2019高考数学二轮复习仿真模拟训练四文

2019届全国高考仿真试卷（四）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】：先解A、B集合，再取并集。

【详解】：先解，故选B【点睛】：一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

2.2.复数满足，则在复数平面内复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出复数的模，两边同除以，从而可得结果.详解：，，在复数平面内复数对应的点的坐标为，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.3.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.4.4.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率。

小题专项练习(四) 三角恒等变换与正余弦定理C.13D.238．[2018·安徽马鞍山高三第三次模拟]已知sin α－2cos α＝3，则tan α＝( )A ．±22 B ．± 2C ．－ 2D ．－229．[2018·山东烟台适应性练习]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin2A ＋3a sin B ＝0，b ＝3c ，则c a的值为( )A ．1 B.33C.55 D.7710．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－A ＝12，且△ABC的面积为25，则a ＋b 的值为( )A ．5＋5 5B ．5C ．10 5D ．5＋10 511．[2018·衡水联考]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ab sin C ＝20sin B ，a 2＋c 2＝41，且8cos B ＝1，则b ＝( )A ．6B ．4 2C ．3 5D ．712．如图，在海岸线上相距26千米的A ，C 两地分别测得小岛B 在A 的北偏西α方向，在C的北偏西π2－α方向，且cos α＝63，则BC 之间的距离是( )A ．303千米B ．30千米C ．123千米D ．12千米二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·河南洛阳第三次统考]已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P (3,4)，则sin α＋2cos αsin α－cos α＝________.14．[2018·江苏南师附中四校联考]已知tan π4＋θ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．15．[2018·广西钦州第三次质量检测]△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________.16．[2018·高考押题预测卷]如图，在△DEF 中，M 在线段DF 上，EM ＝DE ＝3，DM ＝2，cos ∠F ＝35，则△MEF 的面积为________．∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝43，故选C.6．B 由sin(C －A )＝12sin B ，得2sin(C －A )＝sin(C ＋A )，∴2sin C cos A －2cos C sin A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ， ∴sin C cos A ＝3cos C sin A ，由正余弦定理，得 c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab ，得4c 2－4a 2＝2b 2＝2×16＝32， ∴c 2－a 2＝8，故选B.7．B 由2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，得2cos 2θ－sin 2θ22cos θ－sin θ＝23sin θcos θ，即2(cos θ＋sin θ)＝23sin θcos θ，∴1＋2sin θcos θ＝3sin 2θcos 2θ，∴sin θcos θ＝－13，或sin θcos θ＝1(舍)，∴sin2θ＝－23，故选B.8．D 由sin α－2cos α＝3，得sin 2α－22sin αcos α＋2cos 2α＝3sin 2α＋3cos 2α，∴2sin 2α＋22sin αcos α＋cos 2α＝0，∴2tan 2α＋22tan α＋1＝0，∴(2tan α＋1)2＝0，∴tan α＝－22，故选D.9．D 由b sin2A ＋3a sin B ＝0， 得2b sin A cos A ＋3a sin B ＝0，∴2sin B sin A cos A ＋3sin A sin B ＝0， ∴sin B sin A (2cos A ＋3)＝0，在△ABC 中，sin B ≠0，sin A ≠0，∴2cos A ＋3＝0，∴cos A ＝－32，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3c 2＋c 2＋23c 2·32＝7c 2，∴c a ＝77，故选D.。

2019年高考数学仿真模拟卷四文科数学（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|1}B x x =>，则A B =（ ）A. {}B. {}1,1-C. {}2,2-D. {}2,1,1,2--2. 已知2iz =，且z 的共轭复数为z ，则z z +=（ ） A. 2-B. 1-C. i -D. 2i -3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。

下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。

则下列说法中一定正确的是（ ）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =，则6a =（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 145. 已知函数()()2sin 210,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若()()()1212=1f x f x x x =≠，且12x x -的最小值为2π，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 15,212πωϕ==B.1,212πωϕ==-C.1,6πωϕ==-D. 1,3πωϕ==6. 已知圆C ：()2224x y -+=与直线:10l kx y k --+=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（ ）A. (0,22B. (]0,4C. 2,4⎡⎤⎣⎦D. 22,4⎡⎤⎣⎦7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为。

第3讲立体几何中的向量方法[真题再现]1．（2018·课标Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD，BC的中点,以DF为折痕把△DFC使点C到达点P的位置，且PF⊥BF。

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解］(1）证明：由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD。

（2)解：如图，作PH⊥EF，垂足为H.由（1)得，PH⊥平面ABFD。

以H为坐标原点，错误!的方向为y轴正方向,|错误!｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H.xyz.由（1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1,所以PE＝错误!.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝错误!，EH＝错误!.则H（0，0,0），P错误!，D错误!，错误!＝错误!,错误!＝错误!.又错误!为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!。

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为错误!.2．（2018·课标Ⅱ）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明:PO⊥平面ABC；(2）若点M在棱BC上，且二面角M。

P A-C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值[解］(1）证明：因为P A＝PC＝AC＝4,O为AC的中点,所以OP⊥AC，且OP＝2错误!.如图，连接OB.因为AB＝BC＝错误!AC,所以△ABC为等腰直角三角形，且OB ⊥AC,OB＝错误!AC＝2。

由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC,OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.（2）解:如图，以O为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O。

xyz。

由已知得O（0，0,0）,B（2，0，0)，A（0,－2，0）,C(0,2,0)，P(0,0，2错误!），错误!＝（0,2,2错误!)．取平面P AC的一个法向量错误!＝(2，0，0）．设M (a ，2－a,0）（0≤a ≤2)，则错误!＝(a ，4－a,0)．设平面P AM 的法向量为n ＝(x ,y ,z ）．由AP ，→·n ＝0，错误!·n ＝0得错误!可取y ＝错误!a ,得平面P AM 的一个法向量为n ＝(错误!（a －4），错误!a ，－a ）,所以cos 错误!，n ＝错误!。

第四章古代诗文阅读第5节文言断句与翻译【聚焦重难点】【与高考对接】考点一断句所谓断句，就是传统上所说的句读，也就是在该停顿的地方停顿。

这主要是考查对句子意思的掌握能力。

考题1（2012年湖卷）下列文句断句不正确．．．的一项是A．且足下昔以单车之使／适万乘之虏／遭时不遇／至于伏剑不顾／流离辛苦／几死朔北之野／丁年奉使／皓首而归B．方蔺相如引璧睨柱／及叱秦王左右 /势不过诛／然士或怯懦而不敢发／相如—奋／其气威信敌国／退而让颇／名重太山C．秦穆之于晋／相与之久也／相信之深也／相结之厚也／一怵于烛之武之／弃晋如涕唾／亦何有于郑乎D．是谋非吾所能及也／无已／则有一焉／凿斯池也／筑斯城也／与民守之／效死而民弗去／则是可为也【解析】本题考查文言断句能力。

这几个句子都出自课后，与课文内容相关，所以有助于理解，在理解的基础上断句应该比较容易。

B项意思是：“当蔺相如手持和氏璧斜视庭柱，以及呵斥秦王左右的时候，就当时的形式来说，最多不过是被杀，然而一般人却往往因为胆小而不敢有这样的表现。

相如一旦振奋起他的勇气，其威力就伸张出来压倒了敌国。

回来后有对廉颇隐忍退让，他的声誉比泰山还重。

”故正确的断法是“方蔺相如引璧睨柱及叱秦王左右。

势不过诛，然土或怯懦而不敢发，相如一奋其气，威信敌国，退而让颇，名重太山。

”【答案】B考题2（2012年重庆卷）用余线（/）给下面的文言文断句。

（3分）人之蕴蓄由学而大在多闻前古圣贤之言与行考迹以观其用察言以求其心识而得之以蓄成其得（《伊川易传》卷二《大蓄传》）【解析】本题考查文言断句能力。

文言文断句、标点最根本的方法是多读多背，形成语感。

有了一定的语感，读到该停顿之处，就会自然而然地停顿，不必苦思。

断句、标点也讲求一定的技巧，做题时应把握准语意，根据语法结构、逻辑规律作出判断。

如“考迹以观其用察言以求其心”这明显是两个结构相同的句子，所以“用”与“心”后面可以停顿。

【答案】人之蕴蓄/由学而大/在多闻前古圣贤之言与行/考迹以观其用/察言以求其心/识而得之/以蓄成其得解答断句题注意以下几个步骤：1．读全文，了解大意。

大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.[2019·东北三省四市模拟]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 答案：D解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 2．[2017·卷，6]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.3．[2019·某某马某某第一次教学质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018 答案：A解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.4．[2019·某某模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2 答案：D解析：由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.5．[2019·某某某某五校联考]下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝log 12|x | D ．f (x )＝x sin x答案：B解析：f (x )＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f (x )＝x 2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f (x )＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f (x )＝x sin x 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故选B.6．[2019·某某第一中学一诊模拟]设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.7．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2的定义域为[1，t ]，f (x )的最大值与最小值之和为－3，则实数t 的取值X 围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(2,3) 答案：B解析：f (x )＝x 2－4x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝2，f (1)＝－1，f (2)＝－2.当1<t <2时，f (x )max ＝f (1)＝－1，f (x )min >f (2)＝－2，则f (x )max ＋f (x )min >－3，不符合题意；当t ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，则f (x )max ＝－3－f (2)＝－1，令f (x )＝－1，则x 2－4x ＋2＝－1，解得x ＝1或x ＝3，∴2≤t ≤3.故选B.8．[2019·某某某某第一次大联考]若函数f (x )＝a x－k ·a －x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )答案：B解析：由题意得f (0)＝0，得k ＝1，a >1，所以g (x )＝log a (x ＋1)为(－1，＋∞)上的单调递增函数，且g (0)＝0，故选B.9．[2019·某某大卷练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11) 答案：C解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.10．[2019·某某某某郊联体模拟]如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0<b <1，f (1)＝0，即有a ＝－1－b ，从而－2<a <－1.而g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln1＋2＋a ＝2＋a >0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C. 11．[2019·某某某某第一中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，263C.⎝⎛⎦⎥⎤203，263 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6答案：D解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0的图象如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x ＝3对称，故x 2＋x 3＝6，且x 1满足－73<x 1<0，则－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6，即x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.故选D. 12．[2019·某某某某一中质检]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .若g (x )＝1ex ，且对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e e －8 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e e －8，＋∞ C ．[2，e) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，e 2 答案：A解析：对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)，∴[f ′(x )]max ≤[g (x )]max . 又f ′(x )＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴[f ′(x )]max ＝f ′(2)＝8＋a .而g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e e ，∴8＋a ≤e e ，则a ≤ee－8.故选A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋cos 4π3＝________.答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是__________．答案：{a |a ≤－2或a ＝1}解析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1,2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <1，3－5x ，x ≥1，则f (f (0))＝________.答案：－2解析：因为f (0)＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝－2.16．[2019·某某八校联考]曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为________．答案：60°解析：解法一 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20x －x 02，根据线段OB 的垂直平分线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0可得－x 302＝－1x 20⎝⎛⎭⎪⎫23x 0－x 02，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.解法二 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 3＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，即()3y －m ·x 2－8x ＋3y－n ＝0∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y＋mn －16≤0 由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.18．(本小题满分12分)[2019·某某调研测试(二诊)]已知曲线f (x )＝ln 2x ＋a ln x ＋ax在点(e ，f (e))处的切线与直线2x ＋e 2y ＝0平行，a ∈R .(1)求a 的值； (2)求证：f x x >aex . 解析：(1)f ′(x )＝－ln 2x ＋2－a ln xx2，由f ′(e)＝－1＋2－a e 2＝－2e 2，解得a ＝3.(2)证明：f (x )＝ln 2x ＋3ln x ＋3x，f ′(x )＝－ln x ln x ＋1x 2.由f ′(x )>0，得1e<x <1，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 和(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增． ①当x ∈(0,1)时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫3x e x ′＝31－x e x，∴3xex 在(0,1)上单调递增， ∴3x e x <3e <e ，∴f (x )>3x e x ，即f x x >3ex . ②当x ∈[1，＋∞)时，ln 2x ＋3ln x ＋3≥0＋0＋3＝3. 令g (x )＝3x 2ex ，则g ′(x )＝32x －x 2ex .∴g (x )在[1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )≤g (2)＝12e2<3，∴ln 2x ＋3ln x ＋3>3x 2e x ，即f x x >3ex .综上，对任意x >0，均有f x x >3ex . 19．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)k ＝0时，f (x )为R 上的奇函数，证明如下： 令a ＝x ，b ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为R 上的奇函数．(2)k ＝－1时，令a ＝b ＝2，则f (4)＝2f (2)－1，f (2)＝3 ∴f (mx 2－2mx ＋3)>f (2)恒成立，又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2恒成立 即mx 2－2mx ＋1>0m ＝0时，3>2恒成立m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0得0<m <1综上m 的取值X 围为[0,1)． 20．(本小题满分12分)[2019·某某馆陶县一中月考]设函数f (x )＝ln x －(a ＋1)x ，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当函数f (x )有最大值且最大值大于3a －1时，求a 的取值X 围． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－(a ＋1)＝1－a ＋1xx.①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＋1>0，即a >－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a ＋1， (ⅰ)当0<x <1a ＋1时，f ′(x )>0，函数单调递增； (ⅱ)当x >1a ＋1时，f ′(x )<0，函数单调递减． 综上所述，当a ≤－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞上单调递减．(2)由(1)得，若f (x )有最大值，则a >－1，且f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＝ln 1a ＋1－1.∵函数f (x )的最大值大于3a －1. ∴ln1a ＋1－1>3a －1，即ln(a ＋1)＋3a <0(a >－1)． 令g (a )＝ln(a ＋1)＋3a (a >－1)，∵g (0)＝0且g (a )在(－1，＋∞)上单调递增， ∴－1<a <0.故a 的取值X 围为(－1,0)．21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )．(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．某某数b 的取值X 围． 解析：(1)由b ＝1，得f (x )＝x 2＋x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12－1＝－14<0，f (1)＝12＋1－1＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，所以函数f (x )在区间(12，1)内存在零点．又由二次函数的图象，可知f (x )＝x 2＋x －1在(12，1)上单调递增，从而函数f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点．(2)方法1：由题意可知x 2＋bx －1<1在区间[1,2]上有解， 所以b <2－x 2x ＝2x－x 在区间[1,2]上有解．令g (x )＝2x－x ，可得g (x )在区间[1,2]上递减，所以b <g (x )max ＝g (1)＝2－1＝1 ，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1)． 方法2：由题意可知x 2＋bx －2<0在区间[1,2]上有解．令g (x )＝x 2＋bx －2，则等价于g (x )在区间[1,2]上的最小值小于0. 当－b2≥2即b ≤－4时，g (x )在[1,2]上递减，∴g (x )min ＝g (2)＝2b ＋2<0，即b <－1，所以b ≤－4；当1<－b 2<2即－4<b <－2时，g (x )在[1，－b2]上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，2上递增，∴g (x )min ＝g (－b 2)＝(b2)2－b 22－2＝－b 24－2<0恒成立．所以－4<b <－2；当－b2≤1即b ≥－2时，g (x )在[1,2]上递增，∴g (x )min ＝g (1)＝b －1<0 即b <1，所以－2≤b <1. 综上可得b ≤－4或－4<b <－2或－2≤b <1，所以b <1， 从而实数b 的取值X 围为(－∞，1) 22．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减． 而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(i)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ii)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0; 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增． 故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)>0，即a <e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)<0，即a >e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.。

2019届全国高考仿真模拟（四）文科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|30}A x x x =->，{|2}B x x =<，则AB =（ ）A ．(2,0)-B ．(2,3)-C ．(0,2)D ．(2,3)2.（2019·海口市调研）已知复数12z i =-，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈），若12z z R ∈，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3.（2018·桂林市模拟）若向量a ，b 满足：1a =，()a b a +⊥，(3)a b b +⊥，则b =（ ）A ．3B ．1 D ．34.（2019·福建省质检）在ABC ∆中，3B π=，2AB =，D 为AB 的中点，BCD ∆的面积为4AC 等于（ ）A ．2B 5.已知,{1,2,3,4,5,6}x y ∈，且7x y +=，则2xy ≥的概率为（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．566.（2019·昆明市统考）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm ），图中粗线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．24024π-B ．24012π-C ．2408π-D ．2404π- 7.（2018·长春市三模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤8.（2019·郑州一预）函数()cos xf x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．29.（2017·海口市调研）若x ，y 满足30300x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为12-，则k 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 10.（2017·桂林市模拟）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F交抛物线于A ，B 两点.若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(11,0)M ，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1211.（2017·河南九校联考）四面体的一条棱长为c ，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．272π B ．92π C ．152πD ．15π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B． C ．1,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．2e ⎛ ⎝ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.（2017·长春三模）函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是 ．14.（2017·潍坊一中模拟）已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，ABC ∆的顶点B 在椭圆上，顶点A ，C 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e ，则sin sin 1sin A C B e+=，现将该命题类比到双曲线中，ABC ∆的顶点B 在双曲线上，顶点A 、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.双曲线的离心率为e ，则有 ．15.在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60，塔基的俯角为30，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m ．16.设函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，(3)0f =，且()(1)g x f x =+为偶函数，则不等式(22)0g x -<的解集为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1511a =，143(2)n n a a n -=-≥.（1）求证：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2） 令2log (1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（2017·合肥市质检）四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，222AD AE BC AB ====，AB AD ⊥，平面EAD ⊥平面ABCD ，点F 为DE 的中点.（1）求证：//CF 平面EAB ；（2）若CF AD ⊥，求四棱锥E ABCD -的体积.19.有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由550名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：（1）为了调查大众评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.（2）在（1）中，若A ，C 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.20.（2017·昆明市统考）已知动圆E 经过定点(1,0)D ，且与直线1x =-相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设过点(1,2)P 的直线1l ，2l 分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线1l ，2l 的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值.21.（2017·贵州省适应性考试）设*n N ∈，函数ln ()n x f x x =，函数()(0)xn e g x x x=>.（1）当1n =时，求函数()y f x =的零点个数；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧，求n 的取值集合A ； （3）对于n A ∀∈，12,(0,)x x ∀∈+∞，求12()()f x g x -的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线1C 的位置关系； （2）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02θπ≤<）. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1g x x a x =+++. （1）求实数a 的值； （2）求函数()g x 的最小值.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（四）文科数学一、选择题1-5: ACBBB 6-10: BCCDC 11、12：DB 二、填空题13. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.sin sin 1sin A C B e -= 15. 40 16. (0,2) 三、解答题17.解析：（1）证明：由11344n n a a -=-知111(1)4n n a a -+=+， 所以数列{1}n a +是以512为首项，14为公比的等比数列.则11212n n a -+=，11221n n a -=-. （2）112n b n =-，设数列{112}n -前n 项和为n T ，则210n T n n =-， 当5n ≤时，210n n S T n n ==-；当6n ≥时，2521050n n S S T n n =-=-+；所以2210,51050,6n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.18.解析：（1）证明：如图，取AE 的中点G ，连接GF ，GB . ∵点F 为DE 的中点， ∴//GF AD ，且12GF AD =， 又//AD BC ，2AD BC =， ∴//GF BC ，且GF BC =， ∴四边形CFGB 为平行四边形， 则//CF BG ，而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ， ∴//CF 平面EAB .（2）∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥，而AB AD ⊥， ∴AD ⊥平面EAB ， ∴AD EA ⊥，又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD ， ∴113E ABCD ABCDV S EA -=⋅=梯形. 19.解析：（1）（2）A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为3. C 组抽取的12人中有2人支持1号歌手，则从12人中任选2人，支持1号歌手的概率为21126=. 现从抽样评委A 组3人，C 组12人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率211369p =⨯=.∴从，两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为19. 20.解析：（1）由已知，动点E 到定点(1,0)D 的距离等于E 到直线1x =-的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以(1,0)D 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线1l ，2l 的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1l 的方程为(1)2y k x =-+，0k ≠. 直线2l 的方程为(1)2y k x =--+，由2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩得2222(244)(2)0k x k k x k --++-=， 已知此方程一个根为1，∴22122(2)441k k k x k k --+⨯==， 即21244k k x k -+=，同理22222()4()444()k k k k x k k ---+++==-， ∴212228k x x k ++=，12288k x x k k ---==， ∴1212[(1)2][(1)2]y y k x k x -=-+---+2122288()22k k x x k k k k k+=+-=⋅-=，∴1212818ABy yk k x x k-===---， 所以，直线AB 的斜率为定值1-. 21.解析：（1）当1n =时，ln ()x f x x =，21ln '()(0)xf x x x-=>. 由'()0f x >得0x e <<；由'()0f x <得x e >.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，因为1()0f e e=>，10f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在(0,)e 上存在一个零点； 当(,)x e ∈+∞时，ln ()0xf x x=>恒成立， 所以函数()f x 在(,)e +∞上不存在零点.综上得函数()f x 在(0,)+∞上存在唯一一个零点. （2）由函数ln ()n x f x x =求导，得11ln '()(0)n n xf x x x+-=>， 由'()0f x >，得10nx e <<；由'()0f x <，得1nx e >， 所以函数()f x 在1(0,)n e 上单调递增，在1(,)ne +∞上单调递减， 则当1nx e =时，函数()f x 有最大值1max 1()()nf x f e ne==； 由函数()(0)x n e g x x x =>求导，得1()'()(0)xn x n e g x x x+-=>， 由'()0g x >得x n >；由'()0f x <得0x n <<.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，则当x n =时，函数()g x 有最小值min()()ne g x g n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭；因为*n N ∀∈，函数()f x 的最大值11()1nf e ne=<， 即函数ln ()nxf x x =在直线1y =的下方， 故函数()(0)xn e g x x x=>在直线l ：1y =的上方，所以min()()1ne g x g n n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，解得n e <.所以n 的取值集合为{1,2}A =.（3）对12,(0,)x x ∀∈+∞，12()()f x g x -的最小值等价于min max 1()()ne g xf x n ne⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当1n =时，min max 1()()g x f x e e-=-； 当2n =时，2min max1()()42e g x f x e-=-；因为2211(4)20424ee e e e e e ⎛⎫--⎛⎫---=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12()()f x g x -的最小值为2312424e e e e--=. 22.解析：（1）斜率为2时，直线l 的普通方程为12(1)y x -=+， 即23y x =+. ①将22cos 42sin x ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程得22(2)(4)4x y -+-=，②则曲线1C 是以1(2,4)C 为圆心，2为半径的圆，圆心1(2,4)C 到直线l 的距离2d ==<， 故直线l 与曲线（圆）1C 相交.（2）2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，由22224816040x y x y x y x ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以1C 与2C 的交点的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭. 23.解析：（1）∵()(1)11a a f x ax a x a x x =+=+-+--，1x >，0a >， ∴()3f x a ≥，即有315a =，解得5a =.（2）由于51(5)(1)4x x x x +++≥+-+=，当且仅当51x -≤≤-时等号成立，∴()51g x x x =+++的最小值为4.。

仿真模拟训练(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |2x≥4}，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B ＝( ) A ．[1,2) B ．(1,2] C ．[2，＋∞) D．[1，＋∞)2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝|ln x |3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 11＝18，d ＝2，那么a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．9 D ．184．已知OA →＝(cos15°，sin15°)，OB →＝(cos75°，sin75°)，则|AB →|＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．15．过原点且倾斜角为π3的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 36．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是( )A ．l ∥α，m ⊥β，α⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，α∥βC ．l ∥α，m ∥β，α∥βD ．l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数y ＝log a (x －3)＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为( )A.12B.14C.18D.1168．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1C ．3·2n －3D ．3·2n－19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 ( )A.23 B ．2 C.43D ．4 10．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，|PF 2|＝|F 1F 2|，∠PF 1F 2＝30°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.2＋1C.3＋12D.3＋1 11．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份(届) 2014 2015 2016 2017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x 51 49 55 57 被清华、北大等世界名校录取的学生人数y 103 96 108 107根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A ．111B ．115C ．117D ．12312．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2－32x ，若x ＝1是函数f (x )是极大值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．ln2－2B ．ln2－1C ．ln3－2D ．ln3－1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知正方形ABCD 边长为2，M 是CD 的中点，则AM →·BD →＝________.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥1y ≥x －1，则2x ＋y 的最大值为________．15．直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同两点A ，B ，若M (x 0,4)是AB 中点，则直线l 的斜率k ＝________.16．钝角△ABC 中，若A ＝3π4，|BC |＝1，则22|AB |＋3|AC |的最大值为____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．18．(本题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟) 平均每天锻炼的时间/分钟 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“课外体育达标”． (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表：课外体育不达标课外体育达标 合计男女 20 110 合计(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k )0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.001 k5.024 2.0726.6357.879 5.024 6.635 7.879 10.82819．(本题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：CF ∥平面AEB 1；(2)求点B 到平面AEB 1的距离． 20．(本题满分12分)已知F 是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)若x 1＋x 2＝3，求AB 弦长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →tan θ＝46，求直线l 的方程．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和曲线C 2的普通方程； (2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值． 23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －a |－|x ＋2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当a ＝2时，函数f (x )的最小值为t ，1m ＋14n＝－t (m >0，n >0)，求m ＋n 的最小值．仿真模拟训练(三)1．C 因为集合A ＝{x |2x≥4}＝[2，＋∞)，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝(1，＋∞) 所以A ∩B ＝[2，＋∞)．故选C.2．B 对于A ，y ＝x 2是偶函数，在区间(0,1)单调递增，故排除；对于B ，y ＝cos x 是偶函数，在区间(0,1)单调递减，故正确；对于C ，y ＝2x是非奇非偶函数，在区间(0,1)单调递增，故排除；对于D ，y ＝|ln x |是非奇非偶函数，在区间(0,1)单调递减，故排除．故选B.3．B 因为a 3＋a 11＝18，公差d ＝2所以a 3＋a 11＝a 1＋2d ＋a 1＋10d ＝2a 1＋24＝18 所以a 1＝－3所以a 5＝a 1＋4d ＝－3＋8＝5.故选B.4．D 因为OA →＝(cos15°，sin15°)，OB →＝(cos75°，sin75°)所以|AB →|＝|OB →－OA →|＝cos75°－cos15°2＋sin75°－sin15°2＝2－2cos60°＝1，故选D.5．D x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.依题意可得，直线方程为y ＝3x ，则圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离d ＝1，所以直线被圆所截得的弦长为24－d 2＝24－1＝23，故选 D.6．B 由A ，C ，D 可推出l 与m 平行、相交或异面，由B 可推出l ∥m .故选B.7．A 依题意有A (4,1)，代入直线得4m ＋n ＝1，所以mn ＝14·4mn ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋n 22＝14·14＝116，故选A. 8．C 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3.当n ≥2时，S n ＝2a n －3，S n －1＝2a n －1－3，则a n ＝2a n －3－2a n －1＋3，即a n ＝2a n －1. 所以数列a n 是首项为3，公比为2的等比数列所以S n ＝3×1－2n1－2＝3·2n－3.故选C.9．A 由三视图可知该几何体为三棱锥D －ABC (如图所示)，其中AB ＝AC ＝2，D 到平面ABC 的距离为1，故所求的三棱锥的体积为V ＝13×12×2×2×1＝23.故选A. 10．C 根据题意作图如下：设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c 因为∠PF 1F 2＝30° 所以|PF 1|＝23c 又|PF 1|－|PF 2|＝2a 所以2a ＝23c －2c所以e ＝c a＝13－1＝3＋12.故选C. 11．C 由题意得x －＝51＋49＋55＋574＝53，y －＝103＋96＋108＋1074＝103.5因为数据的样本中心点在线性回归直线上，y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为1.35所以103.5＝1.35×53＋a ^，即a ^＝31.95所以线性回归方程是y ^＝1.35x ＋31.95因为我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人 所以我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为1.35×63＋31.95＝117.故选C.12．A 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－32x所以f ′(x )＝1x ＋2ax －32因为x ＝1是函数f (x )的极大值点所以f ′(1)＝1＋2a －32＝0所以a ＝14所以f (x )＝ln x ＋14x 2－32x所以f ′(x )＝1x ＋x 2－32＝x 2－3x ＋22x ＝x －2x －12x(x >0)所以当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0所以当x ＝2时f (x )取极小值为ln2－2.故选A.13．2 根据题意AM →·BD →＝(AD →＋DM →)·(BA →＋AD →)＝0＋|AD →|2－|DM →|·|BA →|＋0＝4－1×2＝2.故正确答案为2.14．5 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥1y ≥x －1表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部：其中A (1,0)，B (0,1)，C (2,1)，设z ＝2x ＋y ，将直线z ＝2x ＋y 进行平移，当经过点C 时，目标函数z 达到最大值，此时z ＝2×2＋1＝5.故答案为5.15.12 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 因为直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同两点A ，B所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，则两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2) 因为M (x 0,4)是AB 中点 所以8(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)所以y 1－y 2x 1－x 2＝12.故答案为12.16.10 在钝角△ABC 中，若A ＝3π4，|BC |＝1，由正弦定理可得|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝122＝2，所以|AB |＝2sin C ，|AC |＝2sin B所以22|AB |＋3|AC |＝4sin C ＋32sin B ＝4sin C ＋32sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋3π4＝sin C ＋3cos C ＝10sin(C ＋φ)，其中tan φ＝3>tan π3因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4所以C ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π12 所以当C ＋φ＝π2时，22|AB |＋3|AC |取得最大值，最大值为10.故答案为10.17．解析：(1)由题意知，由f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 所以f (x )∈[0，3] (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝0因为A ∈(0，π)所以A ＝π3因为a ＝4，b ＋c ＝5，所以由余弦定理可得16＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝25－3bc 所以bc ＝3所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.18．解析：(1)课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110合计 150 50 200(2)K 2＝20060×20－30×902150×50×90×110＝20033≈6.060<6.635所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．19．解析：(1)取AB 1中点G ，连接EG 、FG ，则FG ∥BB 1且FG ＝12BB 1.E 为CC 1中点，CE ∥BB 1且CE ＝12BB 1，所以FG ∥CE 且FG ＝CE .所以四边形CEGF 为平行四边形，CF ∥EG ， 又因为CF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1， 所以CF ∥平面AEB 1；(2)因为△ABC 中，AC ＝BC ，F 是AB 中点 所以CF ⊥AB又因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CF ⊥BB 1，AB ∩BB 1＝B ， 所以CF ⊥平面ABB 1，且C 到平面ABB 1的距离为CF ＝1， 因为CC 1∥平面ABB 1所以E 到平面ABB 1的距离等于C 到平面ABB 1的距离等于1. 设点B 到平面AEB 1的距离为d . 因为VB －AEB 1＝VE －ABB 1所以13×SAEB 1×d ＝13×SABB 1×1，易求SABB 1＝23，SAEB 1＝2，解得d ＝ 3.所以点B 到平面AEB 1的距离为 3.20．解析：(1)由题意可知过F 的直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝6y ＝k x －2，得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0因为x 1＋x 2＝3所以k 2＝1，则x 1x 2＝32所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 6(2)因为3OA →·OB →tan θ＝4 6所以|OA ||OB |sin θ＝463所以S △AOB ＝263，即12×2×|y 1－y 2|＝263.设直线l 的方程为x ＝my ＋2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 26＋y22＝1，得(m 2＋3)y 2＋4my －2＝0，所以y 1＋y 2＝－4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， 所以(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝83，即m 4－3m 2＝0，所以m ＝0或m ＝±3，所以直线l 的方程为x ＝2，y ＝±33(x －2)． 21．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)f ′(x )＝1x ＋1－2x2，f (2)＝ln2＋2，f ′(2)＝1，所以切线方程为：y ＝x ＋ln2(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax 2，x ∈(0，＋∞)，令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)， (i)当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)所以当x ∈(0,1)时g (x )>0，f ′(x )<0此时函数f (x )单调递减， x ∈(1，∞)时，g (x )<0，f ′(x )>0此时函数f (x )单调递增．(ii)当a ≠0时，由f (x )>0，解得：x 1＝1，x 2＝1a－1①若a ＝12，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，②若0<a <12，在(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增． ③当a <0时，由于1a－1<0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )，函数f (x )单调递减；x ∈(1，∞)时，g (x )<0 ，f ′(x )>0，此时函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0 时，函数f (x )在(0,1)上单调递减； 函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋ ∞)上单调递减当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减； 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1上单调递增；22．解析：(1)由ρ2＝31＋sin 2θ，得ρ2＋2ρ2sin 2θ＝3，则x 2＋y 2＋2y 2＝3，即x 23＋y 2＝1，所以曲线C 1的参数方程为C 1：⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)消去参数t ，整理得曲线C 2的普通方程为x －3y －2＝0.(2)设曲线C 1上任意一点P (3cos α，sin α)，点P 到x －3y －2＝0的距离d ＝|3cos α－3sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22因为－6－2≤6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2≤6－2 所以0≤d ≤6＋22所以曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值为6＋22. 23．解析：(1)当a ＝1时，不等式为2|x －1|－|x ＋2|≥0⇔2|x －1|≥|x ＋2|两边平方得4(x －1)2≥(x ＋2)2，解得x ≥4或x ≤0 所以f (x )≥0的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞) (2)当a ＝2时，f (x )＝2|x －2|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－x ，x ≤－2，2－3x ，－2<x <2，x －6，x ≥2，可得t ＝－4，所以1m ＋14n＝4(m >0，n >0)所以m ＋n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋14n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋n m ＋m 4n ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋1＝916，当且仅当m ＝2n ，即n ＝316，m ＝38时取等号．。

2019高考数学二轮复习仿真模拟训练四文仿真模拟训练( ( 四) ) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 U ＝ Z ， A ＝{0,1,2,3}， B ＝{ x | x2 ＝2 x }，则A (∁ U B )( ) A．{1,3} B．{0,2} C．{0,1,3} D．{2} 2．若复数 z ＝2－i1＋2i ，则| z |＝( ) A．4 B．1 C．0 D．－2 3．为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是( ) A．各月的平均最高气温都不高于 25 度 B．七月的平均温差比一月的平均温差小 C．平均最高气温低于 20 度的月份有 5 个 D．六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于 10 度 4．已知函数 f ( x ) log 3 －x ， x 0，－ f x －， x 0，则 f (2017)＝( ) A．1 B．0 C．－1 D．log 3 2 5．设双曲线 x2a2 － y2b2 ＝1( a 0， b 0)的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 A 1 ， A 2 ，过 F 做 A 1 A 2的垂线与双曲线交于 B ， C 两点，若A 1 B A 2 C ，则双曲线的渐近线的斜率为( ) A． 12 B．22 C．1 D． 2 6．已知{ a n }是公差为 1 的等差数列， S n 为{ a n }的前 n 项和，若 S 8 ＝4 S 4 ，则 a 10 ＝( ) A. 172 B. 192 C．10 D．12 7．函数 f ( x )＝sin xx ＋的图象可能是( ) 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 11 36B. 3C. 533D. 433 9．给出 30 个数：1,2,4,7,11,16，，要计算这 30 个数的和．如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入( ) A． i 30？和 p ＝ i －1 B． i 31？和 p ＝p ＋ i ＋1 C． i 31？和 p ＝ p ＋1 D． i 30？和 p ＝ p ＋ i 10．已知函数 f ( x )( x R R)满足 f (－ x )＝2－ f ( x )，若函数 y ＝ x ＋1x与y ＝ f ( x )图象的交点为( x 1 ， y 1 )，( x 2 ， y 2 )，，( x m ， y m )，则mi ＝1 ( x i ＋ y i )＝( ) A．0 B． m C．2 m D．4 m 11．正四面体 A － BCD 的所有棱长均为 12，球 O 是其外接球， M ， N 分别是△ ABC 与△ ACD的重心，则球 O 截直线 MN 所得的弦长为( ) A．4 B．6 2 C．4 13 D. 3 62 12．已知抛物线 C ： y2 ＝2 px ( p 0)经过点(1，－2)，过焦点F 的直线 l 与抛物线 C 交于A ， B 两点， Q 72，0 ，若 BQ BF ，则| BF |－| AF |＝( ) A．－1 B．－ 32 C．－2 D．－4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上． 13．已知实数 x ， y y 1x － y －10x ＋ y －40，则 z ＝2 x ＋ y 的最大值是________． 14．某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是______． 15．已知平面向量 a a 与 b b 的夹角为 3， a a ＝(1， 3)，| a a －2 b b |＝2 3，则| b b |＝______. 16．正整数数列{ a n }满足 a n ＋1 ＝12 an ， a n 是偶3 a n ＋1， a n 是奇，已知 a 7 ＝2，{ a n }的前 7 项和的最大值为 S ，把 a 1 的所有可能取值按从小到大排成一个新数列{ b n }，{ b n }所有项和为 T ，则 S－ T ＝________. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17．(本题满分 12 分)在△ ABC 中， D 是边 BC 上的点， AB ＝ AD ＝ 7，cos BAD ＝ 17 .(1)求 sin B ； (2)若 AC ＝4，求△ ADC 的面积． 18．(本题满分 12 分)如图，在底面为梯形的四棱锥 S － ABCD 中，已知 AD ∥ BC ， ASC ＝60， AD ＝ DC ＝ 2， SA ＝ SC ＝ SD ＝2. (1)求证： AC SD ； (2)求三棱锥 B － SAD 的体积．19．(本题满分 12 分)一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表：温度 x /℃ 21 23 24 27 29 32 产卵数 y /个 6 11 20 27 57 77 经计算得： x－＝16 i 0)． (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l ： y ＝－ 12 x ＋ m与椭圆交于 A ， B 两点，与以 F 1 F 2 为直径的圆交于 C ， D 两点，且满足 | AB || CD | ＝5 34，求直线 l 的方程． 21．(本题满分 12 分)已知函数 f ( x )＝ln xx －1 . (1)确定函数 f ( x )在定义域上的单调性； (2)若 f ( x ) kex 在(1，＋)上恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在 22,23 两题中任选一题作答． 22．【选修 4－4 坐标系与参数方程】(本题满分 10 分)已知直线 l x ＝ t cos y ＝－2＋ t sin ( t 为参数，0 )，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为＝1， l 与 C 交于不同的两点 P 1 ， P 2 . (1)求的取值范围； (2)以为参数，求线段 P 1 P 2 中点轨迹的参数方程． 23．【选修 4－5 不等式选讲】(本题满分 10 分)已知函数 f ( x )＝| x －4|＋| x －2|. (1)求不等式 f ( x )2 的解集； (2)设 f ( x )的最小值为 M ，若 2x ＋a M的解集包含[0,1]，求 a 的取值范围．仿真模拟训练( ( 四) ) 1．A 由于全集 U ＝ Z ， A ＝{0,1,2,3}， B ＝{ x | x2 ＝2 x }，所以∁U B ＝{ x | x Z Z 且 x 0，且x 2}，所以 A (∁ U B )＝{1,3}，故选 A. 2．B 因为 z ＝2－i1＋2i ＝－－＋－＝－i，所以| z |＝1，故选 B. 3．C 由雷达图可知平均最高气温低于 20 度的月份有一月、二月、十一月、十二月共四个，选项 C 的说法是错误的．故选 C. 4．B f (2017)＝－ f (2015)＝ f (2013)＝ f (1)＝－ f (－1)＝－log 3 1＝0，故选 B. 5．CA 1 (－ a, 0)，B c ， b2a， A 2 ( a, 0)， Cc ，－ b2a，所以 A 1 B＝ a ＋ c ， b2a， A 2 Cc － a ，－ b2a根据 A 1 B A 2 C ，所以 A 1 B A2 C ＝0，代入后得c2 － a 2 － b4a2 ＝0，整理为 b2a2 ＝1，所以该双曲线渐近线的斜率是 k ＝ ba ＝1，故选 C. 6．B 由 S 8 ＝4 S 4 得 8 a 1 ＋28 d ＝4(4 a 1 ＋6 d )，解得 a 1 ＝ 12 ， a10 ＝ a 1 ＋9 d ＝ 192. 7．A 函数 f ( x )＝sin xx ＋的定义域为{ x | x －2 且 x －1}，可排除 B、D；又 x ＝－ 1.5 时，sin( －1.5)＝－sin1.50 ， ln( － 1.5＋2) ＝ln0.50 ，即 f (－ 1.5) ＝－－1.5＋0，故选 A. 8．B 由三视图可知，该几何体是由正三棱柱截取一部分所得，故体积为12 V ＝12 3422 2＝ 3. 9．D 由于要计算 30 个数的和，故循环要执行 30 次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值应为 30 即①中应填写i 30? 又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1＋1＝2；第 3 个数比第 2 个数大 2 即 2＋2＝4；第 4 个数比第 3 个数大 3 即 4＋3＝7；故②中应填写 p ＝ p ＋ i . 10．B 由题意得，函数 f ( x )( x R R)和 f (－ x )＝2－ f ( x )的图象都关于(0,1)对称，所以两函数的交点也关于(0,1)对称，对于每一组对称点( x i ， y i )和( x i ， y i )，都有 x i ＋ x i＝0，y i ＋ y i ＝2.从而i ＝1m ( x i ＋ y i )＝ m2 2＝ m .故选 B. 11．C 正四面体 A － BCD 可补全为棱长为 6 2的正方体，所以球 O 是正方体的外接球，其半径 R ＝326 2＝3 6，设正四面体的高为 h ，则 h ＝ 122 －32 ＝4 6，故 OM ＝ ON ＝ 14 h ＝6，又 MN ＝ 13 BD ＝4，所以O 到直线 MN 的距离为 62 －2 2 ＝2，因此球 O 截直线 MN 所得的弦长为 2 62 －22 ＝4 13. 本题选择 C 选项． 12．B 因为抛物线 C ： y2 ＝2 px ( p 0)经过点(1，－2)，所以p ＝2，即抛物线 C ： y2 ＝4 x ，设过焦点 F 的直线 l ： x ＝ my ＋1 x ＝ my ＋1y2 ＝4 x y2 －4 my －4＝0，所以y 1 y 2 ＝－4，设 B ( a ，b )( b 0)，因为 BQ BF ，所以 k BQ k BF ＝b2aa ＋ 72＝－1，且 b2 ＝4 a ，解得a ＝ 12 ，b ＝ 2，所以 A (2,22)，则| BF |－| AF |＝ x B － x A ＝ 12 －2＝－32 ，故选 B. 13．7 如图，过点(3,1)时， z max ＝23＋1＝7. 14．甲如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；如果乙说假话，则乙没有被录用，丙也没有被录用，则甲被录用，满足题意；如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾．综上，被录用的是甲． 15．2 因为平面向量 a a 与 b b 的夹角为 3， a a ＝(1， 3)，| a a －2 b b |＝2 3，所以| a a |2 －4 a a b b＋4| b b |2 ＝12，即 4－42| b b | 12 ＋4| b b |2 ＝12，解得| b b |＝2，故答案为 2. 16．64 因为正整数数列{ a n }满足 a n ＋1 12 an ， a n 是偶3 a n ＋1， a n 是奇，故可采用逆推的思想得如下图所示：则{ a n }的前 7 项和的最大值 S ＝2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝254，{ b n }所有项和 T ＝2＋3＋16＋20＋21＋128＝190，故 S － T ＝254－190＝64，故答案为 64. 17．解析：(1)在△ ABD 中， BD2 ＝ AB 2 ＋ AD 2 －2 AB AD cos BAD ＝7＋7－2 77 17＝12，得 BD ＝2 3 由 cos BAD ＝ 17 ，得 sin BAD ＝4 37 在△ ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝BDsin BAD ，所以 sin B ＝72 3 4 37＝ 277 (2)因为 sin B ＝ 277， B 是锐角，所以 cos B ＝217 设 BC ＝ x ，在△ ABC 中， AB2 ＋ BC 2 －2 AB BC cos B ＝ AC 2 即 7＋ x2 －2 x 7217＝16 化简得： x2 －23 x －9＝0 解得 x ＝3 3或 x ＝－ 3(舍去) 则 CD ＝ BC － BD ＝3 3－2 3＝ 3 由 ADC 和 ADB 互补，得 sin ADC ＝sin ADB ＝sin B ＝ 277所以△ ADC 的面积 S ＝ 12 AD DC sin ADC ＝12 7 3 2 77＝ 3. 18．解析：(1)设 O 为 AC 的中点，连接 OS ， OD ，因为 SA ＝ SC ，所以 OS AC 因为 DA ＝ DC ，所以 DO AC ，又 OS ， OD 平面 SOD ，且 OS DO ＝ O ，所以 AC 平面 SOD ，又 SD 平面 SOD 所以 AC SD (2)连接 BD ，在△ ASC 中，因为 SA ＝ SC ， ASC ＝60， O 为 AC 的中点，所以△ ASC 为正三角形，且 AC ＝2， OS ＝ 3，因为在△ ASC 中， DA2 ＋ DC 2 ＝4＝ AC 2 ， O为AC 的中点，所以 ADC ＝90，且 OD ＝1，因为在△ SOD 中， OS2 ＋ OD 2 ＝SD 2 所以△ SOD 为直角三角形，且 SOD ＝90 所以 SO OD 又 OS AC ，且AC DO ＝ O 所52，(*)．所以| CD |＝2 1－ d2 ＝21－ 45 m2 ＝ 255－4 m2 . 设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )， y ＝－ 12 x ＋ mx24 ＋y23 ＝1得 x2 － mx ＋ m 2 －3＝0，由根与系数的关系得 x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1 x 2 ＝ m2 －3，所以| AB |1＋122[ m2 －m2 －＝1524－ m2 . 由 | AB || CD | ＝5 34，得4－ m25－4 m2 ＝1，解得 m ＝33，满足 (*)．所以直线 l 的方程为 y ＝－ 12 x ＋33或 y ＝－ 12 x －33. 21．解析：(1)函数 f ( x )的定义域为(0,1)(1，＋)， f ( x )＝1－ 1x －ln xx －2 ，令 g ( x )＝1－ 1x －ln x ，则有g ( x )＝ 1－xx2 ，令 g ( x )＝ 1－ xx2 ＝0，解得 x ＝1，所以在(0,1)上， g ( x )0，g ( x )单调递增，在(1，＋)上， g ( x )0， g ( x )单调递减．又 g (1)＝0，所以 g ( x )0 在定义域上恒成立，即 f ( x )0 在定义域上恒成立，所以 f ( x )在(0,1)单调递减，在(1，＋)上单调递减． (2)由 f ( x ) kex 在(1，＋)上恒成立得： ln xx －1 kex 在(1，＋)上恒成立．整理得：ln x －k ( x －1) ex 0 在(1，＋)上恒成立．令 h ( x )＝ln x － k ( x －1) ex ，易知，当k 0 时， h ( x )0 在(1，＋)上恒成立不可能，所以 k 0，又 h ( x )＝ 1x － kxex ， h (1)＝1－ ke ， (ⅰ)当 k 1e 时， h (1)＝1－ ke 0，又h ( x )＝ 1x － kxex 在(1，＋)上单调递减，所以 h ( x )0 在(1，＋)上恒成立，则 h ( x )在(1，＋)上单调递减，又 h (1)＝0，所以h ( x )0 在(1，＋)上恒成立． (ⅱ)当 0 k 1e 时， h (1)＝1－ ke 0， h 1k ＝ k － e 1k 0，又h ( x )＝ 1x － kxex 在(1，＋)上单调递减，所以存在 x 0 (1，＋)，使得 h ( x 0 )＝0，所以在(1， x 0 )上 h ( x )0，在( x 0 ，＋)上 h ( x )0，所以 h ( x )在(1， x 0 )上单调递增，在( x 0 ，＋)上单调递减，又 h (1)＝0，所以 h ( x )0 在(1， x 0 )上恒成立，所以 h ( x )0 在(1，＋)上恒成立不可能．综上所述， k 1e . 22．解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ＋ y 2 ＝1 x ＝ t cos y ＝－2＋ t sin 代入 x2 ＋ y 2＝1 得 t2 －4 t sin ＋3＝0(*) 由 16sin2 －120，得|sin |32，又 0 ，所以，的取值范围是3， 23； (2)由(*)可知， t1 ＋ t 22＝2sin ， x ＝ t cos y ＝－2＋ t sin 中，整理得 P 1 P 2 的中点的轨迹方程为 x ＝sin2 y ＝－1－cos2 ( 为参数， 3 23)． 23．解析：(1) f ( x )＝| x －4|＋| x －2| 6－2 x ， x 22，2 x 42 x －6， x 4，所以当 x 2 时， f ( x )2,6－2 x 2，解得 x 2；当 2 x 4 时， f ( x )2 得 2＞2，无解；当 x 4 时， f ( x )2 得 2 x －62，解得 x 4. 所以不等式 f ( x )2 的解集为(－，2)(4，＋)． (2)因为| x －4|＋| x －2|2，所以 M ＝2，因为 2x ＋ a M的解集包含[0,1]，所以 20 ＋a 2,21 ＋ a 2，所以a 1，故 a 的取值范围为：[1，＋)．。