2.6方程与不等式拓展创新

陕西省榆林育才中学2014高中数学 2.6 一元二次不等式的应用（1）导学案（无答案）北师大版必修5【学习目标】1.会解简单的分式不等式.2.会解简单的高次不等式. 【学习重点】分式不等式与高次不等式的解法.【学习难点】分式不等式与高次不等式的解法.【使用说明】1.认真阅读学习目标，仔细阅读课本，提前预习，完成自主学习内容．2.课堂积极讨论，大胆展示，小组内完成合作探究部分并总结．【自主学习】复习：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠解的情况有哪些？3、简述求解一元二次不等式的步骤。

（1）二次项系数化正.（化正）【合作探究】探究一：分式不等式的解法思考：不等式0x a x b->-与不等式()()0x a x b -->有相同的解集，我们称之为同解不等式.想一想，这是为什么？把哪里稍作变动就不同解了，为什么？问题：形如()(0)()f x a ag x >≠的不等式，该如何求解呢？探究二：高次不等式的解法 思考：1.如何求(1)(2)(3)0x x x +-->的解集？2.阅读课本第82页例11思考如何画三次函数()()()y x a x b x c =---的图像？（不妨设a b c <<）新知：穿针引线法不等式最高次数高于2次时，这样的不等式称为高次不等式. 解高次不等式的方法：先分解因式，再使用穿针引线法. 注意：（1）因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.（2）恒正因式，可直接去掉.（3）穿针引线法的使用对象及使用方法使用对象：二次不等式、分式不等式及高次不等式.使用方法：①在数轴上标出化简后各因式的根.②自右上方开始穿线，遇偶次重根不穿过，遇奇次重根要穿透（叫奇穿偶不穿）.③数轴上方曲线对应区域使“>”成立，下方曲线对应区域使“<”成立.例.解不等式23(4)(5)(2)0x x x ++-<分析：原不等式等价于23(4)(5)(2)0x x x ++->根据穿针引线法如图不等式的解集为{245}.x x x x ><-≠-或且 解下列不等式（1）(1)(3)(5)0x x x +--≥ （2）(13)(3)(1)0x x x -++<（3）32(1)(1)(3)(10)0x x x x -++-≤【课后检测】1. 关于x 的一元二次方程2(21)0mx m x m -++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 .2.不等式22(712)(1)0x x x x -+++>的解集为（ ）A.(,4)(3,)-∞-⋃-+∞B. (,3)(4,)-∞⋃+∞C.(4,3)--D.(3,4)3．解下列不等式（1）3112x x -≤- （2）3410x x x +-->（3）222(23)(21)6x x xx x+--≤-++【小结】。

2.6列方程解应用问题.教学设计
教学目标：
(一)知识与技能
1．整体把握打折问题中的基本量之间的关系：每件商品的利润=商品售价-商品成本价；
每件商品的利润率=（利润÷成本）×100%．
2．探索打折问题中的等量关系，建立一元一次方程；
3．进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤．
(二)过程与方法
让学生亲身经历和体验运用方程解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力．
(三)情感态度与价值观
1．在解决生活中富有挑战性问题的过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志；
2．鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生学习数学的热情．
教学重难点：
（一）教学重点：
1．理解成本、标价、实际售价、利润的含义及它们之间的等量关系；
2．根据以往的经验，总结出运用方程解决实际问题的一般步骤．
（二）教学难点：
1．把握打折问题中的等量关系．
2．全面、准确、系统的审题
教学过程：
板书设计：2、6 一元一次方程的应用
——打折销售
利润=售价－成本价例题：略
售价=成本价+利润
利润率=利润/进价×100
课堂反馈
1、进价为90元的篮球，卖了120元，利润是元利润率是；
2、原价100元的商品打9折后价格为元；
3、原价100元的商品提价40%后的价格为元；
4、一件衬衣进价为100元,利润率为20% 这件衬衣售价为_____ 元；
5、一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，这种商品的成本价是多少？。

2.6列方程解应用问题.名师教案3目标导学：1.知道工程问题三个量之间的关系；2．会利用表格分析关于工程的应用题，并找出相等关系，列出方程。

（一）情景引入： 1．背景介绍为改善校园环境，明天，我校就要对校门口的这片土地进行改造啦。

2.提出问题⑴工程问题中包含哪几个量？ 工作时间、工作效率、工作总量 ⑵这些量之间有怎样的关系？ 工作总量=工作效率×工作时间⑶ 题目中没有具体的工作总量时通常用____表示。

单位1表示 自学检测：例6 一项工程，甲队单独施工15天完成，乙队单独完成施工9天完成，现在由甲队先工作3天，剩下的有甲、乙两队合作，还需几天才能完成任务？工作效率 工作时间 工作量 甲乙通过学生周围的实例，引出问题，激发学生学习热情通过复习，为学习新知做好铺垫。

151913x)3(151x x 91相等关系：甲的工作量+乙的工作量＝1 方程：已知：甲队单独做这项工作需20天完成，乙队单独做这项工作需30天完成。

⑴ 甲队的工作效率是____，5天完成的工作量是_____；⑵ 乙队的工作效率是____，x 天完成的工作量是_____；⑶无论甲队还是乙队单独完成的时间都比较长，为尽可能缩短工作时间，如果你是学校领导，怎样安排施工队工作，才能在较短时间内完成这项工作？引导点拔：（1）这项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成，甲乙两队合作需几天完成这件工作？1. 首先由一名学生阅读题目。

2. 引导学生分析分析：点学生填写表格的表头，然后进行表格的填写抽签点学生：相等关系是什么？3．由学生设出未知数，并列出方程，师生共同解答； 同时教师在黑板上写出解题过程，形成板书。

解: 设甲、乙两队合作需x 天完成任务。

依题意，得 1301201=+x x 解这个方程，得 12=x 答: 甲、乙两队合作需12天完成任务。

201， 5201⨯ 301， x 301如果能够答出，对学生的方法加以肯定；如果学生不能答出办法，引导点拔，得出“合作完成”。

(第4题图)……………………………………图1图2图3（二）方程与不等式一、课堂例题 （一）方程整数解问题1．已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的整数a 的值．2．设m 为整数，且440m <<，又方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根.求m 的值及方程的根．3．现有a 根长度相同的火柴棒，分别．．按照图1、图2摆放时，火柴棒都全部用完．若这 a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状，则a 的最小值为 ．（二）不等式（组）参数取值问题1．若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．2．已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集是53x <-，试求0bx a ->的解集．3．若实数a 使关于x 的不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧->≤x 15a 2-x 67-x 412-3x有且仅有三个整数解，求a 的取值范围．4．若关于x 的不等式()152ax x a ->-的解都是不等式123x -<的解，求a 的取值范围． .5．若满足不等式3(2)315a x a ---≤≤的x 必满足35x ≤≤，求a 的取值范围.（三）方程、不等式综合1．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x 2+5x ﹣14＝0即x （x +5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x +x +5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x ＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x 2﹣4x ﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）2．小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A ．31元B ．30元C ．25元D ．19元3．阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为《x 》，即当n 为非负整数时，若n ﹣12≤x ＜n +12，则《x 》=n ．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《x 》的问题：①《》=2；②《2x 》=2《x 》；③当m 为非负整数时，《m +2x 》=m +《2x 》；④若《2x ﹣1》=5，则实数x 的取值范围是114≤x ＜134；⑤满足《x 》=32x 的非负实数x 有三个．其中正确结论的个数是 个．4．观察分析下列方程：①x ＋2x ＝3，②x ＋6x ＝5，③x ＋12x ＝7.请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋n 2＋nx －3＝2n ＋4(n 为正整数)的根．二、中考试题初体验 1．解下列方程和不等式.⑴解方程组37528x y x y -=⎧⎨+=⎩．⑵解不等式组245(2)213x x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≤把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．⑶解分式方程23111x xx x -+=--．⑷解一元二次方程：2410x x +-=．2．(1)已知关于x 的一元二次方程()2110m x mx --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为 ．（2）设m 为整数，22(5)40mx m x m +-+-=有整数根，则m 的值为 ．（3）对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为（x ），即当n 为非负整数时，若n ﹣0.5≤x ＜n +0.5，则（x ）＝n ．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x ﹣1）＝4，则实数x 的取值范围是 ．3．若不等式()()230a b x a b ++-<的解集为13x >-，求不等式()()320a b x b a -+->的解集．4．已知方程()3127x -+=-的解是不等式()3256x x k -+>-+的最小整数解，求参数k 的取值范围．5．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？6．某次智能竞赛共10题，答对每题得10分，不答或答错得0分．小王统计了A校所有竞赛参加者的成绩，汇总如下：40分以上（含40分）的参赛者平均得60分，60分以下（含60分）的参赛者平均得40分．求A校参赛人数至少多少人？参考答案：1、（1）21 xy=⎧⎨=-⎩．⑵245(2)213x xx x++⎧⎪⎨-<⎪⎩≤⑶1x=是原方程的增根，故原方程无解．⑷1222 x x=-+=--2、（1）1m≠且2m≠．（2）4、-4、-16 （3）9≤x＜113、x＞-34、11＜k≤135、(1)侧面(76+2x)个；底面（95-5x）个；（2）30个6、95人。

基本不等式的变式与拓展1. 不等式的世界说到不等式，大家可能脑海中浮现的都是那些晦涩难懂的数学公式。

不过，今天咱们就来聊聊这其中的乐趣。

你想啊，不等式其实就是在告诉我们，世界上的事物从来都不是绝对的。

就像人们常说的：“天上没有掉馅饼的事。

”有些时候，我们得接受一些事情的“比较”，这才是生活的真谛。

在日常生活中，我们常常会遇到一些“不等式”的现象。

比如，朋友们一起去吃饭，账单一到，大家的表现可就各有千秋了。

有的人心里默念：“我得省着点，毕竟工资才发了一半！”而有的人则是心安理得，觉得“反正大家一起吃，分摊一下就好！”看吧，这就是生活中的不等式，合理与不合理的比较。

1.1 基本不等式的简单介绍好，咱们先来了解一下基本的不等式。

最常见的就是“阿莫尔不等式”和“柯西施瓦茨不等式”。

这两个小家伙就像是数学界的双子星，闪闪发光，大家都爱它们。

简单来说，阿莫尔不等式告诉我们，两个数的平均值总是比它们的算术平均数大，而柯西施瓦茨不等式则是说，两个向量的内积小于等于它们的模长的乘积。

你看，这听起来是不是有点拗口？但其实，它们的背后藏着许多生活中的道理。

就像我们在一起聚会时，大家的气氛总是能比一个人孤独地呆在家中要好得多，这不就是一个简简单单的“不等式”吗？1.2 不等式的应用不等式在我们的生活中其实随处可见。

想象一下，如果你去买水果，看到一堆苹果，心里想：“买一个苹果的价格肯定比买一斤要划算。

”但等你到了摊主那儿，却发现买一斤便宜的多。

哎，这不就是一个很形象的不等式吗？在某些情况下，选择多一点，成本却可能更低。

再比如，工作中常常需要做选择。

有时候，领导可能会问：“你觉得这个方案好，还是那个方案更好？”这时候，你心里就得进行一番不等式的比较。

虽然每个方案都有自己的优缺点，但你得权衡利弊，找出最划算的选择。

这可不是小打小闹，而是关乎大局的“大不等式”呀。

2. 不等式的变式与拓展现在，我们再来看看不等式的变式。

人生就像一场大舞台剧，有时候演员的表现需要一些“变脸”，这就像不等式的变式一样，让它们在不同的场合发挥出不同的效果。

《3.2 函数与方程、不等式之间的关系》学历案（第一课时）一、学习主题本课程学习主题为“函数与方程、不等式之间的关系”。

在数学中，函数是描述变量之间关系的重要概念，而方程与不等式则是研究函数性质和解决实际问题的常用工具。

本课时将重点探讨函数与方程、不等式之间的联系和区别，帮助学生建立清晰的概念框架，为后续学习打下坚实的基础。

二、学习目标1. 理解函数的基本概念，掌握函数的表示方法及基本性质。

2. 掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法，并能够运用这些知识解决实际问题。

3. 理解函数与方程、不等式之间的关系，能够通过函数的性质建立和解决相关的方程和不等式问题。

4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高数学应用意识。

三、评价任务1. 通过课堂互动和作业练习，评价学生对函数基本概念的理解和掌握情况。

2. 通过解一元一次方程和不等式的练习，评价学生的计算能力和应用能力。

3. 通过综合性的问题解决练习，评价学生对于函数与方程、不等式之间关系的理解和应用能力。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的内容，引导学生思考函数与方程、不等式之间的联系，为新课学习做好铺垫。

2. 新课讲解：首先讲解函数的基本概念和表示方法，然后通过实例引导学生理解函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

重点讲解如何通过函数的性质建立和解决相关的方程和不等式问题。

3. 学生练习：学生完成相关的练习题，包括函数的表示方法、一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法以及综合性的问题解决练习。

教师巡回指导，及时解答学生疑问。

4. 课堂互动：组织学生进行课堂讨论，分享解题思路和方法，加深对函数与方程、不等式之间关系的理解。

5. 总结归纳：总结本课学习的重点和难点，强调函数与方程、不等式之间的联系和区别，为后续学习做好准备。

五、检测与作业1. 检测：通过课堂小测验或作业练习，检测学生对函数与方程、不等式之间关系的理解和掌握情况。

人教版数学六年级下册式与方程创新教案３篇〖人教版数学六年级下册式与方程创新教案第【1】篇〗一、教材分析1、教材所处的地位和作用：本课是阅读教材P39页的有关内容，虽然新课程标准没有要，教材上也作为阅读教材，但由于其内容太重要了，因而必须把它作为一堂课来上。

它的作用在于让学生能尽快判定一元二次方程根的情况。

2、教学内容：本课主要是引导学生通过对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到的（x+ ）2 = 2 的观察，分析，讨论，发现，最后得出结论：只有当 2b2－4ac≥ 0 时，才能直接开平方，进一步讨论分析得出根的判别式，从而运用它解决实际问题。

3、新课程标准的要求：由于根的判别式作为删去内容，虽然其内容重要，因而在处理这部分内容时，只能要求作了解性深入，练习尽可能简捷明确。

4、教学目标：（1）知识能力目标：通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。

在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件。

（2）情感目标：学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。

5、数学思想：由感性认识到理性认识。

6、教学重点：（1）发现根的判别式。

（2）用根的判别式解决实际问题。

7、教学难点：根的判别式的发现8、教法：启导、探究9、学法：合作学习与探究学习10、教学模式：引导——发现式二、教学过程（一）自习回顾，引入新课1、师生共同回顾：一元二次方程的解法2、解下列一元二次方程。

（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=03、为什么会出现无解？（二）探索1、回顾：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

2、观察(x+ ) 2= 2 在什么情况下成立？3、学生分组讨论。

4、猜测？5、发现了什么？6、总结：2（先由学生完成，后由教师补充完整），通过观察分析发现，只有当 b2－4ac≥ 0时，才能直接开平方，也就是说，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a，b，c都是b2－4ac ≥ 0时，才有实数根。