浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测十计数原理单元检测含解析

计数原理（6）排列与组合C1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( )A.228B.238C.218D.2482、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( )A.二B.三C.四D.五3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( )A. 1 30B.1 15C.1 10D. 1 55、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。

A. 240B. 156C. 188D. 1206、若112311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( )A.4B.5C.6D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1408、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.369、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．10010、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________.13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法?2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法?3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：对甲、乙两名同学是否参加分类.第一类,甲、乙均未参加: 44A .第二类,甲、乙中是有1人参加: 124234144C C A =.第三类,甲、乙都参加:14123432260C A C A -=.1232414460228N N N N =++=++=.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B解析：这是个错位排列模型,可视作1、2、3、4、5五个数字排在序号①、②、③、④、⑤的五个位置中,且⑤位置上固定排1,对5所处位置讨论:5在①位置上,是三个元素的错位排列,有2种情况;5在②、③、④位置上分别各都是3种情况;所以共有11种搭配方式,选B.4答案及解析： 答案：C解析：同校学生排在一起共有323323A A A 种排法,而三个学校的学生随便排有66A 种排法,故同校学生排在一起的概率110P = 故选C.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A解析：∵1112n n nn n n C C C -++++=,22n n n C C -=, ∴1232n n n n n C C C +++=+, ∴1232n n n n n C C C +++-=,∴122n n n C C ++=,∴122n n C C +=,∴()122n n n -+=,即()()410n n -+=,又0n >, ∴4n =.7答案及解析： 答案：A解析：分两类：若甲组两人，则乙、丙两组的方法数是1232C A ，此时的方法种数为C A =212532C 60；若甲组3人，则方法数C A =325220，根据分类加法原理得总的方法总数为60+20=80,故选A 考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列、组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题8答案及解析： 答案：B 解析：第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C =种,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种, 第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有144C =种,根据分类计数原理可得, 12124++种, 故选B9答案及解析： 答案：B解析：值为2019的“简单的”有序对的个数是3121060⨯⨯⨯=.故选B.10答案及解析： 答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析： 答案：96解析：5张参观券分成4组, 1组2张,另外3组各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是44496A 。

专题08函数与导数小题一.函数小题（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现8年15考，每年至少1题，多数年份为2 个小题，主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数图象及应用这些性质比较大小、解函数不等式、识别函数图象、研究函数零点或方程的解，考查分段函数求值等，函数单调性与奇偶性及其应用、分段函数问题的考查为基础题，图象、综合利用函数图象性质比较大小或研究函数零点与方程解得个数多为中档题或压轴小题.2019年仍将至少1个函数小题，主要考查函数的图象性质、分段函数或函数的综合应用，难度可能为基础题或中档题或压轴小题．（二）历年试题比较：年份题目答案2018年（12）设函数，，，则满足的x的取值范围是DA.，B.，C.，D.，（13）已知函数，若，则________．-72017年（8）函数y sin2x1cos x 的部分图像大致为C2016年（8）若a>b>0，0<c<1，则（A）log c<log c（B）log a<log b（C）a<b（D）c>c ab c c（9）函数y=2x–e在[–2,2]的图像大致为B Dc c a b 2|x|（A ） （B ）（C ） （D ）2015 年(10)已知函数2x12, x 1f ( x )log ( x 1), x 12，且f ( a )3 ，则 f (6 a )（）A（A ）7531（B ）（C ）（D ）4444(12) 设 函 数y f ( x )的 图 像 与y 2x a的 图 像 关 于 直 线yx对 称 ， 且Cf ( 2) f ( 4)1，则a( )（A ）1（B ）1（C ）2（D ）42014 年(5)设函数f ( x ) ,g ( x )的定义域为R，且f ( x )是奇函数，g ( x )是偶函数，则下 A 列结论中正确的是A.f ( x ) |g ( x ) |是奇函数B. | f ( x ) | g ( x )是奇函数C. f ( x ) g ( x )是偶函数D.| f ( x ) g ( x ) |是奇函数(15)设函数fxe x 1, x 1,则使得 x 3 , x 1, fx2成立的 的取值范围是________.( ,8]2013 年(12) 已知函数f ( x )=x 2 2 x , x 0ln( x 1), x 0，若|f ( x )|≥，则 的取值范围是DA . (,0]B . (,1]C.[-2,1]D .[-2,0]2012 年(11)当 0<x1≤2时，4x log x a，则 a 的取值范围是A2（A ）(0， 2 )2（B ）( 2 ，1)（C ）(1， 2)（D ）( 2，2)(16)设函数f ( x )(x +1) +sin x= x +1 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m =____22011 年（3）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是B1xax a2 2（A）y x3(B)y |x|1(C)y(D)y 2|x|x 21(10)在下列区间中，函数 f (x)=e x 4x 3的零点所在的区间为C（A）（111113，0）(B)（0，）(C)（，）(D)（，）444224(12)已知函数y=f (x)的周期为2，当∈[－1,1]时， f (x)=x2，那么函数=Af (x)的图像与函数y |lg x |的图像的交点共有（A）10个(B)9个(C)8个(D)1个【解析与点睛】（2018年）（12）【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，，故选D.（13）【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.（2017年）（8）【解析】由题意知，函数ysin2x1cos x为奇函数，故排除B；当时，y 0，排除D；当x 1时，ysin 21cos20，排除A.故选C.（2016年）（8）【解析】由0c 1可知y log xc 是减函数,又a b 0,所以log a log bc c．故选B.（9）【解析】函数f(x)=2x–e在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为f(2)8e2,08e21，所以排除A,B 选项；当x 0,2时，f (x)=4xex有一零点，设为x，当x (0,x)时，f(x)为减函数，当x (x,2)时，f(x)为增函数．故选D.（2015年）(10)【解析】∵f (a)3，∴当a 1时，f(a)2a 123，则2a 11，此等式显然不成立，当a 1时，log(a1)32，解得a 7，∴f(6a) f (1)=211274，故选A.（12）【解析】设(x,y)是函数y f(x)的图像上任意一点，它关于直线y x y,x），由已知知（y,x）在函数y 2x a的图像上，∴x 2y a，解得y l o g (x)a2，即f x()ogl()x a2，∴x yxy2|x|对称为（f(，解得a 2，故选C. 2)f(4)l o g2alog4a122（2014年）(5)【解析】∵函数 f (x),g(x)的定义域为R，且 f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(x)g(x)=-f (x)g(x)是奇函数，故C错，|f (x)|g(x)=|f(x)|g(x)=|f (x)|g(x)是偶函数，故B 错；f (x)|g(x)|=f (x)|g(x)|是奇函数，故选A.(15)【解析】原不等式等价于x 1e x12x 1或1，解得x32x 8，故的取值范围是(,8].（2013年）【解析】∵|f (x)|=x22x,x 0ln(x 1),x 0，∴由|f (x)|≥得，x 0x 0且x22x ax ln(x 1)ax，由x 0x22x ax可得a x 2，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证ln(x 1)x对x 0恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.0a 1（2012年）(11)【解析】由指数函数与对数函数的图像知1log 4221，解得0a ，故选A. 22(16)【解析】f (x)=12x sin xx21，设g(x) =f (x)1=2x sin xx21，则g(x)是奇函数，∵ f (x)最大值为M，最小值为，∴g(x)的最大值为M-1，最小值为－1，∴M 1m 10，M m=2.（2011年）（3）【解析】先考查奇偶性，显然y x是奇函数，排除A，∵y |x|1x 1x 0=1x x 0，显然在（0，+∞）是单调增函数，故选B.(10)【解析】∵1f()=4＜0，f(0)2＜0，f ( )44e4=4e 2＜0，111 f()=＞0∴f()f()242＜0，∴零点所在的区间为（11，），故选C. 42(12)【解析】作出= f (x)的图像与y |l g x |的图像，由图像知10个交点，故选A.（三）命题专家押题题号试题1.下列函数中，既是奇函数，又在A．B．上是增函数的是（）C．D．2.xaxa aam m311e 1 y设，若，则实数是（）A．1B．-1C．D．03 4函数已知函数立，则的定义域为__________．是定义在R上的偶函数，且，且对任意，有的值为（）成A．1B．-1 C．0D．25函数的大致图像是（）A．B．C．D．6若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．7已知函数A．，若，则实数的取值范围是（）B．C．D．8已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是________9已知函数，若且，则的取值范围是10_____.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A．C．【详细解析】B．D．1.【答案】C【解析】对于A，函数为奇函数，但在无单调性，所以A不合题意．对于B，由于，所以函数为偶函数，所以B不合题意．对于C，函数为奇函数，且在上单调递增，所以C符合题意．对于D，函数为奇函数，当时，，所以+，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意，故选C．2.【答案】B【解析】解得a=-1,故选B3.【答案】【解析】依题意得，得，即函数的定义为4.【答案】A.【解析】∵是偶函数，∴，∴，∴，∴的周期为4，∴，故选A．5.【答案】A【解析】由，得，，又，，结合选项中图像，可直接排除B，C，D，故选A6.【答案】D【解析】由题意，根据指数函数的性质，可得，根据对数函数的图象与性质，可得，，所以，故选D.7.【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是，故选A.8.【答案】【解析】当，，当且仅当时，等号成立.当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足并且+，即，解得.9.【答案】【解析】由且得.画出的图像，如下图所示，由图可知，，故，故的取值范围是.10.【答案】C【解析】由题意，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于y轴对称，又由，则，即，可得，代入可得，所以函数的图象关于对称，且是周期为4的周期函数，又由当时，，画出函数的图象，如图所示，因为在上有且仅有三个零点，即函数和的图象在上有且仅有三个交点，当时，则满足，解得；当时，则满足，解得；综上所述，可得实数的取值范围是，故选C.二.导数小题（一）命题特点和预测：分析近 8 年的高考题发现，8 年 6 年考，主要考查利用导数的几何意义研究函数的切线、利用导数研究函数的图象与性质再、利用导数研究函数零点的个数，函数 的切线问题是容易题，利用导数研究函数性质或零点个数问题是中档题或压轴小题.2019年高考 仍会考 1 个导数试题，可能考查函数的切线，也可能考查利用导数研究函数的图象与性质及研究函数零点或方程解的个数问题或函数的最值问题，若考切线为基础题，若考利用导数研究函 数性质为中档题，若考函数零点个数或与单调性有关的参数问题为难题.（二）历年试题比较：年份2018 年题目（6）设函数 ．若处的切线方程为，点为奇函数，则曲线答案在 DA.B.C.D.2017 年(9)已知函数f(x) lnx ln(2 x)，则CA ．B ． f (x) f (x)在（0,2）单调递增在（0,2）单调递减C ．y=D ．y= f (x)f (x) 的图像关于直线 x=1 对称的图像关于点（1,0）对称（14）曲线 y x 21x在点（1，2）处的切线方程为_____________.y x 12016 年（12）若函数 1f(x) x - sin2 x a s inx3在 , 单调递增，则 a 的取 C值范围是（A ）1,1（B ）1 1, 3（C ）1 1 , 3 3（D ）1,1 32015 年(14)已 知函 数f x ax 3 x 1的 图像 在点1,f 1的 处的 切线 过点12,7，则a.2014 年（12）已知函数f (x)= ax 33x 2 1 ，若f (x)存在唯一的零点 ，且 ＞A0，则 的取值范围是（A ）（-，-2）（B ）（1，+） （C ）（2，+） （D ）（-，-1）2012 年(13)曲线y x(3ln x 1)在点（1,1）处的切线方程为________4 x y 3 0【解析与点睛】x x a（2018年）（6）【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线即，故选D.在点处的切线方程为，（2017年）（9）【解析】由题意知，f (2x)ln(2x)ln x f (x)，所以f (x)的图像关于直线x 1对称，C正确，D错误，又f112(1x)x (0x 2)x2x x(2x)，在(0,1)上单调递增，在1,2上单调递减，A，B错误.故选C.（14）【解析】设y f(x)，则f x 2x 1x2，所以f 1211，所以在(1,2)处的切线方程为y 21(x 1)，即y x 1.（2016年）【解析】f (x)=21cos2x a cos x 03对x R恒成立，故21(2cos2x 1)a cos x 03，即a cos x 454545 cos x 0恒成立，即t at 0对t [1,1]恒成立；设f(t)=t at 333333（t [1,1]1f(1)a 03），所以1f(1)a 03，解得11a33，故选C.（2015年）【解析】∵f (x)3ax21，∴f (1)3a 1，即切线斜率k 3a 1，又∵f(1)a 2，∴切点为（1，a 2），∵切线过（2,7），∴a 27123a 1，解得 1.（2014年）【解析】当a 0时，函数f(x)3x 21显然有两个零点且一正一负;∵f (x)=3a x26x=3x(a x 2) ，当a 0时，当x＜0或x＞时，f (x)＞0，则f (x) 在x (,0)和（，+）是增函a a数，当0＜x＜2a时，f (x)＜0，f (x)2在(0，)是减函数，∴af (x)在=0处取极大值 f (0)=1，∵f (0)=1＞0，由 f (x)的图像知，f (x)存在负零点；当＜0时，当x＜2a或＞0时，f (x)＜0，则f (x)在x (,)和（0，+）是减函数，当＜x＜0时，f (x)＞0，f(x) 在(aa a，0)是增函数，要使f (x)存在唯一的零点x，且x＞0，则002f( )0a，解得＜-2或＞2（舍），故选A.（2012年）【解析】∵y 3ln x 4，∴切线斜率为4，则切线方程为：4x y 30.（三）命题专家押题题号1.试已知函数题是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点222a22xa x222a a处的切线方程为（）A．C．B．D．2.定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．C．B．D．3已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),则下面四个图象中,的图象大致是( )A．B．C．D．4 5已知函数函数在在上单调递增，则的取值范围是__________.上的最大值是________.6已知函数对于任意实数都有，且当时，，若实数满足，则的取值范围是________．7已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8已知函数，若对，，得，则实数的取值范围是（）B．A．D．C．且，使9已知函数，若是函数（）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．10设函数，A．B．C．有且仅有一个零点，则实数的值为（）D．【详细解析】1.【答案】D【解析】若，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，此时，，，所以切线方程为，即，故选D.2.【答案】D【解析】构造函数，因为是奇函数，所以为偶函数，当时，恒成立，即，所以在时为单调递减函数，在时为单调递增函数，根据偶函数的对称性可知，，所以，所以选D3.【答案】C【解析】由的图象可得，当当当当时，，所以，即函数时，，所以，即函数时，，所以，即函数时，，所以，即函数单调递增；单调递减；单调递减；单调递增；观察选项，可得C选项图像符合题意，故选C4.【答案】【解析】∵在上恒成立，则，令，，知在上单调递增，故.5.【答案】【解析】由题意，函数，可得函数的定义域为，又由，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为.6.【答案】【解析】由题得，当≥时，，因为≥，所以，所以函数在[,+∞上单调递增，因为，所以函数是偶函数，所以函数在（上单调递减，因为，所以||＜1，所以-1＜＜1，所以.7.【答案】C【解析】若函数在上有解，即与，所以当的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，令，则时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.8.【答案】D【解析】当时，函数的值域为.由可知：当时，，与题意不符，故.令，得，则，所以，作出函数在上的大致图象如图所示，观察可知解得，故选D.9.【答案】A【解析】∵函数（）的定义域是（，），∴（），∵是函数（）的唯一一个极值点，∴是导函数（）的唯一根，∴在（，）无变号零点，即在＞上无变号零点，令，因为（），所以（）在（，）上单调递减，在＞上单调递增，所以（）的最小值为（），，所以必须，故选A．10.【答案】B【解析】∵函数，有且只有一个零点，∴方程，，有且只有一个实数根，令g（x）=，则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，又g（0）=g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=，故选B.。

课时跟踪检测（五十二）分类加法计数原理与分步乘法计数原理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. a, b, c, 选法的种数是（d, e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同）A. 20 B . 16C . 10D . 6解析：选B当a当组长时，则共有 1 X 4 = 4（种）选法；当a不当组长时，因为a不能当副组长，则共有4X 3= 12（种）选法.因此共有4+ 12= 16种选法.2. （2019江山模拟）某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名干部参加学生党校培训，则不同的选法种数有（）A. 9B. 20C. 16D. 24解析：选B 先选男生，有5种不同的选法，再选女生，有4种不同的选法.由分步乘法计数原理可知：N = 5X 4 = 20.3. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B, C, D中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1, 3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）A. 180种B. 360 种C. 720种D. 960 种解析：选D 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5X 3 X 4X 4X 4=960（种）.4. 从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是 _____________ ; 3的倍数的个数有_________ .解析：从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法.故所求奇数的个数为3X 3 X 2= 18.若有0, 则另两个数分别为1,2或2,4,则不同的三位数有2 X 2X 2 = 8种，若有3，则另两个数分别为1,2或2,4，则不同的三位数有 3 X 2X 2= 12种，所以满足条件的3的倍数的个数为8 +12= 20 个.答案：18 205. （2018温州八校）将三个分别标有A, B, C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中无球的不同放法种数有____________ 种；1号盒子中有球的不同放法种数有________ 种.解析：1号盒子无球的不同放法有33= 27种，1号盒子有球的不同放法有43- 33= 64-27= 37 种.答案：27 37二保咼考，全练题型做到咼考达标1•设集合A = {- 1,0,1}，集合B= {0,1,2,3}，定义A*B = {（x, y）|x€ A n B, y€ A U B}, 则A*B中元素的个数是（）A. 7B. 10C. 25D. 52解析：选 B 因为集合 A = { - 1,0,1},集合B= {0,1,2,3}，所以 A n B= {0,1} ,A U B = {-1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2X 5 = 10（个）.2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（）A. 56B. 54C. 53D. 52解析：选D 在8个数中任取2个不同的数共有8X 7= 56（个）对数值，但在这56个对数值中，lo g24= log39, 10字2= log93, log23= log49, log32= log94，即满足条件的对数值共有56- 4= 52（个）.3. （2019嘉兴四高适应性考试）将3封信投入6个不同的信箱内，则不同的投法种数有（）A. 9B. 18C. 216D. 729解析：选C 将3封信投入6个不同的信箱内，每封信都有6种不同的投法，所以满足条件的不同投法种数有63= 216种.4.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A. 144个B. 120 个C. 96个D. 72 个解析：选B 当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A4个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C1A4个偶数.故符合条件的偶数共有2A：+ C3A4= 120（个）.5. 如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有（）D . 120 种 解析：选C 如图，设四个直角三角形顺次为C —>D 顺序涂色，下面分两种情况：（1） A , C 不同色（注意：B ，D 可同色、也可不同色， D 只要不与A ，C 同色，所以D 可 以从剩余的2种颜色中任意取一色）：有4X 3X 2X 2= 48（种）不同的涂法.（2） A , C 同色（注意：B , D 可同色、也可不同色， D 只要不与A , C 同色，所以D 可以 从剩余的3种颜色中任意取一色）:有4X 3X 1X 3= 36（种）不同的涂法.故共有48+ 36= 84（种） 不同的涂色方法.故选 C.6. 集合 N = {a , b , c}? {- 5,— 4,— 2,1,4}，若关于 x 的不等式 ax 2+ bx + c v 0 恒有实数解，则满足条件的集合 N 的个数是 _________ .解析：依题意知，集合 N 最多有C 3= 10（个），其中对于不等式 ax 2 + bx + c v 0没有实 数解的情况可转化为需要满足 a > 0,且△= b 2— 4ac < 0,因此只有当a , c 同号时才有可能， 共有2种情况，因此满足条件的集合 N 的个数是10— 2 = 8.答案：87. 在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为"驼峰数”，比如“102,” “ 546为“驼峰数”.由数字 1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有 _____________ 个.其中偶数有 __________ 个.解析：十位上的数为 1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为 2时，有 324,423,共 2 个，所以共有 6+ 2= 8（个）.偶数为 214,312,314,412,324，共 5 个.答案：85 8.如图所示，用五种不同的颜色分别给 A , B , C , D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有 ________ 种.解析：按区域分四步：第一步， A 区域有5种颜色可选；第二步，B 区域有4种颜色可选；第三步，C 区域有3种颜色可选；第四步，D 区域也有3种颜色可选.由 分步乘法计数原理，共有 5X 4X 3X 3= 180（种）不同的涂色方法.答案：1809. ___________ 已知△ ABC 三边a , b , c 的长都是整数，且 a < b < c ,如果b = 25，则符合条件的 三角形共有 ____ 个.解析：根据三边构成三角形的条件可知， c v 25+ a.C . 84 种» B第一类：当a= 1, b= 25时，c可取25,共1个值;第二类，当a= 2, b= 25时，c可取25,26，共2个值;当a = 25, b= 25时，c可取25,26,…，49,共25个值;所以三角形的个数为 1 + 2 +…+ 25= 325.答案：32510. 已知集合M = {—3,—2,—1, 0, 1, 2}，若a, b, c€ M,则：(1) y= ax2+ bx+ c可以表示多少个不同的二次函数；(2) y= ax2+ bx+ c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y= ax2 + bx+ c 可以表示5 X 6 X 6= 180(个)不同的二次函数.(2)y= ax2+ bx+ c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b, c的取值均有6种情况，因此y= ax2+ bx+ c可以表示2X 6X 6= 72(个)图象开口向上的二次函数.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.已知集合A={(x, y)|x2+ y2< 1, x, y€ Z}, B= {(x, y川x|w 2, |y|< 2, x, y€ Z}, 定义集合A® B = {(X1 + X2, y1+ y2)|( X1,y1) € A, (x2 ,y2)€ B}，则A® B 中元素的个数为()A. 77B. 49C. 45D. 30解析：选C A= {(x, y)|x2+ y2w 1, x, y€ Z} = {(x, y)|x = ± , y= 0;或x= 0 , y= ±1; 或x= 0 , y= 0},B= {(x , y川x|w 2 , |y|< 2 , x , y€ Z}= {(x , y)|x= —2, —1 , 0,1,2; y=—2, —1,0,1,2}, A ® B 表示点集.由X1=—1,0,1, X2=—2, —1,0,1,2 ,得x1 + X2=—3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.同理，由y1=—1,0,1 , y2=—2, —1,0,1,2，得y1+ y2=—3, —2, —1,0,1,2,3 ,共7 种取值可能.当X1+ X2=—3或3时，y1 + y2可以为一2, —1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的占八、、5当X1+ X2=—2, —1,0,1,2 时，y1 + y2可以为一3, —2, —1, 0,1,2,3 中的一个值，分别构成7个不同的点，故A® B共有2X 5 + 5X 7= 45(个)元素.2. (2019湖南十二校联考)若m , n均为非负整数，在做m+ n的加法时各位均不进位(例如：134+ 3 802= 3 936),则称(m , n)为“简单的”有序对，而m+ n称为有序对(m , n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是______________________ .解析：第1步，1= 1 + 0,1 = 0+ 1,共2种组合方式；第 2 步，9= 0 + 9,9= 1 + 8,9= 2+ 7,9 = 3+ 6,…，9= 9+ 0，共10 种组合方式；第 3 步，4= 0 + 4,4= 1 + 3,4= 2+ 2,4 = 3+ 1,4= 4 + 0,共5 种组合方式；第4步，2= 0 + 2,2= 1 + 1,2= 2+ 0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为 1 942的“简单的”有序对的个数为 2 X 10X 5 X 3= 300.答案：3003. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少不同的染色方法.解：可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分.类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论. 由题设，四棱锥S -ABCD 的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5X 4 X 3 = 60（种）染色方法.当S，A，B 染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3，若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法；若C染4,贝U D可染3或5,有2种染法；若C染5,贝U D可染3或4,有2种染法.可见，当S，A, B 已染好时，C, D还有7种染法，故不同的染色方法有60X 7= 420（种）.。

单元检测卷十 计数原理(B)考生注意：1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．2．本次考试时间45分钟，满分80分． 3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．7 2．在某次运动会中，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种 3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A ．800B ．5 400C ．4 320D ．3 600 4．甲组有5名男同学，3名女同学，乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种 5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48 6.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 7．从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种作物不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有( )A ．C 210A 48种B ．C 18A 59种 C ．C 19A 59种D ．C 18A 58种8．5名男生与2名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻，那么符合条件的排法共有( )A ．48种B ．192种C ．240种D ．288种9．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( ) A ．－180 B ．180 C ．45 D ．－45 10.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25展开式中x 2的系数为( ) A ．120 B ．80 C ．20 D ．45 11．(1－x )(1＋x )5展开式中x 2项的系数是( )A ．4B ．5C ．8D ．12 12.如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且四种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有( )A ．144种B ．216种C ．264种D ．360种 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答) 14．在(x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为________．15．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为________．16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有________种．参考答案1.答案 A解析 根据题意，若A 5m ＝2A 3m ，则有m (m －1)(m －2)(m －3)(m －4)＝2×m (m －1)(m －2)， 即(m －3)(m －4)＝2， 解得m ＝5. 2.答案 A解析 分两类：若小张或小赵入选，则有选法C 12C 12A 33＝24(种)；若小张、小赵都入选，则有选法A 22A 23＝12(种)，共有选法36种．3.答案 D解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有A 55种排法，再从5个节目的6个空中隔空插入两个不同的舞蹈节目有A 26种排法，∴共有A 55·A 26＝3 600(种)排法，故选D.4.答案 D解析 分两类：(1) 甲组中选出一名女生有C 15C 13C 26＝225(种)选法； (2)乙组中选出一名女生有C 25C 16C 12＝120(种)选法．共有345种选法．故选D.5.答案 A解析 方法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝14.故选A.方法二 从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种， 故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.故选A.6.答案 C解析 因为展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎫－2x 3k ＝(－2)k C k 5x 10－5k，令10－5k ＝0，解得k ＝2，所以⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为(－2)2C 25＝40，故选C. 7.答案 B解析 因为甲乙两种种子不能放入第1号瓶内，所以1号瓶要从另外的8种种子中选一个展出，有C 18种结果，因为后面的问题是从9种不同的作物种子中选出5种放入5个不同的瓶子中展出， 实际上是从9个元素中选5个排列，共有A 59种结果，根据分步乘法计数原理知共有C 18A 59种结果，故选B.8.答案 B解析 甲站好中间的位置，两名女生必须相邻，有四种选法，两个女生可以交换位置，剩下的四个男生站在剩下的四个位置，有4！种排法，所以2×4×4！＝192(种)．故选B. 9.答案 B解析 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.10.答案 A解析 原式可化为⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25，其展开式中可出现x 2项的只有C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 223与C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 421两项，所以其展开式中x 2项分别为C 35C 02x 2⎝⎛⎭⎫1x 023＝80x 2，C 15C 14x 3·⎝⎛⎭⎫1x 121＝40x 2，则x 2项为120x 2. 11.答案 B解析 (1－x )(1＋x )5＝(1－x )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其中可以出现x 2项的有1×10x 2和－x ×5x ，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x 2项的系数是10－5＝5， 故选B. 12.答案 B解析 由题意，4种颜色都用到，先给A ，B ，C 三点涂色，有A 34种涂法，再给D ，E ，F 涂色，因为D ，E ，F 中必有一点用到第4种颜色，有C 13种涂法，所以另外两点用到A ，B ，C 三点所用颜色中的两种，有C 23种涂法，由分步乘法计数原理得A 34C 13C 23＝216(种)．答案 3613.解析 可分两步解决．第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：①先选学习委员有4种选法，②选体育委员有3种选法． 由分步乘法计数原理可得， 不同的选法共有3×4×3＝36(种)． 14.答案 480解析 (x －2)5(2＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数为C 25·(－2)2·C 24·()22＝480. 15.答案 240解析 由已知得到2n ＝64，所以n ＝6，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6(－2)k x 12－3k， 令12－3k ＝0，得到k ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46(－2)4＝240.16.答案 10解析选择两门理科学科，一门文科学科，有C23C13＝9(种)；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．。

§10.2排列与组合1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示.3.排列数、组合数的公式及性质概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m＝A m n.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.(×).(√)(6)k C k n＝n C k－1n－1题组二教材改编2.[P27A组T7]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.[P19例4]用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有A 55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法； 第二类：乙在最左端，甲不在最右端， 有4A 44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法. 所以共有120＋96＝216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( ) A.180 B.240 C.540 D.630 答案 C解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540. 6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种.(用数字作答) 答案 45解析 设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).题型一 排列问题1.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A.96个 B.78个 C.72个 D.64个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言.3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法.答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法.方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法.思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二组合问题例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C36种选法；第二步，选2名女运动员，有C24种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法.(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种).方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种).(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C48；“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38，所以共有2C48＋C38＝196(种)选法.方法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种.所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种).(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有(C48－C45)种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)方法一(间接法)选取3种商品的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.方法二(直接法)选取0种假货有C320种，选取1种假货有C115C220种，选取2种假货有C215C120种，因此共有选取方式C320＋C215C120＋C115C220＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()A.2B.9C.72D.36答案 C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，3名女生排在一起有A33种排法，3名男生排在一起有A33种排法，故排法种数为A22A33A33＝72.命题点2相间问题例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案 B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例4 (2018·浙江省金华名校统练)某公司安排五名大学生从事A，B，C，D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A项工作仅安排一人，甲同学不能从事B项工作，则不同的分配方案的种数为()A.96B.120C.132D.240答案 C解析当甲选A时，共有C24C13A22＝36(种)分配方案；当甲不选A时，若B安排两人，共有C14C23A22＝24(种)分配方案，若C或D安排两人，共有C14C13C23A22＝72(种)分配方案.所以一共有36＋24＋72＝132(种)分配方案.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法.于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法.(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法.有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法.由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A.360种B.480种C.600种D.720种答案 C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600种，故选C.2.(2018·浙江省十校联盟高考适应性考试)某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将4名志愿者分配到主会场附近的3个路口维持交通，每个路口至少安排1名志愿者，则不同的分配方案种数为()A.12B.36C.72D.108答案 B解析由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从4名志愿者中选出2名志愿者作为一组，其余2名志愿者各自为一组，共有C24种选法；第二步，将上述三组与3个路口对应，共有A33种分配方案.故不同的分配方案种数为C24A33＝36.故选B. 3.(2018·浙江省镇海中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有()A.18种B.12种C.36种D.24种答案 D解析①甲单独一人时，则甲只能去B，C两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有C12C23A22＝12(种)；②甲与另外一人为一组，去B，C两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有C13C12A22＝12(种).由分类加法计数原理可得总的方案为24种，故选D.4.(2018·杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共10张，其中黑色卡片3张.已知从盒中任意摸出2张卡片，摸出的2张卡片中至少有1张是白色的情况有35种，则盒中红色卡片的张数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析设盒中白色卡片有x张，则C210－C210－x＝35，∴x2－19x＋70＝0，∴x＝5或x＝14(舍去)，∴红色卡片的张数为10－3－5＝2.故选B.5.(2019·台州质检)有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432答案 D解析第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有C13C13A22＝18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有A44＝24(种)排法，根据分步乘法计数原理得排法共有18×24＝432(种)，故选D.6.(2018·浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、“三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018年有3所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收24名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是()A.252B.253C.222D.223答案 C解析采用隔板法，在24名学生排列所形成的23个间隔中，任插入2个隔板，分成三组，共有C223＝253种，其中三组人数都相同的情况是(8，8，8)，1种；有两组人数相同的人数组合情况是(1，1，22)，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两组人数相同的情况共有10×3＝30种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有253－1－30＝222种.故选C.7.(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个).含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个).综上，四位数的个数为720＋540＝1 260.8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种.(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法.总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种).9.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C16A22＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C15A22＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).10.用数字0，1，2，3，4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个. 答案 240解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从1，2，3，4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 35＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个).11.(2018·温州普通高中高考适应性测试)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有______种情况. 答案 336解析 当语文和数学都安排在上午时，不同的功课安排有A 22A 34种情况；当语文和数学有一科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功课安排有C 24C 12A 33C 12A 22种情况，所以不同的功课安排一共有A 22A 34＋C 24C 12A 33C 12A 22＝336(种)情况.12.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)， 故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).13.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( ) A.120 B.240 C.360 D.480 答案 C解析 前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 14C 13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 25种方法；若相邻，有C 15A 22种，故共有C 14C 13(A 25＋C 15A 22)＝360(种)，故选C.14.设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1，2，3，…，9}.①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………119；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a >b ，必须满足b <a <2b ，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况.同时，每个数组(a ，b )中的两个数字填上三个数位，有C 23种情况，故n 2＝C 23(2C 29－20)＝156.综上，n ＝n 1＋n 2＝165.15.设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5，6，7}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋…＋|x 7|≤4”的元素个数为( ) A.938 B.900 C.1 200 D.1 300 答案 A解析 A 中元素为有序数组(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C 17×2＋C 27×22＋C 37×23＋C 47×24＝938(个).16.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法(用数字回答). 答案 408解析 不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有A 44种排法，再将2个红色球(排一起)和黄色球插入5个空隙中，有A 25种排法，即此时排法共有A 44A 25＝480(种)，而最左边排白色球的排法共有A 33A 24＝72(种)，故符合条件的排法共有480－72＝408(种).。

乐山市2020届初中学业水平考试生物一、选择题(共60分，每小题3分)19．下列描述中，不属于生物与环境关系的是A．雨露滋润禾苗壮B．风吹草低见牛羊C．大树底下好乘凉D．葵花朵朵向太阳20．生态系统物质循环和能量流动的渠道是A．食物链B．食物网C．消费者D．A和B21．显微镜是人类探索微观世界不可缺少的工具。

下列关于显微镜的使用正确的是A．当环境光线较暗时，用反光镜的凸面镜B．对光完成时，应观察到明亮圆形的视野C．在下降镜筒过程中，眼睛应该看着目镜D．清洁收镜时，使用纱布擦拭物镜、目镜22．细胞是生物体结构和功能的基本单位，细胞的生活依靠细胞各结构的分工合作。

下列细胞结构与功能的关系，错误的是A．细胞膜——控制物质进出B．线粒体一一能量转换器C．细胞壁一一控制物质进出D．叶绿体——能量转换器23．花、果实和种子是绿色开花植物的生殖器官。

开花、传粉后结出果实，下列花与果实各部分的对应关系，正确的是A．子房——果实B．受精卵——种子C．胚珠——胚D．子房壁——种皮24．有人说“包括人类在内的其他生物是‘攀附’着植物的茎蔓才站在这个星球上的。

”这句话道出了绿色植物光合作用的重要意义。

下列关于光合作用的意义说法错误的是A．为动物和人类提供食物B．为自身生活提供有机物C．为自身生活提供无机盐D．为动物和人类提供能量25．呼吸作用是生物的共同特征，下列说法正确的是A．发生的主要部位是叶绿体B．意义是为自身生命活动提供能量C．所需原料是二氧化碳和水D．适当提高温度可以降低呼吸作用26．关于光合作用和呼吸作用及它们在农业生产上的运用，下列说法错误的是A．通过合理密植可达到提高产量的目的B．适时松土有利于根细胞呼吸作用的正常进行C．白天，在温室大棚中增加二氧化碳浓度可提高产量D．农作物在白天只进行光合作用，保证了有机物的生产27．生活存中原地区的人，进入高原一段时间后，血液中的一种成分会显著增加，这种成分是A．血浆B．血小板C．红细胞D．白细胞28．下判说法中错误的是A．白细胞有吞噬消灭病菌，促进止血和加速血液凝固的作用B．输液时，刺入的手背上的“青筋”，就是分布较浅的静脉C．臀部肌肉注射的青霉素，最先到达心脏四个腔中的右心房D．某A型血的人因大量失血需输血，应输入A型血最为安全29．眼球里有一个能折射光线的结构，它能灵敏调节曲度使人可看清远近不同的物体。

姓名，年级：时间：§10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情考向分析理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理。

以理解和应用两个基本原理为主,常以实际问题为载体，突出分类讨论思想,注重分析问题、解决问题能力的考查,常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以选择、填空题的形式出现。

1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.2。

分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3。

分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.概念方法微思考1.在解题过程中如何判定是用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事,应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理.2。

两种原理解题策略有哪些？提示①分清要完成的事情是什么;②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系;③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。

（×）(2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事。

( √）(3）在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.（√）(4）如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i(i＝1，2，3,…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n种方法。

浙江大学附中2020届高三数学一轮复习单元训练：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设m ∈N*，且m ＜25，则(25－m)(26－m)…(30－m)等于( )A ．625m A -B ．2530m m A --C ．630m A -D ．530m A -【答案】C2．把10)x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．135-C ．-D ．【答案】D3．球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余无三点共一个大圆，也无两点与球心共线，那么经过球心与球面上的任意两点可作球的大圆有( )A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个【答案】B4．西大附中数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的1、2、3三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种【答案】B5．6位好朋友在一次元旦聚会中进行礼品交换，任意两位朋友之间最多交换一次，进行交换的两位朋友互赠一份礼品，已知这6位好朋友之间共进行了13次互换，则收到4份礼品的同学人数为( )A ．1或4B ．2或4C ．2或3D ．1或3【答案】B6．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋bi ，其中虚数有( )A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个【答案】C7．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60B ．20种C ．10种D ．8种【答案】C8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T n n +⋯++=21，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2020，那么数列8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为( )A ．2020B ．2020C ．2020D ．2020【答案】A9．现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有108种不同方案，那么男、女生人数分别是( )A ．男生4人，女生3人B ．男生3人，女生4人C ．男生2人，女生5人D ．男生5人，女生2人.【答案】B10．某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外参观，若这20名学生按性别分层抽样产生，则参观团的组成法共有( )A ．824C 1236C 种B ．81224.36AC 种 C ．10102436C C 种D ．2060C 种 【答案】A11．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A ．1260B ．120C ．240D ．720【答案】D12．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )A ．24种B ．36种C ．42种D ．60种【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．n x )1(+的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是________．【答案】2114．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，赠送给5位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 种.【答案】1015．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有 种(用数字作答)。