中考数学专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明
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中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题,圆的有关概念以及性质等一般以填空题,选择题的形式考查并占有一定的分值;圆的有关性质,如垂径定理,圆周角,切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查;一般在10分-15分左右,以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数,方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型:(1)线段、角以及切线的证明;(2)利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段,比值和阴影面积的求解.例题精讲:1、如图,点O为Rt△ABC斜边AB上一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC 交于点E,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若∠BAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留π).2、如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)若∠PAC=90°,AB=2,求PD的长.3、如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E,(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.4、如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,OB与⊙O相交于点E.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若BD=,BE=1.求阴影部分的面积.5、如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF是⊙O的切线.(2)若∠A=22.5°,求证:AC=DC.补充练习:1、如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,分别交BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若∠C=60°,⊙O的半径为2,求由弧DE,线段DF,EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若CD=1,求图中阴影部分的面积(结果保留π).3、如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.(1)求证:直线DF与⊙O相切;(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.4、如图,AB为半圆O的直径,AC是⊙O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC,交AB 的延长线于点F,连接DA.(1)求证:EF为半圆O的切线;(2)若DA=DF=6,求阴影区域的面积.(结果保留根号和π)5、如图所示,以△ABC的边AB为直径作⊙O,点C在⊙O上,BD是⊙O的弦,∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G,过C作CE∥BD交AB的延长线于点E.(1)判断CE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠DBA=30°,CG=8,求BE的长.6、如图,AB为⊙O的直径,C,E为⊙O上的两点,若AC平分∠EAB,CD⊥AE于点D.(1)求证:DC是⊙O的切线;3,求DE的长;(2)若AO=6,DC=33,求图中阴影部分面积.(3)过点C作CF⊥AB于F,如图2,若AD-OA=1.5,AC=3答案解析例题精讲:1、(1)证明:∵⊙O切BC于D,∴OD⊥BC,∵AC⊥BC,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠OAD=∠CAD,即AD平分∠CAB;(2)设EO与AD交于点M,连接ED.∵∠BAC=60°,OA=OE,∴∠AEO是等边三角形,∴AE=OA,∠AOE=60°,∴AE=A0=OD,又由(1)知,AC∥OD即AE∥OD,∴四边形AEDO是菱形,则△AEM≌△DMO,∠EOD=60°,∴S△AEM=S△DMO,∴S阴影=S扇形EOD==.2、(1)证明:∵∵ABC=∵APC,∵BAC=∵BPC,∵APC=∵CPB=60°,∵∵ABC=∵BAC=60°,∵∵ABC是等边三角形.(2)解:∵∵ABC是等边三角形,AB=2,∵AC=BC=AB=2,∵ACB=60°.在Rt∵PAC中,∵PAC=90°,∵APC=60°,AC=2,∵AP=AC•cot∵APC=2.在Rt∵DAC中,∵DAC=90°,AC=2,∵ACD=60°,∵AD=AC•tan∵ACD=6.∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4.3、(1)证明:∵BE平分∠BAC,AD平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,∴,∴∠DBC=∠CAD,∴∠DBC=∠BAE,∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,∴∠DBE=∠DEB,∴DE=DB;(2)解:连接CD,如图所示:由(1)得:,∴CD=BD=4,∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°,∴BC==4,∴△ABC外接圆的半径=×4=2.4、(1)证明:连接OD,作OF⊥AC于F,如图,∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∵OF⊥AC,∴OF=OD,∴AC是⊙O的切线;(2)解:在Rt△BOD中,设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,∴r2+()2=(r+1)2,解得r=1,∴OD=1,OB=2,∴∠B=30°,∠BOD=60°,∴∠AOD=30°,在Rt△AOD中,AD=OD=,∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣.5、(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =∠ACD =90°,∵点F 是ED 的中点,∴CF =EF =DF ,∴∠AEO =∠FEC =∠FCE ,∵OA =OC ,∴∠OCA =∠OAC ,∵OD ⊥AB ,∴∠OAC+∠AEO =90°, ∴∠OCA+∠FCE =90°,即OC ⊥FC ,∴CF 与⊙O 相切;(2)解:∵OD ⊥AB ,AC ⊥BD ,∴∠AOE =∠ACD =90°,∵∠AEO =∠DEC ,∴∠OAE =∠CDE =22.5°, ∵AO =BO ,∴AD =BD ,∴∠ADO =∠BDO =22.5°,∴∠ADB =45°,∴∠CAD =∠ADC =45°,∴AC =CD .补充练习:1、(1)如图,连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ,D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线(2)如图,连接OE 、OD ∵AB=AC ,∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°,AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ,△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°,OD ∥AC ,OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯,CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、(1)证明:连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC(3)在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ,∠BOD=45°设BD=x ,则OD=OA=x ,0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+( 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、(1)证明:连接OD ,∵AB=AC ,∴∠B=∠C 。
2019-2020年中考数学专题特例特析:与切线有关的证明与计算1. 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线CM.(1)求证:∠ACM=∠ABC;(2)延长BC到D,BC=CD,连接AD与CM交于点E,若⊙O的半径为3,ED=2,求△ACE的外接圆的半径.第1题图(1)证明:如解图,连接OC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90° ,∴∠ABC+∠BAC=90° ,又∵CM是⊙O的切线,∴OC ⊥CM,∴∠ACM+∠ACO=90° ,∵CO=AO,∴∠BAC=∠ACO,第1题解图∴∠ACM=∠ABC;(2)解:∵BC=CD,∴OC∥AD,又∵OC⊥CE,∴AD⊥CE,∴△AEC是直角三角形,∴△AEC的外接圆的直径是AC,又∵∠ABC+∠BAC=90° ,∠ACM+∠ECD=90° ,由(1)知∠ACM=∠ABC,∴∠BAC=∠ECD,又∵∠ACB=∠CED=90° ,∴△ABC∽△CDE,∴AB BC CD DE=,∵⊙O的半径为 3,∴AB=6,∴62BC CD=∴2=12BC,∴BC,∴AC=∴△AEC2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°.以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D.点E为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是半圆⊙O的切线;(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.第2题图(1)证明:如解图,连接OD,OE,BD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,在Rt△BDC中,E为斜边BC的中点,∴DE=BE,在△OBE和△ODE中,,OB OD OE OE BE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△OBE ≌△ODE (SSS ), ∴∠ODE =∠OBE =90°, 且OD 为⊙O 的半径, ∴DE 为⊙O 的切线;(2)解:在Rt△ABC 中,∠BAC =30°, 第2题解图 ∴BC =12AC , ∵BC =2DE =4 ∴AC =8,又∵∠C =60°,DE =EC ,∴△DEC 为等边三角形,即DC =DE =2, 则AD =AC -CD =6.2019-2020年中考数学专题特例特析:二次函数与几何图形综合题1.如图,抛物线24y x =-+与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,点P 是抛物线上的一个动点且在第一象限,过点P 作x 轴的垂线,垂足为D ,交直线BC 于点E .(1)求点A 、B 、C 的坐标和直线BC 的解析式; (2)求△ODE 面积的最大值及相应的点E 的坐标;(3)是否存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵在24y x =-+中,当y =0时,即24=0x -+, 解得x =±2.当x =0时,即y =0+4,解得y =4.∴点A 、B 、C 的坐标依次是A (-2,0)、B (2,0)、C (0,4). 设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0),则20,4k b b +=⎧⎨=⎩解得-2,4k b =⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-2x +4; (2)∵点E 在直线BC 上, ∴设点E 的坐标为(x ,-2x +4), 则△ODE 的面积S 可表示为:S =12x (-2x +4)=-x +2x =-(x -1)+1, ∴当x =1时,△ODE 的面积有最大值1, 此时,-2x +4=-2×1+4=2, ∴点E 的坐标为(1,2);(3)存在以点P 、O 、D 为顶点的三角形与△OAC 相似,理由如下: 设点P 的坐标为(x ,-x +4),0<x <2, ∵△OAC 与△OPD 都是直角三角形,∴分两种情况:①当△PDO ∽△COA 时,PD ODCO AO=,有2-442x x +=,解得121,1x x ==(不符合题意,舍去),第1题图当x时,y)2此时点P);②当△PDO ∽△AOC 时,,PD ODAO CO=有2-4,24x x +=解得3x =,4x =(不符合题意,舍去),当x =时,24y =-+=此时,点P), 综上可得,满足条件的点P 有两个:1P14-+-2),2P(14-+,18-+). 2.如图,已知二次函数y =ax +bx +c 的图象经过点A (-4,0),B (-1,3),C (-3,3).(1)求此二次函数的解析式;(2)设此二次函数的对称轴为直线l ,该图象上的点P (m,n)在第三象限,其关于直线l 的对称点为M ,点M 关于y 轴的对称点为N ,若四边形OAPN 的面积为20,求m、n的值.解:(1)将A (-4,0),B (-1,3),C (-3,3)代入y =ax +bx +c,第2题图得16403933a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩, 解得:a =-1,b=-4,c=0. 故此二次函数的解析式为y =-x -4x ;(2)如解图所示:由题可知,M 、N 点坐标分别为(-4-m,n),(m+4,n), 四边形OAPN 的面积=(OA +NP )÷2×n =20, 即4n =20, ∴n =5.∵点P (m,n)在第三象限, ∴n=-5,∴-m-4m+5=0,解得m=-5或m=1(舍去),第2题解图故所求m、n的值分别为-5,-5. 3. 如图,在直角坐标系内有 点 P (1,1)、点 C (1,3)和二次函数2y x =- . (1)若二次函数2y x =-的图象经过平移后以点C 为顶点,请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法;(2)若(1)中平移后的抛物线与x 轴交于点A 、点B (A 点在B 点的左侧),求 cos ∠PBO 的值;(3)在抛物线上是否存在一点D ,使线段OC 与PD 互相平分?若存在,求出D 点的坐标;若不存在, 说明理由.第3题图解:(1)平移后以C 为顶点的抛物线解析式为()21+3y x =--,则可知一种移动方式是:将2y x =-向右平移一个单位长度,再向上平移三个单位长度;(2)由(1)知移动后的抛物线解析式为:()221+3=22y x x x =---++.令222x x -++=0,解出1=1x ,2x , 过点 P 作 PM ⊥x 轴于点M ,∴BM ,PM =1, 根据勾股定理得,2PB ===,∴cos ∠PBO =BM PM =第3题解图(3)存在这样的点D . 理由如下: 连接OC 、PD ,欲使OC 与PD 互相平分,只要使四边形OPCD 为平行四边形, 由题设知,PC ∥OD ,又 PC =2,PC ∥y 轴, ∵点 D 在 y 轴上, ∴OD =2, 即D (0,2).∵点P (1,1)、点C 为(1,3),则 OD 与 PC 平行且相等, ∴四边形 OPCD 为平行四边形.又∵点D (0, 2)在抛物线222y x x =-++上,∴存在点D (0, 2),使线段OC 与PD 相互平分.。
(苏科版)九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引:证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法:1、有交点:连半径、证垂直:当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径,简称:“有交点,连半径,证垂直”.2、无交点:作垂直、证半径:当直线和圆的公共点没有明确时,可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称:“无交点,作垂直,证半径”.类型一:有公共点:连半径,证垂直●●【典例一】(2022•雁塔区校级模拟)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在直径AB 上(D 与A ,B 不重合),CD ⊥AB ,且CD =AB ,连接CB ,与⊙O 交于点F ,在CD 上取一点E ,使得EF =EC .求证:EF 是⊙O 的切线;【分析】连接OF ,根据垂直定义可得∠CDB =90°,从而可得∠B +∠C =90°,然后利用等腰三角形的性质可得∠B =∠OFB ,∠C =∠EFC ,从而可得∠OFB +∠EFC =90°,最后利用平角定义可得∠OFE =90°,即可解答;【解答】证明:连接OF ,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =90°,∴∠B +∠C =90°,∵OB =OF ,EF =EC ,∴∠B =∠OFB ,∠C =∠EFC,∴∠OFB+∠EFC=90°,∴∠OFE=180°﹣(∠OFB+∠EFC)=90°,∵OF是⊙O的半径,∴EF是⊙O的切线:【点评】本题考查了切线的判定与性质,勾股定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.【变式1-1】(2022•澄城县三模)如图,AB是△ABC外接圆⊙O的直径,过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC,AB于点G,E,交⊙O于点F,连接DB,CF,∠BAC=∠D.求证:BD是⊙O的切线;【分析】证明∠ABD=90°,根据切线的判定可得BD与⊙O相切;【解答】证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵DG∥BC,∴∠AGE=∠ACB=90°,∴∠A+∠AEG=90°,又∵∠A=∠D,∠AEG=∠DEB,∴∠D+∠DEB=90°,∴∠DBE=90°,∴AB⊥BD,∵AB为直径,∴BD与⊙O相切;【点评】此题考查了切线的判定,垂径定理,解答本题需要我们熟练掌握切线的判定.【变式1-2】如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,CD⊥AB于点D,点E是圆外一点,CA平分∠ECD.求证:CE是⊙O的切线.【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE=90°即可得出结论.【解答】证明:∵CA平分∠ECD,∴∠ECA=∠DCA.∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠DCA=90°,∴∠ECA+∠CAD=90°.∵OA=OC,∴∠CAD=∠ACO,∴∠ECA+∠ACO=90°,即∠OCE=90°,∴OC⊥EC,∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.【点评】本题主要考查了圆的切线的判定,熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键.【变式1-3】(2022秋•阳谷县校级期末)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,∠MAC=∠ABC,D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.(1)求证:MN是半圆的切线.(2)求证:FD=FG.【分析】(1)欲证明MN是半圆的切线,只需证得∠MAB=90°,即MA⊥AB即可;(2)根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°,由DE⊥AB得到∠DEB=90°,则∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,又D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,得到∠3=∠5,于是∠1=∠4,利用对顶角相等易得∠1=∠2,则有FD=FG.【解答】证明:(1)如图,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.又∵∠MAC=∠ABC,∴∠MAC+∠CAB=90°,即∠MAB=90°,∴MA⊥AB.∴MN是半圆的切线.(2)∵AB为直径,∴∠ACB=90°,而DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴∠1+∠5=90°,∠3+∠4=90°,∵D是弧AC的中点,即弧CD=弧DA,∴∠3=∠5,∴∠1=∠4,而∠2=∠4,∴∠1=∠2,∴FD=FG.【点评】本题考查了切线的判定:经过半径的外端点,并且与半径垂直的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定.【变式1-4】如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接OC,PB,已知PB=6,DB=8,∠EDB=∠EPB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)求⊙O的半径.(3)连接BE,求BE的长.【分析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角,即可得证;(2)在直角三角形PBD中,由PB与DB的长,利用勾股定理求出PD的长,由切线长定理得到PC=PB =6,由PD﹣PC求出CD的长,在直角三角形OCD中,设OC=r,则有OD=8﹣r,利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解得到r的值,即为圆的半径.(3)延长PB、DE相交于点F,证明△PED≌△PEF(ASA),由全等三角形的性质得出PD=PF=10,DE =EF,求出DF的长,则可得出答案.【解答】(1)证明:∵DE⊥PE,∴∠DEO=90°,∵∠EDB=∠EPB,∠BOE=∠EDB+∠DEO,∠BOE=∠EPB+∠OBP,∴∠OBP=∠DEO=90°,∴OB⊥PB,∴PB为⊙O的切线;(2)解:在Rt△PBD中,PB=6,DB=8,根据勾股定理得:PD=10,∵PD与PB都为⊙O的切线,∴PC=PB=6,∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4;在Rt△CDO中,设OC=r,则有OD=8﹣r,根据勾股定理得:(8﹣r)2=r2+42,解得:r=3,则圆的半径为3.(3)延长PB、DE相交于点F,∵PD与PB都为⊙O的切线,∴OP平分∠CPB,∴∠DPE=∠FPE,∵PE⊥DF,∴∠PED=∠PEF=90°,又∵PE=PE,∴△PED ≌△PEF (ASA ),∴PD =PF =10,DE =EF ,∴BF =PF ﹣PB =10﹣6=4,在Rt △DBF 中,DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质,勾股定理,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.●●【典例二】 如图,△ABC 是直角三角形,点O 是线段AC 上的一点,以点O 为圆心,OA 为半径作圆.O 交线段AB 于点D ,作线段BD 的垂直平分线EF ,EF 交线段BC 于点.(1)若∠B =30°,求∠COD 的度数;(2)证明:ED 是⊙O 的切线.【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到∠A =60°,根据等腰三角形的性质得到∠ODA =∠A =60°,于是得到∠COD =∠ODA +∠A =120°;(2)根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB =∠B =30°,求得ED ⊥DO ,根据切线的判定定理即可得到结论.【解答】(1)解:∵∠C =90°,∠B =30°,∴∠A =60°,∵OD =OA,∴∠COD=∠ODA+∠A=120°;(2)证明:∵EF垂直平分BD,∴∠EDB=∠B=30°,∴∠EDO=180°﹣∠EDB﹣∠ODA=180°﹣30°﹣60°=90°,∴ED⊥DO,∵OD是⊙O的半径,∴ED是⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.【变式2-1】如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,AC=CD=DB,DE⊥AC.求证:DE是⊙O的切线.【分析】连接OD,根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°,求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°,根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠DAB=30°,求得∠EDA=60°,根据切线的判定定理即可得到结论.【解答】证明:连接OD,∵AC=CD=DB,∴∠BOD=13×180°=60°,∵CD=DB,∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°,∵DE⊥AC,∴∠E=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式2-2】如图,AC是⊙O的直径,B在⊙O上,BD平分∠ABC交⊙O于点D,过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE是⊙O的切线.【分析】连接OD,根据圆周角定理的推论得到∠ABC=90°,根据角平分线的性质求出∠DBE=45°,根据圆周角定理得到∠DOC,根据平行线的性质求出∠ODE=90°,根据切线的判定定理证明结论;【解答】证明:连接OD,∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBE=45°,∴∠DOC=2∠DBE=90°,∵DE∥AC,∴∠ODE=∠DOC=90°,∴DE是⊙O的切线;【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质,掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.【变式2-3】(2023•鼓楼区校级模拟)如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC为弦,OC=4,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)在图(1)中,P为直径BA的延长线上一点,且S△PAC=PC为⊙O的切线;【分析】(1)根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形,则∠AOC=60°;(2)由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长,再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA=30°,进而得出答案;【解答】(1)解:在△OAC中,∵OA=OC=4,∠OAC=60°,∴△OAC是等边三角形,∴∠AOC=60°;(2)证明:过点C作CD⊥AO于点D,∵△AOC是等边三角形,CD⊥AO,∴AD=DO=12OA=2,∠ACO=60°,∴CD∵S △PAC =∴12PA •CD =∴PA =4,∴PA =AC ,∴∠P =∠PCA =12∠OAC =30°,∴∠PCO =∠PCA +∠ACO =30°+60°=90°,∴OC ⊥PC ,∵OC 是⊙O 的半径,∴PC 为⊙O 的切线.【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质,切线的判定,熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键.【变式2-4】(2023•门头沟区二模)如图,AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB 于E ,点F 在CD 上,且AF =DF ,连接AD ,BC .(1)求证:∠FAD =∠B(2)延长FA 到P ,使FP =FC ,作直线CP .如果AF ∥BC .求证:直线CP 为⊙O 的切线.【分析】(1)根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD =∠ACD =∠B ,根据等腰三角形的性质可得∠FAD=∠FDA,进而可得∠FAD=∠B;(2)根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB=∠FAD=∠FDA=30°,进而得到∠CFP=60°,再利用等边三角形的性质可得∠PCO=60°+30°=90°,由切线的判定方法可得结论.【解答】证明:(1)如图,连接AC,∵AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,∴AC=AD,∴∠ACD=∠ACD=∠B,∵AF=FD,∴∠FAD=∠FDA,∴∠FAD=∠B;(2)如图,连接OC,∵AF∥BC,∴∠FAB=∠B,∴∠FAB=∠FAD=∠FDA,∵∠AED=90°,∴∠FAB=∠FAD=∠FDA=30°,∴∠CFP=60°,∵FP=FC,∴△CFP是等边三角形,∴∠PCF=60°,∵OB=OC,∴∠B=∠OCB=30°,∴∠OCD=30°,∴∠PCO=60°+30°=90°,即OC⊥PC,∵OC是半径,∴PC是⊙O的切线.【点评】本题考查切线的判定,圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理,掌握切线的判定方法,圆周角定理是正确解答的前提.●●【典例三】如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ,延长EC ,AB 交于点F ,∠ECD =∠BCF .求证:CE 为⊙O 的切线;【分析】连接OC ,BD ,可推出EF ∥BD ,进而可证CD =BC ,进而得出CE 为⊙O 的切线;【解答】证明:如图1,连接OC ,BD ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,∵CE ⊥AE,∴∠E=∠ADB,∴EF∥BD,∴∠ECD=∠CDB,∠BCF=∠CBD,∵∠ECD=∠BCF,∴∠CDB=∠CBD,∴CD=BC,∴半径OC⊥EF,∴CE为⊙O的切线;【点评】本题考查了圆周角定理及其推论,圆的切线判定,解决问题的关键是作合适的辅助线.【变式3-1】(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知:AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使AB=AC,连结AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为⊙O的切线.【分析】连接OD,根据OA=OB,CD=BD,得出OD∥AC,∠ODE=∠CED,再根据DE⊥AC,即可证出OD⊥DE,从而得出答案.【解答】证明:如图,连接OD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴CD=BD,∵OA=OB,∴OD∥AC.∴∠ODE=∠CED.∵DE⊥AC,∴∠CED=90°.∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定与性质,解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定,是一道常考题型.【变式3-2】已知,如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.(1)求证:点D是AB的中点;(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.【分析】(1)连接CD,如图,根据圆周角定理,由BC为直径得到∠BDC=90°,然后根据等腰三角形的性质得AD=BD;(2)连接OD,先得到OD为△ABC的中位线,再根据三角形中位线性质得OD∥AC,而DE⊥AC,则DE⊥OD,然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线.【解答】(1)证明:连接CD,如图,∵BC为直径,∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB,∵AC=BC,∴AD=BD,即点D是AB的中点;(2)解:DE与⊙O相切.理由如下:连接OD,∵AD=BD,OC=OB,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,而DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE为⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.【变式3-3】如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的⊙O上.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)已知∠B=30°,CD=4,求线段AB的长.【分析】(1)连接OD,根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD,而∠OAD=∠ODA,则∠ODA=∠CAD,于是判断OD∥AC,由于∠C=90°,所以∠ODB=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;(2)由∠B=30°得到∠BAC=60°,则∠CAD=30°,在Rt△ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=Rt△ABC中,根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB=【解答】(1)证明:连接OD,如图,∵∠BAC的平分线交BC于点D,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODB=90°,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切线;(2)解:∵∠B=30°,∴∠BAC=60°,∴∠CAD=30°,在Rt△ADC中,DC=4,∴AC==在Rt△ABC中,∠B=30°,∴AB=2AC=【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.【变式3-4】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的长.【分析】(1)连接OA,根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°,故AE⊥OA,即AE是⊙O的切线;(2)根据圆周角定理,可得在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,有AD=2DE;在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,有BD=2AD=4DE,即可得出答案.【解答】(1)证明:连接OA,∵DA平分∠BDE,∴∠BDA=∠EDA.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠EDA,∴OA∥CE.∵AE⊥CE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线.(2)解:∵BD是直径,∴∠BCD=∠BAD=90°.∵∠DBC=30°,∠BDC=60°,∴∠BDE=120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA=∠EDA=60°.∴∠ABD=∠EAD=30°.∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°,∴AD=2DE.∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°,∴BD=2AD=4DE.∵DE的长是1cm,∴BD的长是4cm.【点评】此题主要考查了切线的判定,角平分线的性质,含30°的直角三角形的性质,勾股定理,矩形的判定和性质,构造出直角三角形是解本题的关键,是一道中等难度的中考常考题.●●【典例四】(2022•城关区一模)如图,C是⊙O上一点,点P在直径AB的延长线上,⊙O的半径为6,PB=4,PC=8.求证:PC是⊙O的切线;【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形,即OC⊥PC,PC是⊙O的切线;【解答】解:如图,连接OC、BC,∵⊙O的半径为6,PB=4,PC=8.∴OC=OB=6,OP=OB+BP=6+4=10,∴OC2+PC2=62+82=100,OP2=102=100,∴OC2+PC2=OP2,∴△OCP是直角三角形,∴OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线;【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理,利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键.【变式4-1】如图,AD, BD是⊙O的弦,AD⊥BD,且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点,CD=2,求证:AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直,再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB,∵AD⊥BD,且BD=2AD=8 ,∴AB为直径,AB2 =82+42 =80,∵CD=2,AD=4 ,∴AC2 =22 +42=20,∵CD=2,BD=8,∴BC=102=100,∴AC2+AB2=CB2,∴∠BAC=90° ,∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定,圆周角定理的推论,勾股定理的逆定理,解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图,AD,BD是⊙O的弦,AD⊥BD,且BD=2AD=8,点C是BD的延长线上的一点,CD=2,求证:AC是⊙O的切线.【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径,再利用勾股定理计算出AB、AC,接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,所以AC⊥AB,然后根据切线的判定定理得到结论.【解答】证明:∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°,∴AB为⊙O的直径,∵BD =2AD =8,∴AD =4,在Rt △ADB 中,AB 2=AD 2+BD 2=42+82=80,在Rt △ADC 中,AC 2=AD 2+CD 2=42+22=20,∵BC 2=(2+8)2=10,∴AC 2+AB 2=BC 2,∴△ABC 为直角三角形,∠BAC =90°,∴AC ⊥AB ,∵AB 为直径,∴AC 是⊙O 的切线.【点评】本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理.●●【典例五】(2022•鄞州区校级开学)如图,AB 为⊙O 的直径,点C 和点D 是⊙O 上的两点,连接BC ,DC ,BC =CD ,CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E .求证:CE 是⊙O 的切线;【分析】连接OD ,OC ,证得△COD ≌△COB ,可得∠OCD =∠BCO ,从而得到∠ADC =∠DCO ,进而得到DA ∥CO ,利用切线的判定定理即可求证;【解答】证明:连接OD ,OC,如图,在△COD和△COB中,OD=OBOC=OC,CD=CB∴△COD≌△COB(SSS),∴∠OCD=∠BCO,∵CO=BO,∴∠B=∠BCO,∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠DCO.∴DA∥CO,∴∠E+∠ECO=180°.∵CE⊥EA,∴∠E=90°.∴∠ECO=90°,∴EC⊥CO,∵CO是⊙O的半径,∴EC是⊙O的切线;【点评】本题主要考查了切线的判定,圆周角定理等知识,熟练掌握切线的判定,相似三角形的判定和性质,圆周角定理等知识是解题的关键.【变式5-1】如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连接OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.求证:CD是⊙O的切线;【分析】连接OD,利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等,利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角,即可得证;【解答】证明:如图,连接OD.∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD,又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB,在△COD和△COB中,OC=OC∠COD=∠COB,OD=OB∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO=90°,∵OD是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;【点评】此题考查了切线的判定和性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.【变式5-2】(2022秋•新抚区期末)如图,AB为⊙O的直径,四边形OBCD是矩形,连接AD,延长AD 交⊙O于E,连接CE.求证:CE为⊙O的切线.【分析】连接OC、BE,根据矩形性质和圆半径相等,推出∠CDE=∠AEO,进而得到OP=CP,然后根据OB∥CD,可以推出∠COE=∠BOC,最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解.【解答】证明:如图:连接OC、BE,OE,CD交于点P,∵四边形OBCD是矩形,∴OB∥CD,∠OBC=90°,OB=CD,∵OB∥CD,∴∠A=∠CDE,∵在⊙O中,OA=OB=OE,∴OE=CD,∵OA=OE,∴∠A=∠AEO,∴∠CDE=∠AEO,∴DP=PE,∵OE=CD,∴OP=CP,∴∠COE=∠DCO,∵OB∥CD,∴∠DCO=∠BOC,∴∠COE=∠BOC,在△BOC和△EOC中,OB=OECO=CO,∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC(SAS),∴∠CEO=∠OBC=90°,∴CE⊥OE,又∵OE为⊙O的半径,∴CE为⊙O的切线.【点评】本题考查圆周角定理,全等三角形的判定和性质,矩形的性质等众多知识点,熟悉掌握以上知识点是解题关键.【变式5-3】(2022•建邺区二模)如图,四边形ABCD是菱形,以AB为直径作⊙O,交CB于点F,点E在CD上,且CE=CF,连接AE.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)连接AC交⊙O于点P,若AP BF=1,求⊙O的半径.【分析】(1)连接AF,根据菱形的性质得到∠ACF=∠ACE,根据全等三角形的性质得到∠AFC=∠AEC,推出OA⊥AE,根据切线的判定定理即可得到结论;(2)连接BP,根据圆周角定理得到∠APB=90°,求得AC=2AP=【解答】(1)证明:连接AF,∵四边形ABCD为菱形,∴∠ACF=∠ACE,在△ACF与△ACE中,CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC,∴△ACF≌△ACE(SAS),∴∠AFC=∠AEC,∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=∠AFC=90°,∴∠AEC=90°,∵AB∥DC,∴∠BAE+∠AEC=90°,∴∠BAE=90°,∴OA⊥AE,∵OA是⊙O的半径,∴AE是⊙O的切线;(2)解:连接BP,∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90°,∵AB=CB,AP=∴AC=2AP=设⊙O的半径为R,∵AC2﹣CF2=AF2,AB2﹣BF2=AF2,∴2−(2R−1)2=(2R)2−12,∴R=32(负值舍去),∴⊙O的半径为3 2.【点评】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,菱形的性质,三角形全等的性质和判定,勾股定理等知识,解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题.类型二:无公共点:作垂直,证半径●●【典例六】如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是⊙O的切线.【分析】过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,根据切线的性质得出AB⊥OD,根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线,根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论.【解答】证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,∵AB与⊙O相切于点D,∴AB⊥OD,∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线,∴OE=OD,即OE是⊙O的半径,∵圆心到直线的距离等于半径,∴AC是⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.【变式6-1】如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证:CD与⊙O相切.【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD,再利用角平分线的性质得出OM=ON,即可得出答案.【解答】证明:如图所示,连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC,又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM=ON,∴ON为⊙O的半径,∴CD与⊙O相切.【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质,得出OM=ON是解题关键.【变式6-2】如图,OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D和OA相切于点E,连接CE.(1)求证:OB与⊙D相切;(2)若OE=4,⊙D的半径为3,求CE的长.【分析】(1)过点D作DF⊥OB于点F,先由切线的性质得DE⊥OA,则由角平分线的性质得DF=DE,即可证得结论;(2)过E作EG⊥OD于G,先由勾股定理求出OD=5,再由面积法求出EG=125,然后由勾股定理求出DG=95,最后由勾股定理求出CE即可.【解答】(1)证明:连接DE,过点D作DF⊥OB于点F,如图所示:∵⊙D与OA相切于点E,∴DE⊥OA,∵OC平分∠AOB,∴DF=DE,又∵DF⊥OB,∴OB与⊙D相切;(2)解:过E作EG⊥OD于G,如图所示:由(1)得:DE⊥OA,∴∠OED=90°,∵OE=4,DE=3,∴OD=5,∵EG⊥OD,∴12OD×EG=12OE×DE,∴EG=OE×DEOD=4×35=125,∴DG===9 5,∴CG=CD+DG=3+95=245,∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识,解题的关键是准确作出辅助线.【变式6-3】如图,AB是⊙O的直径,AM,BN分别切⊙O于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半径R.【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E,通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论.(2)过点D作DF⊥BC于点F,根据切线的性质可得出DC的长度,继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长,继而可得出半径.【解答】(1)证明:过O点作OE⊥CD于点E,∵AM切⊙O于点A,∴OA⊥AD,又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA,∵OA为⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径,且OE⊥DC,∴CD是⊙O的切线.(2)解:过点D作DF⊥BC于点F,∵AM,BN分别切⊙O于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴四边形ABFD是矩形,∴AD=BF,AB=DF,又∵AD=4,BC=9,∴FC=9﹣4=5,∵AM,BN,DC分别切⊙O于点A,B,E,∴DA=DE,CB=CE,∴DC=AD+BC=4+9=13,在Rt△DFC中,DC2=DF2+FC2,∴DF=12,∴AB=12,∴⊙O的半径R是6.【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识,证明第一问关键是掌握切线的判定定理,解答第二问关键是熟练切线的性质.【变式6-4】(2022秋•清原县期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,点O在AC边上,⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ,∠FAC =12∠BDC .(1)求证:AF 是⊙O 的切线;(2)若BC =6,AB =10,求⊙O 的半径长.【分析】(1)作OH ⊥FA ,垂足为点H ,连接OE ,证明AC 是∠FAB 的平分线,进而根据OH =OE ,OE ⊥AB ,可得AF 是⊙O 的切线;(2)勾股定理得出AC ,设⊙O 的半径为r ,则OC =OE =r ,进而根据切线的性质,在Rt △OEA 中,勾股定理即可求解.【解答】(1)证明:如图,作OH ⊥FA ,垂足为点H ,连接OE ,∵∠ACB =90°,D 是AB 的中点,∴CD =AD =12AB ,∴∠CAD =∠ACD ,∵∠BDC =∠CAD +∠ACD =2∠CAD ,又∵∠FAC =12∠BDC ,∴∠FAC =∠CAD ,即AC 是∠FAB 的平分线,∵点O 在AC 上,⊙O 与AB 相切于点E ,∴OE ⊥AB ,且OE 是⊙O 的半径,∴OH =OE ,OH 是⊙O 的半径,∴AF 是⊙O 的切线;(2)解:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AB=10,∴AC==8,∵BE,BC是⊙O的切线,∴BC=BE=6,∴AE=10﹣6=4设⊙O的半径为r,则OC=OE=r,在Rt△OEA中,由勾股定理得:OE2+AE2=OA2,∴16+r2=(8﹣r)2,∴r=3.∴⊙O的半径长为3.【点评】本题考查了切线的性质与判定,勾股定理,熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键.1.如图,已知AB是⊙O的直径,AB=BE,点P在BA的延长线上,连接AE交⊙O于点D,过点D作PC⊥BE垂足为点C.求证:PC与⊙O相切;【分析】连接OD,根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠BEA,∠BAE=∠ODA,等量代换得到∠ODA=∠BEA,证明OD∥BE,根据平行线的性质得到PC⊥OD,根据切线的判定定理证明结论;【解答】证明:连接OD,∵AB=BE,∴∠BAE=∠BEA,∵OA=OD,∴∠BAE=∠ODA,∴∠ODA=∠BEA,∴OD∥BE,∵PC⊥BE,∴PC⊥OD,∵OD是⊙O的半径,∴PC与⊙O相切;【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形,掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.2.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,点D是BC的中点,DE∥BC交AC的延长线于点E.(1)求证:直线DE与⊙O相切;(2)若⊙O的直径是10,∠A=45°,求CE的长.【分析】(1)连接OD,如图,先利用垂径定理得到OD⊥BC,再根据平行线的性质得到OD⊥DE,然后根据切线的判定方法得到结论;(2)先根据圆周角定理得到∠B=90°,则∠ACB=45°,再根据平行线的性质得到∠E=45°,则可判断△ODE 为等腰直角三角形,于是可求出OE,然后计算OE﹣OC即可.【解答】(1)证明:连接OD,如图,∵点D是BC的中点,∴OD⊥BC,∵DE∥BC,∴OD⊥DE,∴直线DE与⊙O相切;(2)解:∵AC是⊙O的直径,∴∠B=90°,∵∠A=45°,∴∠ACB=45°,∵BC∥DE,∴∠E=45°,而∠ODE=90°,∴△ODE为等腰直角三角形,∴OE==∴CE=OE﹣OC=5.【点评】本题考查了切线的性质与判定:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质.3.(2023•东城区校级模拟)如图,⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D,连接BC,OB.(1)求证:2∠ABC+∠OBA=90°;(2)分别延长BO、CO交⊙O于点E、F,连接AF,交BE于G,过点A作AM⊥BC,交BC延长线于点M,若G是AF的中点,求证:AM是⊙O的切线.【分析】(1)先根据垂径定理得到AC=BC,再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠ABC,然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD=90°,从而得到结论;(2)如图,连接OA,根据垂径定理得到BE⊥AF,再根据圆周角定理得到∠CAF=90°,则可判断BE ∥AC,所以∠ABE=∠BAC,接着证明∠BAO=∠CBA得到OA∥BC,根据平行线的性质得到AM⊥OA,然后根据切线的判断方法得到结论.【解答】证明:(1)∵OD⊥AB,∴AC=BC,∠ODB=90°,∴∠BOC=2∠ABC,∵∠BOD+∠OBD=90°,∴2∠ABC+∠OBA=90°;(2)如图,连接OA,∵G是AF的中点,∴BE⊥AF,∵CF为直径,∴∠CAF=90°,∴CA⊥AF,∴BE∥AC,∴∠ABE=∠BAC,∴AC=BC,∴∠CAB=∠CBA,∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABO,∴∠BAO=∠CBA,∴OA∥BC,∵AM⊥BC,∴AM⊥OA,而OA为⊙O的半径,∴AM是⊙O的切线.【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了圆周角定理、垂径定理.4.(2022•思明区校级二模)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC是⊙O直径,BE∥AD交DC 延长线于点E,若BC平分∠ACE.(1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若BE=3,CD=2,求⊙O的半径.【分析】(1)连接OB,由条件可以证明OB∥DE,从而证明OB⊥BE;(2)由垂径定理求出AD长,从而由勾股定理可求AC长.【解答】(1)证明:连接OB,∵″OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵∠BCE=∠OCB,∴∠OBC=∠BCE,∴OB∥DE,∵AC是⊙O直径,∴AD⊥DE,∵BE∥AD,∴BE⊥DE,∴OB⊥BE,∵OB是⊙O半径,∴BE是⊙O切线;(2)解:延长BO交AD于F,∵∠D=∠DEB=∠EBF=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴BF⊥AD,DF=BE=3,∴AD=2DF=6,∵AC2=AD2+CD2,∴AC2=62+22=40,∴AC=∴⊙O【点评】本题考查切线的判定,矩形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,用到的知识点较多,关键是熟练掌握知识点,并能灵活应用.5.(2023•封开县一模)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)当AB=5,BC=6时,求DE的长.【分析】(1)连接OD,由AC=AB,根据等边对等角得到一对角相等,再由OD=OB,根据等边对等角得到又一对角相等,等量代换可得一对同位角相等,根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行,又EF垂直于AC,根据垂直于两平行线中的一条,与另一条也垂直,得到EF与OD也垂直,可得EF为圆O的切线;(2)连接AD,由AB为圆的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°,即AD与BC垂直,又AC=AB,根据三线合一得到D为BC中点,由BC求出CD的长,再由AC的长,利用勾股定理求出AD的长,三角形ACD的面积有两种求法,AC乘以DE除以2,或CD乘以AD除以2,列出两个关系式,两关系式相等可求出DE的长.【解答】(1)证明:连接OD,∵AB=AC,∴∠C=∠OBD,∵OD=OB,∴∠1=∠OBD,∴∠1=∠C,∴OD∥AC,∵EF⊥AC,∴EF⊥OD,∴EF是⊙O的切线;(2)连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,且BC=6,∴CD=BD=12BC=3,在Rt△ACD中,AC=AB=5,CD=3,根据勾股定理得:AD=4,又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD,即12×5×ED=12×4×3,∴ED=12 5.【点评】此题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理,平行线的性质,勾股定理,三角形面积的求法,以及切线的判定,其中证明切线的方法为:有点连接圆心与此点,证垂直;无点过圆心作垂线,证明垂线段长等于圆的半径.本题利用的是第一种方法.6.(2023•宁德模拟)如图,OM 为⊙O 的半径,且OM =3,点G 为OM 的中点,过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ,B ,点D 在优弧AB 上运动,将AB 沿AD 方向平移得到DC ;连接BD ,BC .(1)求∠ADB 的度数;(2)如图2,当点D 在MO 延长线上时,求证:BC 是⊙O 的切线.【分析】(1)连接AO ,BO ,先根据特殊角的正弦值可得∠OAG =30°,再根据等腰三角形的性质可得∠OAG =∠OBG =30°,从而可得∠AOB =120°,然后根据圆周角定理即可得;(2)连接AO ,BO ,CO ,先证出四边形ABCD 是平行四边形,再根据等边三角形的判定与性质可得AB =AD ,根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形,根据菱形的性质可得CB =CD ,然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ,根据全等三角形的性质可得∠OBC =∠ODC =90°,最后根据圆的切线的判定即可得证.【解答】(1)解:如图1,连接AO ,BO .∵点G 为OM 的中点,且OM =3,∴OG =12OM =32,OA =OB =OM =3,∵AB ⊥OM ,在Rt △AOG 中,OG =12OA .∴∠OAG =30°,又∵OA =OB ,∴∠OAG=∠OBG=30°,∴∠AOB=120°,∴∠ADB=12∠AOB=60°.(2)证明:如图2,连接AO,BO,CO,由平移得:AB=DC,AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OM⊥AB,点D在MO延长线上,∴DM⊥CD,∵OA=OB,AB⊥OM,∴AG=BG,∴DM垂直平分AB,∴AD=BD,∵∠ADB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,在△COB和△COD中,CB=CDOB=ODOC=OC,∴△COB≌△COD(SSS),∴∠OBC=∠ODC=90°,又∵OB是⊙O的半径,。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1.如图,△ABD是△O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是△O外一点,且△DBC=△A=60°,连接OE并延长与△O相交于点F,与BC相交于点C.(1)求证:BC是△O的切线;(2)若△O的半径为6cm,求弦BD的长.2.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)如果∠BAC=60°,AE=4√3,求AC长.3.如图,AC与△O相切,切点为C,点B在CO的延长线上,BD△AO,垂足为D,△ABD=△BO D.(1)求证:AB为△O的切线;(2)若BC=4,AC=3,求BD的长.4.如图,AB 是△O 的直径,点E 在△O 上,连接AE 和BE ,BC 平分△ABE 交△O 于点C ,过点C 作CD△BE ,交BE 的延长线于点D ,连接CE .(1)请判断直线CD 与△O 的位置关系,并说明理由;(2)若sin△ECD =35,CE =5,求△O 的半径. 5.如图,AB 为△O 的直径,C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点,△ABD =2△BAC ,连接CD ,过点C 作CE△DB ,垂足为E ,直径AB 与CE 的延长线相交于F 点.(1)求证:CF 是△O 的切线;(2)当BD = 185 ,sinF = 35时,求OF 的长. 6.如图,线段AB 经过圆心O ,交△O 于点A 、C ,点D 为△O 上一点,连结AD 、OD 、BD ,△A =△B =30°.(1)求证:BD 是△O 的切线.(2)若OA =5,求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积.7.如图,在Rt△ABC 中,△ACB =90°,CD 是斜边AB 上的中线,以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ,过点N 作NE△AB ,垂足为E(1)若△O的半径为52,AC=6,求BN的长;(2)求证:NE与△O相切.8.如图,AB是△O的弦,OP△OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求证:BC是△O的切线;(2)若△O的半径为√5,OP=1,求BC的长.9.如图,AB是△O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分△CAE交△O于点D,且AE△CD,垂足为点E.(1)求证:直线CE是△O的切线.(2)若BC=3,CD=3 √2,求弦AD的长.10.如图,AB为圆的直径,C是△O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC,垂足为D,已知AC平分△MAD .(1)求证:MC是△O的切线:(2)若AB=BM=4,求tan△MAC的值11.如图,AB是△O的直径,点C在△O上,BD平分∠ABC交△O于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E.(1)求证:DE与△O相切;(2)若AB=10,AD=6,求DE的长.12.如图,点O在△APB的平分线上,△O与PA相切于点C.(1)求证:直线PB与△O相切;(2)PO的延长线与△O交于点E.若△O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.13.如图,已知A(﹣5,0)、B(﹣3,0),点C在y轴的正半轴上,△CBO=45°,CD△AB,△CDA=90°点,P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间ts.(1)求点C的坐标;(2)当△BCP=15°时,且△OPC中最长边是最短边的2倍,求t的值;(3)以点P为圆心,PC为半径的△P随点P的运动而变化,当△P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.14.已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一动点,连接AC,BC,在BA的延长线上取一点D,连接CD,使CD=CB.(1)如图1,若AC=AD,求证:CD是⊙O的切线;(2)如图2,延长DC交⊙O于点E,连接AE.①若⊙O的直径为√10,sinB=√10,求AD的长;10②若CD=2CE,求cosB的值.15.如图,AB、AC分别是△O的直径和弦,OD△AC于点D,过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P,PC、AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是△O的切线;(2)若△ABC=60°,AB=10,求线段CF的长,16.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,△BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,△P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)求证:ED是△P的切线;(3)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.答案解析部分1.【答案】(1)证明:连接OB ,如图所示:∵E 是弦BD 的中点,∴BE =DE ,OE△BD , BF ⌢=12BD ⌢ , ∴△BOE =△A ,△OBE+△BOE =90°,∵△DBC =△A ,∴△BOE =△DBC ,∴△OBE+△DBC =90°,∴△OBC =90°,即BC△OB ,∴BC 是△O 的切线;(2)解:∵OB =6,△DBC =△A =60°,BC△OB , ∴OC =12,∵△OBC 的面积= 12 OC•BE = 12OB•BC , ∴BE = OB×BC OC =6×6√312=3√3 , ∴BD =2BE =6 √3 ,即弦BD 的长为6 √3 .2.【答案】(1)证明:连接 OD ,如图,∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ,∴∠BAD=∠DAC,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODA=∠DAC,∴OD//AE,∵DE⊥AE,∴DE⊥OD,OD为半径,∴DE是⊙O的切线(2)解:作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°,∴∠DAE=30°,在RtΔADE中,DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形,∴OF=DE=4,在RtΔOAF中,∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33.【答案】(1)证明:作OH△AB,垂足为H∵AC与△O相切,切点为C,∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°,△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC,△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线(2)解:在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35,解得OB=52,OC=32,OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD,△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD,解得:BD=√5.4.【答案】(1)解:结论:CD是△O的切线.理由:连接OC.∵OC=OB,∴△OCB=△OBC,∵BC平分△ABD,∴△OBC=△CBE,∴△OCB=△CBE,∴OC//BD ,∵CD△BD ,∴CD△OC ,∵OC 是半径,∴CD 是△O 的切线;(2)解:设OA =OC =r ,设AE 交OC 于点J .∵AB 是直径,∴△AEB =90°,∵OC△DC ,CD△DB ,∴△D =△DCJ =△DEJ =90°,∴四边形CDEJ 是矩形,∴△CJE =90°,CD =EJ ,CJ =DE ,∴OC△AE ,∴AJ =EJ ,∵sin△ECD =DE CE =35,CE =5, ∴DE =3,CD =4,∴AJ =EJ =CD =4,CJ =DE =3,在Rt△AJO 中,r 2=(r ﹣3)2+42,∴r =256, ∴△O 的半径为256. 5.【答案】(1)解:连接OC .如图1所示:∵OA=OC,∴△1=△2.又∵△3=△1+△2,∴△3=2△1.又∵△4=2△1,∴△4=△3,∴OC△DB.∵CE△DB,∴OC△CF.又∵OC为△O的半径,∴CF为△O的切线;(2)解:连接AD.如图2所示:∵AB是直径,∴△D=90°,∴CF△AD,∴△BAD=△F,∴sin△BAD=sinF=BDAB=35,∴AB=53BD=6,∴OB=OC=3,∵OC△CF,∴△OCF=90°,∴sinF=OCOF=35,解得:OF=5.6.【答案】(1)证明:∵△ADO=△BAD=30°,∴△DOB=60°∵△ABD=30°,∴△ODB=90°∴OD△BD.∵点D为△O上一点,∴BD是△O的切线.(2)解:∵△DOB=60°,∴△AOD=120°.∵OA=5,∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π.7.【答案】(1)解:∵ △O 的半径为52,则CD=5,AB=10,BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径,得DN△BC,D为AB的中点,则BD=CD,则△BDC为等腰三角形,由三线合一知,BN=NC=12BC=4。
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图,⊙O 的半径为5,点P 在⊙O 外,PB 交⊙O 于A 、B 两点,PC 交⊙O 于D 、C 两点. (1)求证:P A ·PB =PD ·PC ;(2)若P A =454,AB =194,PD =DC +2,求点O 到PC 的距离.第1题图2. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB =AC ,点P 是AB ︵的中点,连接P A ,PB ,PC .(1)如图①,若∠BPC =60°,求证:AC =3AP ; (2)如图②,若sin ∠BPC =2425,求tan ∠P AB 的值.第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ,tan ∠ACD =32. (1)如图①,若AB 为⊙O 的直径,BE =8,求AC 的长;(2)如图②,若AB 不为⊙O 的直径,BE =4,F 为BC ︵上一点,BF ︵=BD ︵,且CF =7,求AC 的长.第3题图4.如图,△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,交CA 的延长线于点E ,连接AD 、DE .(1)求证:D 是BC 的中点;(2)若 DE =3,BD -AD =2,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,求弦AE 的长.第4题图5.如图,⊙O 的半径为1,A ,P ,B ,C 是⊙O 上的四个点, ∠APC =∠CPB =60°.(1)判断△ABC 的形状:________;(2)试探究线段P A ,PB ,PC 之间的数量关系,并证明你的结论; (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时,四边形APBC 的面积最大?求出最大面积.第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD 交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.(1)求证:AC与⊙O相切;(2)当BD=6,sin C=35时,求⊙O的半径.第1题图2.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为D.(1)求证:∠PCA=∠ABC;(2)过点A作AE∥PC,交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若sin ∠P =35,CF =5,求BE 的长.第2题图3. 如图①,在⊙O 中,直径AB ⊥CD 于点E ,点P 在BA 的延长线上,且满足∠PDA =∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②),当M 恰为BC ︵的中点时,试求DE BE 的值;(3)若P A =2,tan ∠PDA =12,求⊙O 的半径.第3题图二、与相似三角形结合1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,E 是BC 的中点,以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ,连接DE . (1)求证:△ABC ∽△CBD ; (2)求证:直线DE 是⊙O 的切线.第1题图2. 如图,⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上,⊙O 经过C 、D 两点,与斜边AB 交于点E ,连接BO 、ED ,有BO ∥ED ,作弦EF ⊥AC 于G ,连接DF .(1)求证:CO ·CD =DE ·BO ;(2)若⊙O 的半径为5,sin ∠DFE =35,求EF 的长.第2题图3. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径作半圆⊙O ,交BC 于点D ,连接AD ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E ,交AB 的延长线于点F .(1)求证:EF 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为5,sin ∠ADE =45,求BF 的长.第3题图4.如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B=30°,求证:以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,连接AD,求⊙O的半径和AD的长.第4题图5.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD =DC,延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;(2)如图②,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)第5题图6.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,OF延长线交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)求证:CE2=EH·EA;(3)若⊙O 的半径为5,sin A =35,求BH 的长.第6题图7.如图①,△ABC 内接于⊙O ,∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ,交BC 于点E (BE >EC ),且BD =2 3.过点D 作DF ∥BC ,交AB 的延长线于点F .(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若∠BAC =60°,DE =7,求图中阴影部分的面积;(3)若AB AC =43,DF +BF =8,如图②,求BF 的长.第7题图三、与全等三角形结合1.如图,已知PC 平分∠MPN ,点O 是PC 上任意一点,PM 与⊙O 相切于点E ,交PC 于A 、B 两点. (1)求证:PN 与⊙O 相切;(2)如果∠MPC =30°,PE =23,求劣弧BE ︵的长.第1题图2.如图,已知BC是⊙O的弦,A是⊙O外一点,△ABC为正三角形,D为BC的中点,M是⊙O上一点,并且∠BMC =60°.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O 的半径为2.试问BE+CF的值是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.第2题图3. 已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接AE.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)连接BD,若ED∶DO=3∶1,OA=9,求AE的长和tan B的值.第3题图4. 如图,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E、F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O 交于点C,连接BC,AF.(1)求证:直线P A为⊙O的切线;(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系,并加以证明;(3)若BC=6,tan∠F=12,求cos∠ACB的值和线段PE的长.第4题图5. 如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ,过点D 作⊙O 的切线PD ,交CA 的延长线于点P ,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证:PD ∥AB ; (2)求证:DE =BF ;(3)若AC =6,tan ∠CAB =43,求线段PC 的长.第5题图6.如图,点P 是⊙O 外一点,P A 切⊙O 于点A ,AB 是⊙O 的直径,连接OP ,过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ,连接AC 交OP 于点D . (1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)若PD =163,AC =8,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,若点E 是AB ︵的中点,连接CE ,求CE 的长.第6题图7. 如图①,AB是⊙O的直径,OC⊥AB,弦CD与半径OB相交于点F,连接BD,过圆心O作OG∥BD,过点A作⊙O的切线,与OG 相交于点G,连接GD,并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证:GD=GA;(2)求证:△DEF是等腰三角形;(3)如图②,连接BC,过点B作BH⊥GE,垂足为点H,若BH=9,⊙O的直径是25,求△CBF的周长.第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明:如解图,连接AD,BC,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠P AD=∠PCB,∠PDA=∠PBC,∴△P AD ∽△PCB , ∴P A PD =PC PB , ∴P A ·PB =PD ·PC ;(2)解:如解图,连接OD ,过O 点作OE ⊥DC 于点E , ∵P A =454,AB =194,PD =DC +2,∴PB =P A +AB =16,PC =PD +DC =2DC +2, ∵P A ·PB =PD ·PC ,∴454×16=(DC +2)(2DC +2), 解得DC =8或DC =-11(舍去), ∴DE =12DC =4, ∵OD =5,∴在Rt △ODE 中,OE =OD 2-DE 2=3, 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明:∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角, ∴∠BAC =∠BPC =60°, 又∵AB =AC ,∴△ABC 为等边三角形, ∴∠ACB =60°, ∵点P 是AB ︵的中点, ∴P A ︵=PB ︵,∴∠ACP =∠BCP =12∠ACB =30°,而∠APC =∠ABC =60°, ∴△APC 为直角三角形, ∴tan ∠APC =AC AP , ∴AC =AP tan60°=3AP ;(2)解:连接AO 并延长交PC 于点E ,交BC 于点F ,过点E 作EG ⊥AC 于点G ,连接OC ,BO ,如解图,∵AB =AC , ∴AF ⊥BC , ∴BF =CF , ∵点P 是AB ︵中点, ∴∠ACP =∠PCB , ∴EG =EF .∵∠BPC =∠BAC =12∠BOC =∠FOC , ∴sin ∠FOC =sin ∠BPC =2425, 设FC =24a ,则OC =OA =25a ,∴OF =OC 2-FC 2=7a ,AF =25a +7a =32a , 在Rt △AFC 中,∵AC 2=AF 2+FC 2, ∴AC =(32a )2+(24a )2=40a , ∵∠EAG =∠CAF , ∴△AEG ∽△ACF , ∴EG CF =AE AC ,又∵EG =EF ,AE =AF -EF ,第2题解图∴EG 24a =32a -EG 40a , 解得EG =12a ,在Rt △CEF 中,tan ∠ECF =EF FC =12a 24a =12, ∵∠P AB =∠PCB ,∴tan ∠P AB =tan ∠PCB =tan ∠ECF =12. 3. 解:(1)如解图①,连接BD , ∵直径AB ⊥弦CD 于点E , ∴CE =DE ,∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角, ∴∠ACD =∠ABD , ∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =32, ∴ED EB =AE CE =32,即ED 8=32, ∴ED =12, ∴CE =ED =12, 又∵AE =32CE =18, ∴AC =AE 2+CE 2=613;(2)连接CB ,过B 作BG ⊥CF 于G ,如解图②, ∵BF ︵=BD ︵, ∴∠BCE =∠BCG , 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE =∠BCG ∠BEC =∠BGC BC =BC, ∴△CEB ≌△CGB (AAS), ∴BE =BG =4,∵四边形ACFB 内接于⊙O , ∴∠A +∠CFB =180°, 又∵∠CFB +∠BFG =180°, ∴∠BFG =∠A , ∵∠FGB =∠AEC =90°, ∴△BFG ∽△CAE , ∴FG BG =AE CE =32, ∴FG =32BG =6, ∴CE =CG =13, ∴AE =32CE =392,∴AC =AE 2+CE 2=13213. 4. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°, 即AD ⊥BC , ∵AB =AC ,∴等腰△ABC ,AD 为BC 边上的垂线, ∴BD =DC , ∴D 是BC 的中点; (2)解:∵AB =AC ,∴∠ABC =∠C ,∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角, ∴∠ABC =∠AED , ∴∠AED =∠C , ∴CD =DE =3, ∴BD =CD =3, ∵BD -AD =2, ∴AD =1,在Rt △ABD 中,由勾股定理得AB 2=BD 2+AD 2=32+12=10, ∴AB =10,∴⊙O 的半径=12AB =102; (3)解:如解图,连接BE , ∵AB =10, ∴AC =10,∵∠ADC =∠BEA =90°,∠C =∠C , ∴△CDA ∽△CEB , ∴AC BC =CD CE ,由(2)知BC =2BD =6,CD =3, ∴106=3CE , ∴CE =9510,∴AE =CE -AC =9510-10=4510. 5. 解:(1)等边三角形.第4题解图【解法提示】∵∠APC =∠CPB =60°,又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角,∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角,∴∠BAC =∠CPB =60°,∠ABC =∠APC =60°, ∴∠BAC =∠ABC =60°, ∴AC =BC ,又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形, ∴△ABC 是等边三角形. (2)P A +PB =PC .证明如下:如解图①,在PC 上截取PD =P A ,连接AD , ∵∠APC =60°, ∴△P AD 是等边三角形, ∴P A =AD =PD ,∠P AD =60°, 又∵∠BAC =60°, ∴∠P AB =∠DAC , 在△P AB 和△DAC 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP =AD ∠P AB =∠DAC ,AB =AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS), ∴PB =DC , ∵PD +DC =PC , ∴P A +PB =PC ,(3)当点P 为AB ︵的中点时,四边形APBC 的面积最大. 理由如下:如解图②,过点P 作PE ⊥AB ,垂足为E ,第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ,垂足为F , ∵S △P AB =12AB ·PE ,S △ABC =12AB ·CF , ∴S 四边形APBC =12AB ·(PE +CF ).当点P 为AB ︵的中点时,PE +CF =PC ,PC 为⊙O 的直径, 此时四边形APBC 的面积最大, 又∵⊙O 的半径为1,∴其内接正三角形的边长AB = 3 , ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3= 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明:连接OE ,如解图, ∵AB =BC 且D 是AC 中点, ∴BD ⊥AC , ∵BE 平分∠ABD , ∴∠ABE =∠DBE , ∵OB =OE , ∴∠OBE =∠OEB , ∴∠OEB =∠DBE , ∴OE ∥BD ,第1题解图∵BD ⊥AC , ∴OE ⊥AC , ∵OE 为⊙O 半径, ∴AC 与⊙O 相切;(2)解:∵BD =6,sin C =35,BD ⊥AC , ∴BC =BDsin C =10, ∴AB =BC =10.设⊙O 的半径为r ,则AO =10-r , ∵AB =BC , ∴∠C =∠A , ∴sin A =sin C =35, ∵AC 与⊙O 相切于点E , ∴OE ⊥AC ,∴sin A =OE OA =r 10-r =35,∴r =154, 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明:连接OC ,如解图, ∵PC 切⊙O 于点C , ∴OC ⊥PC , ∴∠PCO =90°, ∴∠PCA +∠OCA =90°, ∵AB 为⊙O 的直径,第2题解图∴∠ACB =90°, ∴∠ABC +∠OAC =90°, ∵OC =OA , ∴∠OCA =∠OAC , ∴∠PCA =∠ABC ; (2)解:∵AE ∥PC , ∴∠PCA =∠CAF , ∵AB ⊥CG , ∴AC ︵=AG ︵, ∴∠ACF =∠ABC , ∵∠PCA =∠ABC , ∴∠ACF =∠CAF , ∴CF =AF , ∵CF =5, ∴AF =5, ∵AE ∥PC , ∴∠F AD =∠P , ∵sin ∠P =35, ∴sin ∠F AD =35,在Rt △AFD 中,AF =5,sin ∠F AD =35, ∴FD =3,AD =4, ∴CD =CF +FD =8, 在Rt △OCD 中,设OC =r , ∴r 2=(r -4)2+82,∴r =10, ∴AB =2r =20, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB =90°,在Rt △ABE 中,sin ∠EAD =35, ∴BE AB =35, ∵AB =20, ∴BE =12.3. 解:(1)直线PD 与⊙O 相切, 理由如下:如解图①,连接DO ,CO , ∵∠PDA =∠ADC , ∴∠PDC =2∠ADC , ∵∠AOC =2∠ADC , ∴∠PDC =∠AOC , ∵直径AB ⊥CD 于点E , ∴∠AOD =∠AOC , ∴∠PDC =∠AOD , ∵∠AOD +∠ODE =90°, ∴∠PDC +∠ODE =90°, ∴OD ⊥PD , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴直线PD 与⊙O 相切; (2)如解图②,连接BD , ∵M 恰为BC ︵的中点,第3题解图①∴∠CDM =∠BDM , ∵OD =OB , ∴∠BDM =∠DBA , ∴∠CDM =∠DBA , ∵直线PD 与⊙O 相切, ∴∠PDA +∠ADO =90°, 又∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,即∠ADO +∠BDM =90°, ∴∠PDA =∠BDM , ∴∠PDA =∠DBA =∠CDM , 又∵∠PDA =∠ADC , ∴∠PDM =3∠CDM =90°, ∴∠CDM =30°, ∴∠DBA =30°, ∴DE BE =tan30°=33; (3)如解图③,∵tan ∠PDA =12,∠PDA =∠ADC , ∴AE DE =12,即DE =2AE ,在Rt △DEO 中,设⊙O 的半径为r , DE 2+EO 2=DO 2, ∴(2AE )2+(r -AE )2=r 2, 解得r =52AE ,在Rt △PDE 中,DE 2+PE 2=PD 2,第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2+(2+AE )2=PD 2, ∵直线PD 与⊙O 相切,连接BD , 由(2)知∠PDA =∠DBA ,∠P =∠P , ∴△P AD ∽△PDB , ∴PD PB =P A PD ,∴PD 2=P A ·PB ,即PD 2=2×(2+2r ), ∴(2AE )2+(2+AE )2=2×(2+2r ), 化简得5AE 2+4AE =4r , ∵r =52AE , 解得r =3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明:(1)∵AC 为⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°, ∴∠CDB =90°, 又∵∠ACB =90°, ∴∠ACB =∠CDB , 又∵∠B =∠B , ∴△ABC ∽△CBD ; (2)连接DO ,如解图,∵∠BDC =90°,E 为BC 的中点, ∴DE =CE =BE , ∴∠EDC =∠ECD ,第1题解图又∵OD =OC , ∴∠ODC =∠OCD ,而∠OCD +∠DCE =∠ACB =90°, ∴∠EDC +∠ODC =90°,即∠EDO =90°, ∴DE ⊥OD , ∵OD 为⊙O 的半径, ∴DE 与⊙O 相切.2. (1)证明:连接CE ,如解图, ∵CD 为⊙O 的直径, ∴∠CED =90°, ∵∠BCA =90°, ∴∠CED =∠BCO , ∵BO ∥DE , ∴∠BOC =∠CDE , ∴△CBO ∽△ECD , ∴CO DE =BO CD , ∴CO ·CD =DE ·BO ;(2)解:∵∠DFE =∠ECO ,CD =2·OC =10,∴在Rt △CDE 中,ED =CD ·sin ∠ECO =CD ·sin ∠DFE = 10×35=6,∴CE =CD 2-ED 2=102-62=8, 在Rt △CEG 中,EG CE =sin ∠ECG =35, ∴EG =35×8=245,第2题解图根据垂径定理得:EF =2EG =485. 3. (1)证明:如解图,连接OD , ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB =90°, ∵AB =AC ,∴AD 垂直平分BC ,即DC =DB , ∴OD 为△BAC 的中位线, ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC , ∴OD ⊥DE , ∵OD 是⊙O 的半径, ∴EF 是⊙O 的切线;(2)解:∵∠DAC =∠DAB ,且∠AED =∠ADB =90°, ∴∠ADE =∠ABD ,在Rt △ADB 中,sin ∠ADE =sin ∠ABD =AD AB =45,而AB =10, ∴AD =8,在Rt △ADE 中,sin ∠ADE =AE AD =45, ∴AE =325, ∵OD ∥AE , ∴△FDO ∽△FEA ,∴OD AE =FO F A ,即5325=BF +5BF +10,第3题解图∴BF =907.4. (1)证明:如解图①,连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D , ∴OD ⊥BC ,∴∠ODB =90°=∠C , ∴OD ∥AC , ∵∠B =30°, ∴∠A =60°, ∵OA =OE ,∴△AOE 是等边三角形, ∴AE =AO =OD ,∴四边形AODE 是平行四边行, ∵OA =OD ,∴平行四边形AODE 是菱形; (2)解:设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC , ∴△OBD ∽△ABC ,∴OD AC =OBAB ,即10r =6(10-r ). 解得r =154, ∴⊙O 的半径为154.如解图②,连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC , ∴∠DAC =∠ADO ,第4题解图①∵OA =OD , ∴∠ADO =∠DAO , ∴∠DAC =∠DAO , ∵AF 是⊙O 的直径, ∴∠ADF =90°=∠C , ∴△ADC ∽△AFD , ∴AD AC =AF AD , ∴AD 2=AC ·AF ,∵AC =6,AF =154×2=152, ∴AD 2=152×6=45,∴AD =45=3 5.(9分) 5. 解:(1)存在,AE =CE . 理由如下:如解图①,连接AE ,ED , ∵AC 是△ABC 的斜边, ∴∠ABC =90°, ∴AE 为⊙O 的直径, ∴∠ADE =90°, 又∵D 是AC 的中点, ∴ED 为AC 的中垂线, ∴AE =CE ;(2)①如解图②,∵EF 是⊙O 的切线, ∴∠AEF =90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE=90°,∴∠AED+∠EAD=90°,∵∠AED+∠DEF=90°,∴∠EAD=∠DEF.又∵∠ADE=∠EDF=90°∴△AED∽△EFD,∴ADED=EDFD,∴ED2=AD·FD.又∵AD=DC=CF,∴ED2=2AD·AD=2AD2,在Rt△AED中,∵AE2=AD2+ED2=3AD2,由(1)知∠AED=∠CED,又∵∠CED=∠CAB,∴∠AED=∠CAB,∴sin∠CAB=sin∠AED=ADAE=13=33.②sin∠CAB=a+2 a+2.【解法提示】由(2)中的①知ED2=AD·FD,∵CF=aCD(a>0),∴CF=aCD=aAD,∴ED2=AD·DF=AD(CD+CF)=AD(AD+aAD)=(a+1)AD2,在Rt△AED中,AE2=AD2+ED2=(a+2)AD2,∴sin ∠CAB =sin ∠AED =ADAE =1a +2=a +2a +2. 6. (1)证明:∵∠ODB =∠AEC ,∠AEC =∠ABC , ∴∠ODB =∠ABC , ∵OF ⊥BC , ∴∠BFD =90°,∴∠ODB +∠DBF =90°, ∴∠ABC +∠DBF =90°, 即∠OBD =90°, ∴BD ⊥OB , ∵OB 为⊙O 的半径, ∴BD 是⊙O 的切线;(2)证明:连接AC ,如解图①所示: ∵OF ⊥BC , ∴BE ︵=CE ︵, ∴∠ECH =∠CAE , ∵∠HEC =∠CEA , ∴△CEH ∽△AEC , ∴CE EH =EA CE , ∴CE 2=EH ·EA ;(3)解:连接BE ,如解图②所示: ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB =90°,∵⊙O 的半径为5,sin ∠BAE =35,第6题解图①第6题解图②∴AB =10,BE =AB ·sin ∠BAE =10×35=6, 在Rt △AEB 中,EA =AB 2-BE 2=102-62=8, ∵BE ︵=CE ︵, ∴BE =CE =6, ∵CE 2=EH ·EA , ∴EH =CE 2EA =628=92,在Rt △BEH 中,BH =BE 2+EH 2=62+(92)2=152.7. (1)证明:连接OD ,如解图①, ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D , ∴∠BAD =∠CAD , ∴BD ︵=CD ︵, ∴OD ⊥BC , ∵BC ∥DF , ∴OD ⊥DF , ∴DF 为⊙O 的切线;(2)解:连接OB ,连接OD 交BC 于P ,作BH ⊥DF 于H ,如解图①,∵∠BAC =60°,AD 平分∠BAC , ∴∠BAD =30°,∴∠BOD =2∠BAD =60°, 又∵OB =OD ,∴△OBD 为等边三角形, ∴∠ODB =60°,OB =BD =23,第7题解图①∴∠BDF =30°, ∵BC ∥DF , ∴∠DBP =30°,在Rt △DBP 中,PD =12BD =3,PB =3PD =3, 在Rt △DEP 中, ∵PD =3,DE =7,∴PE =(7)2-(3)2=2, ∵OP ⊥BC , ∴BP =CP =3,∴CE =CP -PE =3-2=1, 易证得△BDE ∽△ACE , ∴BE AE =DE CE ,即5AE =71, ∴AE =577. ∵BE ∥DF , ∴△ABE ∽△AFD ,∴BE DF =AE AD ,即5DF =5771277,解得DF =12,在Rt △BDH 中,BH =12BD =3, ∴S 阴影=S △BDF -S 弓形BD =S △BDF -(S 扇形BOD -S △BOD )=12·12·3-60·π·(23)2360+34·(23)2=93-2π;(7分)(3)解:连接CD ,如解图②,由AB AC =43可设AB =4x ,AC =3x ,BF =y , ∵BD ︵=CD ︵, ∴CD =BD =23, ∵DF ∥BC ,∴∠F =∠ABC =∠ADC , ∴∠FDB =∠DBC =∠DAC , ∴△BFD ∽△CDA , ∴BD AC =BF CD ,即233x =y 23,∴xy =4,∵∠FDB =∠DBC =∠DAC =∠F AD , 而∠DFB =∠AFD , ∴△FDB ∽△F AD , ∴DF AF =BF DF , ∵DF +BF =8, ∴DF =8-BF =8-y , ∴8-y y +4x =y 8-y , 整理得:16-4y =xy , ∴16-4y =4,解得y =3, 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明:连接OE ,过点O 作OF ⊥PN ,如解图所示, ∵PM 与⊙O 相切, ∴OE ⊥PM ,∴∠OEP =∠OFP =90°, ∵PC 平分∠MPN , ∴∠EPO =∠FPO , 在△PEO 和△PFO 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO =∠FPO ∠OEP =∠OFP OP =OP, ∴△PEO ≌△PFO (AAS), ∴OF =OE ,∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切;(2)解:在Rt △EPO 中,∠MPC =30°,PE =23, ∴∠EOP =60°,OE =PE ·tan30°=2, ∴∠EOB =120°,则劣弧BE ︵的长为120π×2180=4π3.2. (1)证明:如解图①,连接BO 并延长交⊙O 于点N ,连接CN , ∵∠BMC =60°, ∴∠BNC =60°, ∵∠BNC +∠NBC =90°, ∴∠NBC =30°,又∵△ABC 为等边三角形,第1题解图∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°, ∴∠ABN =30°+60°=90°, ∴AB ⊥BO ,即AB 为⊙O 的切线.(2)解:BE +CF =3,是定值. 理由如下:如解图②,连接D 与AC 的中点P , ∵D 为BC 中点, ∴AD ⊥BC , ∴PD =PC =12AC , 又∵∠ACB =60°,∴PD =PC =CD =BD =12AC , ∴∠DPF =∠PDC =60°, ∴∠PDF +∠FDC =60°, 又∵∠EDF =120°, ∴∠BDE +∠FDC =60°, ∴∠PDF =∠BDE , 在△BDE 和△PDF 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD =∠DPF BD =PD∠BDE =∠PDF, ∴△BDE ≌△PDF (ASA), ∴BE =PF ,∴BE +CF =PF +CF =CP =BD , ∵OB ⊥AB ,∠ABC =60°,第2题解图②∴∠OBC =30°, 又∵OB =2,∴BD =OB ·cos30°=2×32=3, 即BE +CF = 3.3. (1)证明:连接OC ,如解图①, ∵OD ⊥AC ,OC =OA , ∴∠AOD =∠COD . 在△AOE 和△COE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧OA =OC ∠AOE =∠COE OE =OE, ∴△AOE ≌△COE (SAS), ∴∠EAO =∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线, ∴∠ECO =90°, ∴∠EAO =90°. ∴AE 与⊙O 相切;(2)解:设DO =t ,则DE =3t ,EO =4t , 在△EAO 和△ADO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA =∠AOD ∠EAO =∠ADO, ∴△EAO ∽△ADO , ∴AO DO =EO AO ,即9t =4t 9, ∴t =92,即EO =18.第3题解图①∴AE =EO 2-AO 2=182-92=93;延长BD 交AE 于点F ,过O 作OG ∥AE 交BD 于点G , 如解图②, ∵OG ∥AE , ∴∠FED =∠GOD 又∵∠EDF =∠ODG , ∴△EFD ∽△OGD , ∴EF OG =ED OD =31,即EF =3GO . 又∵O 是AB 的中点, ∴AF =2GO ,∴AE =AF +FE =5GO , ∴5GO =93, ∴GO =935, ∴AF =1835, ∴tan B =AF AB =35.4. (1)证明:如解图,连接OB , ∵PB 是⊙O 的切线, ∴∠PBO =90°,∵OA =OB ,BA ⊥PO 于点D , ∴AD =BD ,∠POA =∠POB , 又∵PO =PO ,∴△P AO ≌△PBO (SAS), ∴∠P AO =∠PBO =90°,第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ,∴直线P A 为⊙O 的切线;(2)解:线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2=4OD ·OP . 证明:∵∠P AO =∠PDA =90°,∴∠OAD +∠AOD =90°,∠OP A +∠AOP =90°,∴∠OAD =∠OP A ,∴△OAD ∽△OP A ,∴ OD OA =OA OP ,即OA 2=OD ·OP ,又∵EF =2OA ,∴EF 2=4OD ·OP ;(3)解:∵OA =OC ,AD =BD ,BC =6,∴OD =12BC =3,设AD =x ,∵tan ∠F =12,∴FD =2x ,OA =OF =FD -OD =2x -3,在Rt △AOD 中,由勾股定理,得(2x -3)2=x 2+32,解之得,x 1=4,x 2=0(不合题意,舍去),∴AD =4,OA =2x -3=5,∵AC 是⊙O 直径,∴∠ABC =90°,又∵AC =2OA =10,BC =6,∴ cos ∠ACB =610=35.∵OA 2=OD ·OP ,∴3(PE +5)=25,∴PE =103.5. (1)证明:连接OD ,如解图,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ,∴∠ACD =∠BCD =45°,∴∠DAB =∠ABD =45°,∴△DAB 为等腰直角三角形,∴DO ⊥AB ,∵PD 为⊙O 的切线,∴OD ⊥PD ,∴PD ∥AB ;(2)证明:∵AE ⊥CD 于点E ,BF ⊥CD 于点F ,∴AE ∥BF ,∴∠FBO =∠EAO ,∵△DAB 为等腰直角三角形,∴∠EDA +∠FDB =90°,∵∠FBD +∠FDB =90°,∴∠FBD =∠EDA ,在△FBD 和△EDA 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD =∠DEA ∠FBD =∠EDA BD =DA, ∴△FBD ≌△EDA (AAS),∴DE =BF ;第5题解图(3)解:在Rt △ACB 中,∵AC =6,tan ∠CAB =43,∴BC =6×43=8,∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10,∵△DAB 为等腰直角三角形,∴AD =AB 2=52, ∵AE ⊥CD ,∴△ACE 为等腰直角三角形,∴AE =CE =AC 2=62=32, 在Rt △AED 中,DE =AD 2-AE 2=(52)2-(32)2=42,∴CD =CE +DE =32+42=72,∵AB ∥PD ,∴∠PDA =∠DAB =45°,∴∠PDA =∠PCD ,又∵∠DP A =∠CPD ,∴△PDA ∽△PCD ,∴PD PC =P A PD =AD DC =5272=57, ∴P A =57PD ,PC =75PD ,又∵PC =P A +AC ,∴57PD +6=75PD ,解得PD =354,∴PC =57PD +6=57×354+6=254+6=494.6. (1)证明:如解图①,连接OC ,∵P A 切⊙O 于点A ,∴∠P AO =90°,∵BC ∥OP ,∴∠AOP =∠OBC ,∠COP =∠OCB ,∵OC =OB ,∴∠OBC =∠OCB ,∴∠AOP =∠COP ,在△P AO 和△PCO 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA =OC ∠AOP =∠COP OP =OP, ∴△P AO ≌△PCO (SAS),∴∠PCO =∠P AO =90°,∴OC ⊥PC ,∵OC 为⊙O 的半径,∴PC 是⊙O 的切线;(2)解:由(1)得P A ,PC 都为圆的切线,∴P A =PC ,OP 平分∠APC ,∠ADO =∠P AO =90°, ∴∠P AD +∠DAO =∠DAO +∠AOD ,又∵∠ADP =∠ADO ,∴∠P AD =∠AOD ,∴△ADP ∽△ODA ,∴AD PD =DO AD ,第6题解图①∴AD 2=PD ·DO ,∵AC =8,PD =163, ∴AD =12AC =4,OD =3,在Rt △ADO 中,AO =AD 2+OD 2=5,由题意知OD 为△ABC 的中位线,∴BC =6,AB =BC 2+AC 2=10.∴S 阴影=12S ⊙O -S △ABC =12·π·52-12×6×8=25π2-24;(3)解:如解图②,连接AE 、BE ,作BM ⊥CE 于点M , ∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90°,∵点E 是AB ︵的中点,∴AE =BE ,∠EAB =∠EBA =45°,∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45°,CM =MB =BC ·sin45°=32,BE =AB ·cos45°=52,∴EM =BE 2-BM 2=42,则CE =CM +EM =7 2.7. (1)证明:连接OD ,如解图①所示,∵OB =OD ,∴∠ODB =∠OBD .∵OG ∥BD ,∴∠AOG =∠OBD ,∠GOD =∠ODB ,∴∠DOG =∠AOG ,在△DOG 和△AOG 中,第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD =OA ∠DOG =∠AOG OG =OG, ∴△DOG ≌△AOG (SAS),∴GD =GA ;(2)证明:∵AG 切⊙O 于点A ,∴AG ⊥OA ,∴∠OAG =90°,∵△DOG ≌△AOG ,∴∠OAG =∠ODG =90°,∴∠ODE =180°-∠ODG =90°,∴∠ODC +∠FDE =90°,∵OC ⊥AB ,∴∠COB =90°,∴∠OCD +∠OFC =90°,∵OC =OD ,∴∠ODC =∠OCD ,∴∠FDE =∠OFC ,∵∠OFC =∠EFD ,∴∠EFD =∠EDF ,∴EF =ED ,∴△DEF 是等腰三角形;(3)解:过点B 作BK ⊥OD 于点K ,如解图②所示: 则∠OKB =∠BKD =∠ODE =90°,∴BK ∥DE ,∴∠OBK =∠E ,∵BH ⊥GE ,∴∠BHD =∠BHE =90°, ∴四边形KDHB 为矩形, ∴KD =BH =9,∴OK =OD -KD =72,在Rt △OKB 中,∵OK 2+KB 2=OB 2,OB =252, ∴KB =12,∴tan ∠E =tan ∠OBK =OK KB =724,sin ∠E =sin ∠OBK =OK OB =725,∵tan ∠E =OD DE =724,∴DE =3007,∴EF =3007,∵sin ∠E =BH BE =725,∴BE =2257,∴BF =EF -BE =757,∴OF =OB -BF =2514,在Rt △COF 中,∠COB =90°, ∴OC 2+OF 2=FC 2,∴FC =125214,在Rt △COB 中,∵OC 2+OB 2=BC 2,OC =OB =252, ∴BC =2522,∴BC +CF +BF =1502+757, ∴△CBF 的周长=1502+757.。
中考数学专题训练(附详解)圆的切线性质与证明二、方法的剖析与提炼例1.如图,ABAC分别是。
0的切线和割线,且/C=45 ,Z BDA=60 , CD= ,6,则切线AB的长是【解析】(根据切线AB和/ C=45得弦切角/ AB[=45° ,这样在AA BD中就有两个特殊角分别是45度和60度,然后过点A作AM L BD得两个特殊三角形即等腰直角三角形和含30度的直角三角形,这样特殊三角形的三边关系,在设AB=x时,其它边AD和AC就可以用x的代数式表示出来,最后带人切割线定理得到的等式AB=AD?A(就可得到方程,最后求方程解得AB的长度。
)【解答】解:过点A作AM L BD与点M••• AB为圆0的切线•••/ ABD MC=45vZ BDA=60 •••/ BAD=75,/ DAM=30,/ BAM=45设AB=,则碍在直角△ AM中, AD=牛由切割线定理得:AB=AD?AC知刊申+解得:x i=6, X2=0 (舍去)故AB=6故答案是:6【解法】过点A作AM L BD与点M,在直角△ AMD中,AD就可以利用AB表示出来,然后依据切割线定理,即可得到一个关于AB的方程, 即可求解。
【解释】在几何中求线段的长或角度的具体度数,往往会采用方程思想,体现数学中重要的数形结合思想。
故本题就采用了其中的常用方法方程思想,那么就需设未知数,抓住题意构造等式,而本题构造等式的突破口就是想到切割线定理,然后想办法利用题目中剩余的条件,把该等式中的相关量都用未知数的代数式表示好,并代入得方程就可解决本题。
例 2.(2020 贺州)如图,AB,BC,CD分别与O O 相切于E,F,G.且AB//CD.BO=6cm, CO=8cm.GD中考数学专题训练(附详解)(1)求证:B0丄CQ(2)求BE和CG的长.【解析】(1)由题目中的AB//CD得/ABC+Z BCD=180,再结合题目条件根据切线长定理得B0平分/ ABC, CO平分/ DCB然后根据角平分线的性质易得/ OBC+Z OCB=9C P,从而得到Z BOC=90,所以BOX CO.(2)根据切线长定理得BE=BF,GC=(再结合第(1)题的结论得RT A BCQ把切点和圆心O 相连,易证RT A BOF^ RT A BCO相似,根据相似三角形对应边成比例求得BF的长,即BE的长.CG的长可由BC-BF得至鷹【解答】(1)证明::AB / CD•••Z ABC+Z BCD=180o• Z BOC=90, • BO X CO.(2)解:连接OF,贝U OF X BC,oo• BF=3. 6cm, CG=CF=6 4cm.【解法】利用平行线和角平分线的性质完成第(1)题的证明,利用直角三角形的勾股定理和相似三角形对应边成比例的性质完成求解。
2020中考数学冲刺专题:圆切线的相关证明与计算1. 如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD,CD.过点D作BC的平行线,与AB的延长线相交于点P.第1题图(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△PBD∽△DCA;(3)当AB=6,AC=8时,求线段PB的长.(1)证明:如解图,连接OD,∵圆心O在BC上,∴BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,第1题解图∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠DAC.∵∠DOC=2∠DAC,∴∠DOC=∠BAC=90°,即OD⊥BC.∵PD∥BC,∴OD ⊥PD .又∵OD 是⊙O 的半径, ∴PD 是⊙O 的切线; (2)证明:∵PD ∥BC , ∴∠P =∠ABC . 又∵∠ABC =∠ADC , ∴∠P =∠ADC .∵∠PBD +∠ABD =180°,∠ACD +∠ABD =180°, ∴∠PBD =∠ACD , ∴△PBD ∽△DCA ;(3)解:∵△ABC 是直角三角形, ∴BC 2=AB 2+AC 2=62+82=100, ∴BC =10.∵OD 垂直平分BC , ∴DB =DC .∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BDC =90°.∵在Rt △DBC 中,DB 2+DC 2=BC 2,即2DC 2=BC 2=100, ∴DC =DB =5 2. ∵△PBD ∽△DCA , ∴PB DC =BD CA ,∴PB =DC ·BD CA =52·528=254.2.如图,点A在⊙O上,点P是⊙O外一点,P A与⊙O相切于点A,连接OP交⊙O 于点D,作AB⊥OP于点C,交⊙O于点B,连接PB.第2题图(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)若PC=9,AB=63,求图中阴影部分的面积.(1)证明:连接OB,∵OP⊥AB,∴AC=BC,∴OP垂直平分AB,∴AP=BP,又∵OA=OB,OP=OP,第2题解图∴△APO≌△BPO(SSS),∵P A切⊙O于点A,∴AP⊥OA,∴∠P AO=90°,∴∠PBO=∠P AO=90°,∴OB ⊥BP , 又∵点B 在⊙O 上, ∴PB 与⊙O 相切于点B ;(2)解:∵OP ⊥AB ,OP 经过圆心O , ∴BC =12AB =33, ∵∠PBO =∠BCO =90°,∴∠PBC +∠OBC =∠OBC +∠BOC =90°, ∴∠PBC =∠BOC , ∵∠PCB =∠BCO =90°, ∴△PBC ∽△BOC , ∴BC OC =PC BC ,∴OC =BC ·BC PC =33×339=3, ∴在Rt △OCB 中,OB =OC 2+BC 2=6,tan ∠COB =BCOC =3,∴∠COB =60°,PB =OP ·sin60°=63,∴S △OPB =12PB ·BO =183,S 扇形DOB =6036360 g =6π,∴S 阴影=S △OPB -S 扇形DOB =183-6π.3.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,∠A =2∠BCD ,点E 在AB 的延长线上,∠AED =∠ABC . (1)求证:DE 与⊙O 相切;(2)若BF =2,DF =10,求⊙O 的半径.第3题图(1)证明:如解图,连接DO,∴∠BOD=2∠BCD=∠A,∵∠DEA=∠CBA,第3题解图∴∠DEA+∠DOE=∠CAB+∠CBA,∵∠ACB=90°,∴OD⊥DE,又∵OD为⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;(2)解:如解图,连接BD,可得△FBD∽△DBO,BD DF BF==,BO OD BD∴BD=DF10∴OB=5.4.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,连接CO并延长,交⊙O于点D、E,连接AD并延长,交BC于点F,连接BD、BE.第4题图(1)试判断∠CBD 与∠CEB 是否相等,并证明你的结论; (2)求证:BD BE =CDBC ;(3)若BC =2AB ,求tan ∠CDF 的值. (1)解:∠CBD =∠CEB ,证明如下: ∵AB 是⊙O 的直径,BC 切⊙O 于点B , ∴∠CBD =90°-∠OBD ,又∵DE 过⊙O 的圆心,∴∠DBE =90°,OB =OD , ∴∠CEB =90°-∠ODB ,∠ODB =∠OBD , ∴∠CBD =∠CEB ;(2)证明:∵在△CBD 和△CEB 中, ∵∠CBD =∠CEB ,∠C =∠C , ∴△CBD ∽△CEB ,∴BD BE =CD BC ; (3)解:∵BC =2AB ,OB =12AB , ∴在Rt △OBC 中,OC =32AB ,∴CD =OC -OD =AB ,∵DE 是⊙O 的直径, ∴∠DBE =90°,∵∠CDF =∠ADE =∠ABE =∠BED ,∴tan ∠CDF =tan ∠BED =BD BE =CD BC =AB 2AB =22.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E在⊙O 上,CE=CA,AB和CE的延长线交于点F.(1)求证:CE与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为3,EF=4,求BD的长.第5题图(1)证明:如解图,连接OE,OC,第5题解图∵OA=OE,CE=CA,OC共用,∴△OEC≌△OAC(SSS),∴∠OEC=∠A=90°,∵OE是⊙O的半径,∴CE与⊙O相切;(2)解:在Rt△OEF中,OE=3,EF=4,∴OF=OE2+EF2=5,∴AF=8,在Rt△ACF中,设AC=x,则CF=CE+EF=x+4,∵AF2+AC2=CF2,∴82+x2=(x+4)2,解得x =6,则AC =6,在Rt △ABC 中,AB =6,AC =6, ∴BC =62,如解图,连接AD ,则AD ⊥BC , ∴BD =12BC =3 2.6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,点E 是AC 的中点,OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD =36°,BC =10,求BD ︵的长; (2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由.第6题图(1)解:如解图,连接OD ,∵∠BCD =36°, ∴∠BOD =2∠BCD =2×36°=72°, ∵BC 是⊙O 的直径,且BC =10, ∴l BD ︵=72π×5180=2π;第6题解图(2)解:DE 是⊙O 的切线.理由如下: ∵BC 是⊙O 的直径,∴∠ADC =180°-∠BDC =90°, 又∵点E 是线段AC 的中点, ∴DE =AE =EC =12AC , 在△DOE 与△COE 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧OD =OC OE =OE DE =CE , ∴△DOE ≌△COE , ∵∠ACB =90°,∴∠ODE =∠OCE =90°, ∵OD 是⊙O 的半径, ∴DE 是⊙O 的切线.7.如图,⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ,连接BC ,过点A 作弦AE ∥BC ,过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ,延长CO 交AE 于点F . (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若BC =10,AB =16,求OF 的长.第7题图(1)证明:∵OC ⊥AB ,AB ∥CD , ∴OC ⊥DC , ∵OC 是⊙O 的半径, ∴CD 是⊙O 的切线; (2)解:如解图,连接BO .设OB =x ,∵AB =16,OC ⊥AB , ∴HA =BH =8, ∵BC =10,∴CH =6, ∴OH =x -6. 在Rt △BHO 中, ∵OH 2+BH 2=OB 2,∴(x -6)2+82=x 2,解得x =253, ∵CB ∥AE ,∴∠CBH =∠F AH , 在△CHB 和△FHA 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠CBH =∠F AH ∠CHB =∠FHA BH =AH, ∴△CHB ≌△FHA ,∴CH =HF , ∴CF =2CH =12,∴OF =CF -OC =12-253=113.第7题解图8.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ,E 是AC 的中点,OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD =36°,BC =10,求BD ︵的长;(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE 2=AB ·EF.第8题图(1)解:如解图,连接OD ,∵∠BCD =36°,∴∠BOD =2∠BCD =2×36°=72°, ∵BC 是⊙O 的直径,且BC =10,∴l BD ︵=72π×5180=2π.第8题解图(2)解:DE 是⊙O 的切线;理由如下:∵BC 是⊙O 的直径,∴∠ADC =∠BDC =90°,又∵点E 是线段AC 的中点,∴DE =AE =EC =12AC ,在△DOE 与△COE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧OD =OC OE =OE DE =CE,∴△DOE ≌△COE ; ∵∠ACB =90°,∴∠ODE =∠OCE =90°, ∵OD 是⊙O 的半径,∴DE 是⊙O 的切线;(3)证明:∵△DOE ≌△COE ,∴OE 是线段CD 的垂直平分线,DE =CE , ∴点F 是线段CD 的中点,∵点E 是线段AC 的中点,则EF =12AD ,在△ACD 与△ABC 中,⎩⎨⎧∠CAD =∠BAC ∠ADC =∠ACB, ∴△ACD ∽△ABC ,则AC AB =AD AC ,即AC 2=AB ·AD ,而AC =2CE ,AD =2EF , ∴(2CE )2=AB ·2EF ,即4CE 2=AB ·2EF ,∴2CE 2=AB ·EF .。
圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算(专题训练)1.如图,ABC 内接于O ,AB 是O 的直径,E 为AB 上一点,BE BC =,延长CE 交AD 于点D ,AD AC =.(1)求证:AD 是O 的切线;(2)若1tan 3ACE ∠=,3OE =,求BC 的长.【答案】(1)见解析;(2)8【分析】(1)根据BE BC =,可得BEC BCE ∠=∠,根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠,进而可得BCE AED ∠=∠,根据AD AC =,可得ADC ACE ∠=∠,结合90ACB ∠=︒,根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒,进而即可证明AD 是O 的切线;(2)根据ADC ACE ∠=∠,可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=,设AE x =,则3AC AD x ==,分别求得,,AC AB BC ,进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ,进而根据6BC x =+即可求得.【详解】(1) BE BC =,∴BEC BCE ∠=∠,AED BEC ∠=∠,∴BCE AED ∠=∠,AD AC =,∴ADC ACE ∠=∠,AB 是直径,∴90ACB ∠=︒,90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒,∴AD 是O 的切线;(2)AD AC = ,∴ADC ACE ∠=∠,1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=,设AE x =,则3AC AD x ==,3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+,226AB OA x ==+,在Rt ABC 中,222AC BC AB +=,即()()()2223626x x x ++=+,解得122,0x x ==(舍去),68BC x ∴=+=.【点睛】本题考查了切线的判定,勾股定理解直角三角形,正切的定义,利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键.2.如图,ABC 内接于O ,AB AC =,AD 是O 的直径,交BC 于点E,过点D 作//DF BC ,交AB 的延长线于点F,连接BD .(1)求证:DF 是O 的切线;(2)已知12AC =,15AF =,求DF 的长.【答案】(1)见解析;(2)DF =【分析】(1)由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒,结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可;(2)根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△,继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长.【详解】解:(1)证明:∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒(直径所对的圆周角是直角)即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠(等边对等角)∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠(同弧或等弧所对的圆周角相等)∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ,∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线).(2)解:∵12AB AC ==,15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠,90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△(两个角分别相等的两个三角形相似)∴FB FD FD FA=,∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点,熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.3.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,D 为AB 上一点,BD BC =,过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E,CE 交O 于点G,连接AC,AG,在EA 的延长线上取点F,使2FCA E ∠=∠.(1)求证:CF 是O 的切线;(2)若6AC =,AG ,求O 的半径.【答案】(1)见解析;(2)5【分析】(1)根据题意判定ADG DCB ∽,然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠=,从而可得FCA AGD ∠∠=,然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒=,从而判定CF 是O 的切线;(2)由切线长定理可得AF CF =,从而可得2FAC E ∠∠=,得到AC AE =,然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径.【详解】(1)证明:B AGC ∠∠ =,ADG CDB ∠∠=,ADG DCB ∴ ∽,BD BC GD GA∴=,BD BC =,GD GA ∴=,ADG DAG ∴∠∠=,又AE AB ⊥ ,90EAD ∴∠︒=,90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒==,GAE E ∴∠∠=,AG DG EG ∴==,2AGD E ∠∠=,2FCA E ∠∠ =,FCA AGD B ∴∠∠∠==,AB 是O 的直径,90CAB B ∴∠+∠︒=,又OA OC Q =,ACO CAB ∴∠∠=,90FCA ACO ∴∠+∠︒=,90FCO ∴∠︒=,即CF 是O 的切线;(2) CF 是O 的切线,AE AB ⊥,AF CF ∴=,2FAC FCA E ∴∠∠∠==,6AC AE ∴==,又AG DG EG ==在Rt ADE △中,2AD ===,设O 的半径为x,则2AB x =,22BD BC x==﹣,在Rt ABC △中,2226222x x +(﹣)=(),解得:5x =,O ∴ 的半径为5.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等,熟练4.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E,延长EC,AB 交于点F,∠ECD=∠BCF.(1)求证:CE 为⊙O 的切线;(2)若DE=1,CD=3,求⊙O 的半径.【答案】(1)见解析;(2)⊙O 的半径是4.5【分析】(1)如图1,连接OC,先根据四边形ABCD 内接于⊙O,得CDE OBC ∠∠=,再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒=,由切线的判定可得结论;(2)如图2,过点O 作OG AE ⊥于G,连接OC,OD,则90OGE ∠︒=,先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形,设⊙O 的半径为x,根据勾股定理列方程可得结论.【详解】(1)证明:如图1,连接OC,∵OB OC =,∴OCB OBC ∠∠=,∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠=,∵CE AD ⊥,∴90E CDE ECD ∠∠∠︒=+=,∵ECD BCF ∠∠=,∴90OCB BCF ∠∠︒+=,∴90OCE ∠︒=,∵OC 是⊙O 的半径,∴CE 为⊙O 的切线;(2)解:如图2,过点O 作OG AE ⊥于G,连接OC,OD,则90OGE ∠︒=,∵90E OCE ∠∠︒==,∴四边形OGEC 是矩形,∴OC EG OG EC =,=,设⊙O 的半径为x,Rt△CDE 中,31CD DE =,=,∴EC =∴OG =1GD xOD x =﹣,=,由勾股定理得222OD OG DG +:=,∴222(1)x x =+-,解得: 4.5x =,∴⊙O 的半径是4.5.【点睛】本题考查的是圆的综合,涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质,熟练掌握相关性质是解决问题的关键.5.如图, ABC 内接于⊙O,且AB=AC,其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D.(1)求证:直线AD 是⊙O(2)若【答案】(1)见解析;(2)6π-【分析】(1)连接OA,证明OA⊥AD 即可,利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明;(2)求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可,利用相似三角形求出半径,再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC.【详解】解:(1)如图,连接OA 并延长交BC 于E,∵AB=AC,△ABC 内接于⊙O,∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴,也是⊙O 的对称轴,∴∠BAE=∠CAE,又∵∠MAD=∠BAD,∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°,∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°,即AD⊥OA,∴AD 是⊙O 的切线;(2)连接OB,∴△AOD∽△EOC,∴AD OA EC OE =,由(1)可知AO 是ABC ∆的对称轴,OE ∴垂直平分BC ,132CE BC ∴==,设半径为r ,在Rt EOC ∆中,由勾股定理得,OE∴,解得6r =(取正值),经检验6r =是原方程的解,即6OB OC OA ===,又6BC = ,OBC ∴∆是等边三角形,60BOC ∴∠=︒,OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质,圆周角定理,三角形外接圆与外心,扇形面积的计算,灵活运用切线的判定方法是解题的关键.6.如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,过⊙O 外一点D 作//DG BC ,DG 交线段AC 于点G,交AB 于点E,交⊙O 于点F,连接DB,CF,∠A=∠D.(1)求证:BD 与⊙O 相切;(2)若AE=OE,CF 平分∠ACB,BD=12,求DE 的长.【答案】(1)见解析;(2)【分析】(1)如图1,延长DB 至H ,证明90ABD ∠=︒,即可根据切线的判定可得BD 与O 相切;(2)如图2,连接OF ,先根据圆周角定理证明OF AB ⊥,再证明EFO EDB △∽△,列比例式可得4OF =,即O 的半径为4,根据勾股定理可得DE 的长.【详解】(1)证明:如图1,延长DB 至H ,,DG BC//∴∠=∠,CBH D,∠=∠A D∴∠=∠,A CBH的直径,Q是OAB∴∠=︒,ACB90∴∠+∠=︒,A ABC90∴∠+∠=︒,90CBH ABC∴∠=︒,90ABD∴AB⊥BD,相切;∴与OBD(2)解:如图2,连接OF,CF平分ACB∠,∴∠=∠,ACF BCF∴=,AF BF∴∠AOF=∠BOF=90°,OF AB ∴⊥,BD AB ⊥ ,//OF BD ∴,EFO EDB ∴△∽△,∴OF OE BD BE=,AE OE = ,∴13OE EB =,∴1123OF =,4OF ∴=,4OA OB OF ∴===,246BE OE OB ∴=+=+=,DE ∴=.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,切线的判定,圆周角定理,勾股定理等知识,解答本题需要我们熟练掌握切线的判定,第2问关键是证明EFO EDB △∽△.7.如图,在Rt△ACD 中,∠ACD=90°,点O 在CD 上,作⊙O,使⊙O 与AD 相切于点B,⊙O 与CD 交于点E,过点D 作DF∥AC,交AO 的延长线于点F,且∠OAB=∠F.(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)若OC=3,DE=2,求tan∠F 的值.【答案】(1)见详解;(2)12.【分析】(1)由题意,先证明OA 是∠BAC 的角平分线,然后得到BO=CO,即可得到结论成立;(2)由题意,先求出BD=4,OD=5,然后利用勾股定理求出6AB AC ==,10AD =,结合直角三角形ODF,即可求出tan∠F 的值.【详解】解:(1)∵DF∥AC,∴∠CAO=∠F,∵∠OAB=∠F,∴∠CAO=∠OAB,∴OA 是∠BAC 的角平分线,∵AD 是⊙O 的切线,∴∠ABO=∠ACO=90°,∴BO=CO,又∵AC⊥OC,∴AC 是⊙O 的切线;(2)由题意,∵OC=3,DE=2,∴OD=5,OB=3,CD=8,∴4BD ==,由切线长定理,则AB=AC,设AB AC x ==,在直角三角形ACD 222AC CD AD +=,即2228(4)x x +=+,解得:6x =,∴6AB AC ==,6410AD =+=,∵∠OAB=∠F,∴10DF AD ==,∵90FDO ACO ∠=∠=︒,∴51tan 102OD F DF ∠===.【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质,勾股定理,角平分线的性质,以及三角函数,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的求出所需的长度,从而进行解题.8.如图,在Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ,与BC 交于点M ,与AB 的另一个交点为E ,过M 作MN AB ⊥,垂足为N .(1)求证:MN 是O 的切线;(2)若O 的直径为5,3sin 5B =,求ED 的长.【答案】(1)见解析;(2)75ED =.【解析】【分析】(1)欲证明MN 为⊙O 的切线,只要证明OM⊥MN.(2)连接,DM CE ,分别求出BD=5,BE=325,根据ED BE BD =-求解即可.【详解】(1)证明:连接OM ,OC OM = ,OCM OMC ∴∠=∠.在Rt ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,12CD AB BD ∴==,DCB DBC ∴∠=∠,OMC DBC ∴∠=∠,//OM BD ∴,MN BD ⊥ ,MN OM ∴⊥,MN ∴是O 的切线.(2)连接,DM CE ,易知,DM BC CE AB ⊥⊥,由(1)可知5BD CD ==,故M 为BC 的中点,3sin 5B =,4cos 5B ∴=,在Rt BMD △中,cos 4BM BD B =⋅=,28BC BM ∴==.在Rt CEB 中,32cos 5BE BC B =⋅=,327555ED BE BD ∴=-=-=.【点睛】本题考查切线的判定和性质,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识;熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.9.如图,AB 是半圆O 的直径,,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线,与AC 的延长线相交于点E ,()1求证:CBA DAB ∆∆≌;()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠.【答案】()1证明见解析;()2证明见解析.【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径,证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论;()2利用等腰三角形的性质证明:,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明:,EBC CAB ∠=∠从而可得答案.【详解】()1证明:,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径,90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌.()2证明:,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线,90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠.【点睛】本题考查的是圆的基本性质,弧,弦,圆心角,圆周角之间的关系,直径所对的圆周角是直角,三角形的全等的判定,切线的性质定理,三角形的内角和定理,掌握以上知识是解题的关键.10.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB的平分线AD交 BC于点D,过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接BD.若OF=1,BF=2,求BD的长度.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO=∠DAE,从而OD∥AE,由DE∥BC得∠E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出∠ODE=90°,由切线的判定定理得出答案;(2)先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,再由OF=1,BF=2得出OB的值,进而得出AF和BA的值,然后证明△DBF∽△ABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得BD2的值,求算术平方根即可得出BD的值.【详解】解:(1)连接OD,如图:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∵AD平分∠CAB,∴∠DAE=∠OAD,∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE,AB为⊙O的直径,90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC,∴∠E=ACB=∠90°,∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,∴DE是⊙O的切线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OF=1,BF=2,∴OB=3,∴AF=4,BA=6.∵DF⊥AB,∴∠DFB=90°,∴∠ADB=∠DFB,又∵∠DBF=∠ABD,∴△DBF∽△ABD,∴BD BF BA BD=,∴BD2=BF•BA=2×6=12.∴BD=【点睛】本题考查的是圆的基本性质,圆周角定理,切线的判定,同时考查了相似三角形的判定与性质.(1)中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”,有切线时,常常“遇到切点连圆心得半径”;(2)中能得△DBF∽△ABD是解题关键.11.如图,在⨀O中,AB为⨀O的直径,C为⨀O上一点,P是 BC的中点,过点P作AC的垂线,交AC 的延长线于点D.(1)求证:DP 是⨀O 的切线;(2)若AC=5,5sin 13APC ∠=,求AP 的长.【答案】(1)见解析;(2)AP=.【解析】【分析】(1)根据题意连接OP,直接利用切线的定理进行分析证明即可;(2)根据题意连接BC,交于OP 于点G,利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解:(1)证明:连接OP;∵OP=OA;∴∠1=∠2;又∵P 为 BC的中点;∴ PCPB =∴∠1=∠3;∴∠3=∠2;∴OP∥DA;∵∠D=90°;∴∠OPD=90°;又∵OP 为⨀O 半径;∴DP 为⨀O 的切线;(2)连接BC,交于OP 于点G;∵AB 是圆O 的直径;∴∠ACB 为直角;∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=,那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形;∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题,熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,连接AC,CE⊥AB 于点E,D 是直径AB 延长线上一点,且∠BCE=∠BCD.(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若AD=8,BE CE =12,求CD 的长.【答案】(1)见解析;(2)4【解析】【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据余角的性质得到∠A=∠ECB,求得∠A=∠BCD,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO,等量代换得到∠ACO=∠BCD,求得∠DCO=90°,于是得到结论;(2)设BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明:连接OC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠CAB=90°,∴∠A=∠ECB,∵∠BCE=∠BCD,∴∠A=∠BCD,∵OC=OA,∴∠A=∠ACO,∴∠ACO=∠BCD,∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°,∴∠DCO=90°,∴CD 是⊙O 的切线;(2)解:∵∠A=∠BCE,∴tanA=BC AC =tan∠BCE=BE CE =12,设BC=k,AC=2k,∵∠D=∠D,∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD,∴BC AC =CD AD =12,∵AD=8,∴CD=4.【点睛】本题考查了切线的判定定理,相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用,熟练掌握性质定理是解题的关键.13.如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上一点,CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ,过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E .(1)求证:DE 是O 的切线;(2)过点D 作DF AB ⊥于点F ,连接BD .若1OF =,2BF =,求BD 的长度.【答案】(1)见解析;(2)BD =【解析】【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO=∠DAE,从而OD∥AE,由DE∥BC 得∠E=90°,由两直线平行,同旁内角互补得出∠ODE=90°,由切线的判定定理得出答案;(2)先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,再由OF=1,BF=2得出OB 的值,进而得出AF 和BA 的值,然后证明△DBF∽△ABD,由相似三角形的性质得比例式,从而求得BD 2的值,求算术平方根即可得出BD 的值.【详解】解:(1)连接OD,如图:∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∵AD 平分∠CAB,∴∠DAE=∠OAD,∴∠ADO=∠DAE,∴OD∥AE,∵DE∥BC,∴∠E=90°,∴∠ODE=180°−∠E=90°,∴DE 是⊙O 的切线;(2)因AB 为直径,则90ADB ∠=︒∵1OF =,2BF =∴OB=3∴4AF =,6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD .【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点,熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键.。
2023年中考专题训练——圆的计算和证明1.AB为⊙O直径,BC为⊙O切线,切点为B,CO平行于弦AD,作直线DC.(1)求证:DC为⊙O切线;(2) 若AD·OC=8,求⊙O半径.2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD =90°,AC是对角线.点E在BC的延长线上,且∠CED =∠BAC.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)BA与CD的延长线交于点F,若DE∥AC,AB=4,AD =2,求AF的长.3.如图,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,AC=8,BC=6.(1)求⊙O的面积;(2)若D为⊙O上一点,且△ABD为等腰三角形,直接写出CD的长为.4.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°,且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.(1)求OE的长;(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果精确到0.01)5.如图,△AB .C 内接于⊙0,点D 在半径OB 的延长线上,∠BCD=∠A=30°.(1)判断直线CD 与⊙0的位置关系,并说明理由(2)若⊙0的半径为1,求阴影部分面积.6.如图,已知Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,E 为AB 上一点,以AE 为直径作O 与BC 相切于点D ,连接ED 并延长交AC 的延长线于点F .(1)求证:AE AF =;(2)若5,4AE AC ==,求BE 的长.7.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到点C ,使DC =BD ,连结AC 交⊙O 于点F .(1)AB 与AC 的大小有什么关系?请说明理由;(2)若AB =8,∠BAC =45°,求:图中阴影部分的面积.8.如图,在△ABC 中,BA =BC ,以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ,BC 的延长线于⊙O 的切线AF 交于点F .(1)求证:∠ABC =2∠CAF ;(2)若AC =10,CE :EB =1:4,求CE 的长.9.如图,在⊙O 中,半径OA 与弦BD 垂直,点C 在⊙O 上,∠AOB =80°(1) 若点C 在优弧BD 上,求∠ACD 的大小(2) 若点C 在劣弧BD 上,直接写出∠ACD 的大小10.如图,在等腰ABC 中,120BAC ∠=︒,AD 是BAC ∠的角平分线,且6AD =,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧EF ,交AB 于点E ,交AC 于点F ,(1)求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形(图中阴影部分)的面积;(2)将阴影部分剪掉,余下扇形AEF ,将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面,AE 与AF 正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h .11.如图,四边形是平行四边形,以AB 为直径的O 经过点D, E 是O 上一点,且45AED ∠=︒.(1)判断CD与O的位置关系,并说明理由;(2) 若BC=2 .求阴影部分的面积.(结果保留π 的形式).12.如图,AB是⊙O的直径,点D是⊙O外一点,AB=AD,BD交⊙O于点C,AD交⊙O于点E,点P是AC的延长线上一点,连接PB、PD,且PD⊥AD(1)判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)连接CE,若CE=3,AE=7,求⊙O的半径.13.如图,AB是⊙O的弦,半径OE⊥AB,P为AB的延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CE与AB交于点F.(1)求证:PC=PF;(2)连接OB,BC,若OB∥PC,BC=tan P=34,求FB的长.14.已知,P A、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,AC是⊙O的直径.(1)如图1,若∠BAC=25°,求∠P的度数;(2)如图2,延长PB、AC相交于点D.若AP=AC,求cos D的值.15.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为3,BC=4,求CE的长.16.如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠A=28°.(1)求∠ACM的度数;(2)在MN上是否存在一点D,使AB•CD=AC•BC,为什么?17.如图,在⊙O上依次有A、B、C三点,BO的延长线交⊙O于E,AE CE,过点C作CD∥AB 交BE的延长线于D,AD交⊙O于点F.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)连接OA、OF,若∠AOF=3∠FOE且AF=3,求CF的长.18.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,D是AC上一点,AD与BC交于E,AF⊥DB,垂足为F.(1)求证:∠ADB=∠CDE;(2)若AF=DC=6,AB=10,求△DBC的面积.19.如图,AB是半圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD与半圆O相切于点D,连接AD,BD.(1)求证:∠BAD=∠BDC;(2)若sin∠BDC,BC=2,求⊙O的半径.20.同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题,它是这样的:如图,A为⊙O 的直径EF上的一点,OB是和这条直径垂直的半径,BA和⊙O相交于另一点C,过点C的切线和EF的延长线相交于点D,求证:DA=DC.(1)现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置,此时OB与EF垂直相交于H,其它条件不变.①求证:DA=DC;②当DF:EF=1:8,且DF AB•AC的值.(2)将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的切线交EF于D,试猜想:DA=DC是否仍然成立?证明你的结论.参考答案:1.(1证明见解析;(2)2.【分析】(1)连接OD ,要证明DC 是 O 的切线,只要证明∠ODC=90°即可.根据题意,可证△OCD ≌△OCB ,即可得∠CDO=∠CBO=90°,由此可证DC 是 O 的切线;(2)连接BD ,OD .先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB ∽△ODC ,再根据相似三角形对应边成比例即可得到r 的值.【解析】解:(1)证明:连接OD.∵OA=OD ,∴∠A=∠ADO.∵AD ∥OC ,∴∠A=∠BOC ,∠ADO=∠COD ,∴∠BOC=∠COD.∵在△OBC 与△ODC 中,{OB ODBOC DOC OC OC=∠=∠=,∴△OBC ≌△ODC(SAS),∴∠OBC=∠ODC ,又∵BC 是O 的切线,∴∠OBC=90°,∴∠ODC=90°,∴DC 是O 的切线;(2)连接BD.∵在△ADB 与△ODC 中,{90A COD ADB ODC ∠=∠∠=∠=︒∴△ADB ∽△ODC ,∴AD:OD=AB:OC ,∴AD ⋅OC=OD ⋅AB=r ⋅2r=2r²,即2r²=8,故r=2.2.(1)DE与⊙O相切,证明见解析;(2)83 AF .【分析】(1)连接BD,先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径,证明∠BDC+∠CDE=90°,即BD⊥DE,即可得出DE与⊙O相切;(2)先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°,由垂径定理得AH=CH,由垂直平分线的性质得BC=AB=4,CD=AD=2,证明△FAD∽△FCB,列比例式得CF=2AF,设 AF=x,则DF=CF-CD=2x-2,根据勾股定理列方程可解答.【解析】解:(1)DE与⊙O相切,理由是:连接BD,如下图,∵四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,∴BD是⊙O的直径,即点O在BD上,∴∠BCD=90°,∴∠CED+∠CDE=90°.∵∠CED=∠BAC,又∵∠BAC=∠BDC,∴∠CED=∠BDC,∴∠BDC+∠CDE=90°,即∠BDE=90°,∴DE⊥BD于点D,∴DE与⊙O相切.(2)如下图,BD与AC交于点H,∵DE ∥AC ,∴∠BHC=∠BDE=90°.∴BD ⊥AC .∴AH=CH .∴BC=AB=4,CD=AD=2.∵∠FAD=∠FCB=90°,∠F=∠F ,∴△FAD ∽△FCB ,2=4AF AD CF CB ∴=, ∴CF=2AF ,设 AF=x ,则DF=CF-CD=2x-2.在Rt △ADF 中,DF 2=AD 2+AF 2,∴(2x-2)2=22+x 2.解得: 128,03x x ==(舍去), 83AF ∴=. 【点评】本题考查圆周角定理,垂径定理,垂直平分线的性质定理,相似三角形的性质和判定,切线的判定,勾股定理.(1)证明切线最常用的办法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心的半径,只有证明这条半径与该直线垂直即可,此问中能依据90°圆周角所对的弦是直径证明BD 是⊙O 的直径是解题关键;(2)中能通过证明△FAD ∽△FCB ,得出CF=2AF 是解题关键.3.(1)25π;(2272【分析】(1)先利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒.再利用勾股定理计算出AB ,然后利用圆的面积公式计算;(2)作直径DD AB '⊥,BH CD ⊥于H ,如图,利用垂径定理得到AD BD =,再证明ADB ∆为等腰直角三角形得到252DB AB =,利用BCH ∆为等腰直角三角形得到232CH BH ==42DH =72CD =股定理计算CD '即可.【解析】解:(1)AB 是O 的直径,90ACB ∴∠=︒.8AC ∴=,6BC =,10AB ∴=.O ∴的面积2525ππ=⨯=;(2)作直径DD AB '⊥,BH CD ⊥于H ,如图,则AD BD =,AD BD ∴=,45ACD BCD ∠=∠=︒, AB 是O 的直径,90ADB ∴∠=︒,ADB ∴∆为等腰直角三角形,DB AB ∴== 又∵45BCD BAD ∠=∠=︒,∴BCH ∆为等腰直角三角形,CH BH ∴===在Rt BDH ∆中,DHCD CH DH ∴=+=DD '是O 的直径,90DCD ∴∠'=︒,CD ∴'=综上所述,CD【点评】本题考查了与圆有关的计算,涉及了圆周角定理、垂径定理和勾股定理.解题关键是正确画出图形得出ADB ∆为等腰直角三角形,并用勾股定理求解.4.(1)OE=32;(2)32π. 【分析】(1)根据∠D=60°,可得出∠B=60°,继而求出BC ,判断出OE 是△ABC 的中位线,就可得出OE 的长;(2)连接OC ,将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面积.【解析】解:(1)∵∠D=60°,∴∠B=60°(圆周角定理),又∵AB=6,∴BC=3,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∵OE ⊥AC ,∴OE ∥BC ,又∵点O 是AB 中点,∴OE 是△ABC 的中位线,∴OE=1232BC =;(2)连接OC ,则易得△COE ≌△AFE ,故阴影部分的面积=扇形FOC 的面积,S 扇形FOC =260333260π⨯=π. 即可得阴影部分的面积为32π. 【点评】此题考查扇形的面积,含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理等,解题关键在于将不规则图形转化为规则图形进行求解.5.(1)相切,理由见解析;(236π 【分析】(1)根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求出∠O 的度数,再根据半径相等求出△OCB 为等边三角形,即可得出答案;(2)根据∠O 的度数和半径求出CD 的长度,进而求出△COD 的面积,利用扇形面积公式求出扇形OCB 的面积,三角形的面积减去扇形的面积即可得出答案.【解析】解:(1)∵∠A=30°∴∠O=2∠A=60°又OB=OC∴△OBC 为等边三角形,∠OCB=60°又∠BCD=30°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°∴CD 与⊙O 相切(2)由(1)可知△OCD 为直角三角形,∠O=60°又半径为1,即OC=1∴CD OC tan O ∠==∴12OCD S CO CD =⨯⨯=2OCB 601S 3606ππ⨯⨯==扇形∴OCB S S 6OCD S π=-=阴影扇形 【点评】本题考查的是圆的综合,难度适中,牢记圆中的相关定理和性质是解决本题的关键. 6.(1)见解析;(2)53BE =. 【分析】(1)连接OD ,根据切线的性质得到OD ⊥BC ,根据平行线的判定定理得到OD ∥AC ,求得∠ODE=∠F ,根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE ,等量代换得到∠OED=∠F ,于是得到结论;(2)根据平行得出BOD BAC ∆∆∽,再由BO OD AB AC=可得到关于BE 的方程,从而得出结论. 【解析】(1)证明:连接OD ,∵BC 切O 于点D ,∴OD BC ⊥.∴90ODC ︒∠=.又90ACB ︒∠=,∴//OD AC ,∴ODE F ∠=∠.∵OE OD ,∴OED ODE ∠=∠,∴OED F ∠=∠.∴AE AF =.(2)解:∵//OD AC ,∴BOD BAC ∆∆∽,∴BO OD AB AC=. ∵5,4AE AC ==,∴ 2.5OE OD ==, ∴ 2.5 2.554BE BE +=+, ∴53BE =. 【点评】本题考查了切线的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.7.(1)AB =AC ;(2)242π-【分析】(1)连接AD ,根据圆周角定理可以证得AD 垂直且平分BC ,然后根据垂直平分线的性质证得AB =AC ;(2)连接OD 、过D 作DH ⊥AB ,根据扇形的面积公式解答即可.【解析】(1)AB =AC .理由是:连接AD .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,即AD ⊥BC ,又∵DC =BD ,∴AB =AC ;(2)连接OD 、过D 作DH ⊥AB .∵AB =8,∠BAC =45°,∴∠BOD =45°,OB =OD =4,∴DH 2∴△OBD 的面积=1422422⨯⨯扇形OBD 的面积=24542360ππ⋅⋅=, 阴影部分面积=242π-【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理,理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键.8.(1)见解析;(2)CE =2.【分析】(1)首先连接BD ,由AB 为直径,可得∠ADB=90°,又由AF 是⊙O 的切线,易证得∠CAF=∠ABD.然后由BA=BC,证得:∠ABC=2∠CAF;(2)首先连接AE,设CE=x,由勾股定理可得方程:()2=x2+(3x)2求得答案.【解析】(1)证明:如图,连接BD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠ABD=90°.∵AF是⊙O的切线,∴∠F AB=90°,即∠DAB+∠CAF=90°.∴∠CAF=∠ABD.∵BA=BC,∠ADB=90°,∴∠ABC=2∠ABD.∴∠ABC=2∠CAF.(2)解:如图,连接AE,∴∠AEB=90°,设CE=x,∵CE:EB=1:4,∴EB=4x,BA=BC=5x,AE=3x,在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,即(2=x2+(3x)2,∴x=2.∴CE=2.【点评】此题考查了切线的性质,三角函数以及勾股定理,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键.9.(1)∠ACD=40°;(2)∠ACD=40°或140°.【分析】(1)由AO⊥BD,根据垂径定理可得AD AB,再利用等弧对等角,以及圆周角定理即可求出结果;(2)如图所示,点C 有两个位置,分别利用圆周角定理的推论和圆周角定理求出即可.【解析】解:(1)∵AO ⊥BD ,∴AD AB =,∴∠AOB =2∠ACD ,∵∠AOB =80°,∴∠ACD =40°;(2)如图,①当点C 1在AB 上时,∠AC 1D =∠ACD =40°;②当点C 2在AD 上时,∵∠AC 2D +∠ACD =180°,∴∠AC 2D =140°. 综上所述,∠ACD =40°或140°.【点评】本题考查了圆周角定理及其推论和垂径定理等知识,熟练掌握上述知识、正确分类是解本题的关键.10.(1)312π;(2)42h =【分析】(1)利用等腰三角形的性质得到AD BC ⊥,BD CD =,则可计算出BD 63=后利用扇形的面积公式,利用由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形(图中阴影部分)的面积ABC EAF =S S -扇形进行计算;(2)设圆锥的底面圆的半径为r ,利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120π62πr 180⋅⋅=,解得r 2=,然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h . 【解析】∵在等腰ABC 中,BAC 120∠=︒,∴B 30∠=︒,∵AD 是BAC ∠的角平分线,∴AD BC ⊥,BD CD =, ∴BD 3AD 63== ∴BC 2BD 3==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形(图中阴影部分)的面积2ABC EAF 1120π6=S S 6123312π2360⋅⋅-=⨯⨯=扇形. (2)设圆锥的底面圆的半径为r ,根据题意得120π62πr180⋅⋅=,解得r2=,这个圆锥的高h【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式.11.(1)相切,证明见解析(2)3-23π.【分析】(1)连接BD,OD求出∠ABD=∠AED=45°,根据DC∥AB推出∠CDB=45°求出∠ODC=90°根据切线的判定推出即可(2)求出∠AOD=∠BOD=90°,求出AO,OD分别求出△AOD扇形DOB,平行四边形ABCD 的面积相减即可求出答案【解析】(1)解CD与⊙O的位置关系是相切理由是连接BD,OD∵∠AED=45°∴∠ABD=∠AED=45°∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDB=45°∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=45°∴∠ODC=45°+45°=90°∵OD为半径,∴CD与⊙O的位置关系是相切;(2)解AB∥CD,∠ODC=90°∴∠DOB=90°=∠DOA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,在△AOD中由勾股定理得:2AO2=222∴S △AOD=12 OA×OD=12×2×2S 扇形BOD=26022=3603⨯ππ S 平行四边形ABCD=AB×2×2∴阴影部分的面积是:4-1-23π=3-23π.【点评】此题考查切线的判定,勾股定理,扇形面积,平行四边形的性质,解题关键在于作辅助线12.(1)PB 与⊙O 相切,理由见解析;(2)⊙O 的半径为4.5.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得PB =PD ,通过证明△ABP 与△ADP 全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABP =∠ADP =90°,再根据切线的判定定理即可得证;(2)根据全等三角形的性质得∠BAC =∠DAC ,得到BC =CE =3,然后证明△DCE 与△DAB 相似,然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC •DB =DE •DA ,代入相关数据即可求得答案.【解析】(1)PB 与⊙O 相切,理由如下:∵AB 是⊙O 的直径,∴AC ⊥BD ,又AB =AD ,∴AP 是线段BD 的垂直平分线,∴PB =PD ,在△ABP 和△ADP 中, AB AD PB PD AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△ABP ≌△ADP (SSS),∴∠ABP =∠ADP =90°,∴PB 与⊙O 相切;(2)连接CE ,∵△ABP≌△ADP,∴∠BAC=∠DAC,∴BC CE=,∴BC=CE=3,∵AB=AD,AC⊥BD,∴BC=CD=3,∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形,∴∠DBA+∠CEA=180°,∵∠DEC+∠CEA=180°,∴∠DBA=∠DEC,又∵∠CDE=∠ADB,∴△DCE∽△DAB,∴DC:DA=DE:DB,∴DC•DB=DE•DA,即3×6=DE×(DE+7),解得,DE=2,∴DA=2+7=9,∴AB=AD=9,∴⊙O的半径为4.5.【点评】本题考查了切线的判定,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.13.(1)证明见解析;(2)FB=2【分析】(1)连接OC,根据切线的性质以及OE⊥AB,可知∠E+∠EF A=∠OCE+∠FCP=90°,从而可得∠EF A=∠FCP,继而可推得∠CFP=∠FCP,再根据等角对等边即可证得;(2)过点B作BG⊥PC于点G,由OB∥PC,OB=OC,BC=,从而求得OB=3,继而证得四边形OBGC是正方形,从而有OB=CG=BG=3,从而有34BGPG=,求得PG=4,再利用勾股定理可求得PB长,继而可求出FB长.【解析】解:(1)连接OC,∵PC是⊙O的切线,∴∠OCP=90°,∵OE=OC,∴∠E=∠OCE,∵OE⊥AB,∴∠E+∠EF A=∠OCE+∠FCP=90°,∴∠EF A=∠FCP,∵∠EF A=∠CFP,∴∠CFP=∠FCP,∴PC=PF;(2)过点B作BG⊥PC于点G,∵OB∥PC,∴∠COB=90°,∵OB=OC,BC=2∴OB=3,∵BG⊥PC,∴四边形OBGC是正方形,∴OB=CG=BG=3,∵tan P=34,∴34 BGPG,∴PG=4,∴由勾股定理可知:PB=5,∵PF=PC=7,∴FB=PF﹣PB=7﹣5=2.【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,等腰三角形的判定,正方形的判定,锐角三角函数的定义等,解题的关键是正确添加辅助线,灵活运用相关知识求解.14.(1)50°;(2)cosD=45.【分析】(1)连接OB.根据平行的想得到PA⊥AO,PB⊥OB,根据四边形的内角和即可得到结论;(2)连结OP交AB于点E,再连OB、BC,根据切线的性质得到∠PAC=∠PBO=90°,推出OP是AB的垂直平分线,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解析】(1)证明:如图1,连接OB.∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点,∴PA⊥AO,PB⊥OB,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠BAC=25°,OB=OA,∴∠BOA=180°﹣25°﹣25°=130°,∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°;(2)解:如图2,连结OP交AB于点E,再连OB、BC,∵PA、PB是⊙O的切线,∴∠PAC=∠PBO=90°,∵AP=AC,AC是⊙O的直径,∴12OAPA=,∵PB=PA,OB=OA,∴OP是AB的垂直平分线,∵∠OAP=90°,AE⊥OP,∴△OEA∽△AEP∽△OAP,∴OA OE OP OA=,设OE=a,可得AE=BE=BC=2a,PE=4a,∴OP=5a,∴OA,PA=PB=,∵∠ABC=∠AEO=90°,∴OP∥BC,∴△DBC∽△DPO,∴CDOD=BDOD=BCOP=25.∴BD 45,OD=535,∴cos D=BDOD=45.【点评】本题考查了切线的性质,四边形的内角和,相似三角形的判定和性质,平行线的判定,正确的作出辅助线是解题的关键.15.(1)DE与⊙O相切,证明详见解析;(2)EC=1.【分析】(1)连接OD,由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO,可得OD∥BE,可证DE⊥OD,即可证DE与⊙O相切;(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接DC,由题意可证Rt△DF A≌Rt△DEC,Rt△DBF≌Rt△DBE,可得AF=EC,BF=BE,即可求EC的长.【解析】解:(1)DE与⊙O相切理由如下:连接OD∵OB=OD∴∠OBD=∠ODB∵∠ABC的平分线交⊙O于点D,∴∠ABD=∠CBD∴∠CBD=∠ODB∴OD∥BE∵DE⊥BC于点E.∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切(2)过点D作DF⊥AB于点F,连接DC,∵∠ABD=∠CBD,DE⊥BE,DF⊥AB∴DF=DE,AD DC=∴AD=CD∵AD=CD,DF=DE∴Rt△DF A≌Rt△DEC(HL)∴AF=EC∵DF=DE,DB=DB∴Rt△DBF≌Rt△DBE(HL)∴BF=BE∵BA=BF+AF=BE+AF=BC+EC+CE=6∴4+2CE=6∴EC=1【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,圆周角定理,全等三角形判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.16.(1)∠ACM=62°;(2)存在符合条件的点D,使AB•CD=AC•BC,理由见解析.【分析】(1)求∠ACM的度数,需求出∠B的度数;在Rt ABC∆中,已知∠A的度数,即可求出∠B、∠ACM的度数;(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:①AB BCAC CD=,此时需证Rt ABC Rt CBD∆~∆,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;②AB ACBC CD=,此时需证Rt ABC Rt ACD∆~∆,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.【解析】(1)∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=90°﹣∠A=62°,∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∴∠ACM=∠B=62°;(2)存在符合条件的点D,使AB•CD=AC•BC,①过A作AD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC,证明:∵MN是半圆的切线,且切点为C,∴∠ACD=∠B,∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACD,∴AB AC BC CD=,即AB•CD=AC•BC;②过B作BD⊥MN于D,则AB•CD=AC•BC,证明过程同①,因此MN上存在至少一点D,使AB•CD=AC•B C.【点评】本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质,要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用.17.(1)证明见解析;(2)53π【分析】(1)先根据圆的性质得:∠CBD=∠ABD,由平行线的性质得:∠ABD=∠CDB,根据直径和等式的性质得:,AB BC=,由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形,由AB=BC可得结论;(2)先设∠FOE=x,则∠AOF=3x,根据∠ABC+∠BAD=180°,列方程得:4x+2x+12(180-3x)=180,求出x的值,接着求CF所对的圆心角和半径的长,根据弧长公式可得结论.【解析】(1)证明:∵AE CE=,∴∠CBD=∠ABD,∵CD∥AB,∴∠ABD=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD,∵BE是⊙O的直径,∴AB BC=,∴AB=BC=CD,∵CD∥AB,∴四边形ABCD是菱形;(2)∵∠AOF=3∠FOE,设∠FOE=x,则∠AOF=3x,∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OF A=12(180﹣3x)°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=2x,∴∠ABC=4x,∵BC∥AD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴4x+2x+12(180﹣3x)=180,x=20°,∴∠AOF=3x=60°,∠AOE=80°,∴∠COF=80°×2﹣60°=100°,∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形,∴OF=AF=3,∴CF的长=1003180π⨯=53π.【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式,平行线的性质等知识,解题的关键是学会设未知数,列方程求角的度数,证明三角形是等边三角形是解题的突破点,属于中考常考题型.18.(1)证明见解析(2)18【分析】(1)根据AB=AC,可得出∠ABC=∠BCA,再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC,从而得出答案;(2)作AM⊥CD于点M,根据题意可得出BF,还可证明△ACM≌△ABF,从而可得出△DBC 的面积.【解析】(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=∠ADB,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠ABC,∴∠ADB=∠CDE;(2)解:作AM⊥CD于点M,∵AB=10,AF=6,∴BF=8,∵AD平分∠BDM,AM=AF=6,∴△ACM≌△ABF,∴CM=BF=8,∴DF=DM=CM﹣CD=2.∴BD=BF+DF=10=AB.∴∠BAD=∠ADB=∠ADM,∴AB∥CD,∴S△DBC=S△ADC=12CD×AM=18.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及圆周角定理,熟练掌握这些性质是解题的关键.19.(1)证明见解析(2)3【分析】(1)连接OD,如图,先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°,再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°,则∠BDC=∠ODA,加上∠ODA=∠BAD,然后等量代换即可得到结论;(2)利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=5BDAB设5,AB=5x,则5,然后证明△CBD∽△CDA,则利用相似比可计算出CD和AB,从而得到圆的半径.【解析】(1)证明:连接OD,如图,∵CD与半圆O相切于点D,∴OD⊥CD,∴∠ODC=90°,即∠ODB+∠BDC=90°,∵AB是半圆O的直径,∴∠BDA=90°,即∠ODB+∠ODA=90°,∴∠BDC=∠ODA,∵OD =OA ,∴∠ODA =∠BAD ,∴∠BAD =∠BDC ;(2)解:∵sin ∠A =sin ∠BDC∴BD AB =设BD ,AB =5x ,则AD ,∵∠BAD =∠BDC ,∠BCD =∠DCA ,∴△CBD ∽△CDA ,∴12BC CD BD CD AC AD ====, 而BC =2,∴CD =4,AC =8,∴AB =AC ﹣BC =6,∴⊙O 的半径位3.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决(2)小题的关键是构建△CBD 与△CDA 相似.20.(1)①见解析②24(2)结论DA =DC 仍然成立【分析】(1)①连接OC ,利用切线的性质则可得到OC ⊥DC ,然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC ,利用等角对等边得到DA=DC 即可;②利用DF :EF=1:8,然后利用切线长定理求得DC 的长,进而得到DC 、AD 的长,然后利用切线长定理得:AB•AC=AE•AF=24;(2)结论仍然成立,延长BO 交⊙O 于K ,连CK ,利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK ,从而得到∠DCA=∠BAH ,问题得证.【解析】(1)①证明:连OC ,则OC ⊥DC ,∴∠DCA=90°﹣∠ACO=90°﹣∠B,又∠DAC=∠BAE=90°﹣∠B,∴∠DAC=∠DCA∴DA=DC,②∵DF:EF=1:8,DF2∴EF=8DF=2,又DC为切线,∴DC2=DF•DE22=18,∴DC=2∴AD=DC=2∴AF=AD﹣DF=2∴AE=EF﹣AF=2,∴AB•AC=AE•AF=24;(2)结论DA=DC仍然成立,理由如下:延长BO交⊙O于K,连CK,则∠KCB=90°,又DC为⊙O的切线,∴∠DCA=∠CKB=90°﹣∠CBK,又∠BAH=90°﹣∠HBA,而∠CBK=∠HBA,∴∠DCA=∠BAH,∴DA=DC.【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理及切割线定理的内容,是一道比较复杂的切线的性质的综合题,难度较大.。
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明
类型之一与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12-1,⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P,C为切点,若∠P =30°,⊙O的半径为1,则PB的长为__1__.
图Z12-1 经典母题答图
【解析】如答图,连结OC.
∵PC为⊙O的切线,∴∠PCO=90°,
在Rt△OCP中,∵OC=1,∠P=30°,
∴OP=2OC=2,
∴PB=OP-OB=2-1=1.
【思想方法】(1)已知圆的切线,可得切线垂直于过切点的半径;(2)已知圆的切线,常作过切点的半径,得到切线与半径垂直.
【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D.
(1)如图Z12-2①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小.
图Z12-2
解:(1)如答图①,连结AC ,
∵AT 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径,
∴AT ⊥AB ,即∠TAB =90°,
∵∠ABT =50°,∴∠T =90°-∠ABT =40°,
由AB 是⊙O 的直径,得∠ACB =90°,
∴∠CAB =90°-∠ABC =40°,∴∠CDB =∠CAB =40°;
中考变形答图① 中考变形答图②
(2)如答图②,连结AD ,
在△BCE 中,BE =BC ,∠EBC =50°,
∴∠BCE =∠BEC =65°,∴∠BAD =∠BCD =65°,
∵OA =OD ,∴∠ODA =∠OAD =65°,
∵∠ADC =∠ABC =50°,
∴∠CDO =∠ODA -∠ADC =65°-50°=15°.
【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12-3,AB 与⊙O 相切于点B ,BC 为⊙O 的弦,OC ⊥OA ,OA 与BC 相交于点P .
(1)求证:AP =AB ;
(2)若OB =4,AB =3,求线段BP 的长.
图Z12-3 中考预测答图
解:(1)证明:∵OC =OB ,∴∠OCB =∠OBC ,
∵AB 是⊙O 的切线,∴OB ⊥AB ,
∴∠OBA =90°,∴∠ABP +∠OBC =90°,
∵OC ⊥AO ,∴∠AOC =90°,
∴∠OCB +∠CPO =90°,∵∠APB =∠CPO ,
∴∠APB =∠ABP ,∴AP =AB ;
(2)如答图,作OH ⊥BC 于H .在Rt △OAB 中,∵OB =4,AB =3,
∴OA =32+42=5,∵AP =AB =3,
∴PO =2.
在Rt △POC 中,PC =OC 2+OP 2=25,
∵12PC ·OH =12OC ·OP ,
∴OH =
OP ·OC PC =45
5,
∴CH = OC 2-OH 2=855, ∵OH ⊥BC ,∴CH =BH ,∴BC =2CH =1655,
∴BP =BC -PC =1655-25=655.
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明
【经典母题】
已知:如图Z12-4,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB =BC ,∠A =30°,求证:直线AB 是⊙O 的切线.
图Z12-4 经典母题答图
证明:如答图,连结OB ,
∵OB =OC ,AB =BC ,∠A =30°,
∴∠OBC =∠C =∠A =30°,
∴∠AOB =∠C +∠OBC =60°. ∵∠ABO =180°-(∠AOB +∠A )=180°-(60°+30°)=90°,
∴AB ⊥OB ,又∵OB 为⊙O 半径,∴AB 是⊙O 的切线.
【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径,证垂直”或者“作垂直,证半径”.
【中考变形】
1.[2016·黄石]如图Z12-5,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD ⊥CD.
(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.
图Z12-5 中考变形1答图
解:(1)∵AB是⊙O直径,C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,又∵BC=3,AB=5,
∴由勾股定理,得AC=4;
(2)证明:如答图,连结OC,
∵AC是∠DAB的平分线,
∴∠DAC=∠BAC,
又∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,∴∠DCA=∠CBA,
又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠OBC=90°,∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,
∴直线CD是⊙O的切线.
2.[2017·南充]如图Z12-6,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O 交AB于点D,E为BC的中点,连结DE并延长交AC的延长线点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若CF=2,DF=4,求⊙O直径的长.
图Z12-6 中考变形2答图
【解析】(1)连结OD,欲证DE是⊙O的切线,需证OD⊥DE,即需证∠ODE =90°,而∠ACB=90°,连结CD,根据“等边对等角”可知∠ODE=∠OCE =90°,从而得证;
(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.
解:(1)证明:如答图,连结OD,CD.
∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°.
∴∠BDC=90°.又∵E为BC的中点,
∴DE=1
2BC=CE,∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴∠ODE=90°,∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,
即x2+42=(x+2)2,解得x=3.∴⊙O的直径为6.
【中考预测】
如图Z12-7,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,∠A=2∠BCD,点E 在AB的延长线上,∠AED=∠ABC.
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若BF=2,DF=10,求⊙O的半径.
图Z12-7 中考预测答图
解:(1)证明:如答图,连结OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∵∠BOD=2∠BCD,∠A=2∠BCD,
∴∠BOD=∠A,
∵∠AED=∠ABC,∴∠BOD+∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,即OD⊥DE,∴DE与⊙O相切;
(2)如答图,连结BD,过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切,∴∠ACD+∠BCD=∠ODB+∠BDE=90°,∵∠ACD=∠OBD,∠OBD=∠ODB,∴∠BDE=∠BCD,
∵∠AED=∠ABC,∴∠AFC=∠DBF,
∵∠AFC=∠DFB,∴△ACF与△FDB都是等腰三角形,
∴FH=BH=1
2BF=1,∴HD=DF
2-FH2=3,
在Rt△ODH中,OH2+DH2=OD2,即(OD-1)2+32=OD2,∴OD=5.即⊙O的半径是5.。