重叠问题

第20讲重叠问题（含解题思路与参考答案）一、解题方法1. 解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图(也叫文氏图)。

例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米？解题思路：解题过程：把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20厘米，所以这两块木板的总长度是160+20＝180（厘米），每块木板的长度是180÷2＝90（厘米）解：（160+20）÷2 ＝180÷2＝90（厘米）答：这两块木板各长90厘米。

巩固练习1. 把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？2. 两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？3. 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？例题2.三(2)班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，从前数是第2个，从后数是第4个。

三(2)班共有多少人？解题思路：解题过程：根据题意画右图。

由图可看出：亮亮的位置从左数起是第5个，从右数是第4个，说明横有5+4－1＝8（个）人；从前数是第2个，从后数是第4个，说明竖行有2+4－1＝5（个）人。

所以二（3）班有8×5＝40（个）（说明：减“1”是因为亮亮重复数了一次）解：（5+4－1）×（2+4－1）＝8×5＝40（人）答：三（2）班共有40人。

重叠问题一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：知识点拨1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一：两量重叠问题【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？例题精讲例题1 1两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛例题3 3例题2 2实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【巩固】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？例题4 4（第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【巩固】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?例题8 8例题6 6例题55在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？。

重叠问题练习题重叠问题练习题重叠问题是数学中一个有趣且具有挑战性的题目类型。

它要求我们在给定的条件下，找到一种最优的解决方案，以最大化或最小化重叠的部分。

这类问题常常涉及到几何形状、图论和优化等领域，对于培养逻辑思维和解决实际问题非常有帮助。

在本文中，我们将介绍一些重叠问题的练习题，帮助读者更好地理解和应用相关概念。

题目一：最大重叠面积给定一个平面上的矩形列表，每个矩形由左下角和右上角的坐标表示。

请计算这些矩形的最大重叠面积。

解题思路：首先，我们可以将问题转化为一个图论的问题。

将每个矩形看作一个节点，如果两个矩形有重叠部分，则在它们之间添加一条边。

接下来，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来遍历图，并计算每个连通分量的面积。

最后，取所有连通分量中面积的最大值即为所求。

题目二：最小重叠次数给定一个字符串列表，每个字符串表示一个区间。

请计算这些区间的最小重叠次数。

解题思路：我们可以将每个区间表示为一个有向边，边的起点和终点分别对应区间的起始和结束位置。

接下来，我们可以使用拓扑排序算法来确定最小重叠次数。

首先，我们需要构建一个有向无环图，其中每个节点表示一个区间，每条边表示两个区间的重叠关系。

然后，我们可以从入度为零的节点开始，依次删除节点并更新其后继节点的入度。

最后，剩下的节点数即为最小重叠次数。

题目三：最大重叠路径给定一个有向无环图，每条边上有一个权值。

请计算从起点到终点的最大重叠路径。

解题思路：我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。

首先，我们需要构建一个二维数组，其中每个元素表示从起点到当前节点的最大重叠路径。

然后，我们可以使用递推关系式来计算每个元素的值。

具体地说，对于每个节点，我们可以选择从它的前驱节点中的最大重叠路径加上当前边的权值，或者直接从前驱节点中选择最大重叠路径。

最后，最大重叠路径即为终点的最大重叠路径。

通过以上三个练习题，我们可以看到重叠问题的多样性和复杂性。

解决这类问题需要我们灵活运用数学和算法知识，并结合具体问题的特点进行分析和求解。

重叠问题是指在概率统计中，多个事件之间存在共同发生的可能性。

解决重叠问题的关键是正确计算相互影响的事件发生的概率。

主要知识点包括：
1. 重叠事件的概率计算：重叠事件A和B同时发生的概率P(A∩B)可以通过公式P(A∩B)=P(A)P(B|A)计算，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2. 独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)。

独立事件的重叠概率P(A∩B)=P(A)P(B)。

3. 互斥事件：如果两个事件A和B互斥，那么它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。

4. 一般重叠问题的求解方法：对于一般重叠问题，可以采用先分类后分步的方法，将问题拆分为多个互斥事件的和，然后分别计算每个互斥事件的概率，最后将这些概率相加得到结果。

5. 重叠问题的实际应用：重叠问题在实际生活中有很多应用，如保险、排队理论、可靠性工程等领域。

掌握重叠问题的解决方法对于解决实际问题具有重要意义。

重叠问题四年级练习题[题目一]小明有一串积木，其中有5个红色的积木、3个蓝色的积木和4个黄色的积木。

他将这些积木随机地叠放在一起。

如果小明将其中一个红色的积木取出来，那么剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化吗？为什么？[解答]如果小明将其中一个红色的积木取出来，剩下的积木中，红色积木的比例会发生变化。

原本红色积木的比例为5/12，取出一个红色积木后，剩下的积木总数减少了1，而红色积木数量也减少了1。

假设取出的积木为红色积木，则剩下的积木为4个红色的、3个蓝色的和4个黄色的，即红色积木的比例变为4/11。

如果取出的积木为蓝色或黄色积木，则剩下的积木中，红色积木的比例仍为5/12。

因此，取出一个红色积木后，红色积木的比例会发生变化。

[题目二]小华有一堆彩色纸片，其中有6张红色纸片、4张蓝色纸片和5张黄色纸片。

她随机地从中取出一张纸片。

如果小华再次随机地从剩下的纸片中取出一张纸片，那么取到两张不同颜色的纸片的概率是多少？[解答]小华第一次取出纸片后，纸片的颜色会减少。

第一次取出纸片后，剩下的纸片中红色纸片的数量为5张，蓝色纸片的数量为4张，黄色纸片的数量为5张。

因此，第二次取到两张不同颜色的纸片的概率为：(红色纸片数/总数) × (非红色纸片数/总数)= (6/15) × [(4+5)/(15-1)]= (6/15) × (9/14)= 54/210= 9/35所以，取到两张不同颜色的纸片的概率为9/35。

[题目三]小李手里有一堆卡片，其中有9张红色卡片、6张蓝色卡片、4张黄色卡片和5张绿色卡片。

他每次从中随机取出一张卡片，记录所取卡片的颜色，然后将所取的卡片放回。

小李重复这个过程3次，每一次的所取的卡片颜色都与其他次取卡片的颜色不同。

那么小李这3次取卡片的颜色都不相同的概率是多少？[解答]小李每次取卡片的颜色都与其他次取卡片的颜色不同，即每次取卡片的颜色都是独立的。

第一次取卡片的颜色有24种可能（红色、蓝色、黄色、绿色中的任意一种），第二次取卡片的颜色有23种可能（剩下的三种颜色中的任意一种），第三次取卡片的颜色有22种可能（剩下的两种颜色中的任意一种）。

重叠问题练习题有答案练习一1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。

这队小朋友共有多少人？○○○●○○○○○○如图：4＋7－1 = 102、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。

这一行座位有多少个？12＋21－1 =23、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。

这一排共有多少个同学？8＋8－1 = 15练习二1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。

小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。

跳舞的共有多少人？每排有：4＋4－1 =共有：7×=492、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。

鲜花队共多少人？从左到右人数：2＋4－1 =从前到后人数：3＋5－1 =5×=53、三班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。

三班共有学生多少人？6＋5－1 = 103＋3－1 =10×=0练习三1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？÷= 182、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？÷=33、两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

另一根木棍长多少厘米？66－48＋1=0练习四1、三班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。

已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

两项比赛都参加的有几人？36＋38－5= 192、两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？×=03、三班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。

1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第6个。

这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬从左数起是第3个，从右数起是第7个。

这一行有多少个？3、同学们排队跳舞，每行人数同样多。

小红的位置无论从左数还是从右数起都是第4个，这行跳舞的共有多少人？4、小朋友们排队练舞蹈，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排有几个人?5、9个小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学?6、两篮鸡蛋，第一篮比第二篮多16个，从第一篮拿出（）个到第二篮，两篮鸡蛋一样多。

7、爸爸买来两箱梨，第二箱比第一箱少8个梨，爸爸要从第( ) 箱里拿出( ) 个放到第( ) 箱，两箱就一样多。

8、哥哥给弟弟4支铅笔后，哥哥与弟弟的铅笔一样多了，原来哥哥比弟弟多（）支铅笔。

9、小华有10张画片，小红有4 张画片。

小华给小红（）张画片后，她俩的画片张数相等？10、哥哥和弟弟各有一些巧克力，哥哥比弟弟多8块，要使两人的巧克力一样多，哥哥应给弟弟（）块？1、有7辆车，从左到右排成一排，从左边数警车排第四，从右边数警车排第几？2、鸭妈妈领着小鸭子在池塘里学游泳，它前面有5只鸭子，后面有4只鸭子。

一共有几只鸭子。

3、小朋友排队唱歌，我左边有3人，右边有5人，一共有多少小朋友？4、小朋友排队唱歌，我左边数排第3，右边数排第5，一共有多少小朋友？5、一群小朋友在玩游戏，小红的前面有4人，后面有5人，一共有多少人？6、两棵树上各有一些小鸟，如果从第一棵树上飞出4只小鸟到第二棵树上，那么两棵树上的小鸟就同样多。

第一棵树上的小鸟比第二棵树上的（）几只？7、小芳有15多花，她给小明3朵后，两人的花就同样多。

小明原来有（）朵花？8、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出4个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐多3个。

甲筐原来比乙筐多（）个西瓜？9、甲、乙两筐都有一些西瓜，从甲筐中取出6个放入乙筐后，甲筐的西瓜还比乙筐少2个。