一道关于圆锥曲线动点问题的题

高考理科数学二轮复习训练：圆锥曲线中的定点、定值和最值问题（含解析）1．已知动点Q 与两定点(－2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为－12，点Q 形成的轨迹为M .(1)求轨迹M 的方程；(2)过点P (－2,0)的直线l 交M 于A ，B 两点，且PB→＝3PA →，平行于AB 的直线与M 位于x 轴上方的部分交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作CE ，DF 垂直x 轴于E ，F 两点，求四边形CEFD 面积的最大值．解 (1)设Q (x ，y )，则y x ＋2·yx －2＝－12(x ≠±2)，化简得轨迹M 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my －2， 代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， Δ＝8(m 2－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4mm 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.②由PB→＝3PA →得，y 2＝3y 1.③由①②③可得m 2＝4.经检验，满足Δ>0.不妨取m ＝2，设直线CD 的方程为x ＝2y ＋n ，代入椭圆方程得6y 2＋4ny ＋n 2－2＝0，Δ＝8(6－n 2)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则y 3＋y 4＝－23n ，y 3y 4＝n 2－26，又由已知及Δ>0，可得2<n 2<6. 又|x 3－x 4|＝2|y 3－y 4|＝212－2n 23， 则S 四边形CEFD ＝12|y 3＋y 4||x 3－x 4|＝229n26－n2≤229×62＝223，当且仅当n 2＝3时等号成立． 所以四边形CEFD 面积的最大值为223.2．[2015·江西师大附中、鹰潭一中联考]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为M ，N ，|MN |＝423.(1)求抛物线E 的方程；(2)设A 、B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA→·OB →＝94(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标； ②过点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G 、D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值．解(1)由已知得K ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，C (2,0)．设MN 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|MR |＝223.于是|CR |＝|MC |2－|MR |2＝13，所以|CK |＝|MC |sin ∠MKC ＝|MC |sin ∠CMR ＝3，即2＋p2＝3，p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立⎩⎨⎧y 2＝4xx ＝my ＋t得y 2－4my －4t ＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t .由OA →·OB →＝94得：y 1y 2216＋y 1y 2＝94⇒y 1y 2＝－18或y 1y 2＝2(舍去)，即－4t ＝－18⇒t ＝92，所以直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0；②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2·16m 2＋72，同理得，|GD |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m2·16m2＋72，则四边形AGBD 面积S ＝12|AB |·|GD |＝121＋m 2·16m 2＋721＋1m 216m 2＋72＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤85＋18⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝418μ2＋121μ＋170是关于μ的增函数，故S min ＝88.当且仅当m ＝±1时取到最小值88.3．[2015·黄冈中学八校联考]如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F (1,0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)写出抛物线C 2的标准方程； (2)求证：以AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 由F (1,0)，得p ＝2， ∴C 2：y 2＝4x .(2)可设AB ：x ＝4＋ny ，联立y 2＝4x ，得y 2－4ny －16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，x 1x 2＝y 21y 2216＝16，∴OA→·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即以AB 为直径的圆过原点．(3)设P (4t 2,4t )，则OP 的中点(2t 2,2t )在直线l 上，∴⎩⎨⎧2t 2＝4＋2nt ，4t4t2＝－n ，得n ＝±1，又∵t <0，∴n ＝1，直线l ：x ＝y ＋4.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2a2－1＝1，与直线l ：x ＝y ＋4联立可得：(2a 2－1)y 2＋8(a 2－1)y －a 4＋17a 2－16＝0， 由Δ≥0，得a ≥342，∴长轴长最小值为34.4．[2015·四川高考]如图，椭圆E ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC→·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点，是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m 】解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC→·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k2＋1，x 1x 2＝－22k2＋1.从而，OA→·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2λ－4k 22λ－12k2＋1＝－λ－12k2＋1－λ－2，所以，当λ＝1时，－λ－12k2＋1－λ－2＝－3.此时，OA→·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即直线CD .此时，OA→·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA→·OB →＋λPA →·PB →为定值－3. 5．[2015·贵阳监测]已知椭圆C 的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点⎝⎛⎭⎪⎫32，1，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F .(1)求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求AG→·HB →的最小值． 解 (1)设椭圆C 的标准方程为y 2a2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由题意得c ＝3，2a ＝341＋32＋341－32＝4，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆C 的标准方程为y 24＋x 2＝1.∴右顶点F 的坐标为(1,0)．设抛物线E 的标准方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p2＝1,2p ＝4，∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x . (2)设l 1的方程：y ＝k (x －1)，l 2的方程：y ＝－1k(x －1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、G (x 3，y 3)、H (x 4，y 4)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x消去y 得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴Δ＝4k4＋16k 2＋16－4k4>0，x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.同理x 3＋x 4＝4k 2＋2，x 3x 4＝1， ∴AG→·HB →＝(AF →＋FG →)·(HF →＋FB →) ＝AF→·HF →＋AF →·FB →＋FG →·HF →＋FG →·FB → ＝|AF→|·|FB →|＋|FG →|·|HF →| ＝|x 1＋1|·|x 2＋1|＋|x 3＋1|·|x 4＋1| ＝(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＋(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1) ＝8＋4k2＋4k 2≥8＋24k2·4k 2＝16，当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝±1时，AG→·HB →有最小值16. 6．[2015·贵州八校联考(二)]过椭圆x 2a2＋y 2b2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝(1，13)共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值．解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2ca 2＋b2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a2＋b2，OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线， 3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0，3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2， x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2， ∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， 将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.。

(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。

专题11不联立体系第一讲——单动点问题(牵一发而动全身) 一个点的运动引发其他点的运动我们称之为单动点问题，这种题目我们只需把最初的动点设出来，其他的变化因素用该动点表达出来即可，我们来看一些具体的例子.2 2【例1】(福建模拟)已知椭圆E:当→3=1(α>b>0)上一点A关于原点的对称点为3,点P(0,2),APABa-h~的面积为晟，直线RA过E上的点”(2,0),则E的方程为.【例2】如图4-1-1所示，椭圆的离心率为立，直线1y=1X与椭圆E相交于A、8两点，AB=2√5,C、2 2。

是椭圆上氏[+[=13>力>0)上异于4、B的任意两点，且直线AC、相交于点M,直线AD、BCa1b i相交于点N,连结MN.(I)求椭圆E的方程；(2)求证:直线MN的斜率为定值.【例3】(赤峰一模)已知椭圆E:£+£=1(a>b>0)短轴的两个顶点与右焦点居的连线构成等边三角形,a~h~过点F,且垂直于X轴的直线被椭圆E截得的线段长为1.(1)求椭圆E的方程；(2)如图4-1・2所示，过点P(2,1)的直线/交椭圆E于A,8两点，再过点A作斜率为一」的直线交椭圆E2于点C,问直线8C与直线QP的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.整套系列资料分17讲见:最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题。

专题：圆锥曲线中的定点问题1、．经过椭圆22143x y +=的右焦点任意作弦AB ，过A 作椭圆的右准线的垂线AM ，垂足为则直线BM 必过点( )：A 。

（2，0） B 。

（52，0）C 。

（3，0） D 。

（72，0）2设A 为双曲线221169x y -=右支上一动点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于B ，过B 作直线BC 垂直于双曲线右准线，垂足为C ，则直线AC 必过定点：A 。

（4110，0） B 。

（185，0） C 。

（4，0） D 。

（225，0） 3、已知曲线,1)2(22=-+y x 在X 轴上任取一点M ，过M 点向曲线1)2(22=-+y x 作切线，切点分别为A,B 则直线AB 必过定点引入：已知实数,x y 满足方程224960x y y ++-=，有下列结论：①x y +的最小值为2-；②对任意实数m ，方程(2)(21)1680()m x m y m m R --+++=∈与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M (0,18)向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A,B ，则直线AB 的方程为3y =；以上结论正确的有_________（用序号表示）4：若点M 在直线y=18上运动，过点M 向曲线224960x y y ++-=作切线，切点分别为A,B ，则直线AB 必过定点 。

二、例题分析：题型一：直线与抛物线的问题中的定点问题：例一：若点M 在直线y=-1上运动，过点M 向曲线y x 42=引切线，切点分别为A,B 则直线AB 是否过定点，若是，求出该定点的坐标,若不是，请说明理由.例二： 已知抛物线上一动点P ，抛物线内一点A(3,2) ,F为焦点且的最小值为.(1) 求抛物线的方程以及使得取最小值时的P 点坐标；(2) 过（1)中的P 点作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于C 、D 两点，直线C D 是否过一定点？若是，求出该定点的坐标,若不是，请说明理由.：1、 已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+2、已知A 、B 、C 是抛物线x y 82=上的点，B(2，4),F 是焦点，且2BF=AF+CF.证明线段AC 的垂直平分线必过定点，并求该点。

圆锥曲线经典大题1.过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：*2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC→＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值围．2.如图，(10)F ，，直线:1l x =-，点P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．〔Ⅰ〕求动点P 的轨迹C 的方程。

〔Ⅱ〕过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． 〔1〕1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； 〔2〕求MA MB ⋅的最小值． 3.设点F 是抛物线G :*2=4y 的焦点.〔1〕过点P 〔0，-4〕作抛物线G 的切线，求切线的方程；〔2〕设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,分别延长AF ，BF 交抛物线G 于C ,D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.4.设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A B ，．〔Ⅰ〕求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；〔Ⅱ〕当M 点的坐标为(22)p -，时，AB = 5.设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，假设112OF AF +=0〔其中O 为坐标原点〕． 〔1〕求椭圆M 的方程；〔2〕设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径〔E 、F 为直径的两个端点〕，求PF PE ⋅的最大值．6.双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率2e =，顶点到渐近线的距离为5。

（I ） 求双曲线C 的方程；(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设1,[,2]3AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值围。

看： 圆锥曲线一题的反思并系统总结相关题经验后会带给我们多么大的收获 已知直线3:13l y x =+过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴交于点M ，求常数λ使得BD AM k k λ=；在解答上题的过程中，未能顺利解答。

现在反思，获得了深刻的教训：虽然做题多后获得了很多方法，但如果不系统总结，包括不同方法使用的不同场景，可能会在解答某一个题的过程偏向纠结于使用其中咋看起来感觉是不错的方法（比如刚做过一个题，成功地使用了该方法，后来偏执于把此方法用于其它题），忽略了其它方法的应用。

而当系统总结方法之后，或者做题时先少冷静想下此类题有哪些方法，那么就不会纠结于某一种方法，并且使用某种方法行不通时，会换用其它方法。

现在我们要围绕"2015广东天利高考模拟试卷天利38套"，把圆锥曲线上出现多个动点（两个或两个以上）时，我们所遇到的解题方法和经验总结下，然后再去做上述题，就会发现不少方法可用于该题的解答。

首先问题先归结为直线和曲线相交的两个动点（),(),(2211y x y x 和）问题。

假定问题中曲线C 的方程是：f(x,y)=0。

方法一：直线方程和曲线方程联立，使用韦达定理，获得）。

、（再代入直线方程获得、21212121y y y y x x x x ++当然，更灵活的可以是，获得“一元二次方程”，先不急于求两根之和或之积，而是根据后面问题的具体需求再计算这些式子（比如只需要两根之和后就计算两根之和）。

方法二：不使用直线方程，而是通过等式：去解决问题。

0)()(2211=-y x f y x f 往往在题的其它条件中若涉及该直线的斜率，常用这个方法。

因为这个等式整理后会出现斜率。

圆锥曲线中的定值、定点问题一、直线恒过定点问题例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为A 、B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；解：设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得，又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2ay x AB =+∴即过定点0,2.例2. 已知点是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题例3. 已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1|1|0)(|||21221c eec e a c e d PF =+=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.[来源:Z,xx,]3.设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长.[来源学+科+网][启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •=0，求直线PQ 的方程；（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且3,3OF FP t OM OP j ⋅==+ .（I ）设443,t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

圆锥曲线练习题一、填空题1. 一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹为________．2. (2011·海安中学模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．3. 已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．4. (2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．5. 已知P 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线x ＝－1上．试猜测：如果P 为椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点，过P 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若Q 在直线l 上，且满足|AP →|·|QB →|＝|AQ →|·|PB →|，则点Q 总在定直线________上．6. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.7. (2010·重庆)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．8. 已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．二、解答题9. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为⎝⎛⎭⎫32，6.求抛物线与双曲线的方程．10. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，求m 6＋m 4的值．O lxyA B F ·M第17题 11. 如图，已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值； （Ⅲ）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线,切点为,S T ,求证：直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.12. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2－k )x －(1＋2k )y ＋(1＋2k )＝0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试求OQ →·NQ →的值，并由此判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．参考答案1. 双曲线的一支 解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．2. 255 解析：由题意可知FF 2=38F 1F 2，即c -b 2=38⨯2c ，化简得c =2b ，所以c 2=4(a 2-c 2)，此椭圆的离心率e =c a =255.3. x 2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y =1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x 2=-4y .4. x 24-y 212=1 解析：由渐近线方程可知ba =3，① 因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c =4，② 又c 2=a 2+b 2，③联立①②③，解得a 2=4，b 2=12，所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.5. x =-254解析：x =-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q 所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x =-254.6. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p 2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ，y =x -p 2⇒x 2-3px +p 24=0， 由AB =x 1+x 2+p =8，得4p =8⇒p =2. 7. 83解析：如图，过点A 、B 作准线的垂线交准线于A 1B 1，过B 作BC ⊥AA 1于C ，设BF =m ，由抛物线的定义知AA 1=3m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC =2m ，AB =4m ，k AB =3，直线AB 方程为y =3(x -1)，与抛物线方程联立消y 得3x 2-10x +3=0，所以AB 中点到准线距离为x 1+x 22+1=53+1=83.8. 23解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点，cos 60︒=AE AB =DB 3BF 1=13e ，故e =23.9. 由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y 2=2px (p >0)，将交点⎝⎛⎭⎫32，6代入得p =2，故抛物线方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0)，这也是双曲线的一个焦点，则c =1.又点⎝⎛⎭⎫32，6也在双曲线上，因此有94a 2-6b2=1.又a 2+b 2=1，解得a 2=14，b 2=34，因此，双曲线的方程为4x 2-4y 23=1.10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2=-m ，将x =my -m 代入抛物线方程整理得y 2-2pmy +2pm =0，由韦达定理得y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=2pm ，∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(2pm )2-8pm =16m 4+16m 2，又△OAB 的面积 S =12⨯p 2|y 1-y 2|=12⨯(-m )⨯4m 4+m 2=22，两边平方即可得m 6+m 4=2. 11．解：（Ⅰ）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设⊙M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=, 所以M 的方程为22(2)4x y -+=（Ⅱ）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++ 所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2（Ⅲ）以点Q 为圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线TS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线TS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)312. (1)将(2-k )x -(1+2k )y +(1+2k )=0整理得 (-x -2y +2)k +2x -y +1=0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-x -2y +2=0，2x -y +1=0，得直线所经过的定点(0,1)，所以b =1.由离心率e =32得a =2，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.。