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6.1晶体中电子的运动特征

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6.1电子气的费米能和热容量

6.1电子气的费米能和热容量

均势能的势场中运动)； (3)价电子服从费米—狄拉克分布。
g n e( EEF ) kBT 1
2.费米分布函数
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
2




3 5
EF0

π2 4
(kBT )2 EF0
2.每个电子对热容量的贡献
CV


E T
V

π2 2
kB
kBT EF0

π2 2

T TF0
kB
TF0 EF0 kB
CV

π2 2

T TF0
kB
在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为J/mol·k2而
第六章 金属自由电子论
电子气的费米能和热容量 接触电势差 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论 金属电导率
§6.1 电子气的费米能和热容量
自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用 的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量
1.模型(索末菲)ห้องสมุดไป่ตู้
(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
kBT TF0
2


当温度升高时，EF 降低。
在金属熔点以下,T<< TF0 , EF与 EF0 差别不大。
二 金属中电子气的热容量
1.每个电子的平均能量

能带论1

能带论1

T1l
T1 l 2
T2 l 3
3
r
l 1 l 12
2 l 3
3
r
exp ik l 1a1 l 2a2 l 3a3 r
r + Rl eikRl r
定义一个新函数： uk r eikr k r
uk r Rl
eikrRl k
r Rl
e e e ikr ikRl ikRl k r
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下的 单电子薛定谔方程，但具体求解仍是困难的，而且不同晶体 中的周期势场形式和强弱也是不同的，需要针对具体问题才 能进行求解。
Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数 应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征， 这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义。
体系的薛定谔方程：
Hˆ
(r ,
R)
(r ,
R)
但这是一个 1023cm3 量级的多体问题。
首先应用绝热近似，考虑到电子质量远小于离子质量，电子
运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为
离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系
统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电
(Ze)2 vv Rn Rm
NZ N
1
i1 n1 40
Ze2
rvi
v Rn
Tˆe
Uee
(rvi , rvj
)
Tˆn
v Unm (Rn ,
v Rm
)
Uen (rvi ,
v Rn
)
哈密顿量中有 5 部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子 之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑 相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互作用能。这是一 个非常复杂的多体问题，不做简化处理根本不可能求解。

介电性能

介电性能

介电性能由于无机介质材料在电场的作用下，带电质点发生短距离的位移，而不是传导电流，因此在电场中表现出特殊的性状，大量地用于电绝缘体和电容元件。

在这些应用中，涉及到介电常数、介电损耗因子和介电强度等。

6.1介质的电极化通过定义电介极化强度，建立起电介质内部电介极化强度与宏观电场之间的关系，电介极化强度与作用在晶体点阵中一个原子位置上的局部电场之间的关系，推导出介电常数与质点极化率的关系。

分析讨论各种极化的微观机制及影响极化率的因素。

6.1.1 介质的极化强度6.1.1.1电偶极矩（1）基本概念一个正点电荷q 和另一个符号相反数量相等的负点电荷-q ，由于某种原因而坚固地互相束缚于不等于零的距离上，形成一个电偶极子。

若从负电荷到正电荷作一矢量l ，则这个粒子具有的电偶极矩可表示为矢量p=ql （6.1) 电偶极矩的单位为C ⋅m （库仑⋅米）（2）外电场对点偶极子的作用在外电场E 的作用下一个点电偶极子p 的位能为U=-p ⋅E （6.2）上式表明当电偶极矩的取向与外电场同向时，能量为最低，而反向时能量为最高。

点电偶极子所受外电场的作用力f 和作用力矩M 分别为⋅ f=p ·∇E （6.3）M=p ⨯E （6.4）因此力使电偶极矩向电力线密集处平移，而力矩则使电偶极矩朝外电场方向旋转。

（3）电偶极子周围的电场距离点电偶极子p 的r 处的电场为543r r o πεpr r p 2)(E(r)-⋅= （6.5）6.1.1.2极化强度（1）定义称单位体积的电偶极矩为这个小体积中物质的极化强度。

极化强度是一个具有平均意义的宏观物理量，其单位为C/m 2。

（2）介质的极化强度与宏观可测量之间的关系极化强度为P=(ε－ε0)E=ε0 (εr -1)E （6.6） 把束缚电荷和自由电荷的比例定义为电介质的相对电极化率χe有 P= ε0χe E （6.7） 式（6.10）为作用物理量E 与感应物理量P 间的关系.还可以得出电介质的相对介电常数与相对电极化率χe 有以下关系εr =E PE 00εε+=1+χe （6.8）6.1.2宏观电场与局部电场 在外电场的作用下电介质发生极化，整个介质出现宏观电场，但作用在每个分子或原子上使之极化的局部电场（也叫有效场）并不包括该分子或原子自身极化所产生的电场，因而局部电场不等于宏观电场。

晶体中电子的运动

晶体中电子的运动

所
有
，
未
§5.2
稳恒电场作用下晶体电子的运动 布洛赫振荡
经
许
可
，
不
得
图 5.1
晶体电子的能带、速度和有效质量
未
转
(5.23) (5.24) (5.25)
k = k0 +
eFt =
其中k0是t=0 时的初始波矢, e是电子电量． 波矢随时间线性变化，对应着电子速度随时间的变化．具体地对于一维单原子链，在 紧束缚近似下 s 态能带中 k 态电子的速度为
* 2
经
所
权
许
可
，
2 ∂2E * 2 ∂ E m = = / 2 ， m z = = / 2 ，运动方程（5.9）简化为 ∂k y ∂k z
未
有
不
* y
，
2
得
转
载
∂2E ， ∂k x2
所
，
经
未
，
所
权
可
许
，
m* yay = f y
得
转
m* xax = f x
版
载
(5.15a) (5.15b)
有
不
经
所
版
有
所
权
版
许
可
*
，
不
得
转
载
，
π
a
，
π
a
可
） ，有效质量为
(5.22)
载
许
可
，
不
得
转
载
经
未
，
有
所
权
版
许
可
，
不

《固体物理学》概念和习题 答案

《固体物理学》概念和习题 答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。

答：最小平行单元。

2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。

答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。

3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。

4. 请描述七大晶系的基本对称性。

5. 请给出密勒指数的定义。

6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。

7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。

8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。

9. 给出布里渊区的定义。

10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11. 写出晶体衍射的结构因子。

12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。

13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。

14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。

15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。

（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。

17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。

18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。

19. 简述晶体热膨胀的原因。

20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。

21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。

23. 写出金属的电导率公式。

24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。

25. 简述能隙的起因。

26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。

27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。

28. 给出空穴概念。

29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。

固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课

固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课

固体物理教学⼤纲课程名称固体物理课程性质专业必修课《固体物理》教学⼤纲⼀、课程名称：固体物理⼆、课程性质：专业必修课三、课程教学⽬的：（⼀）课程⽬标：通过固体物理学课程的学习，使学⽣树⽴起晶体内原⼦、电⼦等微观粒⼦运动的物理图像及其有关模型，掌握晶体内微观粒⼦的运动规律及其与晶体宏观性能的物理联系，深刻理解晶体宏观性能的微观物理本质，为进⼀步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建⽴初步的理论基础。

（⼆）教学⽬标：第⼀章晶体结构【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶格结构的实例、⾮晶态和准晶态的特征；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述⽅法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述⽅法；理解和掌握倒格⼦的定义及其与正格⼦的关系；熟悉有关晶体结构的基本分析与计算。

借助于多媒体展⽰，使学⽣建⽴起晶体结构特征的直观图像。

第⼆章晶体的结合【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶体结合⼒的⼀般性质；掌握晶体的结合类型与特征；理解元素和化合物晶体结合的规律性；掌握离⼦晶体的结合能、体积弹性模量的计算；掌握范德⽡⽿斯晶体的结合能、体积弹性模量的计算。

在教学中，能够使学⽣认识到吸引与排斥的⽭盾的差别和对⽴统⼀是认识与理解固体的结合规律与性质的关键，培养学⽣的辩证思维能⼒。

第三章晶格振动与晶体的热学性质【教学⽬标】通过本章的教学，能够使学⽣理解简谐近似、格波概念、声⼦概念；理解玻恩-卡曼边界条件；了解三维格波的⼀般规律、晶格振动的⾮简谐效应；了解确定晶格振动谱的实验⽅法；掌握⼀维单原⼦、双原⼦晶格振动的格波解与⾊散关系；掌握晶格振动模式密度的计算⽅法；理解晶格热容量的量⼦理论、掌握爱因斯坦模型与德拜模型；理解格林爱森近似、掌握晶格状态⽅程。

结合例题分析和习题训练，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。

第四章能带理论【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣能够了解晶体能带理论的基本假设和处理问题的基本思路；理解布洛赫定理及其推论的证明，掌握晶体能带的基本特征；熟悉克龙尼克—潘纳模型的求解与结论；熟悉布⾥渊区、费⽶⾯等基本概念；了解平⾯波⽅法、赝势⽅法；掌握近⾃由电⼦近似⽅法及其结论；掌握紧束缚近似⽅法的运⽤；掌握能态密度的计算⽅法。

6.1 晶体中电子的运动特征


经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学 运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描
述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来
满代的△足表r测，范不所围准谓内关波，系包动。是量把指取波该值包粒在中子心（k例0r0附如看近电作的子该）粒空子k间的范分位围布置内在，，把r0r附k近k0
Chang & Niu, Phys. Rev. B 53, 7010 (1996), Sundaram & Niu 59, 14915 (1999)
Berry curvature act as k-space magnetic field
Berry curvature
Ω(k) k A(k) i
unk k

unk k
Berry connection
A(k) i
unk
unk k
Magnetic field
B(r) A(r)
Vector potential
A(r)
Geometric phase
Aharonov-Bohm phase
dk A(k) d 2k (k) dr A(r) d 2r B(r)
x,t 2

uk0
x 2



sin
k 2
k 2
x
x

d
dk
d
dk k0
t
k0
t


2
k 2
令
w

x


d
dk
k0
t
sin
k 2
w
2

黄昆 固体物理 讲义 第六章


在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =

固体物理 第六章 固体的介电性质


则电位移 质中单位体积的电矩,
可以表示为
D=e0E + p
由6.1.1.1和6.1.1.2可得,
6.1.1.2
p= e0(er-1)E=e0cE
c=(er-1)是介质的极 化率。
6.1. 介质极化现象与机理
注意：对于各向同性电介质，介电常数和极化率都
是标量且 E、D、p三者的方向相同 .对于各向异性 介电晶体,上面的关系式仍然成立,但E, D , p三者的
第六章 固体的介电性质
6.1. 介质极化现象与机理
6.2.电介质的有效场理论 6.3.交变电场中的介质极化 6.4.电介质的损耗 6.5.铁电体 6.6.压电体
6.1. 介质极化现象与机理
固体电介质 : 以感应方式传递电的作用和影响的 固体.
极化:介质在外电场作用下,由原来的内部电荷平衡 分布转变为在两不同的表面集中异号电荷从而使 介质产生极性的现象.
ca= a3/(n-1)
6.1.3.4
如果把异性离子间距看作离子半径R之和,用它代表
正负离子半径,则上式可写为,
ca=(R++R-)3/(n-1)
6.1.3.5
由此可见，极性分子的离子位移极化率与离子半径的立方具有相同数量级,即接近离子的电子位移极化率ce. 非极性分子的离子位移极化率很小,因而电子位移极化率ce是主要的.
6.1. 介质极化现象与机理
6.1.4.取向极化
1.什么是取向极化
在外电场作用下，由极性分子组成的物质, 除了上面两种极化，其固有偶极矩还会由无序状态变为沿外电场的方向的择优排列.
E=0
E ≠0
2. 偶极矩和极化率的理论计算
极性分子之间存在长程相互作用,对于固体(例如, 冰)这种作用是不能忽略的。但是为了能够粗略估计取向极化率的大小，我们假设分子间的相互作用可以忽略不计.这实际上只适用于稀薄气体的情况。

《固体物理基础教程》课件第4章

上一节中我们从大家所熟悉的知识入手，对晶体中电子 运动状态的基本特点有了一个初步的感性认识，从这一节开 始，我们将对固体能带理论中的一些重要理论、方法及结论
布洛赫(Bloch)定理揭示了固体中电子运动的一个普遍 适用的规律，在固体物理学发展中具有里程碑式的意义，是 半导体物理发展的理论基础。而这一重大理论是年仅23岁的 布洛赫于1928年在其博士论文《金属的电导理论》中提出的。 下面我们就跟踪布洛赫的研究历程，来分析Bloch定理的提
在上面的讨论中，不难发现这样的问题，那就是根据泡 利不相容原理，每个能级上最多只能容纳自旋方向相反的两 个电子。因此，当大量原子组成晶体时，共有化运动不可能 使一个能级上拥有很多电子，而只能是能级分裂，形成能带， 即在一个相对较窄的能量范围内，具有很多个相同的能级， 相邻能级间的能量差很小，可以认为是连续分布的。这种能 级分裂形成能带的过程，可以理解为相同能级间排斥作用的 结果。于是，晶体中由于外层电子能量高，相互作用强，因 而能级分裂严重，展开形成的能带较宽，而内层电子能量低， 相互作用弱，能级分裂后形成的能带较窄，能级分裂形成能 带的过程如图4.5所示。
对于某些晶体，能级分裂成能带时没有发生交叠，于是， 孤立原子中有多少个能级，对应晶体中就有多少个能带，而 且每个能带中的能级数可由晶体中每个原子提供的对应能级 数直接确定。比如由N个锂原子(Li1s22s1)组成的Li晶体中， 1s能级分裂形成的1s能带中总共有N个1s能级，每个原子提 供两个1s电子，总共2N个1s电子正好填满1s能带。而2s能带 中总共有N个2s能级，晶体中总共N个2s电子(价电子)，只能 填充N/2个能级，因此锂晶体的导带(2s能带)为半满带，如 图4.6
第4章 能带理论
4.1 晶体中电子的共有化运动 4.2 布洛赫定理 4.3 近自由电子近似 4.4 紧束缚近似 4.5 三维实际晶体的能带 4.6 能态密度和费米能级 4.7 晶体中电子在外力作用下的运动
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波包的传播速度是群速度：
( k )
vg =
k
量子力学中的德布罗意关系：
E=
所以电子的平均速度：
1 E ( k )
v=
k
考虑到不同能带的电子，晶体中电子速度的一般表述：
1

n (k ) = k En (k )

这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是：
晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关，对时间和
2
= uk0 ( x )
k )
(

2k x − ( ddk )k0 t
d
令 w = x−
t
dk k0
sin 2k w
k
2 w
2
波函数集中在尺度为
2
k
的范围内，
波包中心为：w＝0。
−
2
k
0
2
k
w
有
d
x=
t=
dk k0
空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰
减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子
不会被静止的原子所散射，严格周期性的晶体电阻率为零。
这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生
等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子
来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用。
经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学
运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描
述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来
代表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在 r0 附近
运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有
当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体
中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于
处于波包中心处粒子所具有的平均速度。
附录：更简明的说明：
量子力学告诉我们，晶体中处于 k0 状态的电子，在经
典近似下，其平均速度相当于以 k0为中心的波包速度，而
的△r 范围内，动量取值在 k 0 附近的 k 范围内，rk
满足测不准关系。把波包中心 r0 看作该粒子的位置，把 k 0
看作该粒子的动量。
晶体中的电子，可以用其本征函数 Bloch波组成波包，
从而当作准经典粒子来处理。
二. 波包与电子速度：
在晶体中，电子的准经典运动可以用 Bloch 函
数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本
6.1 晶体中电子的运动特征：
一. Bloch 电子的准经典描述
二. 波包与电子速度
三. 电子的准动量
四. 电子的加速度和有效质量
Bloch
(1905~1983)
Zener
(1905~1993)
见黄昆书5.1节p237
在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和
本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问
1 dE

t
dk k0
E (k ) = (k )
若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为
dx 1 dE
v ( k0 ) =
=

dt
d
k

k0
布里渊区的宽度：2/a ，而假设 k 很小，一般要求
2
k
a
即
2
a
k
推广到三维情况，电子速度为
1
v = k E
征态，因此，必须用含时间因子的Bloch 函数。
首先考虑于一维情况。设波包由以 k0为中心，
在 k 的范围内的波函数组成，并假设 k 很小，可
近似认为
uk ( x ) uk0 ( x ) 不随 k 而变。
对于一确定的 k ，含时间的Bloch函数为
k ( x, t ) = ei(kx−t )uk ( x )
周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得
多。因为晶体周期场强度一般相当于 108 V/cm。而外电场
是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的
运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法
有两种：
◆ 求解含外场的单电子波动方程。
◆ 或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动
(k ) = E (k ) /
把与 k0 相邻近的各 k’ 状态叠加起来就可以组成
与量子态 k0 相对应的波包：
波包
( x, t ) =
k0 + 2k
k0 − 2k
ei( kx −t )uk ( x ) dk
uk0 ( x )
k0 + 2k
k0 − 2k
Hale Waihona Puke 令dk d
当作准经典粒子来处理。
注解：例如氢原子的基态能（电离能）为 13.6 eV
含外场的波动方程
2 2

− 2m + U ( r ) + V = E


通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。
另一种方法是在：
外场较弱且恒定。
不考虑电子在不同能带间的跃迁。
不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。
题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和
本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完
全不同于自由电子，我们称之为 Bloch 电子。首先分析一
下它和自由电子的区别及其一般特征。
一. Bloch 电子的准经典描述：
当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中
的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体
注意，这里给出了把 Bloch 波当作准经典粒子处理的条件。
由于Bloch 波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k
应是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制
在第一布里渊区内，k
px x = k x x
2
2
a
因为测不准关系
x a
这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的
0


i ( k0 x −0t )
k
2

2sin


x − ( d ) t
dk k0

x − ( ddk )k t
k
2
0
为分析波包的运动，只需分析 2，即几率分布即可。
2
( x, t )
2
sin k x − ( d ) t
2
2
dk k0

dk k0
k = k0 +
( x, t ) = uk0 ( x ) e
e
i ( kx −t )
uk ( x ) uk0 ( x )
( k ) 0 +
i ( k0 x −0t )
= uk0 ( x ) e

d

exp
i
x
−
t

− 2k dk k d