第三章学案1 不等关系与不等式

§3.1不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥21．2≥1.( √ ) 2．ab >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.题型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 引申探究1．若a ＞0，b ＞0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . 命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0<x <1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x，∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <11－x， ∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫ab a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴ab ＞1，a －b ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a ＞1， 又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a . 题型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b .证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例 已知12<a <60,15<b <36，求ab 的取值范围．[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴1215<a b <6036，∴45<a b <53. [点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴136<1b <115，又12<a <60，∴1236<a b <6015，∴13<ab <4， 即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab <b ab ，即1a >1b ，C 成立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad <b c C.a c ＞b d D.a c <b d 答案 B解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0， 即1－d ＞1－c＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，从而有a d <b c.5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2. 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12∴a b >a b 2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ，则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， . 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1， 且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得， 2a －b ∈⎝⎛⎭⎫－32，52. 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为 ． 答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2 解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2 ＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．13．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞eb －d .证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c ＞eb －d.14．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y＝N ，即M <N .15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ． 答案 [－6,9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.。

3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。

让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。

2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。

二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。

2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。

3. a 与b 的和是非负数。

4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。

某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。

不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。

第三章不等式3.1 不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小学习目标1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.(数学抽象、数学建模)2.能用不等式表示不等关系.(数学抽象、数学建模)3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差法比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算、数学建模)【必备知识·自主学习】导思1.我们学过的不等号有哪些?什么是不等式?2.初中学过在数轴上表示大小,那两个实数比较大小还有别的方法吗?1.不等式的相关概念(1)不等号:<,≤,>,≥,≠;(2)不等式:由不等号表示的关系式.(1)“≤”的含义是什么?提示:<或=.(2)不等式a≥b和a≤b有怎样的含义?提示:①不等式a≥b应读作:“a大于或等于b”,其含义是a>b或a=b,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确.②不等式a≤b应读作:“a小于或等于b”,其含义是a<b或a=b,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确.2.实数a,b大小的比较如果a-b是正数,那么a>b a-b>0⇔a>b如果a-b等于零,那么a=b a-b=0⇔a=b如果a-b是负数,那么a<b a-b<0⇔a<b怎样证明a>b?提示:证明a-b是正数,即a-b>0.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)不等关系“不大于3”用不等式表示为x<3. ( )(2)不等式5≥5不成立. ( )(3)若>1,则a>b. ( )提示:(1)×.用不等式表示为x≤3.(2)×.不等式5≥5表示5=5或5>5,因为5=5成立,所以不等式5≥5成立.(3)×.如=2>1,但是-2<-1.2.(教材二次开发:习题改编)大桥桥头竖立的“限重60吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T满足关系为( ) A.T<60 B.T>60 C.T≤60 D.T≥60【解析】选C.“限重60吨”即为T≤60.3.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1),而x<1,所以x-2<0,x-1<0,所以x2+2-3x>0,所以x2+2>3x.答案:x2+2>3x【关键能力·合作学习】类型一利用不等式表示不等关系(数学抽象、数学建模)1.限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,使汽车速度v不超过40 km/h,用不等关系表示速度的限制为.2.某工厂8月份的产量比9月份的产量少;甲物体比乙物体重;A容器不小于B容器的容积,若前一个量用a表示,后一个量用b表示,则上述事实可表示为;;.3.有如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来.【解题指南】抓住题干中的关键词,如:不超过、不小于等写出不等式. 【解析】1.“不超过”即“小于或等于”,所以v≤40 km/h .答案:v≤40 km/h2.注意理解题目中的关键词语,并转化为不等关系,8月份的产量比9月份的产量少可表示为a<b;甲物体比乙物体重可表示为a>b;A容器不小于B容器的容积可表示a≥b.答案:a<ba>ba≥b3.图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,所以a2+b2>ab.1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不超过符号语言> < ≥≤【补偿训练】1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再加入m克糖(m>0),搅拌糖融化后,糖水更甜了,将这个事实用一个不等式表示为.【解析】因为b克糖水中含a克糖(0<a<b)时,糖水的“甜度”为,所以若在该糖水中加入m(m>0)克糖,则此时的“甜度”是,又因为糖水会更甜,所以<.答案:<2.一辆汽车原来每小时行驶x km,如果这辆汽车每小时行驶的路程比原来多20 km,那么在4天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为;如果它每小时行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间,用不等式表示为.【解析】①原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x+20)km.则不等关系“在4天内它的行程就超过2 200 km”,写成不等式为4×24×(x+20)>2 200,即96(x+20)>2 200.②原来每小时行驶x km,现在每小时行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8小时的路程现在就得花9小时多的时间”,写成不等式为8x>9(x-12).答案:96(x+20)>2 200 8x>9(x-12)类型二用不等式组表示不等关系(数学抽象、数学建模)【典例】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路导引】①甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数;②车队每天至少要运360 t矿石;③甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆.【解析】设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则即用不等式组表示不等关系的三注意(1)适用条件:当问题中同时满足几个不等关系时,应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,则选用几个字母分别表示这些变量即可.(2)全:解决这类有多个不等关系的问题时,要注意根据题设将所有不等关系都找出来.(3)读:若有表格、图象等,读懂表格、图象对解决这类问题很关键.1.某校高一年级的213名同学去科技馆参观,租用了某公交公司的x辆公共汽车.如果每辆车坐30人,则最后一辆车不空也不满.则题目中所包含的不等关系为.【解析】根据题意得:答案:2.某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下,生产空调、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时如表:家电名称空调彩电冰箱工时/h若每周生产空调x台、彩电y台,试写出满足题意的不等式组.【解析】由题意,知x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台.因为每周所用工时不超过40 h,所以x+y+(120-x-y)≤40,即3x+y≤120.又每周至少生产冰箱20台,所以120-x-y≥20,即x+y≤100.所以满足题意的不等式组为【拓展延伸】列不等式组表示不等关系(1)关注限制条件:实际应用问题中往往有2到3个限制条件,应先分析这些限制条件,并用不等式表示;(2)关注变量范围:要根据实际问题的意义确定变量的范围,并在不等式组中表示出来.【拓展训练】有学生若干人,住若干宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,求宿舍间数和学生人数.【解析】设宿舍x间,则学生(4x+19)人,依题意解得<x<.因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数为:59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人,11间63人或12间67人. 【补偿训练】1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示为.【解析】“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,所以答案:2.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实例中提炼出一个不等式组为.【解析】依题意得第二次钉子没有全部进入木板第三次全部进入木板所以(k∈N*).答案:(k∈N*)类型三比较大小(逻辑推理、数学运算、数学建模) 角度1 作差法比较大小【典例】若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)C.f(x)>g(x)D.随x值变化而变化【思路导引】作差,根据差的正负判断.【解析】选C.f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以f(x)>g(x).本例中若g(x)=3x2+x,试比较f(x)与g(x)的大小关系.【解析】f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(3x2+x)=-2x+1,当-2x+1>0,x<时,f(x)>g(x) ;当-2x+1=0,x=时,f(x)=g(x);当-2x+1<0,x>时,f(x)<g(x).角度2 作商法比较大小【典例】已知a>0,b>0且a≠b,比较a a b b与(ab的大小.【思路导引】作商,利用指数运算的性质变形,判断商与1的关系.【解析】因为a>0,b>0且a≠b,所以==,当a>b>0时,>1,>0,>1,此时a a b b>(ab;当b>a>0时,<1,<0,>1,此时a a b b>(ab,综上所述a a b b>(ab.1.关于作差法比较大小对差式的变形是判断差式正负的关键,常用的变形有配方、通分、因式分解、分母有理化等.2.关于作商法比较大小多用于指数式的比较,对商式一般利用指数的运算性质,通过约分、化同次等方法,比较与1的大小.1.已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.【解析】因为-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)=,又因为a>0,b>0,a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.所以-(a+b)>0,所以+>a+b.2.设a>0,b>0,且a≠b,试比较a a b b,a b b a的大小.【解析】因为=a a-b·b b-a=,(1)若0<a<b,则0<<1,a-b<0;故>1,(2)若0<b<a,则>1,a-b>0;故>1.综上,a a b b>a b b a.【拓展延伸】作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 【拓展训练】已知a,b为正实数,试比较+与+的大小. 【解题指南】注意结构特征,尝试用作差法或者作商法比较大小.【解析】方法一:(作差法)-(+)=+=+= =.因为a,b为正实数,所以+>0,>0,(-)2≥0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法二:(作商法)======1+≥1,当且仅当a=b时取等号.因为+>0,+>0,所以+≥+(当且仅当a=b时取等号).方法三:(平方后作差)因为=++2,(+)2=a+b+2,所以-(+)2=.因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时取等号.又+>0,+>0,故+≥+(当且仅当a=b时取等号). 【补偿训练】(1)已知a>b>c>0,试比较与的大小;(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)-====.因为a>b>c>0,所以a-b>0,ab>0,a+b-c>0.所以>0,即>.(2)(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=+.因为≥0,所以+≥>0,所以(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2.【课堂检测·素养达标】1.(教材二次开发:习题改编)已知a,b分别对应数轴上的A,B两点坐标,且A在原点右侧,B在原点的左侧,则下列不等式成立的是( ) A.a-b≤0 B.a+b<0C.|a|>|b|D.a-b>0【解析】选D.a>0,b<0,所以a-b>0.2.已知a∈R,p=a2-4a+5,q=(a-2)2,则p与q的大小关系为( )A.p≤qB.p≥qC.p<qD.p>q【解析】选D.p-q=a2-4a+5-(a-2)2=1>0,所以p>q.3.某地规定本地最低生活保障金x元不低于1 000元,则这种不等关系写成不等式为.【解析】因为最低生活保障金x元不低于1 000元,所以x≥1 000.答案:x≥1 0004.某杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就相应减少2 000本,若把提价后杂志的单价设为x元,表示销售的总收入不低于20万元的不等式为.【解析】由题意,销售的总收入为x万元,所以“销售的总收入不低于20万元”用不等式可以表示为x≥20.答案:x≥20【新情境·新思维】已知函数f(x)=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系为. 【解析】f(1)=5+c,f(2)=12+c,则c<f(1)<f(2).答案:c<f(1)<f(2)。

【不等式的基本性质】一、教材分析：本节课在教材中的地位和作用：本节课是人教版《数学》必修5第三章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．二、教学目标：1、知识与技能：掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形;2、过程与方法：通过实例探究不等式基本性质应用;3、情感、态度与价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.三、教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用;四、教学难点：能根据不等式的基本性质进行简单应用.五、教学准备1、课时安排：2课时2、学情分析：学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导七、教学过程1、自主导学：（一）：预习学案：1.用________连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．2．(a＋b)2＝_________________.(a ＋b)3＝_________________.a 3＋b 3＝_________________．3．实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系(1)设a ，b ∈R ，则①a>b ⇔________；②a ＝b ⇔_______；③a<b ⇔___________.(2)设b ∈(0，＋∞)，则①a b >1⇔______；②a b ＝1⇔_______；③a b <1⇔______.2、合作探究（1）分组探究：4．不等式的基本性质教师点拨：在性质的运用中，需要我们充分理解其因果关系，只有对不等式性质的理解与熟记，才能扎实打好证明不等式和解不等式的基础．（2）1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。

这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。

为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b����担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。

3.1不等关系与不等式（1）一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式 :本课采用“探究——发现"教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线",即（一）知识技能线（二）过程与方法线（三)能力线.“抓两点”，即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点。

学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程三、典例分析： 例 1 例1、试比较下列各组数的大小,其中x R ∈(1）(1)(5)x x ++与2(3)x +;（2）61x +与42x x +； (3)a b a b 与b a a b ,其中,0,,R a b a b >∈且。

（2)61x +42()x x -+6421x x x =--+422(1)(1)x x x =---24(1)(1)x x =--222(1)(1)x x =-+当1x =±时, 61x +42()x x =+； 当1x ≠±,61x +42()x x >+. （3) a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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3.1 不等式的基本性质学习任务核心素养1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)1．通过大小比较，培养逻辑推理素养．2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？知识点1不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤①如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b；即a－b<0⇔a<b.任意两个实数都能比较大小吗？[提示]能．利用作差法比较．1.设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．a>b[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝⎝⎛⎭⎫x＋122＋34>0，∴a>b.]知识点2不等式的基本性质性质1: 若a >b ，则b <a ；(自反性)，a >b ⇔b <a . 性质2：若a >b ，b >c ，则a >c ；(传递性) 性质3：若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；(加法保号性) 性质4：若a >b ，c >0，则ac >bc ；(乘正保号性) 若a >b ，c <0，则ac <bc ；(乘负改号性)性质5：若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；(同向可加性) 性质6：若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；(全正可乘性) 性质7：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N *)．(拓展)不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac >bc ，则a >b .( )(2)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( ) (3)若a >b ，则1a <1b .( )[答案] (1)× (2)× (3)×类型1 利用不等式的性质判断和解不等式 【例1】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a <b <0，则a b >ba.其中正确命题的序号是________．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由． (1)②④ [对于①，∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba ，④正确．所以正确答案的序号是②④.](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得 ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ， 当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a .1．利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＜b 2＜c 2 B ．ab 2＜cb 2 C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C.]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，则不等式bx －a >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12 [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12.] 类型2 利用不等式的性质比较代数式的大小 【例2】 已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)． ∵x ≤1，得x －1≤0.而3x 2＋1>0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0. ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.1．将本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1)， ∵3x 2＋1>0，当x >1时，x －1>0，∴3x 3>3x 2－x ＋1. 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1. 当x <1时，x －1<0，∴3x 3<3x 2－x ＋1. 2．已知a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b的大小．[解] 法一：(作差法)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b －1a ＋b ＝(ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )－ab ab (a ＋b )＝a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )， 因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )>0，所以1a ＋1b >1a ＋b.法二：(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b 同为正数，所以1a ＋1b 1a ＋b＝(a ＋b )2ab ，所以(a ＋b )2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab >0，即(a ＋b )2ab >1，因为1a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b .法三：(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b.1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1.[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .故选A.] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2， 当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2， 当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2. 类型3 证明不等式【例3】 若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. [思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0.两边同乘以1(a －c )2(b －d )2，得1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.本例条件不变的情况下，求证： e a －c >e b －d. [证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴0<1a －c <1b －d， 又∵e <0，∴e a －c >eb －d.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[跟进训练]5．已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b .[证明] ∵c >a >b >0.∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b c >0 ⇒c a <c b ⇒c －a a <c －b b .又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >bc －b .类型4 利用不等式求取值范围【例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24， ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2，又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)， 即－7<a －b <2，故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2. 即2a ＋3b 的取值范围为(8,32)， a －b 的取值范围为(－7,2)．1．在本例条件下，求 ab 的取值范围．[解] ∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b <2. 即ab的取值范围为⎝⎛⎭⎫18，2. 2．若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] 法一：设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ， 则a ＝x ＋y 2，b ＝x －y 2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.所以3a －2b 的范围是[－2,10]．法二：设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ＝3a －2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52，即3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )，因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3， 所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤12(a ＋b )＋52(a －b )≤10，即3a －2b 的范围是[－2,10]．1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]6．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．[解] ∵已知－π2≤α<β≤π2.∴－π4≤α2≤π4，－π4<β2≤π4，两式相加得－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.∴－π2≤α－β2<π2，又知α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.7．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的取值范围．[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎨⎧a ＝13(y －x )，c ＝13(y －4x )，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20.1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥bD ．a ≤bC [a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b .] 3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________． (－2,0) [由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1. 所以－2<α－β<2，但α<β， 故知－2<α－β<0.]4．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．(－π，2π) [结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]5．已知12<a <60,15<b <36.则a －b 的取值范围为________，ab 的取值范围为________．(－24,45) ⎝⎛⎭⎫13，4 [∵15<b <36， ∴－36<－b <－15，又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45， ∵136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？ [提示] 大于、小于、等于．作差法、作商法． 2．作差法比较大小的具体步骤有哪些？ [提示] 作差、变形、定号． 3．不等式的证明有哪些方法？[提示] 可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)．。

§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生理解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在理解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存有着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或很多于等来描绘某种客观事物在数量上存有的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1 限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是:40v ≤引例2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应很多于%5.2,蛋白质的含量p 应很多于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,能够售出8万本.据市场调查,若单价每提升1.0元,销售量就可能相对应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”能够表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,能够用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就能够了．2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集R .3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.4.不等式的性质定理1：假设b a >,那么a b <,假设a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：假设b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a根据两个正数的和仍是正数得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还能够表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性能够推广到n 个的情形.定理3：假设b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3能够得出,假设c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,能够把它从—边移到另一边.推论：假设b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则)即d b c a d c b a +>+⇒>>,证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+ 点评：这个推论能够推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：假设b a >且0>c ,那么bc ac >;假设b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质)证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a >∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac >当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 假设0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，假设仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这个推论能够推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件,假设0>>b a ,那么n n b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则n n b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,=所以不能仅仅<就“归谬”了事,而必须实行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,<或者n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当n n b a =时,显然有b a = 这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论. 定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b <(倒数性质) 证明：aba b b a -=-11 0,>>ab b a 又 011,0<-=-<-∴ab a b b a a b ba 11<∴ 5.不等式的基本性质小结(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性)(3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加)(5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性)(7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)d b c a d c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z nb a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0(**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>ba b a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产水平是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.引伸: 在例中,假设没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与a b 的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:d b c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较y x 与1的大小. 解: 略思考题:1.设*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n ab +++的大小.2.比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小.3.已知y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围.解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,假设4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后使用已知条件确定(2)f 的取值范围.思考题:1.若R b a ∈,,求不等式b a b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b 1的大小.3.若0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .4.设函数)(x f 的图象为一条开口向上的抛物线.已知y x ,均为不等正数, 0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号: (1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log . 2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 314.假设0>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.5.已知0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.6.已知142=+y x ,比较22y x +与201的大小.7.比较θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).8.设0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a 的大小.9.设0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.10.假设0,>b a ,求证:a b a b >⇔>1。