6等于（ ）A.40B.42C.43D.453.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A.5 B.4 C.3 D.24.已知等差数列{a n }的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为（ ）A.a n =4n-3B. a n =2n-1C.a n =4n-2D.a n =2n-3 5.在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为（A.14B.15C.16D.176.等差数列{a n }的前n 项和满足S 20=S 40，下列结论中正确的是 （A.S 30是S n 中的最大值B.S 30是S nC.S 30=0D.S 60=0 二、填空题7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .8.已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1,且a 1+b 1=5， a 1、b 1∈N +.设c n =n b a (n ∈N +),则数列{c n }的前10项和等于 .三、解答题9.已知数列{a n }中，a 1=53，a n =2-11-n a (n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =11-n a (n ∈N +). (1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由.10.等差数列{a n }的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知31S 3，41S 4的等比中项为51S 5; 31S 3，41S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式.12.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3×a 4=117,a 2+a 5=22. （1）求通项a n ; (2)若数列{b n }满足b n =cn S n+,是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.§2.2 等差数列的前n 项和看课本，完成下列问题，梳理知识1、若干根钢管堆放成如图所示的一堆，共7层，最上一层为第一层，个层的钢管根数以此构成一个数列，5,6,7,8,9,10,11.计算这堆钢管共有多少根？ 表示为：76543217a a a a a a a s ++++++=看下图计算：a 6=10a 7=11a 5=9a 4=8a 3=7a 2=6a 1=5上图可以表示为：76543217a a a a a a a s ++++++=———————① 12345677a a a a a a a s ++++++=———————②①+②得：)()()()()(217445362717a a a a a a a a a a s ++++++++++= =+=+)()(2617a a a a )()()(174453a a a a a a ++++++ +=12a 6=d 162=7s )(717a a +⋅ 56167217=⋅⋅=s 2、一般对于一个等差数列}{n a 的前n 项和，可写出： S n =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a n根据通项公式a n =a 1+(n-1)d ，上式可写为：S n =a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)+(a 1+3d)+…+(a 1+(n-1)d)-----------①如果倒序相加，根据等差数列的性质a m =a n -(n-m)d(如a 5=a n -(n-5)d) 可写为:S n =a n +(a n -d)+ (a n -2d)+(a n -3d)+…+(a n -(n-1)d)--------②把①、②两等式两边分别相加，得2S n =(a 1+a n )+ (a 1+a n ) + (a 1+a n ) + (a 1+a n ) +…+ (a 1+a n ) =n (a 1+a n ) ∴S n =()n a a n +121联想记忆，梯形的面积S=h b a )(21+，h b a ,,分别是体形的上底，下底和高，在等差数列中，s n 可以看成是梯形的面积S ，a 1可以看成是梯形的上底，a n 可以看成是梯形的下底， n 可以看成是梯形的高.根据等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d ，前n 项和S n 可以由a 1,d,和n 表示为： S n =()d n n n a 1211-+ 3、等差数列的性质: ①若数列{}n a 是等差数列，n S是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k kS S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++证明：∵d k k k a s k )1(211-+= d k k k a s k )12(221212-+= d k k k a s k )13(321313-+= ∴ d k k k a d k k k k a s s k k )15(21)2439(211123-+=+--+=- d k k k a d k k k k a s s k k )13(21)124(21112-+=+--+=- ∴ )13(2)(212-+=-k k a s s k k))1(21()(123d k k k a s s s k k k -+=-+))15(21(1d k k k a -++ =-+-+=)151(2121k k k a )13(21-+k k a =)(22k k s s -∴k s ,k k s s -2 ,k k s s 23-为等差数列。