2019届湖南师大附中高三上学期月考(四)试卷 数学文(解析版)

湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A ={x ∈R|x 2−x −2<0}，B ={x ∈Z|x =2t +1,t ∈A}，则A ∩B =（）A.{−1,0,1}B.{−1,0}C.{0,1}D.{0}2.已知复数z =21−i ，给出下列四个结论：①z =2；②z 2=2i ；③z 的共轭复数z =−1+i ；④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.33.若向量a 与b 满足(a +b)⊥a ，且a =1，b =2，则向量a 在b 方向上的投影为（）A.3B.−12C.-1D.334.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k 进制数a （共有N 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1203，4，则输出的b =（）A.178B.386C.890D.143035.若1−x 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=（）A.0B.1C.32D.-16.若实数x ，y 满足2x −y ≥0y ≥x y ≥−x +b且z =2x +y 的最小值为3，则实数b 的值为（）A.1B.2C.94D.527.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③B.①③C.②③D.①8.平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD =1，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+...+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S2019=（）A.2022 B.1011 C.2020 D.101010.在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若cos B b+cos C c=23sin A 3sin C，cos B +3sin B =2，则a +c的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,311.已知函数f(x)=log 2(2−x),0≤x <k,x 3−3x 2+3,k ≤x ≤a,若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[-1,1]，则实数a 的取值范围是A.[32,1+3]B.[2,1+3]C.[1,3]D.[2,3]12.设A ，B 是抛物线y =x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为（）①OA⋅OB≥2；②直线AB过定点(1,0)；③O到直线AB的距离不大于1.A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)=sin2ωx−π3(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω=____．14.已知函数f(x)=x+1(−1≤x≤0)1−x2(0<x≤1)则−11f(x)dx的值为____．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN.若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为____.16.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−2，S3=2a3−2.（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2a n−1⋅a n，数列b n an 的前n项和为T n，求使T n>177−2n60成立的正整数n的最小值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF//平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D−FC−B的余弦值为2时，求直线PB与平面ABCD所成的角．419.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0,10)[10,15)[15,+∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．20.已知点F是椭圆x21+a2+y2=1(a>0)的右焦点，点M(m,0)，N(0,n)分别是x轴，y轴上的动点，且满足MN⋅NF=0.若点P满足OM=2ON+PO（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x=−a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．21.已知函数f(x)=a(x−1)，g(x)=(ax−1)e x，a∈R.（Ⅰ）若直线y=f(x)与曲线y=g(x)相切于点P(x0,y0)，证明：0<x0<1；（Ⅱ）若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a的取值范围．22.选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x=a+a cosϕy=a sinϕ(φ为参数，实数a＞0)，曲线C2：x=bcosϕy=b+b sinϕ(φ为参数，实数b＞0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=αρ≥0,0≤α≤π2与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4.(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．23.选修4－5：不等式选讲|（a≠0)已知函数fx=2|x+a|+|x−1a(Ⅰ)当a＝1时，解不等式f(x)＜4；(Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．【解析卷】湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={x∈R|x2−x−2<0}，B={x∈Z|x=2t+1,t∈A}，则A∩B=（）A.{−1,0,1}B.{−1,0}C.{0,1}D.{0}【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合A，进而得到集合B，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知A={x∈R|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，则x=2t+1∈(−1,5)，所以B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数z=2，给出下列四个结论：①z=2；②z2=2i；③z的共轭复数z=−1+i；④z的虚部为i.1−i其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数z=1+i，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.【详解】由已知z=1+i，则z=2，z2=2i，z=1−i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若向量a与b满足(a+b)⊥a，且a=1，b=2，则向量a在b方向上的投影为（）A.3B.−12C.-1 D.33【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得a⋅b=−1，再由向量a在b方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：(a+b)⋅a=a2+a⋅b=0，∴a⋅b=−1，则向量a在b方向上的投影为a⋅bb =−12,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k进制数a（共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b=（）A.178B.386C.890D.14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b=3⋅50+0⋅51+2⋅52+1⋅53= 178.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若1−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0−a1+a2−a3+a4−a5=（）A.0B.1C.32D.-1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式T r+1=C5r(−x)r=C5r(−1)r x r，可知a1,a3,a5都小于0．则|a0|−|a1|+|a2|−|a3|+ |a4|−|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0．故本题答案选A．6.若实数x，y满足2x−y≥0 y≥xy≥−x+b且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为（）A.1B.2C.94D.52【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，由y =−x +b2x −y =0得B b 3,2b3，则2×b3+2b 3=3，解得b =94.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①【答案】B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22∘C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22∘C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，平面α∩平面ABCD=1，则直线l与直线A1C1所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】【分析】由题意，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α/平面A1BD，平面α∩平面ABCD=AF，得到BD//AF，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，平面α∩平面ABCD=1=AF，平面A1BD∩平面ABCD=BD，∴BD//AF，又∵A1C1//AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，即直线l与直线A1C1所成的角为为90°.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列{a n}，定义H n=a1+2a2+...+2n−1a n为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H n=2n，记数列{a n}n=（）的前n项和为S n，则S20192019A.2022B.1011C.2020D.1010【答案】B【解析】【分析】=2n，得到a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而求得a1+2a2+...+由题意，根据H n=a1+2a2+...+2n−1a nn2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，作差即可求解.【详解】由H n=a1+2a2+...+2n−1a nn=2n，得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，①a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，②①-②得2n−1a n=n⋅2n−(n−1)⋅2n−1=(n+1)⋅2n−1，即a n=n+1，S n=n(n+3)2，所以S20192019=1011.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而得a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos Bb +cos Cc=23sin A3sin C，cos B+3sin B=2，则a+c的取值范围是()A.32,3 B.32,3 C.32,3 D.32,3【答案】B 【解析】∵cos Bb +cos Cc=23sin A3sin C∴c sin B+b sin C=23bc sin A3sin C=23ab∴sin(B+C)=23b sin A3∴b=32∵cos B+3sin B=2∴B=π3∴2R=bsin B=1∴a+c=2R(sin A+sin C)=1×[sin A+sin(2π3−A)]=32sin A+3 2cos A=3sin(A+π6)∵0<A<π2∴π6<A+π6<2π3∴32<3sin(A+π6)≤3∴32<a+c≤3。

2019届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（四）数学（文）试题数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知全集U =R ,集合M ={x |2x <1},集合N ={x |log 2x <1},则下列结论中成立的是A ．M ∩N =MB ．M ∪N =NC ．M ∩(∁∪N )=MD ．(∁∪M )∩N =N2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ,两个不重合的平面α、β,下列四个命题中正确的是A ．若l ⊥α,m ⊥β,且l ∥m ,则α∥βB ．若m ∥n,n ⊂α,则m ∥αC ．若m ⊂α,n ⊂α，m ∥β,n ∥β,则α∥βD ．若α⊥β,α∩β=m,n ⊂β,，则n ⊥α3．已知P(1,3)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上,则该双曲线的离心率为 A ．√10 B ．2 C ．√5 D ．√34．已知f(x)=Asin （ωx +ϕ）(A >0,>0,|ϕ|<π2,x ∈R)在一个周期内的图象如图所示,则y =f (x )的解析式是A ．f(x)=sin (2x −π6)B ．f(x)=sin (2x +π3)C ．f(x)=sin (2x +π6) D ．f(x)=sin (x +π3)5．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n 的值为(参考数据：sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305) A ．12 B ．16 C ．24 D ．48 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式a n =log 2n+1n+2(n ∈N ∗),则满足不等式S n <−6的n 的最小值是 A ．62 B ．63 C ．126 D ．127 7．设为圆上三点，且，则 A ．-8 B ．-1 C ．1 D ．8 8．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x +2),数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n +2,则f(a n )= A ．0 B ．0或1 C ．-1或0 D ．1或-1 9．设定义域为R 的函数f(x)={|lg |x −2||,x ≠20,x =2 ，若b <0,则关于x 的方程[f(x)]2+bf(x)=0的不同实数根共有 A ．4个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为 A ．8π3+√15 B ．16π3+√3 C ．8π3+2√33 D ．169+2√33 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习,其中甲连续自习2小时,乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是 ,,A B C O 3,5AB AC ==AO BC ⋅=班级姓名准考证号考场号座位号A ．19B ．16C ．13D ．1212．设函数d (x )与函数y =log 2x 关于直线y =x 对称.已知f (x )={d (x )−a,x <14(x 2−3ax +2a 2),x ≥1 ，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是A ．(12,1)∪[2,+∞)B ．(14,1)∪[32,+∞)C ．(14,+∞)D ．(−∞,32)二、填空题13．已知圆C 1:(x −a)2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2−6x +5=0外切,则a 的值为______.14．如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 15．已知2a =5b =10,则a+bab =______.16．已知定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数a 、b 都有f(a +b)=f(a)+f(b)−1,且当x >0时f(x)>1.若f(4)=5,则不等式f(3x 2−x −2)<3的解集为______.三、解答题17．已知函数f(x)=asinx +bcosx,a ≠0,x ∈R ,f(x)的最大值是2,且在x=π6处的切线与直线x−y =0平行.(1)求a 、b 的值；(2)先将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,再将其向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象,已知g (α+π4)=1013,α∈(π6,π2) ,求cos2α的值.18．如图,已知三棱柱ABC −A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB =AC, ∠BAC =90°,点M 、N 分别是A′B 和B′C′的中点.(1)证明：MN ∥平面AA′C′C ；(2)设AB =λAA′,当λ为何值时,CN ⊥平面A′MN ,试证明你的结论.19．某地1～10岁男童年龄x i (单位：岁)与身高的中位数y i (单位cm)(i=1,2,...,10)，如表所示：x /岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124 130 135.4 140.2 对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. y ̅ ∑(x i −x )10i=12 ∑(y i −y )10i=12 ∑(x i −x )10i=1(y i −y ) 112.45 82.50 3947.71 566.85 (1)求y 关于x 的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)； (2)某同学认为方程y =px 2+qx +r 更适合作为y 关于x 的回归方程模型,他求得的回归方程是y ^=−0.30x 2+10.17x +68.07.经调查,该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ，与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？ (3)从6岁～10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高).再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”,则“二重唱”男童身高满足|y i −y j |≤6,(i,j =6,7,8,9,10)的概率是多少？ 参考公式：b ̂=∑x i y i −nxy n i=1∑x i 2n i=1−n(x)2=∑(x i −x)(y i −y n i=1)∑(x i −x)2n i=1,a ̂=y −b ̂x 20．如图,已知抛物线C:y 2=x 和⊙M:(x −4)2+y 2=1,过抛物线C 上一点H(x 0,y 0)(y 0≥1)作两条直线与⊙M 分别相切于A 、B 两点,分别交抛物线于E 、F 两点. (1)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时,求直线EF 的斜率； (2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ,求t 的最小值.21．已知函数f(x)=ax2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x−8.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=ke x恰有两个不同的实根,求实数k的值；(3)数列{a n}满足2a1=f(2),a n+1=f(a n),n∈N∗.证明：①a n+1>a n>1；②S=1a1+1a2+1a3+⋯+1a2019<2.22．已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为{x=3+2cosθy=−4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程；(2)已知A(−2,0),B(0,2),圆C上任意一点M,求ΔABM面积的最大值.23．选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)=k−|x−3|，x∈R且f(x+3)≥0的解集为[−1,1].(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1ka +12kb+13kc=1，求证：19a+29b+39c≥1.2019届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（四）数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，利用交并补运算即可做出判断．【详解】由2x<1=20,得x<0,由log2x>1=log22,∴x>2,∴M∩(∁∪N)={x|x<0}∩{x|x≤2}=M,故答案为C.【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．A【解析】【分析】利用垂直于同一直线的两平面平行判断A是否正确；根据线面平行的判定定理判断B是否正确；根据面面平行的判定定理判断C是否正确；根据面面垂直的性质定理判断D是否正确.【详解】∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，∵m⊥β，∴α∥β，A正确；∵m∥n，n⊂α，有可能m⊂α，∴B错误；∵m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m、n不一定相交，∴α、β不一定平行；C错误；根据面面垂直的性质判断D错误；故选：A．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直关系的判定，以及平面与平面平行的判定，要特别注意定理的条件．3．A【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后转化求解即可．【详解】根据点P(1,3)在双曲线的渐近线上,所以双曲线的一条渐近线方程为,所以有ba=3,即b=3a,根据双曲线中a,b,c的关系,可以得c=√10a,所以有e=√10,故选A.【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得a,c的值，直接代入公式e=ca求解；（2）列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2=a2−c2，消去b后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．B【解析】【分析】通过函数的图象，求出A，利用函数的周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出ϕ，从而得到选项．【详解】由函数f(x)=Asin(x)(A>0,>0,|ϕ|<π2,x∈R)在一个周期内的图象可得：A=1, 14T=14⋅2πω=π12+π6,解得ω=2,再把点(π12,1)代入函数的解析式可得：1=sin(2×π12+φ),即sin(π6+φ)=1.再由|φ|<π2可得：φ=π3,所以函数f(x)=sin(2x+π3).故应选B.【点睛】已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.5．C【解析】【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】由程序框图可列表如下：因为3√6−3√2≈3.106>3.10,所以输出n 的值为24,故选C.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．6．D【解析】【分析】先由{a n }的通项公式和对数的运算性质，求出S n ，再把S n <−6转化为关于n 的不等式即可．【详解】因为S n =log 2(23×34×⋯×n+1n+2)=log 2(2n+2)<−6,所以2n+2<2−6,即n >126,故应选D.【点睛】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．7．D【解析】试题分析：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则，.所以=8=，故选D.考点：平面向量的数量积．8．A【解析】【分析】由f(x)满足f （x+2）=f （x ），因此函数f （x ）是周期为2的函数．由S n =2a n +2，利用递推关系可得a n ．再利用周期性与奇函数的性质f （0）=0即可得出．【详解】∵f(x)=f(x +2),所以f(x)函数周期为2, ∵数列{a n }满足S n =2a n +2, ∴a 1=−2,S n−1=2a n−1+2,∴a n =2a n −2a n−1,即a n =2a n−1, ∴{a n }以-2为首项,2为公比的等比数列, ∴a n =−2n ,∴f(a n )=f(−2n)=f (0)=0,故选A. 【点睛】 本题考查了数列的递推关系、函数的奇偶性与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．C 【解析】 【分析】 要求关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）=0的不同实根，利用因式分解转化为f （x ）=0或f （x ）=﹣b ＞0（b ＜0）两个方程实根的个数，根据函数图象即可求得结果． 【详解】 由[f(x)]2+bf(x)=0,得f(x)=0或f(x)=−b . 所以方程[f(x)]2+bf(x)=0的根的个数转化为函数y =f(x)与函数y =0, y =−b(b <0)的图象的交点个数. 因为函数f(x)的图象大致如图所示, 数形结合可知,f(x)=0有3个实数根,f(x)=−b(b <0)有4个实数根, 所以[f(x)]2+bf(x)=0共有7个不同的实数根,故答案选C. 【点睛】 本题考查根的存在性以及根的个数的判断，体现了数形结合和分类讨论的思想和灵活应用知识分析解决问题的能力． 10．D 【解析】 【分析】 由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】 由已知中的三视图，圆锥母线l=√52+(2√32)=2√2，1()2AD AB AC =+0OD BC ⋅=()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +()AC AB -221(||||)2AC AB -圆锥的高h=√√52−12=2，圆锥底面半径为r=√l 2−ℎ2=2，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=23πr 2+12r 2sin120°=83π+√3，故几何体的体积为：V=13Sh=13×（83π+√3）×2=16π9+2√33，故选：D ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.11．B【解析】【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】据题意,甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为x 、y ,则{1≤x ≤41≤y ≤3所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习,则{3≤x ≤42≤y ≤3 所对应的正方形区域的面积为1,所以P=16,选B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．12．A【解析】【分析】分段函数求解得出2x ﹣a=0，4(x 2−3ax +2a 2)=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ），分类分别判断零点，总结出答案．【详解】因为函数d(x)与函数y =log 2x 关于直线y =x 对称,所以d(x)=2x ；设g(x)=4(x −a)(x −2a),x ≥1,ℎ(x)=2x −a,x <1 ,因为f(x)恰有2个不同的零点,又因为ℎ(x)至多有一个零点,故：①若g(x)有两个零点,ℎ(x)没有零点,则{a ≥1ℎ(1)=2−a ≤0 ,得a ≥2.②若g(x)和ℎ(x)各有1个零点,则{a <12a ≥1 且{−a <0ℎ(1)=2−a >0 ,得12≤a <1. 综上,a ∈(12,1)∪[2,+∞).故答案选A. 【点睛】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．0或6 【解析】 【分析】 先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解a 的值． 【详解】 圆C 1:(x −a)2+y 2=1的圆心为(a,0),半径为1, 圆C 2:x 2+y 2−6x +5=0的圆心为(3,0),半径为2, 两圆外切,所以|a −3|=3,∴a =0、6,故a 的值为0或6. 故答案为：0或6 【点睛】 本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和． 14．34i + 【解析】 试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，22z a b =+222a bi a b i +++=+，所以得：2221a a b b ⎧⎪++=⎨=⎪⎩，解得：341a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以34z i =+． 考点：复数的运算． 15．1 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质和对数的定义即可求出． 【详解】 由已知,a =log 210=1lg2,b =log 510=1lg5.所以a+b ab =1a +1b =lg2+lg5=lg10=1.故答案为：1【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数的定义，属于基础题．16．(−1,43)【解析】【分析】先证明函数f(x)的单调性，由f(4)=5可得f(2)=3，根据单调性建立不等关系，解之即可．【详解】设x1>x2,则x1−x2>0,f(x1−x2)>1.所以f(x1)−f(x2)=f[(x1−x2)+x2]−f(x2)=f(x1−x2)−1>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是增函数.因为f(4)=5,即f(2)+f(2)−1=5,所以f(2)=3.所以原不等式化为f(3x2−x−2)<f(2)⇒3x2−x−2<2⇒3x2−x−4<0⇒−1<x<43.故不等式的解集是(−1,43).【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及抽象函数及其应用，属于中档题．17．（1）{a=√3b=1；（2）5√3−1226.【解析】【分析】（1）首先根据已知条件求出√a2+b2=2，进一步利用导数求出a和b的另一个关系，进一步求出结果；（2）根据（1）的结果求出f(x)=2sin(x+π6)，然后根据图象的变换求出g（x）=2sin(2x−π6)，然后根据角的恒等变换2α=（2α+π3）﹣π3，即可得到结果．【详解】(1)f′(x)=acosx−bsinx,由已知有{√a2+b2=2acosπ6−bsinπ6=1,解之得：{a=√3b=1,(2)由(1)有f(x)=√3sinx+cosx=2sin(x+π6),因为将f(x)的图象上每点的横坐标缩小为原来12,纵坐标不变,再将其向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象,则g(x)=2sin(2x−π6),由g(σ+π4)=1013,α∈(π6,π2)得sin(2σ+π3)=513,且2α+π3∈(2π3,π),则cos(2σ+π3)=−1213,cos2α=cos[(2σ+π3)−π3]=cos(2σ+π3)cosπ3+sin(2σ+π3)sinπ3，=−1213⋅12+513⋅√32=5√3−1226.【点睛】本题考查的知识点：三角函数的最值，利用导数求函数的斜率，正弦型函数的图象的变换，角的变换，三角函数的值．18．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）时，【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.试题解析：（Ⅰ）取得中点,连接,因为分别为A′B和B′C′的中点，所以又因为,,所以,, 5分所以,因为,所以；6分（Ⅱ）连接,设，则，由题意知因为三棱柱ABC−A′B′C′侧棱垂直于底面,所以,因为,点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ,, 9分要使，只需即可，所以,即，则时，. 12分考点：证明线面平行及寻求线面垂直19．（1）y ̂=6.87x +74.67；（2）y ̂=−0.30x 2+10.17x +68.07拟合效果更好；（3）310.【解析】【分析】（1）由表中数据求得x ，计算回归系数，写出回归方程；（2）根据回归方程分别计算x=11时y ∧的值，求出|y ﹣y ∧|的值，比较即可得出结论;(3)利用古典概型计算公式求出结果.【详解】(1)因为x̅=1+2+3+⋯+1010=5.5,b ̂=∑(x i −x)(y i −y ni=1)∑(x i −x)2n i=1=566.8582.50≈6.87，a ̂=y ̅−b ̂x̅=112.45−6.87×5.5≈74.67,所以y 关于x 的线性回归方程是y ̂=6.87x +74.67.(2)若y 关于x 的线性回归方程是y ̂=6.87x +74.67,所以x =11时,y ̂=150.24；若回归方程是y ̂=−0.30x 2+10.17x +68.07,所以x =11时,y ̂=143.64；因为|143.64−145.3|=1.66<|150.24−145.3|=4.94,所以回归方程y ̂=−0.30x 2+10.17x +68.07拟合效果更好.(3)设6岁～10岁男童挑选的5位男童身高分别为a,b,c,d,e ,则从中任挑选两人表演“二重唱”有10种选法：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)；两男童身高的中位数满足|y i −y j |≤6,(i,j =6,7,8,9,10)有3种选法,分别是(124,130),(130,135.4),(135.4,140.2),故概率是P ||y i −y j |≤6=310.【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系； （2）求系数b ̂：公式有两种形式，即b ̂=∑n i=1(x i −x̅)(y i −y ̅)∑n i=1(x i −x̅)2=∑n i=1x i y i −nx̅y ̅∑n i=1x i 2−nx̅2。

2019届湖南师大附中高三上学期月考四文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，若，则 m 的值为（）A ． 2_________________B ． -1________________C ． -1或2________D ． 2或2. 已知角的终边上有一点，则的值为（）A ． 1______________________B ．______________C ． -1_________D ． -43. 已知命题；命题直线与直线（）垂直．则命题p是命题q成立的A．充要条件B ．既非充分又非必要条件C．必要不充分条件D ．充分不必要条件4. 下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．________________________D ．5. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则等于（）A ． 1 ____________________B ． 2________ ________C ． 4______________ D ． 86. 设集合，，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A ．B ．C ． ________D ．7. 对满足不等式组的任意实数x，y，的最小值是（）A ． -2______________________________B ． 0____________________________C ． 1____________________________D ． 68. 若长方体中， AB=1 ，，分别与底面ABCD所成的角为，，则长方体的外接球的体积为（）A ．____________________B ．______________C ．______________ D ．9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则A= （）A ．______________B ．______________C ．___________D ．二、填空题10. 如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B ．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ． 4______________B ．______________C ．___________D ．三、选择题11. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当时，，则（）A．______________________________B ．C．________________________D ．12. 设函数的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数 a 的取值范围是（）A ．________________B ．C ． ________D ．四、填空题13. 将某班参加社会实践编号为：1 ， 2 ， 3 ，．．．， 48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号， 21号， 29号， 37号， 45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_________ ．14. 过点（2 ， 1）且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为______ ．15. 如图，在△ ABC 中， E为边AC上一点，且， P为BE上一点，且满足，则的最小值为______ ．16. 已知函数若关于x的方程恰有5个不同的实数解，则实数a的取值范围是_____ ．五、解答题17. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（1）计算甲班7位学生成绩的方差；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率．18. 如图，PA ⊥ 平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．（1）证明：PE ⊥ D E；（2）如果异面直线AE与PD所成的角的大小为，求PA的长及点A到平面PED的距离．19. 已知数列的前n项和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）是否存在整数对（m，n），使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．20. 如下图所示，点，，动点M到点的距离是4 ，线段的中垂线交于点P ．（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（2）若斜率为的动直线l与轨迹G相交于A、B两点，为定点，求△ QAB面积的最大值．21. 已知函数，其中a为实常数．（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0<a<2时，若f(x)在区间[1 ， 4]上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值．22. 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P(m ， 0) ，若直线L与曲线C交于两点A ， B ，且，求实数m的值．23. 选修4－5：不等式选讲设．（1）当m=5时，解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数m的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2019届湖南师大附中高三月考（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =∈--<R ，{|21,}B x x t t A =∈=+∈Z ，则A B =I （ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{0}【答案】C【解析】由题意，先求得集合A ，进而得到集合B ，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，可知2{|20}A x x x =∈--<R {|12}x x =-<<，则21(1,5)x t =+∈-，所以{}0,1,2,3,4B =， 所以{0,1}A B =I ，故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数21z i=-，给出下列四个结论：①||2z =；②22z i =；③z 的共轭复数1z i =-+；④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】将复数z 化为复数的代数形式，再分别求出||z ，2z ，z 及z 的虚部，即可判断出正确结论的个数． 【详解】由已知1z i =+，则||z =，22z i =，1z i =-，z 的虚部为1，所以仅结论②正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的乘除运算，复数的模及共轭复数，属于基础题．3．若向量a v 与b v 满足()a b a +⊥v v v，且1a =v ，2b =v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为（）A ．3B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件求得1a b ⋅=-vv ，再由向量a v在b v方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=v v v v v v ，∴1a b ⋅=-v v ，则向量a v 在b v 方向上的投影为12a b b⋅=-v v v ,故选B. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k 进制数a （共有N 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1203，4，则输出的b =（ ）A ．178B ．386C ．890D ．14303【答案】A【解析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案. 【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出012335052515178b =⋅+⋅+⋅+⋅=.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=（ ）A．0 B ．1 C ．32 D ．-1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式()()1551rrrr r r T C x C x +=-=-，可知135,,a a a 都小于0．则012345012345a a a a a a a a a a a a -+-+-=+++++．在原二项展开式中令1x =，可得0123450a a a a a a +++++=．故本题答案选A ．6．若实数,x y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值为A ．1B ．2C ．94D ．52【答案】C【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数2z x y =+过点B 时取得最小值，即可求解，得到答案. 【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数2z x y =+过点B 时取得最小值，由20y x b x y =-+⎧⎨-=⎩得2,33b b B ⎛⎫⎪⎝⎭，则22333b b ⨯+=，解得94b =.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． 7．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C【考点】统计初步8．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面1ABCD =，则直线l 与直线11A C 所成的角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】由题意，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ， 平面αI 平面ABCD AF =，得到//BD AF ，在根据正方形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面//α平面1A BD ，平面αI 平面1ABCD AF ==，平面1A BD ⋂平面ABCD BD =，∴//BD AF ， 又∵11//A C AC ，则直线l 与直线11A C 所成的角即为直线BD 与直线AC 所成的角， 即直线l 与直线11A C 所成的角为为90︒.故选D. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9．对于数列{}n a ，定义1122...2n nn a a a H n-+++=为{}n a 的“优值”，现已知某数列的“优值”2nn H =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20192019S =（ ） A ．2022 B ．1011 C ．2020D ．1010【答案】B【解析】由题意，根据1122...22n n nn a a a H n-+++==，得到1122...22n n n a a a n -+++=⋅，进而求得211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅，作差即可求解. 【详解】由1122...22n n nn a a a H n-+++==，得1122...22n nn a a a n -+++=⋅， ①211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅， ②①-②得11122(1)2(1)2n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即1n a n =+，(3)2n n n S +=， 所以201910112019S =.故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得1122...22n nn a a a n -+++=⋅，进而得211212...2(1)2n n n a a a n ---+++=-⋅ ，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos3sin B C Ab c C +=，cos 2B B =，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】B【解析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简cos cos B C b c +=出b ，由cos 2B B +=结合22sin cos 1B B +=，求得sin ,cos B B ，从而求出B 的值，再由正弦定理将,a c 结合,A C 关系，转化为C （或A ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围. 【详解】由cos cos B C b c +=cos cos sin cos sin cos sin c B b C C B B Cbc b C ++=()sin sin B C b C +==，∴b =.1cos 2cos sin 22B B B B ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2663B πππ<+<∴62B ππ+=，3B π=，1sin bB=，∴23A C π+=，又2032C A ππ<=-<， 02A π<<，∴62A ππ<<，2sin sin sin sin 3a c A C A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭3sin cos 226A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∵62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴326A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故选B . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.11．已知函数()()232log 2,0,33,,x x k f x x x k x a ⎧-≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩若存在实数k ，使得函数()f x 的值域为[-1,1]，则实数a 的取值范围是A ．3,12⎡⎢⎣ B ．2,1⎡⎣ C ． []1,3 D ．[]2,3【答案】B【解析】试题分析：由于()x y -=2log 2在[)k ,0上是单调递减函数，当0=x 时，1=y ，当23=x 时，1-=y ，所以230≤<k ，令()3323+-=x x x g ，则()0632=-='x x x g ，解得0=x 或2=x ，当2=x 时，函数取得极小值-1，当13323=+-x x 时，解得：1=x ，31+=x ，031<-=x 舍，所以312+≤≤a ，故选B.【考点】1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像.【思路点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强的难题，分段函数的值域是[]1,1-，那么两段函数的值域是[]1,1-的子集，而且并集是[]1,1-，根据复合函数的单调性可知()x y -=2log 2是减函数，易得230≤<k ，根据导数分析第二段函数的单调性和极值，以及1=y 时的x 值，再结合函数的图像，可得[]a k ,区间需包含2，但不能大于31+，这样可得a 的取值范围是[]31,2+. 12．设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则以下结论恒成立的结论个数为（ ）①2OA OB ⋅≥；②直线AB 过定点(1,0)；③O 到直线AB 的距离不大于1. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意，根向量的运算，求得1212(1)0OA OB x x x x ⋅=+=u u u v u u u v，得到211x x =-，再根据向量的模的计算公式，化简得到①正确；直线AB 的斜率求得直线方程，可判定直线不一定过点(0,1)，②错误；利用点到直线的距离公式，可判定③正确，即可得到答案. 【详解】设211(,)A x x ，222(,)B x x ，1212(1)0OA OB x x x x ⋅=+=u u u v u u u v ，211x x =-，OA OB ⋅=2=≥，①正确； 直线AB 的斜率22212112111x x x x x x x x -=+=--，方程为211111()y x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，过定点(0,1)，②错误；原点到直线AB ：11110x x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭的距离1d =≤，③正确．故选C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量模的运算，以直线的方程及点到直线的距离公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用向量的运算公式和直线方程的相关知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.二、填空题13．已知函数()sin 2(,0)3f x x x R πωω⎛⎫=-∈> ⎪⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω=____． 【答案】1【解析】由题意可知，函数()f x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，可得22T π=，可求解函数的周期，进而得到答案. 【详解】由题意可知，函数()f x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，可得22T π=，又由22T πω=，可得1ω=. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.14．已知函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤则11()f x dx -⎰的值为____． 【答案】124π+ 【解析】由函数()f x的解析式，得到111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰，即可求解.【详解】由题意，根据函数1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤，可得111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到11()f x dx -⎰，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则该双曲线的渐近线方程为____ . 【答案】y x =±【解析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到22MN QN b k k a⋅=，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解. 【详解】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴22MN QNb k k a⋅=， 又由120MPO ∠=︒，150MNQ ∠=︒，则3MN k =，3QN k =，∴221b a =， 渐近线方程为y x =±. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到,M Q 关于原点对称，得到22MN QNb k k a⋅=，分别求出相应的斜率，求得22b a的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为______.【答案】9【解析】由三视图可知该几何体为底面是正三角形且一条侧棱与底面垂直的三棱锥，再根据已知求出球的半径 然后利用勾股定理求出球心到底面正三角形中心的距离，进而可求出三棱锥的高，再利用椎体的体积公式即可求出结果． 【详解】根据几何体的三视图，得岀该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即34363R ππ=，3R =， 所以球心O 到底面等边ABC ∆的中心O '的距离222332332OO R ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭'， 所以三棱锥的高223h OO '==，故三棱锥的体积2133()223934V =⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解．三、解答题 17．已知等比数列的前项和为，满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值． 【答案】（1）（2）6【解析】（Ⅰ）设的公比为，由题设条件，求得等比数列的首项和公比，即可得到数列的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，利用乘公比错位相减法，求得，再根据题设，列出不等式，即可求解.【详解】 （Ⅰ）设的公比为，由得，，所以，所以.又因为，所以，所以.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，，则，， 所以，由，得，即，则，所以的最小值是6. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF P 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒【解析】（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m v ，和平面DFC 的法向量n v，利用向量的夹角公式，求得3a =，进而得到PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-u u u v，()3,1,0CB =-u u u v ，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得2030y az x y -=⎧⎪-=，令1x =，则3y =3z a =，所以取233,m ⎛= ⎝⎭v，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =v，由题意：22cos ,41213m n a==++v v ，所以3a =.由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表： 阶梯级别第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米) [0,10)[10,15) [15,)+∞从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值． 【答案】（1）见解析（2）3k =【解析】（Ⅰ）由茎叶图计算，可得第二阶段水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3，求解随机变量取每个值对应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式，求解数学期望； （Ⅱ）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得310,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据概率公式，列出不等式组，求得实数k 的范围，即可求解k 的值，得到答案. 【详解】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，()0355*******C C P X C ===，()12553105112C C P X C ===，()21553105212C C P X C ===，()30553101312C C P X C ===，所以X 的分布列为X 的数学期望()155130123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得310,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()()1010370,1,2,3, (101010)kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1019110101011111010373710101010373710101010k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得23331010k ≤≤，又*k N ∈，所以当3k =时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，得到随机变量X 的取值，利用排列组合的知识得到随机变量取每个值对应的概率，合理利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20．已知点F 是椭圆2221(0)1x y a a+=>+的右焦点，点(,0)M m ，(0,)N n 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅=u u u u v u u u v .若点P 满足2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x a =-分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由． 【答案】（1）24y ax =（2）经过【解析】（Ⅰ）由椭圆的方程，得到右焦点F (,0)a 的坐标，根据向量的数量积的运算公式，求得20n am +=和2m xy n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入即可求解抛物线的标准方程；（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，得到OA l ，OB l ，联立方程组，求得,S T ，利用向量的数量积的运算0FS FT ⋅=u u u v u u u v，即可得到证明；解法二：①当AB x ⊥时，利用向量的数量积得到0FS FT ⋅=u u u v u u u v；②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，联立方程组，求解2124y y a =-，进而证得0FS FT ⋅=u u u v u u u v，即可得到证明.【详解】（Ⅰ）∵椭圆2221(0)1x y a a+=>+右焦点F 的坐标为(),0a ， ∴(),NF a n =-u u u v .∵(),MN m n =-u u u u v，∴由0MN NF ⋅=u u u u v u u u v，得20n am +=.设点P 的坐标为(),x y ，由2OM ON PO =+u u u u v u u u v u u u v，有()()(),020,,m n x y =+--，2m x y n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入20n am +=，得24y ax =. 即点P 的轨迹C 的方程为24y ax =.（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211,4y A y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫⎪⎝⎭，则OA l ：14a y x y =，OB l ：24ay x y =.由14a y x y x a⎧=⎪⎨⎪=-⎩得214,a S a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，同理得224,a T a y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴2142,a FS a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，2242,a FT a y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v ，则4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v . 由24x ty a y ax=+⎧⎨=⎩得22440y aty a --=，∴2124y y a =-. 则()422221644404a FS FT a a a a⋅=+=-=-u u u v u u u v . 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F .解法二：①当AB x ⊥时，(),2A a a ，(),2B a a -，则OA l ：2y x =，OB l ：2y x =-.由2y xx a =⎧⎨=-⎩，得点S 的坐标为(),2S a a --，则()2,2FS a a =--u u u v ，由2y xx a =-⎧⎨=-⎩，得点T 的坐标为(),2T a a -，则()2,2FT a a =-u u u v .∴()()()22220FS FT a a a a ⋅=-⨯-+-⨯=u u u v u u u v.②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()()0y k x a k =-≠，211,4y A y a ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+u u u v u u u v . 由()24y k x a y ax⎧=-⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，∴2124y y a =-. 则()422221644404a FS FT a a a a⋅=+=-=-u u u v u u u v . 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F . 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和抛物线的标准方程、以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，合理应用韦达定理求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数()(1)f x a x =-，()(1)x g x ax e =-，a R ∈.（Ⅰ）若直线()y f x =与曲线()y g x =相切于点00(,)P x y ，证明：001x <<； （Ⅱ）若不等式()()f x g x >有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭【解析】（Ⅰ）求得函数的导数'()g x ，由导数的几何意义和直线()y f x =的图象过定点(1,0)，得到0020ex x +-=，设()2xx e x φ=+-，利用导数得到函数的单调性，根据零点的存在定理，即可求解. （Ⅱ）由()()f x g x >得11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令1()xx h x x e-=-，利用导数和由（1）知()x φ在R 上单调递增，求得min ()h x ，通过分类讨论a 的范围，即可满足条件a 的范围.【详解】（Ⅰ）()()'1xg x ax a e =+-，由导数的几何意义可知，()001ax a ex a +-=， ① 又直线()y f x =的图象过定点()1,0，因此()00011ax ex a x -=-，即()()00011ax ex a x -=-， ② 联立①②消去a 有0020ex x +-=.设()2xx e x φ=+-，则()'10xx e φ=+>，所以()x φ在R 上单调递增．而()010φ=-<，()110e φ=->，()()010φφ<， 由函数零点存在性定理知001x <<. （Ⅱ）由()()f x g x >得11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x h x x e -=-，则()22'1x x xx e x h x e e-+-=+=， 由（Ⅰ）知()2xx e x φ=+-在R 上单调递增，且()0,x x ∈-∞时，()00x φ<；在()0,x x ∈+∞，()00x φ>， 故()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． ∴()()000000min 0011x x ex x h x h x x ex ex --+==-=. 易证1xe x ≥+，∴()20000000110x ex x x h x ex ex -++=>>， 当0x ≤时，()()010h x h ≥=>；当1x ≥时，()()11h x h ≥=. （1）若0a ≤，则()01ah x ≤<，此时()1ah x <有无穷多个整数解，不合题意；（2）若1a ≥，即11a≤，因为()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 所以x Z ∈，()()(){}1min 0,11h x h h a≥=≥，所以()1h x a<无整数解，不合题意；（3）若01a <<，即11a>，此时()()1011h h a ==<，故0，1是()1h x a <的两个整数解，又()1h x a <只有两个整数解，因此()()1112h ah a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得2221e a e ≥-，所以22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明、函数的有解问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩，，(ϕ为参数，实数0a >)，曲线2C ：cos ,sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数，实数0b >).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=（0ρ≥，02πα≤≤）与1C 交于O ，A 两点，与2C 交于O ，B 两点，当0α=时，||2OA =；当2πα=时，||4OB =.(1)求a ，b 的值；(2)求22||OA OA OB +⋅的最大值.【答案】(1)1a =，2b =；(2)4．【解析】(1)将曲线1C 和2C 的参数方程化为普通方程后，再化为极坐标方程，根据0θ=时，2OA ==ρ；当2πθ=时，4OB ρ==，即可分别求出,a b 的值；(2)根据(1)可知曲线1C 和2C 的极坐标方程分别为2cos ρθ=，4sin ρθ=，代入22||OA OA OB +⋅化简，再根据三角函数的最值的求法即可求出结果．【详解】 (1)由曲线1C ：cos ,sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，实数0a >），化为普通方程为222()x a y a -+=，展开可得2220x y ax +-=，所以其极坐标方程为22cos 0a -=ρρθ，即2cos a ρθ=，由题意可得当0θ=时，2OA ==ρ，所以1a =.曲线2C ：cos ,sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数，实数0b >)， 化为普通方程为222()x y b b +-=，展开可得2220x y by +-=,所以其极坐标方程为22sin 0-ρb ρθ=，即2sin b ρθ=，由题意可得当2πθ=时，4OB ρ==，所以2b =.(2)由(1)可得1C ，2C 的极坐标方程分别为2cos ρθ=，4sin ρθ=. 所以22||OA OA OB +⋅28cos 8sin cos =+θθθ4sin 24cos24=++θθ244πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为02πθ≤≤，所以52,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当242θππ+=，即8θπ=时，22||OA OA OB +⋅取得最大值4. 【点睛】 本题主要考查参数方程化为普通方程，直角坐标方程化为极坐标方程及三角函数最值的求法，同时考查极坐标方程的应用，属于中档题．23．已知函数f （x ）=2|x +a |+|x -1a|（a ≠0）． （1）当a =1时，解不等式f （x ）＜4；（2）求函数g （x ）=f （x ）+f （-x ）的最小值．【答案】（1）5(,1)3-；（2）【解析】试题分析： (1)零点分段可得原不等式的解集为5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为. 试题解析：（1）Q 1a =，∴原不等式为2114x x ++-<，∴ 1{2214x x x <----+<，或11,{2214,x x x -≤≤+-+<或1,{2214,x x x >++-< ∴ 513x -<<-或11x -≤<或∅， ∴原不等式的解集为5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）由题意得()()()g x f x f x =+-= ()112x a x a x x a a ⎛⎫++-+++- ⎪⎝⎭ 22224a aa a≥+=+ ≥当且仅当12a a =，计2a =±，且22x -≤≤时，()g x 取最小值绝对值不等式的解法点睛：|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

【精品】湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝16－x －x 2的定义域是(A) A.()－3，2 B.()－∞，－3∪()2，＋∞C.[]－3，2D.(]－∞，－3∪[)2，＋∞【解析】解不等式6－x －x 2>0得(x －2)(x ＋3)<0x ∈()－3，2.选A.2．已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.3．已知命题p ：若a >||b ，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A)A ．“p ∨q ”为真命题B ．“p ∧q ”为真命题C ．“綈p ”为真命题D ．“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选择A.4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝4BD →，CA →＝3CE →，则DE →＝(D)A.34b －13a,B.512a －34b ， C.34a －13b, D.512b －34a ， 【解析】DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋13CA →＝34(AC →－AB ）→－13AC →＝512b －34a .选D. 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大．而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．与直线2x －y ＋4＝0的平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是(D)A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0【解析】设P (x 0，y 0)为切点，则切点的斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0＝2，∴x 0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)A.25B.110C.910D.15【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，故选D. 8．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得图象对应的函数(A) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位，所得函数变为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，令k ＝0，π12≤x ≤7π12.故函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选A. 9．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为(C) A ．(1，2)∪(3，＋∞) B ．(10，＋∞)C ．(1，2)∪(10，＋∞)D ．(1，2)【解析】令2e x －1>2()x <2，解得1<x <2.令log 3()x 2－1>2()x ≥2，解得x 为()10，＋∞，不等式f (x )>2的解集为(1，2)∪(10，＋∞)，故选C.10.执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375【解析】模拟程序的运行，可得a ＝1，b ＝2，c ＝0.3执行循环体，m ＝32，不满足条件f (m )＝0， 满足条件f (a )f (m )＜0，b ＝1.5，不满足条件|a －b |＜c ，m ＝1.25，不满足条件f (m )＝0，不满足条件f (a )f (m )＜0，a ＝1.25，满足条件|a －b |＜c ，退出循环，输出a ＋b 2的值为1.375.故选D. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8【解析】设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018>0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011<a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2 018.故选A.12．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )<0成立的x 的取值范围是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)【解析】设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2. 当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如右图所示．当x >0时，由f (x )<0，得g (x )<0，由图知x >1，当x <0时，由f (x )<0，得g (x )>0，由图知－1<x <0，∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．故答案选B.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知α为锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为__15°或75°__． 【解析】因为a ∥b ，34×13－cos α×sin α＝0sin 2α＝12，故α为15°或75°. 14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，由点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ、μ∈R }所表示的区域的面积是．。