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一元二次方程微课课件

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《一元二次方程》PPT课件

《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.

一元二次方程ppt课件

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※一元二次方程的一般形式 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
知识精讲
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为 零吗？
当 a=0时
bx＋c = 0
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
知识精讲
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然 后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长 为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的 底面积为3600cm2,得
5.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：__x__=_1____; 若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_x_=__-_2____;
6.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试 求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。
针对练习
已知关于x的方程
.
（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方
程的解.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）

《一元二次方程》课件

《一元二次方程》课件

掌握一元二次方程的解法，包括 直接开平方法、配方法、公式法
和因式分解法
了解一元二次方程在实际生活中 的应用，如求最值、解决几何问
题等
02
一元二次方程的定义和形式
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的整 式方程。
详细描述
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。它表示的是一个未 知数 x 的二次方程，且只含有一个 未知数。
求解方法
通过因式分解、配方法或公式法求解 一元二次方程。
练习题与答案解析
练习题1
解方程 x^2 - 6x + 9 = 0。
练习题2
已知方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根是α和β，且α + β = k + 1，求k的值。
练习题3
解方程 (x - 1)^2 = (2x - 1)^2。
一元二次方程课件
目录
• 引言 • 一元二次方程的定义和形式 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的应用 • 总结与回顾
01
引言
课程简介
课程名称
一元二次方程
适用对象
初中学生和高中学生
课程目标
帮助学生掌握一元二次方程的基本概念、解法和 应用
学习目标
理解一元二次方程的基本概念和 形式
公式法
总结词
直接使用求根公式求解一元二次方程 。
详细描述
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a neq 0$。

一元二次方程ppt课件

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(1)
3x 2 +1=6x
(2)
4x 2 +5x=81
(3)
x(x十5)=0
(4)
(2x-2)(x-1)=0
(5)
x(x十5)=5x-10
(6)
(3x-2)(x+1)=x(2x-1)
●2.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般
形式:
(1)一个圆的面积是2m 2 ，求半径;
(2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm 2 ，求较长
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于
较长一段的长的平方，求较短一段的长 x.
●1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次
项系数、一次项系数和常数项:
无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm，那么铁皮
各角应切去多大的正方形?
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm 2 ，
得 (100-2x)(50-2x)=3600.
4x 2 -300x+1400=0.
x 2 -75x+350=0.
不是，未知数在分母上
一元二次方程的三个必要条件
●1.未知数只有一个
●2.未知数的最高次数是2
●3.分母中没有未知数
●方程（m+2）x ㎡-2 +3mx+1=0，是关于x的一元二次方程，
求m的值
解：因为是一元二次方程，所以m 2 -2=2，得出m=2和m=-2

一元二次方程课件

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感谢您的观看
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。

一元二次方程认识一元二次方程ppt

一元二次方程认识一元二次方程ppt
未知数的最高次数为高次的方程
解法
一般采用降次的方法，转化为低次方程求解
一元高次方程
二元一次方程组定义
常见形式
解法
二元一次方程组
分式方程定义
分式方程和无理方程
无理方程定义
解法
注意
谢谢您的观看
THANKS
公式法
总结词
一种通过分解因式来求解一元二次方程的方法，适用于部分一元二次方程。
详细描述
因式分解法是将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，然后通过解两个一次方程来求解原方程的解。这种方法的关键是找到可以将原方程化为两个一次因式乘积的因式分解式。一般情况下，如果判别式大于0，可以将方程的两个根分别分解为两个一次因式的乘积，再解两个一次方程即可得到原方程的解。元二次方程化为一般形式ax²+bx+c=0，然后计算出判别式的值Δ=b²-4ac。
计算判别式的值
将计算出的判别式的值与0进行比较，从而判断出方程根的情况。如果Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；如果Δ＜0，则方程没有实数根。
根据判别式的值判断根的情况
一元二次方程的判别式
02
一元二次方程的解法
配方法
求解一元二次方程最常用的方法之一，适用于所有一元二次方程。
总结词
将一元二次方程化为二次项系数为1的标准方程，然后通过配凑系数的方法求解。配方法的核心是利用完全平方公式将一次项和二次项组合，从而消去二次项系数，得到一个只含有一个未知数的方程，最后求解这个方程即可得到原方程的解。
一元二次方程的通式
ax² + bx + c = 0 的a、b、c为系数，a不为0，就是一般形式的一元二次方程。
描述了在一元二次方程中，未知数的最高次数为2，且各项系数均为实数。

一元二次方程课件

投资收益
在物理学中，物体的运动速度、加速度和时间之间存在二次函数关系。例如，在自由落体运动中，物体下落的距离与时间的关系可以用二次函数来描述。
物体运动
在平面几何中，一些图形如圆形、椭圆、抛物线等可以用一元二次方程来表示。例如，圆的一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D^2+E^2-4F>0。
在一些古代文学作品中，一元二次方程被用作解决情节问题的工具，如中国的古代小说《水浒传》等。
在一些古代音乐作品中，也体现了一元二次方程的思想，如音乐中的和声与一元二次方程的根的关系。
在现代数学中，一元二次方程被广泛应用于代数学、几何学、物理学等多个领域。
在经济学中，一元二次方程被用于研究价格与需求之间的关系，以及如何制定最优价格策略等。
D的符号决定了方程根的情况，是判断方程根存在与否的重要依据。
根的判别式可以应用于解一元二次方程，根据D的符号可以判断方程根的情况。
也可以用于求解一元二次方程的根的公式，通过D可以求出方程的两个实数根。
04
CHAPTER
一元二次方程的实际应用
假设投资金额为p，年利率为r，投资时间为t年，那么未来某一时刻的投资收益为E=p(1+r)^t。当收益时间t和年利率r固定时，投资收益E与投资金额p成二次函数关系。
06
CHAPTER
一元二次方程的历史与文化
在中世纪，阿拉伯数学家开始深入探讨一元二次方程的解法，并发展出了一些新的方法。
到了文艺复兴时期，欧洲数学家如笛卡尔和费马等人对一元二次方程有了更深入的认识，并为其提供了更多的解法。
一元二次方程源于古希腊数学家，如毕达哥拉斯和欧几里得等，他们开始研究如何求解一元二次方程。

一元二次方程ppt课件


b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘-1,使二次项系数变为 正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
即学即练，趁热打铁
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)8x3 - 5x2 - 4 = 0
最高指数是3
(2)7x2 - 4y + 6= 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
经化简得x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多 少米？（列出方程即可）
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端
距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后 梯子底端距墙 (x+6) m ;
2.1 认识一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）.
（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型，培养学
生的数形结合思想. （难点）
导入新课
（一 ）、学前准备： 1、什么叫方程？
3x2= 5x - 1
3x2 - + 2) (x - 1)=6

人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)

解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程

一元二次方程认识一元二次方程ppt

等。
根的判别式在实际问题中的应用
要点一
根的判别式在求解最值问题中的 应用
在一元二次函数中，利用根的判别式可以求解函数的极 值点或最值点。当函数图像与x轴有两个交点时，极值 点或最值点就是两个交点之间的点。因此，利用根的判 别式可以求出函数的极值或最值。
要点二
根的判别式在求解实际问题中的 应用
在一些实际问题中，例如在物理学、工程学、经济学等 领域中，常常需要求解一些特定条件下方程的根的问题 。利用根的判别式可以方便地判断出方程是否有解，以 及解的情况，从而为解决实际问题提供重要的参考依据 。
数学建模与一元二次方程
建立数学模型
一元二次方程是解决实际问题中非常有用的数学工具， 通过建立一元二次方程可以描述很多实际问题的数学关 系。
求解一元二次方程
求解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法 、因式分解法等，根据实际问题的需要选择合适的方法 求解。
一元二次方程与其他数学知识的联系
与一次方程的联系
公式法
总结词
最直接的方法
详细描述
直接套用一元二次方程的求根公式，通过计算得到方程的解。
因式分解法
总结词
最常用的方法
详细描述
将方程的右边化为0，然后将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式等于0，得到方程的解。
配方法
总结词
稍微复杂但很实用的方法
详细描述
将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程转化为 完全平方的形式，再利用平方差公式对完全平方进行计算， 得到方程的解。
表达方式：ax^2 + bx + c = 0（a，b，c为常数，且a≠0）
定义域和值域
定义域：任何实数
值域：实数或空集（当有实数根时）
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为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
尝试应用
• [1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1） 3x 2 5 y 3 • （2）x 4
2
• （3）x 4 ( x 2)
2
2Leabharlann ?尝试应用 例题讲解
3600
100㎝
50㎝
x2 75 x 350 0
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天 安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队 各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
问题(1) 有一块矩形铁皮 ,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形 , 然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为 3600 平方厘米 , 那么铁皮各角应切 去多大的正方形? xcm 分析:
?
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x)(50 2 x) 3600 即
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown) 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx c 0 的形式,我们把 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
• [2] 将下列方程化为一般形式，并 分别指出它们的二次项、一次项和 常数项及它们的系数：
3x( x 1) 5( x 2)
解:
3 x 2-8 x -10=0
•二次项系数是3、一次项系数是-8、 •常数项是-10
?
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
x x 56
2
?
x2 75 x 350 0 x x 56
2
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.