圆的切线的证明与计算

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。

(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。

圆的切线定理定理表述设有一个圆和一条直线，当这条直线与圆相切时，直线与圆的切点之间的线段与半径垂直。

证明过程证明圆的切线定理的方法主要有两种：几何法和代数法。

几何法几何法是通过几何构造来证明定理。

我们可以通过以下步骤进行证明：1. 假设有一个圆和一条直线，直线与圆相切于点P。

2. 以圆心为起点，作一条半径OP。

3. 连接直线上的点P和圆心O，得到线段OP。

4. 利用三角形的性质，我们可以得出线段OP与直线的斜率相等。

5. 因为直线与圆相切，所以线段OP与半径OP垂直。

6. 因此，根据直线斜率的性质，直线与半径垂直。

通过以上步骤，我们证明了圆的切线与半径垂直。

代数法代数法是通过代数计算来证明定理。

我们可以使用坐标系的方法进行证明：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

2. 假设直线的方程为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为截距。

3. 将直线方程代入圆的方程，得到(x-a)^2 + (mx + c - b)^2 - r^2 = 0。

4. 根据圆的定义，当直线与圆相切时，该方程只有一个解。

5. 解方程得到一个二次方程，利用判别式判断方程有一个解的特性。

6. 通过计算判别式，可以得到切线方程有唯一解的条件。

7. 根据等式等式的性质，解方程得到的根与圆的切点相对应。

8. 证明了切线方程与圆的切点正交。

通过以上代数计算，我们证明了圆的切线与半径垂直。

应用和实例圆的切线定理在几何学和应用数学中有着广泛的应用。

它在解析几何的证明和问题求解中起着重要的作用。

例如，通过圆的切线定理，我们可以解决求直线与圆的切点坐标和切线方程的问题。

这对于工程学和物理学中的曲线研究非常有用。

另外，圆的切线定理在计算机图形学和计算机模拟中也被广泛应用。

通过计算机算法，我们可以快速计算出圆与直线的切点坐标，从而实现更精确的模拟效果。

总之，圆的切线定理是解析几何中重要的定理之一，它在几何学和应用数学中有着广泛的应用价值。

证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。

切线的判定1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）l2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；l证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△P AO，可得∠PCO=∠P AO=90°．B（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．B如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠P AC=90°，∴∠BAC+∠P AC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．B1．（2018·滨州）如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD CD ⊥于点D ，且AC 平分DAB ∠，求证：（1）直线DC 是O 的切线；（2）22AC AD AO =⋅．【分析】（1）连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ， ∴∠OCA =∠DAC ，∴AD ∥OC ， ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ， ∴DC 是圆O 的切线．（2）连接BC ，过点C 作CH ⊥AN 交AB 于H 点，则2AC AH AB =⋅，∵AH =AD ，AB =2AO ， ∴22AC AD AO =⋅．2．（2018·泰州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC ∠的平分线交O 于点D ，DE BC ⊥于点E ．（1）试判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F，若BE =3DF =，求图中阴影部分的面积．B【分析】 （1）相切．连接OD ，∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD =∠EBD ， ∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∴∠EBD =∠ODB ，∴OD ∥BE ， ∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 与圆O 相切．（2）易证△BED ≌△BFD，∴BF =BE =DF =3，∴∠ABD =30°，连接OD ，则∠AOD =60°，易证OD =∴(2113262S ππ=⋅-=， 故阴影部分面积为2π-．【角分+等腰得平行】3．（2018·锦州）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AE平分BAC∠交BC于点E，O是AB 上一点，经过A，E两点的O交AB于点D，连接DE，作DEA∠的平分线EF交O 于点F，连接AF．（1）求证：BC是O的切线．（2）若4sin5EFA∠=，AF=AC的长．【分析】（1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥BC，∴OE⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）EF平分∠AED，则点F是半圆AD中点，连接OF，则△AOF是等腰直角三角形，∴5OA AF===，∴AD=10，4sin sin5EDA EFA∠=∠=，∴AE=8，DE=6，∵AE平分∠BAC，∴4 cos cos5CAE EAD∠=∠=，即45ACAE=，∴44328555AC AE==⨯=，故AC的长为325．4．（2018·毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆C交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是圆O的切线；（2）若1tan2C=，AC=8，求圆O的半径．【分析】（1）连接OE，则OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠EOG=2∠C，又∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴OE∥AB，∵EG⊥AB，∴EG⊥OE，∴EG是圆O的切线．（2）连接BE，则BE⊥AC，∵OE∥AB，∴△ABC是等腰三角形，∴E是AC中点，∵AC=8，∴142CE AC==，∵1tan2C=，∴122BE CE==，∴BC=r=OB，故圆O．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】5．（2019·天水）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，OD AC⊥于点D．过点A作O 的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是O的切线；（2）若60ABC∠=︒，10AB=，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴P A=PC，易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠P AO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是圆O的切线．（2）若∠ABC=60°则△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=5，在Rt△OCF中，CF=故CF的长为6．（2016·郴州）如图，OA ，OD 是O 半径，过A 作O 的切线，交AOD ∠的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交O 于点E ，交CD 的延长线于点B （1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）如果D 点是BC 的中点，O 的半径为3cm ，求DE 的长度（结果保留)πB【分析】（1）易证△COA ≌△COD ，∴∠ODC =∠OAC =90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是圆O 的切线．（2）若点D 是BC 的中点，则△BOC 是等腰三角形，∴∠OBC =∠OCB ，又∠OCB =∠OCA ，∴设∠OBC =∠OCB =∠OCA =α， ∴390α=︒，30α=︒，∴∠BOD =60°，∴1236DE ππ=⋅⋅=cm ，故DE 的长度是πcm ．7．（2018·丹东）如图，直线AD 经过O 上的点A ，ABC ∆为O 的内接三角形，并且CAD B ∠=∠．（1）判断直线AD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若30CAD ∠=︒，O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)πD【分析】 （1）相切．连接AO 并延长交圆O 于点P ，连接CP ，则∠P =∠B ，又∵∠B =∠CAD ，∴∠P =∠CAD ， ∵∠P +∠P AC =90°，∴∠CAD +∠P AC =90°， ∴P A ⊥AD ，∴AD 是圆O 的切线．（2）连接OC ，则∠AOC =2∠APC =2∠CAD =60°，21166S ππ=⋅⋅=扇AOC，21AOCS=∴6S π=阴，故阴影部分的面积为6π-【有交点证垂直，证明夹角为直角】8．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE AB⊥，垂足为E．（1）若O的半径为52，6AC=，求BN的长；（2）求证：NE与O相切．【分析】（1）∵52r=，∴CD=5，∴AB=10，∴BC=8，连接DN，则DN⊥BC，∴DN∥AC，∴点N是BC中点，∴118422BN BC==⨯=．故BN的长为4．（2）连接NO，∵N、O分别是BC、CD中点，∴NO∥BD，∵NE⊥BD，∴NE⊥NO，∴NE与圆O相切．9．（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．【分析】（1）相切．连接OE，则OE⊥AC，∴点E是AC边中点，连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于H点，∵DO∥AC，∴∠DOF=∠OF A，又DO=DF，∴∠DOF=∠DFO，∴∠OF A=∠OFD，易证△OFE≌△OFH，∴OH=OE，∴DF是圆O的切线．（2）设半径为r，则CD=r，DF=DO，∴CF=，又CF，∴r=1，10．（2018·江西）如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径做圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．【分析】（1）∵∠AOD +∠DAO =90°，∠ABD +∠BAD =90°，且∠AOD =∠BAD ，∴∠DAO =∠ABD ，又∠DAO =∠OBC ， ∴∠ABD =∠OBC ，过点O 作OH ⊥AB 交AB 于H 点，易证△BOH ≌△BOC ，∴OH =OC ，∴AB 是圆O 的切线． （2）∵BC =6，4tan 3ABC ∠=，∴AC =8，AB =10， BH =BC =6，AH =4，OH =3，OA =5，∴5OD ===2AD OD ==．故AD 的长为【圆中等腰三角形】11．（2018·鄂尔多斯）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，弦BD BA =，EB DC ⊥，交DC 的延长线于点E ． （1）求证：BE 是O 的切线； （2）当3sin 4BCE ∠=，3AB =时，求AD 的长．【分析】（1）连接BO 并延长，分别交AD 、圆O 于点H 、Q ，易证△BDQ ≌△BAQ ，∴DQ =AQ ，又AB =DB ， ∴BQ 是AD 的垂直平分线， ∴BQ ⊥AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，又∠E =90°，∴AD ∥BE ， ∴BQ ⊥BE ，∴BE 是圆O 的切线．（2）∵∠BAC =∠CBE ，∴∠ACB =∠BCE ，∴3sin 4ACB ∠=，∵AB=3，∴AC =4，BC∵3sin 4BE BCE BC ∠===，∴BE =， ∴HD BE ==，∴AD =2HD ．故AD。

半代入法求圆的切线证明1.引言准备编写文章1.1 概述部分的内容。

在这一部分，我们将简要介绍半代入法求圆的切线证明的背景和要点。

概述：在几何学中，我们经常遇到需要求解圆的切线问题。

而半代入法是一种常用的数学方法，用于推导和证明圆的切线方程。

通过使用这种方法，我们可以轻松地得出切线方程，从而解决各种与圆的切线相关的数学问题。

本文将详细介绍半代入法的原理和步骤，并阐述其在求解圆的切线问题中的有效性。

通过掌握和应用这一方法，读者将能够更好地理解和解决与圆的切线相关的几何难题。

文章结构：本文将分为三个主要部分。

首先，我们将介绍半代入法的原理和步骤，这将为后续的内容打下基础。

其次，我们将详细阐述半代入法在求解圆的切线问题中的基本思想和具体步骤。

最后，我们将对半代入法求圆的切线的有效性进行评估，并对整个文章进行总结。

目的：本文的目的是全面介绍半代入法在求解圆的切线问题中的应用。

通过阐述其原理、步骤和基本思想，我们旨在帮助读者掌握这一数学方法，并能够灵活应用于实际问题中。

这就是文章1.1 概述部分的内容。

接下来，我们将继续编写文章的其他部分。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对半代入法求圆的切线的证明进行讨论：1. 引言：首先对半代入法求圆的切线的背景和意义进行概述，介绍半代入法在几何证明中的应用以及本文的研究目标。

2. 正文：2.1 半代入法的原理和步骤：详细介绍半代入法的基本原理和具体步骤，包括如何使用半代入法求解几何问题以及相应的推导方法。

2.2 半代入法求圆的切线的基本思想：阐述半代入法求解圆的切线的基本思想，包括如何利用已知的圆心、半径和切点等信息，通过半代入的方法得到切线的方程和证明过程。

同时，附上具体的实例进行说明。

3. 结论：3.1 半代入法求圆的切线的有效性：对半代入法求解圆的切线的有效性进行分析和论证，包括讨论该方法的适用范围、其优点和局限性，并通过实例验证其有效性。

3.2 结论总结：总结本文的主要观点和证明过程，强调半代入法求解圆的切线的重要性和实用性，并对进一步应用和研究的发展方向提出展望。

专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明类型之一与圆的切线的性质有关的计算或证明(人教版九上P102习题第12题)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.【思想方法】已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径(若图中未画出，通常需要连半径作辅助线)．[2019·天津]已知P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．(1)如图①，求∠ACB的大小；(2)如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD，求∠EAC的大小．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过点C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．类型之二与圆的切线的判定有关的计算或证明(人教版九上P101习题第4题)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．【思想方法】证明圆的切线的两种常用思路：(1)作半径，证垂直；(2)作垂直，证半径．1．[2018·青海]如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．2．[2019·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．3．[2019·菏泽]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC 的延长线于点D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD，交⊙O于点T，过点T作TC⊥AD，交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，CT＝3，求AD的长．参考答案（完整答案和解析见PPT 课件之课时作业）【教材母题】 略 【中考变形】 (1)50° (2)20° 【中考预测】 (1)略 (2)258【教材母题】 略 【中考变形】1．(1)略 (2)25 2.(1)略 (2)43 3.略 【中考预测】 (1)略 (2)2。

圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。

这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。

本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。

一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。

即PA * PB = PT^2，其中T是切点。

二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。

设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。

连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。

由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。

将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。

三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。

以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。

如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。

2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。

通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。

3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。

通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。

4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。

例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。

圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。

通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。

2.9圆中有关切线的计算与证明一．解答题（共20小题）1．（2019秋•金坛区期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT 交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．2．（2019秋•睢宁县期中）如图，在⊙O中，P A是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O 交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．3．（2019秋•泗阳县期中）如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，AC＝4，求DB的长．4．（2019秋•扬州期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB ＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；5．（2019秋•兴化市期中）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．6．（2019秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•玄武区期中）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．8．（2019秋•建邺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．9．（2019秋•玄武区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD 为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF ⊥AB，垂足为F．（1）求证：NF是⊙O的切线；（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．10．（2019秋•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD（1）求证：直线CE是⊙O的切线；11．（2019春•建湖县期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；12．（2019春•宿豫区期中）已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC ＝30°，求证：四边形ACEO是菱形．13．（2019秋•锡山区期中）如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）14．（2019秋•灌云县期中）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．15．（2019秋•建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P 为CO的延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．16．（2019秋•大名县期中）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上．（1）如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．（2）在（1）的条件下，若BC边交l于点E，OE＝2，求BE的长．（3）如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O的切线，F为切点，则CF的长为．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求出⊙O的直径的长．18．（2019秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求的值．19．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．20．（2018秋•邳州市期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC 交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．答案解析一．解答题（共20小题）1．（2019秋•金坛区期中）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT 交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE＝∠BEC＝70°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝70°，由此可得结论．【解析】（1）如图①，连接AC，∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝40°，∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，∴∠CDB＝∠CAB＝50°；（2）如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝70°，∴∠BAD＝∠BCD＝70°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝70°，∵∠ADC＝∠ABC＝40°，∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．2．（2019秋•睢宁县期中）如图，在⊙O中，P A是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O 交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OH，由题意可得∠OHP＝∠HP A＝∠HPB，可证OH∥BP，则可得OH⊥BH，根据切线的判定可证HB是⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥PC，垂足为E，可证四边形EOHB是矩形，可得OE＝BH＝4，OH ＝BE，再根据勾股定理可求OP的长，即可求⊙O的直径．【解答】证明：（1）如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HP A＝∠HPB，∵OP＝OH，∴∠OHP＝∠HP A，∴∠HPB＝∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OE⊥PC，垂足为E，∵OE⊥PC，OH⊥BH，BP⊥BH，∴四边形EOHB是矩形，∴OE＝BH＝4，OH＝BE，∴CE＝OH﹣2，∵OE⊥PC∴PE＝EC＝OH﹣2＝OP﹣2，在Rt△POE中，OP2＝PE2+OE2，∴OP2＝（OP﹣2）2+16∴OP＝5，∴AP＝2OP＝10，∴⊙O的直径是10．3．（2019秋•泗阳县期中）如图，CD是⊙O的切线，切点为E，AC、BD分别与⊙O相切于点A、B．如果CD＝6，AC＝4，求DB的长．【分析】由于CD、AC、BD是⊙O的切线，则可得AC＝CE，ED＝DB，由已知数据易求DE的长，进而可求出DB的长．【解析】∵CD切⊙O点E，AC切切⊙O点A．∴CE＝AC＝4，∴ED＝CD﹣CE＝2，∵CD切⊙O点E，BD切⊙O点B．∴BD＝ED＝2．4．（2019秋•扬州期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB ＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；5．（2019秋•兴化市期中）如图，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB．C为中点，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG∥FB，交AB的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠BOF＝120°，且CE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC．由点C为的中点，得到，求得∠COB＝∠COF，根据平行线的性质得到∠OCG＝∠OMB＝90°，于是得到CG是⊙O的切线；（2）连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，推出△OBC为等边三角形．得到∠OCD＝30°，则EM CE＝2，根据勾股定理得到CM，求得OM＝CM，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵点C为的中点，∴，∴∠COB＝∠COF，∵OB＝OF，∴OC⊥BF，设垂足为M，则∠OMB＝90°，∵CG∥FB，∴∠OCG＝∠OMB＝90°，∴CG是⊙O的切线；（2）解：连接BC．由（1）知，∠COB＝∠COF∠BOF＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形．∵∠OCD＝30°，则EM CE＝2，∴CM，∴OM＝CM，∴OC＝4，即⊙O的半径为4．6．（2019秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB 边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知P A＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝6﹣t，BQ＝2t，然后根据△PQB的面积＝4cm2列方程求解即可；（2）当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q 正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC＝QP，然后依据勾股定理列方程求解即可；【解析】（1）∵当运动时间为t秒时，P A＝t，BQ＝2t，∴PB＝5﹣t，BQ＝2t．∵△PBQ的面积等于4cm2，∴PB•BQ（5﹣t）•2t．∴（5﹣t）•2t＝4．解得：t1＝1，t2＝4．答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2；（2）（Ⅰ）由题意可知圆Q与AB、BC不相切．（Ⅱ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．∵∠DAB＝90°，∴∠DPQ＝90°．∴DP⊥PQ．∴DP为圆Q的切线．（Ⅲ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示．由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t．在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2．解得：t1＝﹣15+10，t2＝﹣15﹣10（舍去）．综上所述可知当t＝0或t＝﹣15+10时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切．7．（2019秋•玄武区期中）如图，在▱ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．（1）求证：；（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，交AD于点E，由已知条件易证OE⊥AD，由垂径定理进而可证明；（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3，在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，由勾股定理可得：OE2+AE2＝OA2即（r﹣3）2+42＝r2，解方程即可求出圆的半径r．【解析】（1）证明：连接OB，交AD于点E．∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OED＝∠OBC＝90°，∴OE⊥AD，∴；（2）∵OE⊥BC，OE过圆心O∴AE AD＝4，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴BE═3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣3在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，OE2+AE2＝OA2即（r﹣3）2+42＝r2，∴r，∴⊙O的半径为．8．（2019秋•建邺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求BD的长．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解析】（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF AC，在Rt△BCD中，BD49．（2019秋•玄武区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD 为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF ⊥AB，垂足为F．（1）求证：NF是⊙O的切线；（2）若NF＝2，DF＝1，求弦ED的长．【分析】（1）欲证明NF为⊙O的切线，只要证明ON⊥NF．（2）证明四边形ONFH是矩形，由勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：连接ON．如图所示：∵在Rt△ACB中，CD是边AB的中线，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵OC＝ON，∴∠ONC＝∠DCB，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB∵NF⊥AB∴∠NFB＝90°∴∠ONF＝∠NFB＝90°，∴ON⊥NF又∵NF过半径ON的外端∴NF是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥ED，垂足为H，如图2所示：设⊙O的半径为r∵OH⊥ED，NF⊥AB，ON⊥NF，∴∠OHD＝∠NFH＝∠ONF＝90°．∴四边形ONFH为矩形．∴HF＝ON＝r，OH＝NF＝2，∴HD＝HF﹣DF＝r﹣1，在Rt△OHD中，∠OHD＝90°∴OH2+HD2＝OD2，即22+（r﹣1）2＝r2，∴r．∴HD，∵OH⊥ED，且OH过圆心O，∴HE＝HD，∴ED＝2HD＝3．10．（2019秋•江阴市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E，BC＝3，CD（1）求证：直线CE是⊙O的切线；【分析】（1）连结OD，如图，由AD平分∠EAC得到∠1＝∠3，加上∠1＝∠2，则∠3＝∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠EAC，∴∠1＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴OD∥AE，∵AE⊥DC，∴OD⊥CE，∴CE是⊙O的切线；11．（2019春•建湖县期中）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠COD＝2∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO ＝90°，根据切线的判定推出即可；【解答】（1）证明：连接OD，∵OD＝OB，∴∠DBA＝∠BDO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDB＝∠CAD，∴∠CDB+∠BDO＝90°，即OD⊥CE，∵D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线；12．（2019春•宿豫区期中）已知，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAD＝∠ABC．（1）如图1，试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，将直线AD沿直线AC翻折后交⊙O于点E，连接OA、OE、CE，若∠ABC ＝30°，求证：四边形ACEO是菱形．【分析】（1）作直径AP，连接CP，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠APC，∠ACP＝90°，求得∠DAP＝90°，AD⊥AP，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，推出△AOC、△COE都是等边三角形，得到OA ＝AC＝CE＝EO，于是得到结论．【解析】（1）直线AD与⊙O相切，理由：作直径AP，连接CP，∵∠APC＝∠ABC，∠CAD＝∠ABC，∴∠CAD＝∠APC，∵AP是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，∴∠CAP+∠APC＝90°，∴∠CAP+∠CAD＝90°，即∠DAP＝90°，∴AD⊥AP，∴直线AD与⊙O相切；（2）证明：连接OC，∵∠ABC＝30°，∴∠CAE＝∠CAD＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∠COE＝2∠CAE＝60°，∵OA＝OC，OC＝OE，∴△AOC、△COE都是等边三角形，∴OA＝AC＝CO，OC＝CE＝EO，∴OA＝AC＝CE＝EO，∴四边形ACEO是菱形．13．（2019秋•锡山区期中）如图，已知直角△ABC，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4．⊙C的半径长为1，已知点P是△ABC边上一动点（可以与顶点重合）．（1）若点P到⊙C的切线长为，则AP的长度为2或2；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）【分析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．分两种情形分别求解即可；（2）首先求出三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；【解析】（1）由题意切线长为，半径为1，可得PC＝2，所以点P只能在边BC或边AC上．如图1中，连接P A．在Rt△P AC中，P A2．如图2中，P A＝AC＝PC＝4﹣2＝2，综上所述，满足条件的P A的长为2或2．故答案为2或2．（2）如图3中，当CP⊥AB时．易知CP，此时切线长PE，如图4中，当点P与点B重合时，切线长PE2，如图5中，当点P与点A重合时，切线长PE，观察图形可知：当0＜m时，点P的位置有2个位置；当m时，点P的位置有3个位置；当m＜2时，点P的位置有4个位置；当m＝2时，点P的位置有3个位置；当2m时，点P的位置有2个位置；当m时，点P的位置有1个位置．14．（2019秋•灌云县期中）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△F AD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：∴∠DF A＝∠DEA＝90°，在△EAD和△F AD中，，∴△EAD≌△F AD（AAS），∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF4，∴DE＝DF＝4．15．（2019秋•建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，P 为CO的延长线上一点，且AP＝AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形．【分析】（1）连接OA，由圆心角等于2倍的圆周角得出∠AOC＝120°，由OA＝OC，得出∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝30°，由AP＝AC，推出∠APC＝∠ACP ＝30°，由三角形内角和定理得出∠P AC＝120°，则∠P AO＝∠P AC﹣∠OAC＝90°，即可得出结论；（2）连接OB，由切线的性质得出P A＝PB，由OA＝OB，得出PO是AB的垂直平分线，则CB＝CA，由又∠ABC＝60°，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OA，如图1所示：∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）（180°﹣120°）＝30°，∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴∠P AC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠P AO＝∠P AC﹣∠OAC＝120°﹣30°＝90°，∴AP⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线；（2）连接OB，如图2所示：∵AP、PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，∵OA＝OB，∴PO是AB的垂直平分线，∴CB＝CA，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．16．（2019秋•大名县期中）已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l上．（1）如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．（2）在（1）的条件下，若BC边交l于点E，OE＝2，求BE的长．（3）如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O的切线，F为切点，则CF的长为4．【分析】（1）由圆周角定理可得AD是直径，根据勾股定理可求CD的长；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为F，根据垂径定理可得CF＝DF＝3，根据中位线定理可得OF＝4，根据勾股定理可求EF的长，即可求BE的长；（3）连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，可证四边形OECF是矩形，可得CF＝OE，FO＝CE＝5，由勾股定理可求AE的长，即可求CF的长．【解析】（1）如图：连接AD∵∠ACB＝90°，∴AD是直径∴AD＝10在Rt△ACD中，CD 6（2）如图：过点O作OF⊥CD，垂足为F∵OF⊥CD∴CF＝DF＝3，且AO＝DO∴OF AC＝4在Rt△OFE中，EF2∵BE＝BC﹣CF﹣EF∴BE＝8﹣3﹣25﹣2（3）如图：连接OF，OA，过点O作OE⊥AC于点E，∵BC是⊙O的切线∴OF⊥BC，∴∠BFO＝∠ACB＝90°，OE⊥CE，∴四边形OECF是矩形∴CF＝OE，FO＝CE＝5，∴AE＝AC﹣CE＝3在Rt△AEO中，OE4，∴CF＝4故答案为：417．（2019秋•东台市期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）连接CE，若CE＝6，AC＝8，求出⊙O的直径的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA＝∠CAO＝∠DAC，即可得出答案；（2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE＝BC＝6，根据勾股定理求出AB即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）解：∵∠CAD＝∠CAO，∴，∴CE＝BC＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB10，即⊙O直径的长是10．18．（2019秋•锡山区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC＝3AE，求的值．【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE＝2AE，CE＝4AE，然后在RT△BEC中可求的值．【解答】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，AC＝3AE，∴AB＝3AE，CE＝4AE，∴BE2AE，在RT△BEC中，．19．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC，PB，求得AP【解析】（1）连接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∴PE是⊙O的切线；（2）∵PB：PC＝1：2，∴设PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（）2+（2x）2＝（x）2，∴x，∴PC，PB，∴AP，20．（2018秋•邳州市期中）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC 交⊙O于点B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD＝∠CDA．（1）AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？（2）若OB＝3，BD，求线段AC的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠B，得到∠ODB＝∠CAD，根据余角的性质得到∠OAC＝90°，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到CA＝CD＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵OA＝OB，∴∠OAD＝∠B，∵∠ODB＝∠ADC，∠CAD＝∠ADC，∴∠ODB＝∠CAD，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∠ODB+∠B＝90°，∴∠CAD+∠OAD＝90°，∴∠OAC＝90°，∴AC与⊙O相切于点A；（2）OA＝OB＝3，BD，在Rt△ODB中，∴，∵∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD＝x，在Rt△OAC中，∴AC2+OA2＝OC2，x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AC＝4．。

切割弦定理证明公式
切割弦定理（也称为切线割弦定理）是一种用于计算圆的切线和割线的长度关系的定理。

其公式为：
AB*AC=AD^2
其中，A为圆心，BC为圆上的弦，D为弦上一点，AD为切线的长度。

证明如下：
假设圆的半径为r，圆心为O，弦BC的中点为M，割线AD与弦BC相交于点P。

根据正弦定理，可以得到：
sin∠BOM = BM/OM = BC/2r
sin∠BOP = BP/OP
sin∠AOD = AD/r
又因为∠BOM和∠BOP是互补角，所以有：sin∠BOP = cos∠BOM
代入上式得：
BP/OP = cos∠BOM
由于∠BOM和∠AOD相似，所以有：
BM/AD = OM/r
代入上式得：
BM = AD*OM/r
又因为M是BC的中点，所以有：
BM = BC/2
联立上述两式得：
AD*OM/r = BC/2
移项得：
AD = BC*OM/2r
将OM替换为OP*sin∠BOP得：AD = BC*OP*sin∠BOP/2r
再将BP/OP替换为cos∠BOM得：AD = BC*cos∠BOM*sin∠BOP/r
因为∠BOM和∠AOD相似，所以有：cos∠BOM = AD/r
代入上式得：
AD^2 = BC*AD*sin∠BOP
即：
AB*AC=AD^2 证毕。

切线长定理公式及证明一、引言在数学中，切线是曲线上的一条特殊直线，它与曲线仅在一个点相切。

切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。

本文将介绍切线长定理的公式及其证明过程。

二、切线长定理公式设直径为d的圆上的一条切线与半径的交点距离圆心的距离为x，则切线的长度L可以由以下公式表示：L = 2√(xd)三、切线长定理的证明为了证明切线长定理，我们首先需要了解一些基本的几何概念和性质。

1. 切线的定义与性质：在圆上的一点的切线是与该点相切且仅与该点相切的直线。

切线与半径垂直。

2. 平行四边形的性质：对于平行四边形，对角线互相平分。

现在开始证明切线长定理。

证明：设O为圆心，A为圆上的一点，C为切点，OB为半径，CD为切线。

由于切线与半径垂直，所以∠CDO为直角。

由平行四边形的性质可知，OD平分BC，即BO=OC。

设切点到圆心的距离为x，则BD=2x。

根据勾股定理，可以得到：BC^2 = BO^2 + OC^2(2x)^2 = x^2 + d^24x^2 = x^2 + d^23x^2 = d^2x^2 = d^2/3x = √(d^2/3)x = d/√3再根据切线长公式可以得到：L = 2√(xd)L = 2√(d * d/√3)L = 2√(d^2/√3)L = 2 * d/√3L = (2√3/3) * d切线长定理得到证明。

四、应用举例切线长定理在几何问题的解决中有很多应用，我们来看一个例子。

例：已知圆的直径为10 cm，求切线的长度。

解：根据切线长定理，可以直接套用公式，得到：L = (2√3/3) * dL = (2√3/3) * 10L ≈ 11.54 cm所以，切线的长度约为11.54 cm。

五、总结切线长定理是描述切线与半径的关系的重要定理，它可以帮助我们计算切线的长度。

通过证明过程，我们可以看到切线长定理的推导过程是基于几何性质和勾股定理的。

切线长定理在解决几何问题中有广泛的应用，可以帮助我们快速计算切线的长度。