2012新课标高考数学预测卷(3)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷3）数学（文科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R π，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.在复平面内，复数2)1(i -对应的点位于A ．一、三象限的角平分线上B ．二、四象限的角平分线上C ．实轴上D ．虚轴上 2.设全集U=I ，}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ，则右图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤3.已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz = A ．—4B ．±4C ．22-D ．22±4.已知),0(,,+∞∈c b a ，023=+-c b a ，则bac的 A ．最大值是3 B ．最小值是3 C ．最大值是33 D ．最小值是3 5.一个简单多面体的三视图如图所示，其主视图与左视图是边长为 2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其体积是 A ．324 B ．334 C.38 D.346.在ABC ∆中，若2sinsin CA B +=，则=B sin （ ） A ．23 B ．22 C.21 D.1 俯视图图1乙甲75187362479543685343217.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．62 B ．63 C ．64 D ．658.在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos=，)27cos 2,63cos 2(=，则ABC ∆的面积等于 A ．22 B ．42 C ．23 D ．29.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；B ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”；C ．在ABC ∆中，“B A >”是“B A 22cos cos <”的充要条件； D ．“2x ≠或1y ≠”是“3x y +≠”的非充分非必要条件.10. 已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是A.(,5][5,)-∞-+∞B. (,25][25,)-∞-+∞C.[25,25]-D.[5,5]- 11.如图，已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为40°，侧棱长为a ， 动点E 、F 分别在侧棱AC 、AD 上，则以线段BE 、EF 、FB 长度和 的最小值为半径的球的体积为 A ．334a π B ．3332a π C ．334a πD ．34a π12.若],2,2[ππβα-∈、且0sin sin >-ββαα，则下面结论正确的是 A.βα> B.0>+βα C.βα< D.22βα>第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷四数学答案适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何概率统计本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{1,0,1},{cos,},（）|则A B==-==∈A B y y x x AA.{0}B.{1}C.{0,1}D.{}-1,0,13. [2011²浙江卷]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．（理）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5（文）[2011²安徽合肥质检]{1,2,3}A =,2{|0,,}B x x ax b a A b A =∈-+=∈∈R ,则A B B = 的概率是（ ）A.29B.13C.89D. 15．[2011²浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos （π4＋α）＝13，cos （π4－β2）＝33，则cos （α＋β2( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－696．[2011²四川卷] 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12 D.237．（理）设[](]2,0,1,()1,1,e x x f x x x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则e 0()d f x x ⎰的值为( )A ．43B ．54C ．65D ．67（文）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：表1 市场供给表 表2 市场需求表根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）大约为（ ） A ．2.3元 B ．2.5元 C ．2.7元 D ．2.9元8．[2011²课标全国卷] 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )单价（元/kg ） 24.2 8.22.3 6.3 4供给量(1000/kg)5060 70 75 8090单价（元/kg ） 4 4.39.26.2 3.2 2需求量（1000/kg ）5060 65707580A. 2B. 3 C ．2 D ．39．已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1610．[2011²浙江卷] 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．1911．[2011²课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．（理）[2011²天津卷] 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． （文）[2011²江苏苏州调研]已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 .14．[2011²安徽“江南十校”联考 ]设F 1、F 2分别是椭圆2212516xy+=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |＋|PF 1|的最大值为 .15．[2011²课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．A 1C 1C16．[2011²山东卷] 设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. （本小题满分12分）[2011²安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ²tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 18.（本小题满分12分）（理）如图所示，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 为AB 的中点, (１)若F 为1A A 的中点，求证: E F ∥面11D D C C ； （2）若F 为1A A 的中点,求二面角1A EC D --的余弦值；(3)若F 在1A A 上运动时（F 与A 、1A 不重合），求当半平面1D E F 与半平面A D E 成π4的角时，线段1A F FA 与的比.(文)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P A B C D -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥面,点E 是PD 的中点． （1）求证：A C P B ⊥; （2）求证：PB AEC 面.19. （本小题满分12分）（理）[2011²课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t ＜94，2，94≤t ＜102，4，t ≥102.从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)（文）[2011²福建福州质检] “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏， “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．（1）写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果； （2）求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率． 20.（本小题满分12分）[2011²浙江衢州质检]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*cos()2()n n n b a n n π=+∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.21．（本小题满分12分）[2011²北京卷] 已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 22.（本小题满分14分） 已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，其导函数()f x '的图象过原点.(1)当1a =时，求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程； (2)若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值； (3)当0a >时，确定函数()f x 的零点个数.试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷四数 学1.【答案】B【解析】当x =-1,0,1时集合B 的元素y 对应取值为：cos （-1），1，cos1，故A ∩B ={1}. 2.【答案】C【解析】因为S △ABE ＝12|AB |²|BC |，S 矩形＝|AB |²|BC |，则点Q 取自△ABE 内部的概率p ＝S △ABE S 矩形＝12，故选C.3.【答案】D【解析】由正视图可排除A 、B 选项，由俯视图可排除C 选项． 4.（理）【答案】B【解析】由于2521031551C ()(1)C (),1034,2,rr rr r rr T x x r r x --+⎛⎫==--=∴= ⎪⎝⎭对于 则4x 的项的系数是225C (1)10-=.（文）【答案】C【解析】有序实数对(),a b 的取值情形共有9种，满足A B B = 的情形有： （1）()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3，此时B =∅； （2）()2,1，此时{}1B =; （3)()3,2，此时{}1,2B =. 所以A B B = 的概率为8.9P =5. 【答案】 C【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13³33＋223³63＝5396. 【答案】B【解析】根据样本中的频率分布可得：数据落在[31.5,43.5)的概率约是12＋7＋366＝2266＝13. 7.（理）【答案】A【解析】e1e231e 011114()d d d ln .33f x x x x x xxx=+=+=⎰⎰⎰(文)【答案】C【解析】比较两个表格易得选项C 正确. 8. 【答案】B【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则||AB ＝2b 2a＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝1＋b 2a2＝ 3.9. 【答案】C【解析】31174a a a =，可知a 7=4，5977228.b b b a +=== 10. 【答案】B【解析】可行域如图所示：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋4y 过点(4,1)时，有最小值16. 11.【答案】A【解析】甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为39＝13.12.【答案】B【解析】以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则O 点坐标为（1，1），(0,2)B ，(2,0)C ，∵,AB m AM AC n AN ==，∴,AB AC AM AN m n = = ，∴2(0,)M m ，2(,0)N n， ∴直线MN 的方程为122nx m y +=，∵直线MN 过点O （1，1）, ∴1222m nm n +=⇒+=.∵m n +≥2()14m n m n +≤=，当且仅当1m n ==时取等号，∴mn 的最大值为1. 13. （理）【答案】12【解析】设抽取男运动员人数为n ，则n 48＝2148＋36，解之得n ＝12.（文）【答案】 58【解析】“在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ”的基本事件总数为328=，事件“以,,a b c 为边不能构成三角形”分别为()()()2,2,5,2,5,2,5,2,2,所以351.88P =-=14. 【答案】15【解析】|PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－| PF 2|. 易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－| PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝1015+=.15. 【答案】【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 由正弦定理，有AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝3sin60°＝2，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.16. 【答案】(21)2nnx x -+【解析】观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n －1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，显然满足2n ，故f n (x )＝x2n －1x ＋2n.17.解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则T n ＝t 1²t 2²…²t n ＋1²t n ＋2，① T n ＝t n ＋2²t n ＋1²…²t 2²t 1，②①³②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)²(t 2t n ＋1)²…²(t n ＋1t 2)²(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)²tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan k ＋1－tan k1＋tan k ＋1²tan k，得tan(k ＋1)²tan k ＝tan k ＋1－tan ktan1－1.所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)²tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎡⎦⎤tan k ＋1－tan k tan1－1 ＝tan n ＋3－tan3tan1n .18. (理)解：（1）证明：连结1A B ,∵E 为AB 的中点，F 为1A A 的中点， 1.EF A B ∴又11111,,A B D C EF D C EF D D C C ∴∴面 .(2)设二面角1A EC D --的大小为θ，正方体的棱长为2，由（1）知1,,,F D C E 四点共面，且四边形1E F D C 为等腰梯形.又119222EFD C S =⨯=梯形，12332A D C E S =⨯⨯=梯形，∴ 132cos 932AD C E EFD CS S θ===梯形梯形， ∴ 二面角1A EC D --的余弦值为23．（3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，()20<<=x x AF ，则 ()()()()()10,0,0,2,0,0,2,1,0,0,0,2,2,0,D A E D F x.∴11πcos 4D D D D ⋅===⋅n n ，解得45x =，即1446,2555F A A F ==-=，∴ 线段1A F FA 与的比为32．（文）证明：（1）ABCD AC ABCD PA 面面⊂⊥, ，∴AC PA ⊥.又,,AB AC PA AB A ⊥= PAB AB PAB PA A AC PA AC AB 面面⊂⊂=⋂⊥,,, ， ∴PAB AC 面⊥，∴PB AC ⊥ .（2）连结BD 交AC 于点O ，并连结EO ， 四边形ABCD 为平行四边形, ∴O 为BD 的中点 . 又E 为PD 的中点 , ∴在△PD B 中,EO 为中位线，PB EO // . AEC EO AEC PB 面面⊂⊄, ,∴AEC PB 面//.19. (理）解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42. (2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为X 的数学期望EX （文）解：（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．（2）由（1）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率6293P ==.20．解：(1)设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()1117,1029100,2a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得119,2,a d =⎧⎨=-⎩19(1)(2)212.n a n n ∴=+-⨯-=-（2）cos(π)2(1)2,n n n n n n b a n a =+=-+当n 为偶数时，()()()2312123(2)222n n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅++()1212(2)22;212nn n n +-=-⨯+=---当n 为奇数时，()()()2312123(2)222n n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅+-+()()()111231212119222222.122nn n n n n a a a a a n ++---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⨯+-=+--()()1122,222.n n n n n T n n ++⎧--⎪∴=⎨+-⎪⎩当为偶数当为奇数 21．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1. 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可知|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1，所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2⎣⎡⎦⎤64k 4m21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝ 3. 所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)． 因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2.所以|AB |的最大值为2.22．解：(１)因为2()(1)f x x a x b '=-++，由已知，(0)0f '=，则0b =.所以()(1)f x x x a '=--. 当1a =时，321()13f x x x =-+，()(2)f x x x '=-，则(3)1f =，(3)3f '=.故函数()f x 的图象在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-，即380x y --=. (２) 由()9f x '=-，得(1)9x x a --=-.当0x <时，991()()6a x x xx--=--=-+-≥=，所以7a ≤-.当且仅当3x =-时，7.a =-故a 的最大值为7-. （３) 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：因为()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值3321111(1)(1)[3()]06624f a a a a a +=-+=-+-+<，因为213()[(1)]32f x x x a a =-++，则3((1))02f a a +=>.又14(2)03f a -=--<.所以函数()f x 在区间3(2,0),(0,1),(1,(1))2a a a -+++内各有一个零点.故函数()f x 共有三个零点.。

试卷类型：B2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三数 学答案适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 、立体几何、解析几何本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. [2011·安徽 “江南十校”联考]设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q =，则P Q =（ ）A ．{}3,0B ．{}3,0,1C ．{}3,0,2D ．{}3,0,1,22. [2011·辽宁锦州模拟]“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件3．[2011·安徽卷] 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 24．定义：|×|=||||sin θa b a b ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若||2=a ，||5=b ，6=-a b ，则⨯a b 等于（ ）A ．8-B ．8C ．8-或8D ．6 5．[2011·安徽皖北大联考]已知数列{n a }满足11a =，且111()(233n n n a a n -=+≥，且),n ∈*N 则数列{n a }的通项公式为（ ）A.n a =32n n +B. n a =23nn + C. n a =2n + D. n a =(2)3nn + 6．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A.3πa 2 B. 6πa 2 C.12πa 2 D. 24πa 27．圆心在曲线y =x3(x >０)上，且与直线3x +4y +3=0相切的面积最小的圆的方程为（ ） A ．(x -1)2+(y -3)2=218()5 B ．(x -3)2+(y -1)2=(516)2C ．(x -2)2+(y -23)2=9 D ．(x-3)2+(y -3)2=98．[2011·陕西卷] 设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝1i x x x ⎧⎫-<∈⎨⎬⎩⎭R 为虚数单位，，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]9．[2011·辽宁锦州模拟]满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则n 最小为下列何值时S n >1025（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1210．[2011·浙江卷] 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝212．[2011·天津卷] 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞俯视图左视图主视图第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．[2011·福建福州质检]四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD中的投影恰好是A ，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 . 14．[2011·皖南八校二模]若直线y x m =-与圆22(2)1x y -+=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围为 ．15．[2011·课标全国卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．16．[2011·安徽卷] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0； ②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z); ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）[2011·福建福州质检]等差数列{}n a 中，已知12,341==a a ， （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式 及前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知A ,B ,C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m (22sin ,cos sin )A A A =-+,n (1sin ,cos sin )A A A =+-，且⊥m n ．（１）求A 的大小； （２）求2π2sin cos 23y B B ⎛⎫=+-⎪⎝⎭取最大值时角B 的大小． 19.（本小题满分12分）（理）．[2011·福建福州质检]如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE //CF ，BC ⊥CF,AD =EF =2，BE =3，CF =4.(１)求证：EF ⊥平面DCE ；(２)当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为60°．20．（本小题满分12分）（理）[2011·山东青岛一模]已知数列{}n b 满足11124n n b b +=+，且172b =，n T 为{}n b 的前n 项和. (１)求证：数列1{}2n b -是等比数列，并求{}n b 的通项公式；(２)如果对任意*n ∈N ，不等式1227122nkn n T ?+-恒成立，求实数k 的取值范围.（文）[2011·山东青岛一模]数列}{n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点1(,)n n S a +在直线21y x =+上, *n ∈N ．(１)当实数t 为何值时,数列}{n a 是等比数列？(２)在(１)的结论下,设31log n n b a +=,nT 是数列11{}n n b b +⋅的前n 项和,求2011T 的值．21.（理）（本小题满分12分）已知可行域0,20,0,y x y ≥⎧⎪+≥⎨+-的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率e =（1）求圆C 及椭圆C 1的方程；（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交直线x =Q ，判断直线P Q 与圆C 的位置关系，并给出证明． (文)已知圆C 的圆心为(,0),3<C m m ，半径为5，圆C 与椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 有一个公共点A (3,1)，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点． （1）求圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程;若不能，请说明理由． 22．（本小题满分14分）（理）[2011·锦州模拟]已知函数32()(,0)f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ，2-是)(x f 的一个零点，又)(x f 在0=x 处有极值，在区间)4,6(--和)0,2(-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反． （１）求ab的取值范围； （２）当a b 3=时，求使{}23),(|≤≤-=x x f y y []2,3-⊆成立的实数a 的取值范围． （文）[2011·东北三省四市质检]设a 为实数，函数()e 22,.xf x x a x =-+∈R （１）求()f x 的单调区间与极值；（２）求证：当ln 21a >-且0x >时，2e 2 1.xx ax >-+试卷类型：B2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三参考答案数 学1. 【答案】B ．【解析】由{}0P Q =,得2log 0a =，∴1a =，从而=0b ，{}3,0,1P Q =，故选B.2. 【答案】A【解析】函数y =cos 2ax －sin 2ax ax 2cos =的最小正周期为π11-==⇔a a 或，所以“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选Ａ． 3. 【答案】C【解析】双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.4. 【答案】B【解析】因为6=-a b ，可知[]34cos ,0,π,sin 55θθθ=-∈=所以，故|×|=||||sin θa b a b =42585⨯⨯=. 5. 【答案】B【解析】根据递推公式可知249a =，3527a =，可知选B. 6．【答案】B【解析】根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2=6πS a 球．7.【答案】C【解析】设圆心坐标为3(,)a a(0a >),由直线与圆相切的性质容易得出所求圆的方程为(x -2)2+(y -23)2=9 ,故选C. 8. 【答案】C【解析】对于M ，由二倍角公式得y ＝|cos 2x －sin 2x |＝cos 2x ，故0≤y ≤1.对于N ，因为x －1i ＝x ＋i ，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，得x 2＋1<2，所以－1<x <1，故M ∩N ＝[0,1)，故答案为C.9. 【答案】C【解析】121221222log log 1log log 1log log 2n n n n n na a a a a a +++=+⇔-=⇔= 12n n a a +⇔=，所以数列{}n a 是等比数列，因此1(12)2112n n n S -==--，所以102521026nn S >⇔>，即10n >，所以n 的最小值是11，故选Ｃ．10. 【答案】C【解析】由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点， ∴椭圆方程可化为b 2x 2＋()b 2＋5y 2＝()b 2＋5b 2，联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝()b 2＋5b 25b 2＋20.又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2()b 2＋5b 25b 2＋20＝2a 3，解之得b 2＝12.11.【答案】C 12. 【答案】B【解析】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如下图.∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.13. 【答案】6【解析】四棱锥为一侧棱垂直底面且底面为正方形的四棱锥，可知互相垂直的异面直线有6对.14. 【答案】(2+【解析】圆心到直线的距离122d m =<⇒<<+15. 【答案】-6【解析】作出可行域如图阴影部分所示， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9 解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.16. 【答案】 ①③【解析】f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1. 故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.对于①，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确；对于②，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故②错误；对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．故⑤错．17．解：（１）设数列{}n a 的公差为d ，由已知有113,312,a a d =⎧⎨+=⎩ 解得3=d ，()n n a n 3313=-+=∴ ．（２）由（１）得,12,642==a a 则12,621==b b ，设{}n b 的公比为,q 则212==b b q ，从而n n n b 23261⋅=⋅=- ， 所以数列{}n b 的前n 项和()()61262112n n n S -==--．18．解：（１）⊥m n ，∴(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0A A A A A A -+++-=2222(1sin )sin cos A A A ⇒-=-（２）∵△ABC 是锐角三角形，且3A π=，62B ππ∴<<．2212sin cos(2)1cos 2cos 22322y B B B B B π∴=+-=--+ 32cos 21)1223B B B π=-+=-+ ． 当y 取最大值时，232B ππ-=即512B π=． AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角．在Rt △CEF 中，因为EF =2，CF =4，EC =∴∠CFE =60°，由BE ∥CF ，得∠BEH =60°.又在Rt △BHE 中，BE =3， ∴sin 2BH BE BEH =⋅∠=．由二面角A-EF-C 的平面角∠AHB =60°，在Rt △AHB 中，解得9tan 2AB BH AHB =⋅∠=， 所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°． 方法二：（１）同解法一（２）如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ．设AB=a （a >0），则C (0,0,0)，A a )，B 0，0），E ， 3，0），F （0，4，0）．从而(3,1,0),(0,3,),EF AE a =-=-设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0EF AE ⋅=⋅=n n 得，0,30,y y az ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩取x =1，则y z a ==，即a =n . 不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)BA a =， 由条件，得1|cos ,|2||||BA BA BA a ⋅〈〉===n n n ，解得92a =．所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°． （文）解：（１）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥．由已知可得1DE EC ==， 在Rt △DEC 中，2CD ==．（２）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：①当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，， 所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥． ②当D 不在平面ABC 内时，由（１）知AB DE ⊥． 又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ， 由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥．20．（理）解： (１) 对任意*n ∈N ,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=-， 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12，所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+． (２) 因为1113()22n n b -=⨯+， 所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-．由不等式1227122n k n n T ≥-+-，化简得272n n k -≥对任意n *∈N 恒成立． 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n n n n n n n nc c ++++----=-=． 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列.又45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332，所以, 要使272n n k -≥对任意n *∈N 恒成立，则332k ≥．（文）解： (１)由题意得121n n a S +=+，121n n a S -=+(2)n ≥ ，两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，所以当2≥n 时，}{n a 是等比数列，要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需31212=+=t t a a ，从而1=t ．(２)由(１)得知13n n a -=，31log n n b a n +==，11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++ ， 201112201120121111111(1)()()22320112012T b b b b =+⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-20112012=.21．解：（1）由题意可知可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点M 为顶点的三角形，12,A M A M ⊥∴△12A A M 为直角三角形，∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段12A A 为直径，故其方程为224x y +=，24, 2.a a =∴=又2e c b =∴==可得， ∴所求椭圆1C 的方程是22142x y +=． （2）直线PQ 与圆C 相切，设2200000(,)(2),4.P x y x y x ≠±=-则当0x =1,;OP PQ P Q k k OP PQ =-∴⊥当0x ≠,00,PF OQ x k k y =∴=∴直线OQ的方程为00x y x y =-．因此，点Q的坐标为004)y --．∵00004,PQ y xk y ---====-∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时，0OP y k x =，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切． (文)解：（1）由已知可设圆C 的方程为)3(5)(22<=+-m y m x ． 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得51)3(2=+-m ， 即4)3(2=-m ，解得51==m m ，或．∵3<m ，∴1=m ，∴圆C 的方程为5)1(22=+-y x ． （2）直线1PF 能与圆C 相切.依题意，设直线1PF 的方程为4)4(+-=x k y ，即044=+--k y kx . 若直线1PF 与圆C 相切，则514402=++--k k k ，∴0112442=+-k k ，解得21211==k k ，或.当211=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为1136，不合题意，舍去； 当21=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为4-，∴)0,4()0,4(421F F c ，，-=， ∴由椭圆的定义得262251)43(1)43(2222221=+=+-+++=+=AF AF a ，∴23=a ，即182=a ， ∴2222=-=c a b ，直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为042=+-y x ，椭圆E 的方程为121822=+y x ． 22．（理）解：（１）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++．又()f x 在0x =处有极值，所以(0)0f '=即0c =，所以2()32f x ax bx '=+ . 令()0f x '=，所以0x =或23b x a=-． 又因为()f x 在区间(6,4),(2,0)---上单调且单调性相反， 所以2423b a -≤-≤-所以36ba≤≤． （２）因为3b a =，且2-是32()3f x ax ax d =++的一个零点，所以(2)8120f a a d -=-++=，所以4d a =-，从而32()34f x ax ax a =+-， 所以2()36f x ax ax '=+，令()0f x '=，所以0x =或2x =-．所以当0a >时，若32x -≤≤，则4()16a f x a -≤≤． 当0a <时，若32x -≤≤，则16()4a f x a ≤≤-.从而0,162,43,a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩或0,163,42,a a a <⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩即108a <≤或3016a -≤< 所以存在实数3100168a ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，，满足题目要求． (文)（１）解：由()e 22,xf x x a x =-+∈R 知，'()e 2,xf x x =-∈R ． 令''故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞．()f x 在ln 2x =处取得极小值，极小值为(ln 2)22ln 22f a =-+．（２）证明：设2()e 21,xg x x ax x =-+-∈R ，于是()e 22,xg x x a x '=-+∈R ．由（1）知，对任意x ∈R ,都有'()0g x >，所以()g x 在R 内单调递增． 于是，当ln21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >，而(0)0g = ， 从而对任意(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2e 210,xx ax -+->故2e 2 1.x x ax >-+。

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．。

2012年江苏省高三数学预测卷及答案◎试卷使用说明1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。

2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。

3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。

4、此试卷不含理科加试内容。

江苏省2012届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复数在复平面上对应的点在第象限．2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．3．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为．（第4题）．5．集合若则．6．阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是．7．向量，=．8．方程有个不同的实数根．9．设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是．10．过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为．11．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是．12．如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是．13．已知实数满足，则的最大值为．14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的值,如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．1.四2.63.4.5.{2,3,4}6.50497.8.29.10.11.12.13.414.二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.解：（1）由已知可得.所以.………………2分因为在中，，所以.………………………………4分（2）因为，所以.………………………………6分因为是锐角三角形，所以，.………………8分所以.11分由正弦定理可得：，所以.…………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.16.(1)证明：因为平面，所以.……………………2分因为是正方形，所以，因为………………4分从而平面.……………………6分（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM ＝BD时，AM∥平面BEF．…………7分取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，故四边形AMNF是平行四边形．……………………………………10分所以AM∥FN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，…………………………………………12分所以AM∥平面BEF．…………………………………………14分17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）∴，（4分）即．（5分）∴椭圆C的方程为．（6分）⑵F（1，0），右准线为l：，设，则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）∴直线MN的斜率为．（12分）∵MN⊥ON，∴，∴，∴，即．（13分）∴为定值．（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有，又，所以为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．解：（1）设，则．（2分）在Rt△MB中，，（4分）∴．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，∴．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）,（9分）＝．（10分）令＝＝．（13分）∵，∴．（14分）当且仅当，时，有最大值，（15分）∴时，有最小值．（16分）19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有，求出相应的值；如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.解：（1）如果为偶函数，则恒成立，（1分）即：（2分）由不恒成立，得（3分）如果为奇函数，则恒成立，（4分）即：（5分）由恒成立，得（6分）（2），∴当时,显然在R上为增函数；（8分）当时，，由得得得.（9分）∴当时,,为减函数;（10分）当时,,为增函数.（11分）(3)当时，如果，（13分）则∴函数有对称中心（14分）如果（15分）则∴函数有对称轴.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．（1分）n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．（3分）则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．（4分）∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，，不合题意，舍去.∴当且仅当时，数列为等差数列（5分）（2）＝a1＋2(n－1)]－a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．＝a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．（8分）∴（9分）．（10分）＝．（11分）∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．（13分）且＞－1．（14分）又∵r＞c＞4，∴，则0＜．．∴＜1．．∴＜1．（15分）∴对于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）。

试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三数 学答案适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 、立体几何、解析几何本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2.（理）若21π02sin d ,cos d ,a x x b x x ==⎰⎰则a 与b 的关系是（ ）A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a （文） “a b c d >>且”是“a c b d +>+”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3．[2011·皖南八校二模]已知向量a =(3,4),b =(2,－1)，如果向量λ+a b 与b 垂直，则λ的值为（ ）A ．52B ．52-C ．25D ．25-4．[2011·陕西卷] 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x5．[2011·浙江卷] 下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．[2011·皖南八校二模]已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a -<< B ．36a a <->或 C ．36a -<< D ．12a a <->或A ．6 3B ．9 3C ．12 3D ．18 38．[2011·山东潍坊质检]已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 （ ）A. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若n ∀∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列9．[2011·安徽卷] 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A. ⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B. ⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C. ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D. ⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 10．[2011·课标全国卷] 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3； p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 411．[2011·山东济南调研]已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若△2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)3,1(B ．)22,3(C ．),21(+∞+D ．)21,1(+12．[2011·福建四地六校联考]已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题：①m l ⊥⇒βα//;②m l //⇒⊥βα;③βα⊥⇒m l //；④.//βα⇒⊥m l 其中正确的两个命题是（ ）A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．[2011·苏、锡、常、镇四市调研]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2288kx ky -=的渐近线方程为 . 14．[2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m 3.15．[2011·辽宁锦州月考]已知直线220:1ax by c O x y ++=+=与圆相交于A ，B 两点，且||AB =则OA OB ⋅= .16. [2011·安徽淮南一模]若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是a a n n ⋅-=+2010)1(，2011(1)2n n b n+-=+，且n n b a <对任意n *∈N 恒成立，则常数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（本小题满分12分）[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．18.（本小题满分12分）如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，.OP x OA y OB =⋅+⋅（1）若BP PA =，求x ，y 的值；（2）若3B P P A =，||4OA =，||2OB =，且OA 与OB的夹角为60°时，求OP AB ⋅ 的值．20.（本小题满分12分） [2011·山东卷] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 21．(理)（本小题满分12分）[2011·天津宝坻区质检]设椭圆222:1(0)2x y C a a+=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，2120AF F F ⋅=，坐标原点O 到直线AF 1的距离为11||.3OF（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．（文）[2011·天津南开中学月考]已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3e =，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，P 为椭圆C 上的动点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA PB 与的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值； （3）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若(0)OPOMλλ=>，求点M 的轨迹方程． 22．（理）（本小题满分14分）[2011·山东淄博模拟]已知函数2()e 23xf x x x =+-． （1）求证函数)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e 2.7≈ 1.6≈，0.3e 1.3≈）（2）当12x ≥时，若关于x 的不等式25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，试求实数a 的取值范围.（文）[2011·山东淄博模拟]已知函数2()e 23xf x x x =+-．（1）求证：函数)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e 2.7≈ 1.6≈，0.3e 1.3≈）（2）当1x ≥时，若关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，试求实数a 的取值范围.试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三参考答案数 学1．【答案】Ｂ【解析】阴影部分表示的是B A ，{}{}03|0)3(|03|<<-=<+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+=x x x x x x x x A ，{}13|-<<-=x x B A ，故选Ｂ．2.（理）【答案】A 【解析】21π023ππsin d cos d cos 2sin1cossin 044a b x x x x -=-=--<--=⎰⎰，故选A. （文）【答案】A【解析】a b c d >>且根据不等式性质能够推出a c b d +>+，反之不成立，故选A. 3. 【答案】D【解析】()()()3,4,2,1,32,4,()0λλλλ-+-=，a =b =a +b =a +b b 即22(32)(4)0,5λλλ+--==-． 4. 【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p2＝－2，∴p＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x . 5. 【答案】D【解析】若面α⊥面β，在面α内与面β的交线不相交的直线平行于平面β，故A 正确；B 中若α内存在直线垂直平面β，则α⊥β，与题设矛盾，所以B 正确；由面面垂直的性质知选项C 正确．由A 正确可推出D 错误． 6. 【答案】Ｂ【解析】2()32(6)f x x ax a '=+++ ，因为函数有极大值和极小值，所以()0f x '=有两个不相等的实数根，所以判别式2443(6)0a a ∆=-⨯+>，解得3a <-或6a >． 7. 【答案】B【解析】由三视图知该几何体为棱柱，h ＝22－1＝3，S 底＝3×3，所以V ＝9 3. 8. 【答案】 A【解析】由n n c b 可知11n n a n a n ++=， 故32411231n n n a a a a a a a a a a -==12341231na n -1na =，即n ∀∈*N 如果//n n cb 成立，则数列{}n a 是等差数列． 9. 【答案】Ｃ【解析】对x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0.所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，答案为C.10. 【答案】A【解析】因为||a ＋b >1⇔||a 2＋2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b >－12⇔||a ||b cos θ＝cos θ>－12⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3，所以p 1为真命题，p 2为假命题． 又因为||a －b >1⇔||a 2－2a ·b ＋||b 2>1⇔a ·b <12⇔||a ||b cos θ＝cos θ<12⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以p 4为真命题，p 3为假命题． 11. 【答案】D【解析】22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222,,2,b b F A c F B c a a ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222240,210,11b F A F B c e e e a ⎛⎫⋅=->--<<< ⎪⎝⎭12．【答案】B【解析】②中l 和m 可以平行、异面、相交；④中l m ⊥推不出.αβ故选B ．13. 【答案】y =±【解析】由题知得其渐近线方程为2280x y -=即y =±.14. 【答案】6π+【解析】根据图中信息，可得该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，V ＝3×2×1＋13π×1×3＝6＋π. 15. 【答案】12-【解析】因为圆的半径是１，所以 1.OA OB ==又3,=120AB AOB =∠则，所以11cos 1122OA OB OA OB AOB ⎛⎫=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 16. 【答案】32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】17．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 18．解（1）∵BP PA =，∴BO OP PO OA +=+，即2OP OB OA =+，∴1122OP OA OB =+，即12x =，12y =．（2）∵3BP PA =， ∴33BO OP PO OA +=+，即43OP OB OA =+，∴3144OP OA OB =+， ∴34x =，14y =．31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=- 19.（理）解：（１）因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面P AD .故P A ⊥BD .(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，DA 、DB 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，可取m ＝(0，－1，－3)．cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.（文）解：（1）证明：取BC 的中点M ，连接,PM QM ，易证平面PQM ACD 平面.又,PQ PQM PQ ACD ⊂∴平面平面．（2）,,DC ABC AC DC AC BC AC BCDE ⊥⇒⊥⊥∴⊥平面又平面,-1433B ADE A BDE BDE S S S AC -∆∴==⋅=．20. 解：(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意． 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， 所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln2＋(n －1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln3.所以当n 为偶数时，S n ＝2·1－3n 1－3＋n2ln3＝3n ＋n2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln3 ＝3n －n －12ln3－ln2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n＋n2ln3－1，n 为偶数，3n－n －12ln3－ln2－1，n 为奇数.21. （理）解：（１）由题设知12(F F a >其中由于2120AF F F ⋅=，则有212AF F F ⊥，所以点A的坐标为2)a± ， 故1AF所在直线方程为1)y a=± ，所以坐标原点O 到直线1AF．又1OF =21a =-，解得2a =， 所求椭圆的方程为22142x y += ． （２）设直线斜率为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，则有(0,)M k ． 设11(,)Q x y ，由于Q 、F 、M 三点共线，且2MQ QF=，根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+,解得112,x y k =-⎧⎨=-⎩或112,3.3x k y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或222()()33142k-+= ， 解得0k =或4k =±，所以所求直线l 的斜率为0或4±． （文）解：(1)由题意可得,2=b又3c e a==即222.,a a b c ==+由得,1,3==c a所以椭圆方程为.12322=+y x(2)设),0)(,(000=/y y x P ),0,3(),0,3(B A -则,1232020=+y x 即,3222020x y -=则1k =2k =所以22200012222000222(3)233.3333x x y k k x x x--====---- 12k k ∴的值为2.3-(3)设(,)M x y ，其中.x ∈（ 由已知222||||λ=OM OP 及点P 在椭圆C 上可得,)(3632222222222λ=++=+-+y x x yx x x 整理得,63)13(2222=+-y x λλ其中.x ∈（ 22.（理）解：（１）()e 43xf x x '=+-，∵ 0(0)e 320f '=-=-<，(1)e 10f '=+>，∴ (0)(1)0f f ''⋅<．令 ()()e 43xh x f x x '==+-，则()e 40xh x '=+>，∴ ()f x '在区间[0,1]上单调递增，∴ ()f x '在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴ )(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． 取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：① (0.5)0.60f '≈>，而(0)0f '<，∴ 极值点所在区间是[0,0.5]； ② 又(0.3)0.50f '≈-<，∴ 极值点所在区间是[0.3,0.5]；③ ∵ |0.50.3|0-=，∴ 区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求．（２）由25()(3)12f x x a x ≥+-+，得225e 23(3)12x x x x a x +-≥+-+， 即 21e 12x ax x ≤--．∵ 12x ≥， ∴ 21e 12x x a x--≤．令 21e 12()x x g x x--=， 则221e (1)12()x x x g x x --+'=． 令 21()e (1)12xx x x ϕ=--+，则()(e 1)x x x ϕ'=-．∵12x ≥，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1[,)2+∞上单调递增，∴17()()028x ϕϕ≥=>，因此()0g x '>，故()g x 在1[,)2+∞上单调递增，则121e 1198()()1242g x g --≥==，∴ a的取值范围是94a ≤．（文）解：（１）()e 43xf x x '=+-，∵ 0(0)e 320f '=-=-<，(1)e 10f '=+>，∴ (0)(1)0f f ''⋅<．令 ()()e 43xh x f x x '==+-，则()e 40xh x '=+>，∴ ()f x '在区间[0,1]上单调递增，∴ ()f x '在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴ )(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． 取区间[0,1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：① (0.5)0.60f '≈>，而(0)0f '<，∴ 极值点所在区间是[0,0.5]； ② 又(0.3)0.50f '≈-<，∴ 极值点所在区间是[0.3,0.5]；③ ∵ |0.50.3|0-=，∴ 区间[0.3,0.5]内任意一点即为所求．（２）由()f x ax ≥，得2e 23xax x x ≤+-，∵ 1x ≥， ∴ 2e 23x x x a x +-≤，令 2e 23()x x x g x x +-=，则22(1)e 2()x x x g x x -+'=，∵ 1x ≥， ∴ ()0g x '>， ∴ ()g x 在[1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)e 1g x g ==-，∴a 的取值范围是e 1a ≤-．。

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)3)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三数学答案适用地区：大纲地区考查范围：集合、简易逻辑、函数、函数极限、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．[2011·湖北卷] 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.()0，＋∞ D.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞2．[2011·湖北八校联考]函数()7)f x x =≤≤的反函数为（ ）A.1()770)f x x -=-≤≤B.1()7)f x x -=≤≤C.1()7)f x x -=≤≤D.1()770)f x x -=-≤≤ 3．[2011·四川卷] l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 4．[2011·四川卷] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)5. [2011·甘肃兰州一中月考]设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a ( )A ．26B ．27C ．28D ．29 6．[2011·甘肃兰州一中月考]已知圆O 的半径为R ，A 、B 是其圆周上的两个三等分点，则⋅的值等于（ ）2R B.212R - C.2RD.232R - 7. 正方体1111ABCD A B C D —中,直线111D C AB D 与平面所成角的正弦值为（ ）8. 已知1F 、2F 分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，12P F F 是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，则这个椭圆的离心率是（ ）1 1 C.D. 9．[2011·全国卷] 已知直二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则CD ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．110.(理) [2011·江西重点中学盟校联考]已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，以1F 2F 为直径的圆 与双曲线的一个交点为M ，且21tan 21=∠F MF ，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.5 D.2（文）[2011·江西重点中学盟校联考] 设1F ，2F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A .212+ B.12+ C.213+ D.13+11. [2011·上海静安调研]在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为 ( )12. [2011·重庆卷] 高为24的四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A.24B.22C ．1 D. 2 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．[2011·湖北八校联考]已知实数,x y 满足50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．14．[2011·四川卷] 双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是________．15．[2011·全国卷] 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．（文）[2011·四川卷] 如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分12分）公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 为多少吨？18．（本小题满分12分）[2011·甘肃兰州一中月考]已知函数22()2sin ()4f x x x π=--.（１）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；AB 1 B ＡA B 1B AＢA B 1 B AＣA B 1BＤ（２）若π()20,6f x m x ⎡⎤<+∈⎢⎥⎣⎦在上恒成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分12分）[2011·四川卷] 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连结AP 交棱CC 1于点D ．(1)求证：PB 1∥平面BDA 1；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值．20.（本小题满分12分）[2011·甘肃兰州一中月考]设O 为坐标原点，圆C ：016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q ,它们关于直线04=++my x 对称，且满足OP ⊥OQ ．（１） 求m 的值；（２）求直线PQ 的方程.21．（本小题满分12分）[2011·全国卷] 如图，四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1. (1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的大小．试卷类型：A2012届高三全国高考模拟重组预测试卷三参考答案数学1．【答案】A【解析】因为U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪ 0<y <12，，所以∁U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥12＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.2．【答案】D【解析】由y =7x =又由07x ≤≤，得70y -≤≤，所以反函数为1()770)f x x -=-≤≤. 3．【答案】B【解析】对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B. 4．【答案】D 【解析】圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D. 5．【答案】B 【解析】()919599812S a a a =+==，所以59a =.所以2585327a a a a ++==. 6．【答案】D【解析】易知120AOB ∠=︒,由余弦定理，可求得AB =,则30BAO ∠=︒.故()23cos 1803022OA AB OA AB R R ⎛=︒-︒=⨯-=- ⎝⎭uu r uu u r uu r uu u r g . 7．【答案】A【解析】连接1A C 与平面11AB D 交于点O,易证11CO AB D ⊥平面,故1CD O ∠即为直线111D C AB D 与平面所成的平面角.不妨设正方体的棱长为1,可得11D O D C ==3CO ==,所以11sin CO CD O D C ∠===. 8．【答案】B【解析】因为122112212,90,PF F PF F PF F PF F ∠=∠∠+∠=︒∴221230,60,PF F PF F ∠=︒∠=︒则有12,,PF c PF ==∴2c a +=，故1ca=. 9．【答案】C【解析】∵α⊥β，AC ⊥l ，∴AC ⊥β，则AC ⊥CB ，∵AB ＝2，AC ＝1，可得BC ＝3，又BD ⊥l ，BD ＝1，∴CD ＝2，故选C. 10．(理)【答案】C【解析】不妨设交点M 在第一象限．由双曲线的定义，得122MF MF a -=，又由21211tan 2MF MF F MF ∠==,得122MF MF =，所以124,2MF a MF a ==．又可知 △12MF F 是直角三角形，所以()()()222422aa c +=，得c =，故双曲线的离心率ce a ==（文）【答案】D【解析】由题意，12PF PF ⊥,因为213PF PF =，且122PF PF a -=，则)21PF a =，(13PF a =，由勾股定理，有(222123PF PF a ⎡⎤+=++⎣⎦)21a ⎡⎤⎣⎦()22122F F c ==，得1c e a==． 11．【答案】B【解析】动点P 到直线BC 的距离等于动点P 到点B 的距离，即动点P 到点B 的距离等于动点P 到定直线11B A 的距离，故其轨迹是抛物线.且点A 满足轨迹，点B 不满足轨迹.故选B. 12.【答案】C【解析】如图所示，设球心为O ，正方形的中心为O 1，则OB ＝1，O 1B ＝12BD ＝22，所以点O 到平面ABCD 的距离OO 1＝OB 2－O 1B 2＝22.因为四棱锥S －ABCD 的高为24，故四棱锥S －ABCD 的顶点S 在与平面ABCD 平行且距离为24的一个小圆的圆周上，此小圆的圆心O 2在OO 1的中点上，易知SO 2为线段OO 1的垂直平分线，所以SO 1＝SO ＝1.故选C.13．【答案】-3【解析】容易作出50,0,3x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩的可行域（图略），可知z 在0,3x y x +=⎧⎨=⎩的交点()3,3-处取得最小值，则()min 3233z =+⨯-=-.14.【答案】16【解析】根据双曲线的定义可知e ＝108＝4d ⇒d ＝165(d 为P 到右准线的距离)，所以P 到左准线的距离为2a 2c ＋d ＝12810＋165＝16. 15.【答案】23【解析】取A 1B 1的中点F ，连EF ，则EF ∥BC ，∠AEF 是异面直线AE 与BC 所成的角，设正方体的棱长为a ，可得AE ＝32a ，AF ＝52a ，在△AEF 中，运用余弦定理得cos ∠AEF ＝23，即异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23. 16．(理)【答案】22πR【解析】如图为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，则⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2.因为S ＝2πrh ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2·(R 2－r 2)≤4πr 2＋R 2－r 222＝2πR 2，取等号时，内接圆柱底面半径为 22R ，高为2R ，∴S 球－S 圆柱＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2.(文)【答案】32π【解析】本题主要考查球的性质、球与圆柱的组合体、均值不等式的应用．如图1－4为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，球半径R ＝4，则⎝⎛⎭⎫h 22＋r 2＝R 2，即 h ＝2R 2－r 2.因为S ＝2πrh ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2·(R 2－r 2)≤4π⎝⎛⎭⎫r 2＋R 2－r 222＝2πR 2，取 等号时，内接圆柱底面半径为 22R ，高为2R ，∴S 球－S 圆柱＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2＝32π.17．解：某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次，运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为（40044x x⋅+）万元.40044160x x⋅+≥,当16004x x =即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.18．解：（１）ππ()1cos(2)1sin 22sin(2)123f x x x x x x =--=-=-++.所以最小正周期22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z , 故单调递减区间为5[,]()1212k k k ππππ-++∈Z . （２）由π()2[0,]6f x m x <+∈在上恒成立，得max ()2,f x m <+π[0,]6x ∈ ，由π06x ≤≤，有ππ22π333x ≤+≤πsin(2)13x ≤+≤.故1()1f x -≤≤则21m +>1m >-所以实数m 的取值范围是1m >-19．解：解法一：(1)连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD . ∵C 1D ∥AA 1，A 1C 1＝C 1P ， ∴AD ＝PD ，又AO ＝B 1O ，∴OD ∥PB 1.又OD ⊂平面BDA 1，PB 1⊄平面BDA 1，∴PB 1∥平面BDA 1.图１(2)过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE . ∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ， ∴BA ⊥平面AA 1C 1C .由三垂线定理可知BE ⊥DA 1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角．在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， 又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52×AE ，∴AE ＝255.在Rt △BAE 中，BE ＝12＋⎝⎛⎭⎫2552＝355，∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.如图２，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，P (0,2,0)．(1)在△P AA 1中有C 1D ＝12AA 1，即D ⎝⎛⎭⎫0，1，12. ∴A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，B 1P →＝(－1,2,0)． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝a ＋c ＝0，n 1·A 1D →＝b ＋12c ＝0.令c ＝－1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1. ∵n 1·B 1P →＝1×(－1)＋12×2＋(－1)×0＝0，∴PB 1∥平面BDA 1，(2)由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1. 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×32＝23.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.20．解：（1）曲线方程为9)3()1(22=-++y x ，表示圆心为（－1，3），半径为3的圆．∵点P 、Q 在圆上且关于直线04=++my x 对称，∴圆心（－1，3）在直线04=++my x 上，代入得1-=m ． （2） ∵直线PQ 与直线4+=x y 垂直，∴设),(11y x P 、),,(22y x Q PQ 方程为b x y +-=.将直线b x y +-=代入圆方程，得016)4(2222=+-+-+b b x b x ． 由224(4)42(61)0b b b ∆=--⨯⨯-+>得232232+<<-b .由韦达定理，得2121261(4),2b b x x b x x -++=--⋅=,b b b x x x x b b y y 4216)(22121221++-=⋅++-=⋅．,0,02121=+⋅∴=⋅y y x x 即04162=++-b b b ，解得1(22b =∈-+.∴所求的直线PQ 方程为1+-=x y ．21．解：解法一：(1)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE ＝CB ＝2.图1连结SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝ 3. 又SD ＝1，故ED 2＝SE 2＋SD 2， 所以∠DSE 为直角． 由AB ⊥DE ，AB ⊥SE ，DE ∩SE ＝E ，得AB ⊥平面SDE ，所以AB ⊥SD . SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直． 所以SD ⊥平面SAB .(2)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .作SF ⊥DE ，垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，SF ＝SD ×SE DE ＝32.作FG ⊥BC ，垂足为G ，则FG ＝DC ＝1. 连结SG ，则SG ⊥BC .又BC ⊥FG ，SG ∩FG ＝G ，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG . 作FH ⊥SG ，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC .FH ＝SF ×FG SG ＝37，即F 到平面SBC 的距离为217.由于ED ∥BC ，所以ED ∥平面SBC ，故E 到平面SBC 的距离d 也为217. 设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin α＝d EB ＝217，α＝arcsin 217.解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图２所示的空间直角坐标系C －xyz .图２设D (1,0,0)，则A (2,2,0)，B (0,2,0)． 又设S (x ，y ，z )， 则x >0，y >0，z >0. (1)AS →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )， 由|AS →|＝|BS →|得(x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2， 故x ＝1，由|DS →|＝1得y 2＋z 2＝1，又由|BS →|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4，即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32. 于是S ⎝⎛⎭⎫1，12，32，AS →＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，32，BS →＝⎝⎛⎭⎫1，－32，32，DS →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32， DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0.故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB .(2)设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，a ·BS →＝0，a ·CB →＝0.又BS →＝⎝⎛⎭⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0,2)．又AB →＝(－2,0,0)，所以cos 〈AB →，a 〉＝AB →·a |AB →|·|a |＝217. 故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 217. 22．解：（1）由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1， 代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17. 故|CD |＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167. (2)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛⎭⎫k ≠0且k ≠12. 代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1， 所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0， 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．高考★试ω题≦库。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）−1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、 右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45（5）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则 （A ）A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和 （B ）2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数（D ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数 （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π （9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。