[全]中考数学与圆的切线相关的证明与计算

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

2020年中考数学一轮专项复习——圆中与切线有关的证明、计算基础过关1. (2018湘西州)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定2．(2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为()A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条3．(2019杭州)如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，若P A＝3，则PB＝()A. 2B. 3C. 4D. 5第3题图4．(2019重庆A卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为()A．40°B．50°C．80°D．100°第4题图5．(2019舟山)如图，已知⊙O上三点A、B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为()第5题图A. 2B. 3C. 2D. 1 26．(2019娄底)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第6题图7．(2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第7题图8．(2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()第8题图A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 39．(2019宿迁)直角三角形的两条直角边分别为5和12，则它的内切圆半径为________．10．如图，P A是⊙O的切线，A为切点，连接PO交⊙O于点B，P A＝4，PB＝2，则sin∠APO＝________．第10题图11．(2019包头)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．第11题图12．(2020原创)如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA.连接OC，过点A作AD⊥OC 于点E，交⊙O于点D，连接DB.(1)求证：△ACE≌△BAD；(2)连接CB交⊙O于点M，交AD于点N.若AD＝4，求MN的长．第12题图13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于点D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC.第13题图能力提升1．(2019绵阳模拟)如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是()A. 圆形铁片的半径是4 cmB. 四边形AOBC为正方形C. 弧AB的长度为4π cmD. 扇形OAB的面积为4π cm2第1题图2．(2019安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cos C＝55，求AE的长．第2题图满分冲关1．(2019玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M、N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值与最大值之和是()A. 5B. 6C. 7D. 8第1题图2．如图，直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是________．第2题图参考答案基础过关1．B 【解析】根据圆心到直线的距离等于半径，则圆与直线相切，可知直线l 与⊙O 相切． 2．C 【解析】∵⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，∴点P 在圆外．过圆外一点可以作两条直线和圆相切．3．B 【解析】∵P 为⊙O 外一点，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∴根据切线长定理知，PB ＝P A ＝3.4．C 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ABD ＝40°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝80°.5．B 【解析】 如解图，连接OA ，则∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1×tan60°＝ 3.第5题解图6．A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边△ABC 的内切圆，∴D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD ＝30°.∴tan ∠OAD＝OD AD .∴tan30°＝OD 3，解得OD ＝1.第6题解图7．A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC 、CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是⊙O 的内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝180°－∠OCM ＝∠OMC ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第7题解图8．A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD ，在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠AOD ＝60°，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan30°＝6×33＝2 3. 9．2 【解析】∵两条直角边的长分别为5和12，由勾股定理可知，斜边长＝52＋122＝13，∴它的内切圆的半径＝5＋12－132＝2.10.35 【解析】∵P A 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°，∵在Rt △OAP 中，P A ＝4，PB ＝2，设半径为r ，∴OA ＝OB ＝r ，OP ＝r ＋2.在Rt △OAP 中，由勾股定理得(r ＋2)2＝r 2＋42，解得r ＝3，∴OP ＝3＋2＝5，OA ＝3，∴sin ∠APO ＝OA OP ＝35.11．26 【解析】如解图，连接CD ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DCB ＝90°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∠CAB ＝∠DCB ＝90°，∴△CAB ∽△DCB .∴BC AB ＝BD CB，即BC ＝BD ·AB ＝2 6.第11题解图12．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AD ⊥OC ， ∴∠AEC ＝90°， ∴∠ADB ＝∠AEC ， ∵CA 是⊙O 的切线， ∴∠CAO ＝90°，∴∠CAE ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠ACE ＝90°， ∴∠ACE ＝∠BAD ， 在△ACE 和△BAD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠BDA ∠ACE ＝∠BAD CA ＝AB， ∴△ACE ≌△BAD (AAS)； (2)解：如解图，连接AM ，第12题解图∵AD ⊥OC ，AD ＝4， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝2，∵△ACE ≌△BAD ，∴AE ＝BD ＝2，CE ＝AD ＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝25， 在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝210. ∵∠CEN ＝∠BDN ＝90°，∠CNE ＝∠BND ， ∴△CEN ∽△BDN ， ∴CN BN ＝CEBD＝2. ∴BN ＝13BC ＝2103，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AMB ＝90°，即AM ⊥CB ， ∵CA ＝BA ，∠CAB ＝90°， ∴BM ＝12BC ＝10，∴MN ＝BM －BN ＝103. 13．证明：(1)如解图，连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. ∴∠ECD ＝90°. ∵点F 为DE 的中点， ∴EF ＝CF . ∴∠FCE ＝∠FEC . ∵∠AEO ＝∠FEC ， ∴∠FCE ＝∠AEO . ∵OA ＝OC ， ∴∠OCA ＝∠A . ∵OD ⊥AB ， ∴∠A ＋∠AEO ＝90°. ∴∠OCA ＋∠FCE ＝90°， 即∠FCO ＝90°. ∴OC ⊥CF .∵OC 是⊙O 的半径， ∴CF 是⊙O 的切线；第13题解图(2)∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵OD ⊥AB ，∴∠BOD ＝90°.∴∠DOC ＝45°.∵∠FCO ＝90°，∴∠CFO ＝45°.∴∠CFO ＝∠DOC .∴CF ＝CO .∵CF ＝EF ＝DF ，∴DE ＝2CF .∴AB ＝2OC ＝DE .∵∠A ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠D ，在△ABC 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D∠ACB ＝∠DCE ＝90°AB ＝DE，∴△ABC ≌△DEC (AAS)．∴AC ＝DC .能力提升1．C 【解析】∵CA 、CB 分别与⊙O 相切，∴∠OBC ＝∠OAC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴四边形AOBC 是矩形，∵OA ＝OB ，∴四边形AOBC 是正方形，∵AC ＝4 cm ，∴OB ＝4 cm ，即圆形铁片的半径是4 cm ，∴弧AB 的长为90π×4180＝2π cm ，扇形OAB 的面积为90π×42360＝4π cm 2，综上所述，说法错误的是C . 2．(1)解：DH 与⊙O 相切．理由如下：如解图，连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DH ⊥AC ，∴OD ⊥DH ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DH 与⊙O 相切；第2题解图 (2)证明：如解图，连接DE ，∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠AED ＝180°，∵∠DEC ＋∠AED ＝180°，∴∠DEC ＝∠B ，∵∠B ＝∠C ，∴∠DEC ＝∠C ，∴DE ＝DC ，∵DH ⊥EC ，∴点H 为CE 的中点；(3)解：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴DC ＝12BC ＝12×10＝5，∵在Rt △ADC 中，cos C ＝DC AC ＝55，∴AC ＝55，∵在Rt △DHC 中，cos C ＝HC CD ＝55，∴HC ＝5，∵点H 为CE 的中点，∴CE ＝2CH ＝25，∴AE ＝AC －EC ＝3 5.满分冲关1．B 【解析】如解图，在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠C ＝90°，∴AB ＝5，∵点O 是AB 的三等分点，∴AO ＝53，设半圆O 与AC 相切于点D ，交AB 于点E 、F ，则OD ⊥AD ，∴△ADO ∽△ACB ，∴DO CB ＝AO AB ，即DO 3＝13，∴DO ＝EO ＝1.当N 在点E 处，M 在点B 处时MN 最大，最大值为BE ＝BO ＋OE ＝103＋1；过点O 作OM ⊥BC 于M ，交半圆O 于点N ，则此时MN 最小，∵△BOM ∽△BAC ，∴OM AC ＝OB AB ＝23，∴OM ＝83，∴MN 的最小值为OM －ON ＝83－1，∴最大值与最小值的和为103＋1＋83－1＝6.第1题解图2．(－73，0)或(－173，0) 【解析】如解图①，当点P 在直线AB 上方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，∵直线y ＝－34x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴A (－4，0)，B (0，－3)．∴AB ＝5.在△APC 与△ABO 中，∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△ABO ∽△APC .∴CP OB＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO －AP ＝4－53＝73.∴P 点的坐标为(－73，0)；如解图②，当点P 在AB 下方且⊙P 与直线AB 相切时，设切点为C ，连接PC ，则PC ⊥AB ，在△ABO 与△APC 中，∵∠AOB ＝90°，∠ACP ＝90°，∠P AC ＝∠OAB ，∴△APC ∽△ABO .∴CP OB ＝AP AB .∴13＝AP 5.∴AP ＝53.∴OP ＝AO ＋AP ＝4＋53＝173.∴P 点的坐标为(－173，0)综上的述点P 的坐标是(－73，0)或(－173，0)．第2题解图。

中考压轴题圆的切线证明与计算(中考真题)1.(24年湖北中考)Rt ABC 中,90ACB ︒∠=,点O 在AC 上,以OC 为半径的圆交AB 于点D ,交AC 于点E .(1)求证:AB 是O 的切线。

(2)连接OB 交O 于点F ,若1AD AE ==,求弧CF 的长.2.(24年成都中考)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.3.(24年浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD<AC,ADC BAD∠<∠,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连结EF,使AFE ADC∠=∠.(1)若60O∠的度数.∠=,CD为直径,求ABDAFE(2)求证:①EF∥BC ②EF=BD.4.(24年辽宁中考)如图,O是ABC的外接圆,AB是O的直径,点D在BC上,AC BD=,E ∠=∠．在BA的延长线上,CEA CAD(1)如图1,求证:CE是O的切线OA=,求BD的长．(2)如图2,若2CEA DAB∠=∠,85.(24年安徽中考)如图,O 是ABC ∆的外接圆,D 是直径AB 上一点,ACD ∠的平分线交AB 于点E ,交O 于另一点,.F FA FE =(1)求证:;CD AB ⊥(2)设FM AB ⊥,垂足为M ,若1OM OE ==,求AC 的长.6.(24年新疆中考)如图,在O 中,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点E,AD BD =.(1)求证：△ACD ∽△ECB.(2)若AC=3,BC=1,求CE 的长.7.(24年江西中考)如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是弦AC 延长线上一点,连接BD BC ，,60D ABC ∠=∠=︒．(1)求证:BD 是半圆O 的切线.(2)当3BC =时,求AC 的长．8.(24年呼伦贝尔中考)如图,在ABC 中,以AB 为直径的O 交BC 于点,D DE AC ⊥,垂足为E ． O 的两条弦,FB FD 相交于点,F DAE BFD ∠∠=．(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若30,C CD ∠=︒=,求扇形OBD 的面积．9.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =, O 是ABC 的外接圆,点D 在O 上(AD BD >),连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】(1)如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】(2)如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】(3)若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．(用含α的式子表示)10.(24年赤峰中考)如图,ABC中,90ACB∠=︒,AC BC=,O经过B,C两点,与斜边AB交于点E,连接CO并延长交AB于点M,交O于点D,过点E作EF CD∥,交AC于点F．(1)求证:EF是O的切线;(2)若BM=,1tan2BCD∠=,求OM的长．11.(24年绥化中考)如图1,O是正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OC长为半径的O 与AD相切于点E,与AC相交于点F．(1)求证:AB与O相切．(2)若正方形ABCD1,求O的半径．(3)如图2,在(2)的条件下,若点M是半径OC上的一个动点,过点M作MN OC⊥交CE于点N．当:1:4CM FM=时,求CN的长．12.(24年河北中考)已知O的半径为3,弦MN=ABC中.∠=︒==在平面上,先将ABC和O按图1位置摆放(点B与点N重90,3,ABC AB BC合,点A在O上,点C在O内),随后移动ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在O上=．随之移动,设BN x(1)当点B与点N重合时,求劣弧AN的长.(2)当OA MN∥时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.(3)设点O到BC的距离为d．①当点A在劣弧MN上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值.①直接写出d的最小值．13.(24年滨州中考)【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题: 如图,在锐角ABC 中,探究sin a A ,sin b B ,sin c C之间的关系．(提示:分别作AB 和BC 边上的高．)【得出结论】sin sin sin a b c A B C==． 【基础应用】在ABC 中,75B ∠=︒,45C ∠=︒,2BC =,利用以上结论求AB 的长;【推广证明】进一步研究发现,sin sin sin a b c A B C==不仅在锐角三角形中成立,在任意三角形中均成立,并且还满足2sin sin sin a b c R A B C===(R 为ABC 外接圆的半径)． 请利用图1证明:2sin sin sin a b c R A B C ===．【拓展应用】如图2,四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,4CD =,90B C ∠=∠=︒．求过A,B,D 三点的圆的半径．14.(24年苏州中考)如图,ABC 中,AB =为AB 中点,BAC BCD ∠=∠cos ADC ∠=. O 是ACD 的外接圆．(1)求BC 的长(2)求O 的半径．15.(24年乐山中考)如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径,过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D,点E 为CB 上一点,且AC CE =．(1)求证:DC AE ∥;(2)若EF 垂直平分OB ,3DA =,求阴影部分的面积．16.(24年武汉中考)如图,ABC ∆为等腰三角形,O 是底边BC 的中点,腰AC 与半圆O 相切于点D ,底边BC 与半圆O 交于E ,F 两点．(1)求证:AB 与半圆O 相切(2)连接OA ．若4CD =,2CF =,求sin OAC ∠的值．17.(24年甘肃武威中考)如图,AB 是O 的直径,BC BD =,点E 在AD 的延长线上,且ADC AEB ∠=∠．(1)求证:BE 是O 的切线;(2)当O 的半径为2,3BC =时,求tan AEB ∠的值．18.(24年深圳中考)如图,在ABD △中,AB BD =,O 为ABD △的外接圆,BE 为O 的切线,AC 为O 的直径,连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证:DE BE ⊥(2)若AB =5BE =,求O 的半径．19.(24年盐城中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,过点C 作O 的切线l,过点A 作AD l ⊥,垂足为D,连接AC BC 、．(1)求证:ABC ACD △△∽;(2)若5AC =,4CD =,求O 的半径．20.(24年广西中考)如图,已知O 是ABC ∆的外接圆,AB AC =．点D,E 分别是BC ,AC 的中点,连接DE 并延长至点F,使DE EF =,连接AF ．(1)求证:四边形ABDF 是平行四边形(2)求证:AF 与O 相切(3)若3tan 4BAC ∠=,12BC =,求O 的半径． 21.(24年四川广安中考)如图,点C 在以AB 为直径的O 上,点D 在BA 的延长线上,DCA CBA ∠=∠．(1)求证:DC 是O 的切线;(2)点G 是半径OB 上的点,过点G 作OB 的垂线与BC 交于点F ,与DC 的延长线交于点E ,若4sin 5D =,2DA FG ==,求CE 的长．22.(24年四川南充中考)如图,在O 中,AB 是直径,AE 是弦,点F 是AE 上一点,AF BE =,,AE BF 交于点C,点D 为BF 延长线上一点,且CAD CDA ∠=∠．(1)求证:AD 是O 的切线．(2)若4,BE AD ==求O 的半径长．23.(24年四川泸州中考)如图,ABC ∆是O 的内接三角形,AB 是O 的直径,过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D,点E 在O 上,AC CE =,CE 交AB 于点F ．(1)求证:CAE D ∠=∠;(2)过点C 作CG AB ⊥于点G,若3OA =,BD =求FG 的长．24.(24年四川德阳中考)已知O 的半径为5,B C 、是O 上两定点,点A 是O 上一动点,且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明:点D 为BC 上一定点;(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系,并说明理由;①若ABC 为锐角三角形,求DF 的取值范围．25.(24年四川宜宾中考)如图,ABC 内接于O ,10AB AC ==,过点A 作AE BC ∥,交O 的直径BD 的延长线于点E,连接CD ．(1)求证:AE 是O 的切线;(2)若1tan 2ABE ∠=,求CD 和DE 的长．26.(24年内蒙古通辽中考)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆与AB 相切于点D ,连接CD ．(1)求证:2ABC ACD ∠=∠;(2)若8AC =,6BC =,求O 的半径．27.(24年四川达州中考)如图,BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ,且AB AC =,以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．(1)求证:AF 是O 的切线;(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =,求cos ABC ∠的值．28.(24年四川遂宁中考)如图,AB 是O 的直径,AC 是一条弦,点D 是AC 的中点,DN AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,连结DB 交AC 于点G ．(1)求证:AF DF =;(2)延长GD 至点M ,使DM DG =,连接AM ．①求证:AM 是O 的切线;①若6DG =,5DF =,求O 的半径．29.(24年包头中考)如图,AB 是O 的直径,,BC BD 是O 的两条弦,点C 与点D 在AB 的两侧,E 是OB 上一点(OE BE >),连接,OC CE ,且2BOC BCE ∠=∠．(1)如图1,若1BE =,CE =求O 的半径;(2)如图2,若2BD OE =,求证:BD OC ∥．(请用两种证法解答)30.(24年四川自贡中考)在Rt ABC △中,90C ∠=︒,O 是ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F ．(1)图1中三组相等的线段分别是CE CF =,AF =________,BD =________;若3AC =,4BC =,则O 半径长为________;(2)如图2,延长AC 到点M,使AM AB =,过点M 作MN AB ⊥于点N ．求证:MN 是O 的切线．31.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,60DAB ∠=︒,22AB BC AD ===． 以点A 为圆心,以AD 为半径作DE 交AB 于点E ,以点B 为圆心,以BE 为半径作EF 所交BC 于点F ,连接FD 交EF 于另一点G ,连接CG ．(1)求证：CG 为EF 所在圆的切线(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)32.(24年青海中考) 如图,直线AB经过点C,且OA OB=．=,CA CB(1)求证:直线AB是O的切线;(2)若圆的半径为4,30∠=︒,求阴影部分的面积．B中考压轴题圆的切线证明与计算答案1.(24年湖北中考)【答案】(1)略 (2)弧CF 的长为3π2.(24年成都中考)【答案】(1)略(2)CF =;O 的直径为3.(24年浙江中考)【答案】(1)30o (2)证明略4.(24年辽宁中考)【答案】(1)见详解 (2)2π5.(24年安徽中考)【答案】(1)略 (2).6.(24年新疆中考)【答案】(1) 略 (2)CE =.7.(24年江西中考)【答案】(1)见解析 (2)2π8.(24年呼伦贝尔中考)【答案】(1)略 (2)43π 9.(24年扬州中考)【答案】(1)AD BD CD -=.(2)AD BD CD -=(3)当D 在BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+10.(24年赤峰中考)【答案】(1)略 (2)OM =11.(24年绥化中考)【答案】(1)证明略 (2)12.(24年河北中考)【答案】(1)π (2)点B 到OA 的距离为2;3 (3)①3d =2313.(24年滨州中考)【答案】教材呈现:见解析;基础应用:AB =;推广证明:见解析;拓展应用:6R =．14.(24年苏州中考)【答案】(1)4BC = (2)O 的半径为715.(24年乐山中考)【答案】(1)略 (2)3π-16.(24年武汉中考)【答案】(1)略 (2)4517.(24年甘肃武威中考)【答案】(1)略 (2)tan 3AEB ∠=18.(24年深圳中考)【答案】(1)略 (2)19.(24年盐城中考)【答案】(1)略 (2)25620.(24年广西中考)【答案】(1)略 (2)略 (3)1021.(24年四川广安中考)【答案】(1)略 (2)1422.(24年四川南充中考)【答案】(1)略 (2)23.(24年四川泸州中考)【答案】(1)证明略 (2)45 24.(24年四川德阳中考)【答案】(1)证明略(2)①DF 与O 相切,理由见解析;①DF 的取值范围为2DF <<25.(24年四川宜宾中考)【答案】(1)略 (2)CD =DE =． 26.(24年内蒙古通辽中考)【答案】(1)证明略 (2)327.(24年四川达州中考)【答案】(1)证明略 28.(24年四川遂宁中考)【答案】(1)证明略 (2)①证明略,①O 的半径为203． 29.(24年包头中考)【答案】(1)3 (2)略30.(24年四川自贡中考)【答案】(1)AD ;BE ;1 (2)略31.(24年山东枣庄中考)【答案】(1)略 3π32.(24年青海中考) 【答案】(1)详见解析 (2) 83S π=阴影。

涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。

纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

4.外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

内心是三角形三个角的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1.点和圆的位置关系①点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径②点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径③点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么d<；①直线l和⊙O相交⇔rd=；②直线l和⊙O相切⇔rd>。

1. 已知切线 例2 (2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． 【分析】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明 ∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质 可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，于是可得到DE⊥AC； (2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角 形的面积得出答案．
8. (2020·北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点， CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F. (1)求证：∠ADC＝∠AOF；
(2)若 sin C＝13 ，BD＝8，求 EF 的长．
(1)证明：连接OD，如解图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD，∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴ ∠ CDO ＝ 90° ， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD， 交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED； (2)若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED；
3. (2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的 外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F， ∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)求证：AD＝ID； (3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．

BE EF
∴ 2 6 , 6
2 EF
∴EF= 6.
考点二 与四边形有关的证明和计算 【示范题2】
(2020·桂林中考)如图,将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一 平面内,其中∠CAB=30°,∠DAB=45°,点O为斜边AB的中点,连接CD交AB于点E. (1)求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上; (2)求证:CD平分∠ACB; (3)过点D作DF∥BC交AB于点F,求证:BO2+OF2=EF·BF.
∴△ABE∽△DEF, ∴ DF ,DE
AE AB
∴ 2 , x
x 2x
即得:x=2 2,
即DE=22 .
4.(2020·北京顺义区一模)如图,在▱ABCD中,∠B=45°,点C恰好在以AB为直径 的☉O上. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)连接BD,若AB=8,求BD的长.
【解析】(1)连接OC. ∵OB=OC,∠B=45°, ∴∠BCO=∠B=45°. ∴∠BOC=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC. ∴∠OCD=∠BOC=90°, ∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线.
专题四 圆的证明与计算
与切线有关的证明和计算的考查,一般作为几何压轴题出现,常利用圆的知 识,与方程、函数、三角形、四边形、解直角三角形等结合在一起考查.
考点一 与三角形有关的证明和计算 【示范题1】(2020·咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA 为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F. (1)求证:BF=DF; (2)若AC=4,BC=3,CF=1,求半圆O的半径长.
2
(2)连接OF,OB,如图2, ∵AB是切线,∴∠OBF=90°, ∵BF=3 3,OB=3, ∴tan∠BOF= BF , 3

题型专项(八)与切线有关的证明与计算类型1与全等三角形有关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.求证：(1)△ACO≌△BDO；(2)CE＝DF.证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，∴∠A＝∠B＝90°.又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO.(2)∵△ACO≌△BDO，∴OC＝OD.又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.又∵OM⊥EF，点O是圆心，∴EM＝FM.∴CM－EM＝DM－FM.∴CE＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.∵CD是⊙O的切线，CO是半径，∴CD⊥CO.∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.∴∠DCQ＝∠Q.故△CDQ是等腰三角形．(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3.∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ＝CB＝ 3.∴AQ ＝AC ＋CQ ＝1＋ 3. ∴AP ＝12AQ ＝1＋32.∴BP ＝AB －AP ＝3－32.∴PO ＝AP －AO ＝3－12. ∴BP ∶PO ＝ 3.3．(2016·柳州)如图，AB 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，点P 是线段CA 的延长线上一点，点E 在弧上且满足PE 2＝PA ·PC ，连接CE ，AE ，OE 交CA 于点D. (1)求证：△PAE ∽△PEC ； (2)求证：PE 为⊙O 的切线；(3)若∠B ＝30°，AP ＝12AC ，求证：DO ＝DP.证明：(1)∵PE 2＝PA·PC ， ∴PE PC ＝PA PE. 又∵∠APE ＝∠EPC ，∴△PAE ∽△PEC.(2)∵△PAE ∽△PEC ，∴∠PEA ＝∠PCE. ∵∠PCE ＝12∠AOE ，∴∠PEA ＝12∠AOE.∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA.∵∠AOE ＋∠OEA ＋∠OAE ＝180°， ∴∠AOE ＋2∠OEA ＝180°， 即2∠PEA ＋2∠OEA ＝180°. ∴∠PEA ＋∠OEA ＝90°. ∴PE 为⊙O 的切线．(3)设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r.∵∠B ＝30°，∠PCB ＝90°，∴AC ＝r ，BC ＝3r. 过点O 作OF ⊥AC 于点F ， ∴OF ＝32r.∵AP ＝12AC ， ∴AP ＝r 2.∵PE 2＝PA·PC ，∴PE ＝32r.在△ODF 与△PDE 中，⎩⎨⎧∠ODF ＝∠PDE ，∠OFD ＝∠PED ，OF ＝PE ，∴△ODF ≌△PDE.∴DO ＝DP. 类型2 与相似三角形有关4．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，在D 为AB 上一点，以CD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，连接AE 交CD 于点P ，交⊙O 于点F ，连接DF ，∠CAE ＝∠ADF. (1)判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若PF ∶PC ＝1∶2，AF ＝5，求CP 的长．解：(1)AB 是⊙O 切线． 理由：∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠CEA ＝90°.∵∠CAE ＝∠ADF ，∠CDF ＝∠CEA ，∴∠ADF ＋∠CDF ＝90°. ∴AB 是⊙O 切线． (2)连接CF.∵∠ADF ＋∠CDF ＝90°，∠PCF ＋∠CDF ＝90°， ∴∠ADF ＝∠PCF. ∴∠PCF ＝∠PAC. 又∵∠CPF ＝∠APC ， ∴△PCF ∽△PAC.∴PC PA ＝PFPC .∴PC 2＝PF·PA.设PF ＝a ，则PC ＝2a. ∴4a 2＝a(a ＋5)． ∴a ＝53.∴PC ＝2a ＝103.5．(2015·北海)如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，弦AE ∥CD ，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED ＝∠C. (1)求证：PE 是⊙O 的切线； (2)求证：ED 平分∠BEP ；(3)若⊙O 的半径为5，CF ＝2EF ，求PD 的长．解：(1)证明：连接OE. ∵CD 是圆O 的直径， ∴∠CED ＝90°. ∵OC ＝OE ， ∴∠C ＝∠OEC. 又∵∠PED ＝∠C ，∴∠PED ＝∠OEC.∴∠PED ＋∠OED ＝∠OEC ＋∠OED ＝90°，即∠OEP ＝90°. ∴OE ⊥EP.又∵点E 在圆上，∴PE 是⊙O 的切线．(2)证明：∵AB ，CD 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝∠CED ＝90°.∴∠AEC ＝∠DEB(同角的余角相等)． 又∵∠PED ＝∠C ，AE ∥CD ， ∴∠PED ＝∠DEB ， 即ED 平分∠BEP.(3)设EF ＝x ，则CF ＝2x. ∵⊙O 的半径为5，∴OF ＝2x －5.在Rt △OEF 中，OE 2＝EF 2＋OF 2，即52＝x 2＋(2x －5)2，解得x ＝4， ∴EF ＝4.∴BE ＝2EF ＝8，CF ＝2EF ＝8. ∴DF ＝CD －CF ＝10－8＝2. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°. ∵AB ＝10，BE ＝8，∴AE ＝6.∵∠BEP ＝∠A ，∠EFP ＝∠AEB ＝90°， ∴△EFP ∽△AEB. ∴PF BE ＝EF AE ，即PF 8＝46. ∴PF ＝163. ∴PD ＝PF －DF ＝163－2＝103.6．(2014·桂林)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ，AD 为⊙O 的直径，过点C 作CG ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ，交⊙O 于点G. (1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG 2＝AF·AB ；(3)若⊙O 的直径为10，AC ＝25，AB ＝45，求△AFG 的面积．解：(1)PA 与⊙O 相切． 理由：连接CD.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠D ＋∠CAD ＝90°. ∵∠B ＝∠D ，∠PAC ＝∠B ，∴∠PAC ＝∠D.∴∠PAC ＋∠CAD ＝90°，即DA ⊥PA. ∵点A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切． (2)证明：连接BG .∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ， ∴AC ︵＝AG ︵.∴∠AGF ＝∠ABG . ∵∠GAF ＝∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG . ∴AG ∶AB ＝AF ∶AG .∴AG 2＝AF·AB. (3)连接BD.∵AD 是直径，∴∠ABD ＝90°.∵AG 2＝AF·AB ，AG ＝AC ＝25，AB ＝45， ∴AF ＝AG 2AB＝ 5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF ＝∠ABD ＝90°. ∵∠EAF ＝∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AB ＝AF AD ，即AE 45＝510，解得AE ＝2. ∴EF ＝AF 2－AE 2＝1. ∵EG ＝AG 2－AE 2＝4， ∴FG ＝EG －EF ＝4－1＝3. ∴S △AFG ＝12FG·AE ＝12×3×2＝3.类型3 与锐角三角函数有关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O 是以BC 为直径的△ABC 的外接圆，OP ∥AC ，且与BC 的垂线交于点P ，OP 交AB 于点D ，BC ，PA 的延长线交于点E. (1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)若sin ∠E ＝35，PA ＝6，求AC 的长．解：(1)证明：连接OA.∵AC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OAC ，∠BOP ＝∠OCA. ∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠AOP ＝∠BOP. 又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴△AOP ≌△BOP.∴∠OAP ＝∠OBP.∵BP ⊥CB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∴OA ⊥PA. ∴PA 是⊙O 的切线．(2)∵PB ⊥CB ，∴PB 是⊙O 的切线． 又∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ＝6.又∵sin E ＝PB EP ＝AO EO ＝35，∴AO ＝3.在Rt △OPB 中，OP ＝62＋32＝3 5. ∵BC 为⊙O 直径，∴∠CAB ＝90°.∴∠CAB ＝∠OBP ＝90°，∠OCA ＝∠BOP. ∴△ACB ∽△BOP.∴AC BO ＝CBOP .∴AC ＝CB·BO OP ＝1835＝655.8．(2015·来宾)已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，BD ，BD 交AC 于点F.(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2)延长AC 到点P ，使PF ＝PB ，求证：PB 是⊙O 的切线； (3)如果AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求AD.解：(1)证明：∵OD ∥BC ， ∴∠ODB ＝∠CBD. ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝∠ODB. ∴∠CBD ＝∠OBD. ∴BD 平分∠ABC.(2)证明：∵⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆， ∴∠ACB ＝90°.∴∠CFB ＋∠CBF ＝90°. ∵PF ＝PB ，∴∠PBF ＝∠CFB. 由(1)知∠OBD ＝∠CBF ，∴∠PBF ＋∠OBD ＝90°.∴∠OBP ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(3)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10， ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝BC 10＝35.∴BC ＝6，AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵OD ∥BC ，∴△AOE ∽△ABC ，∠AED ＝∠OEC ＝180°－∠ACB ＝90°. ∴AE AC ＝OE BC ＝AO AB ，AE 8＝OE 6＝510. ∴AE ＝4，OE ＝3. ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.∴AD ＝AE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连接OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于点D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并加以证明； (3)求sin ∠OPA 的值．解：(1)证明：连接OB. ∵BC ∥OP ，OB ＝OC ， ∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB ，∠BCO ＝∠CBO.∴∠POA ＝∠POB.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ， ∴△POB ≌△POA.∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°. ∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC.(写PO ＝32BC 亦可)证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA. ∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO. ∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)∵CB ∥OP ，∴△DBC ∽△DPO.∴DC DO ＝BD PD ＝23，即DC ＝23OD. ∴OC ＝13OD.∴DC ＝2OC.设OA ＝x ，PA ＝y.则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理得(3x)2＝x 2＋(2y)2，即2x 2＝y 2. ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x. ∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.类型4 与特殊四边形有关10．(2016·玉林)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，分别交OA 延长线与OC 延长线于点E ，F ，连接BF.(1)求证：BF 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径为1，求EF 的长． 解：(1)证明：连接OD. ∵EF 为⊙O 的切线，∴∠ODF ＝90°.∵四边形AOCD 为平行四边形， ∴AO ＝DC ，AO ∥DC. 又∵DO ＝OC ＝OA ， ∴DO ＝OC ＝DC.∴△DOC 为等边三角形． ∴∠DOC ＝∠ODC ＝60°. ∵DC ∥AO ，∴∠AOD ＝∠ODC ＝60°.∴∠BOF ＝180°－∠COD －∠AOD ＝60°. 在△DOF 和△BCF 中，⎩⎨⎧DO ＝BO ，∠DOF ＝∠BOF ，OF ＝OF ，∴△DOF ≌△BOF.∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°. ∴BF 是⊙O 的切线．(2)∵∠DOF ＝60°，∠ODF ＝90°， ∴∠OFD ＝30°.∵∠BOF ＝60°，∠BOF ＝∠CFD ＋∠E ，∴∠E＝∠OFD＝30°.∴OF＝OE.又∵OD⊥EF，∴DE＝DF.在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.∴OF＝2OD.∴DF＝OF2－OD2＝22－12＝ 3.∴EF＝2DF＝2 3.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切线．(2)过点O作OF⊥AC于点F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝OA2－AF2＝52－32＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．(1)如图1，求⊙O的半径；(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.解：(1)连接OD ，OC.∵PC ，PD 是⊙O 的两条切线，C ，D 为切点， ∴∠ODP ＝∠OCP ＝90°.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形， ∴∠DOC ＝90°，OD ＝OC. ∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝4，∠ODC ＝∠OCD ＝45°， ∴DO ＝CO ＝DC·sin 45°＝4×22＝2 2. (2)连接EO ，OP.∵点E 是BC 的中点，∴OE ⊥BC ，∠OCE ＝45°， 则∠EOP ＝90°.∴EO ＝EC ＝2，OP ＝2CO ＝4.∴PE ＝OE 2＋OP 2＝2 5.(3)证明：在AB 上截取BF ＝BM.∵AB ＝BC ，BF ＝BM ，∴AF ＝MC ，∠BFM ＝∠BMF ＝45°.∵∠AMN ＝90°，∴∠AMF ＋∠NMC ＝45°，∠FAM ＋∠AMF ＝45°. ∴∠FAM ＝∠NMC.∵由(1)得PD ＝PC ，∠DPC ＝90°，∴∠DCP ＝45°.∴∠MCN ＝135°.∵∠AFM ＝180°－∠BFM ＝135°，在△AFM 和△MCN 中，⎩⎨⎧∠FAM ＝∠CMN ，AF ＝MC ，∠AFM ＝∠MCN ，精品文档∴△AFM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.精品文档。

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

圆的相关证明与计算-中考数学重难点题型与切线有关的证明与计算（专题训练）1.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．【答案】（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据BE BC =，可得BEC BCE ∠=∠，根据对顶角相等可得AED BEC ∠=∠，进而可得BCE AED ∠=∠，根据AD AC =，可得ADC ACE ∠=∠，结合90ACB ∠=︒，根据角度的转化可得90AED D ∠+∠=︒，进而即可证明AD 是O 的切线；（2）根据ADC ACE ∠=∠，可得1tan tan 3EA D ACE DA ==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，分别求得,,AC AB BC ，进而根据勾股定理列出方程解方程可得x ，进而根据6BC x =+即可求得．【详解】（1） BE BC =，∴BEC BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，∴BCE AED ∠=∠，AD AC =，∴ADC ACE ∠=∠，AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，90D AED ACD BCE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴AD 是O 的切线；（2）AD AC = ，∴ADC ACE ∠=∠，1tan tan 3EA D ACE DA ∴==∠=，设AE x =，则3AC AD x ==，3,336OB OA AE OE x BC BE OE OB x x ==+=+==+=++=+，226AB OA x ==+，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()()()2223626x x x ++=+，解得122,0x x ==（舍去），68BC x ∴=+=．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．2.如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）DF =【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出90ABC CBD ∠+∠=︒，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出FBD FDA ~△△，继而运用相似比FB FD FD FA =即可求出DF 的长．【详解】解：（1）证明：∵AD 是O 的直径∴90ABD ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）即90ABC CBD ∠+∠=︒∵AB AC=∴ABC C ∠=∠（等边对等角）∵ AB AB=∴ADB C ∠=∠（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴ABC ADB∠=∠∵//BC DF ，∴CBD FDB∠=∠∴90ADB FDB ∠+∠=︒即90ADF ∠=︒∴AD DF⊥又∵AD 是O 的直径∴DF 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵12AB AC ==，15AF =∴3BF AF AB =-=∵F F ∠=∠，90FBD FDA ∠=∠=∴FBD FDA ~△△（两个角分别相等的两个三角形相似）∴FB FD FD FA=，∴231545FD FB FA =⋅=⨯=∴DF =【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为AB 上一点，BD BC =，过点A 作AE AB ⊥交CD 的延长线于点E，CE 交O 于点G，连接AC，AG，在EA 的延长线上取点F，使2FCA E ∠=∠．（1）求证：CF 是O 的切线；（2）若6AC =，AG ，求O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定ADG DCB ∽，然后结合相似三角形的性质求得2AGD E ∠∠＝，从而可得FCA AGD ∠∠＝，然后结合等腰三角形的性质求得90FCO ∠︒＝，从而判定CF 是O 的切线；（2）由切线长定理可得AF CF ＝，从而可得2FAC E ∠∠＝，得到AC AE ＝，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：B AGC ∠∠ ＝，ADG CDB ∠∠＝，ADG DCB ∴ ∽，BD BC GD GA∴=，BD BC ＝，GD GA ∴＝，ADG DAG ∴∠∠＝，又AE AB ⊥ ，90EAD ∴∠︒＝，90GAE DAG E ADG ∴∠+∠∠+∠︒＝＝，GAE E ∴∠∠＝，AG DG EG ∴＝＝，2AGD E ∠∠＝，2FCA E ∠∠ ＝，FCA AGD B ∴∠∠∠＝＝，AB 是O 的直径，90CAB B ∴∠+∠︒＝，又OA OC Q ＝，ACO CAB ∴∠∠＝，90FCA ACO ∴∠+∠︒＝，90FCO ∴∠︒＝，即CF 是O 的切线；（2） CF 是O 的切线，AE AB ⊥，AF CF ∴＝，2FAC FCA E ∴∠∠∠＝＝，6AC AE ∴＝＝，又AG DG EG ＝＝在Rt ADE △中，2AD ===，设O 的半径为x，则2AB x ＝，22BD BC x＝＝﹣，在Rt ABC △中，2226222x x +（﹣）＝（），解得：5x ＝，O ∴ 的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练4.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥AD 交AD 的延长线于点E，延长EC，AB 交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD 内接于⊙O，得CDE OBC ∠∠＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE ∠︒＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ∠∠＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴180CDA ABC ∠+∠=︒又180CDE CDA ∠+∠=︒∴CDE OBC ∠∠＝，∵CE AD ⊥，∴90E CDE ECD ∠∠∠︒＝＋＝，∵ECD BCF ∠∠＝，∴90OCB BCF ∠∠︒＋＝，∴90OCE ∠︒＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ⊥于G，连接OC，OD，则90OGE ∠︒＝，∵90E OCE ∠∠︒＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x，Rt△CDE 中，31CD DE ＝，＝，∴EC =∴OG =1GD xOD x ＝﹣，＝，由勾股定理得222OD OG DG +：＝，∴222(1)x x =+-，解得： 4.5x ＝，∴⊙O 的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．5.如图， ABC 内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO 的延长线交于点D．（1）求证：直线AD 是⊙O（2）若【答案】（1）见解析；（2）6π-【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD 即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA 并延长交BC 于E，∵AB=AC，△ABC 内接于⊙O，∴AE 所在的直线是△ABC 的对称轴，也是⊙O 的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=12×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线；（2）连接OB，∴△AOD∽△EOC，∴AD OA EC OE =，由（1）可知AO 是ABC ∆的对称轴，OE ∴垂直平分BC ，132CE BC ∴==，设半径为r ，在Rt EOC ∆中，由勾股定理得，OE∴，解得6r =（取正值），经检验6r =是原方程的解，即6OB OC OA ===，又6BC = ，OBC ∴∆是等边三角形，60BOC ∴∠=︒，OE ==BOC BOC S S S ∆∴=-阴影部分扇形2606163602π⨯=-⨯⨯6π=-【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点D 作//DG BC ，DG 交线段AC 于点G，交AB 于点E，交⊙O 于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD 与⊙O 相切；（2）若AE＝OE，CF 平分∠ACB，BD＝12，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图1，延长DB 至H ，证明90ABD ∠=︒，即可根据切线的判定可得BD 与O 相切；（2）如图2，连接OF ，先根据圆周角定理证明OF AB ⊥，再证明EFO EDB △∽△，列比例式可得4OF =，即O 的半径为4，根据勾股定理可得DE 的长．【详解】（1）证明：如图1，延长DB 至H ，，DG BC//∴∠=∠，CBH D，∠=∠A D∴∠=∠，A CBH的直径，Q是OAB∴∠=︒，ACB90∴∠+∠=︒，A ABC90∴∠+∠=︒，90CBH ABC∴∠=︒，90ABD∴AB⊥BD，相切；∴与OBD（2）解：如图2，连接OF，CF平分ACB∠，∴∠=∠，ACF BCF∴=，AF BF∴∠AOF＝∠BOF＝90°，OF AB ∴⊥，BD AB ⊥ ，//OF BD ∴，EFO EDB ∴△∽△，∴OF OE BD BE=，AE OE = ，∴13OE EB =，∴1123OF =，4OF ∴=，4OA OB OF ∴===，246BE OE OB ∴=+=+=，DE ∴=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明EFO EDB △∽△．7.如图，在Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，点O 在CD 上，作⊙O，使⊙O 与AD 相切于点B，⊙O 与CD 交于点E，过点D 作DF∥AC，交AO 的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F 的值．【答案】（1）见详解；（2）12．【分析】（1）由题意，先证明OA 是∠BAC 的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出6AB AC ==，10AD =，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F 的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA 是∠BAC 的角平分线，∵AD 是⊙O 的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC 是⊙O 的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴4BD ==，由切线长定理，则AB=AC，设AB AC x ==，在直角三角形ACD 222AC CD AD +=，即2228(4)x x +=+，解得：6x =，∴6AB AC ==，6410AD =+=，∵∠OAB＝∠F，∴10DF AD ==，∵90FDO ACO ∠=∠=︒，∴51tan 102OD F DF ∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．8.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB 的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．（1）求证：MN 是O 的切线；（2）若O 的直径为5，3sin 5B =，求ED 的长．【答案】（1）见解析；（2）75ED =．【解析】【分析】（1）欲证明MN 为⊙O 的切线，只要证明OM⊥MN．（2）连接,DM CE ，分别求出BD=5，BE=325，根据ED BE BD =-求解即可．【详解】（1）证明：连接OM ，OC OM = ，OCM OMC ∴∠=∠．在Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，12CD AB BD ∴==，DCB DBC ∴∠=∠，OMC DBC ∴∠=∠，//OM BD ∴，MN BD ⊥ ，MN OM ∴⊥，MN ∴是O 的切线．（2）连接,DM CE ，易知,DM BC CE AB ⊥⊥，由（1）可知5BD CD ==，故M 为BC 的中点，3sin 5B =，4cos 5B ∴=，在Rt BMD △中，cos 4BM BD B =⋅=，28BC BM ∴==．在Rt CEB 中，32cos 5BE BC B =⋅=，327555ED BE BD ∴=-=-=．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．9.如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交 BC于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，AB为⊙O的直径，90,ACB∴∠=︒∵DE∥BC，∴∠E＝ACB=∠90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BF BA BD=，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．11.如图，在⨀O中，AB为⨀O的直径，C为⨀O上一点，P是 BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC 的延长线于点D．（1）求证：DP 是⨀O 的切线；（2）若AC=5，5sin 13APC ∠=,求AP 的长．【答案】（1）见解析；（2）AP=．【解析】【分析】（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；（2）根据题意连接BC，交于OP 于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.【详解】解：（1）证明：连接OP；∵OP=OA;∴∠1=∠2；又∵P 为 BC的中点；∴ PCPB =∴∠1=∠3；∴∠3=∠2；∴OP∥DA；∵∠D=90°；∴∠OPD=90°；又∵OP 为⨀O 半径；∴DP 为⨀O 的切线；（2）连接BC，交于OP 于点G；∵AB 是圆O 的直径；∴∠ACB 为直角；∵5sin 13APC ∠=∴sin∠ABC=513AC=5,则AB=13,半径为132由勾股定理的12=，那么CG=6又∵四边形DCGP 为矩形；∴GP=DC=6.5-2.5=4∴AD=5+4=9;在Rt△ADP ==.【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握圆的切线定理和勾股定理以及三角函数和矩形的性质是解题的关键.12.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE ＝12，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝BC AC ＝tan∠BCE＝BE CE ＝12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC ＝CD AD ＝12，∵AD＝8，∴CD＝4．【点睛】本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．13.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，CAB ∠的平分线AD 交 BC于点D ，过点D 作//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，连接BD ．若1OF =，2BF =，求BD 的长度．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB 的值，进而得出AF 和BA 的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD 2的值，求算术平方根即可得出BD 的值．【详解】解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD 平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°−∠E＝90°，∴DE 是⊙O 的切线；（2）因AB 为直径，则90ADB ∠=︒∵1OF =，2BF =∴OB=3∴4AF =，6BA =∵∠ADB=∠DFB=90°,∠B=∠B∴△DBF∽△ABD ∴BF BD BD AB=∴22612BD BF BA =⋅=⨯=所以BD ．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．。

圆切线方程公式推导过程
圆的切线方程公式推导过程如下：
1.设圆的标准方程为(x-a)X2}+(y-b)^{2}二d{2},其中(a,b)是圆心，r是半径。

2.设切线的斜率为k,则切线方程可以表示为y二kx+m o
3.将切线方程y=kx+m代入圆的方程(x-a)^{2}+(y-
b)λ{2}=r^{2},得到：(x-a)^{2}÷(kx+m-b)X2}=rX2}
4.展开并整理上述方程，得到：
(1+k{2})x{2}+2(km-b)x+11Γ⑵-2bm+/⑵-r^{2}=O
5.由于切线与圆只有一个交点，因此上述方程应该只有一个解，即判别式Delta应该等于0：
Delta=[2(km-b)]^{2}-4(1+k^{2})(m^{2}-2bm+b^{2}-
r^{2})=0
6.展开并整理上述方程，得到：
kX2}πΓ{2}-2kbm+b^{2}-kX2}πΓ⑵+2kbm-b^{2}+r^{2}二0
r^{2}=0
7.由于r^{2}显然不为0,因此上述方程可以简化为:
2kbm-2kbm=0
8.由于上述方程对所有的k和m都成立，因此我们可以得到切线的斜率k与圆的半径r、圆心（a,b）和切线在y轴上的截距
m无关。

9.最后，我们可以得到圆的切线方程为y=kx÷m,其中k是任意实数，m是切线在y轴上的截距。

由于切线与圆只有一个交点，因此m可以是任意实数。

中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。

1《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程 一、揭示目标 二、自学指导 1.复习下列内容1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?2、直线与圆相切有哪几种判断方法？3、思考作图：已知：点A 为⊙o 上的一点，如和过点A 作⊙o 的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA 过A 点作OA 的垂线 从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？4、思考探索；如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，OA 是过切点的半径， 直线l 与半径OA 是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：（1）圆的切线 （ ） 过切点的半径。

（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（ ）两条，就必然满足第三条。

5、例题精析：例1、（教材103页例1）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。

oCAB例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。

（无点作垂线证半径）方法小结：如何证明一条直线是圆的切线 四、当堂检测1、下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.ACD COA3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

题型四与圆有关的证明与计算类型一与切线判定有关的证明与计算1.如图，D是⊙O上的一点，C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BD C.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长.第1题图2.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝A C.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若AB＝3，BC＝2，求⊙O的半径.第2题图3.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.第3题图4.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC ︵的中点，E 为OD 延长线上一点，且∠CAE ＝2∠C ，AC 与BD 交于点H ，与OE 交于点F .(1)求证：AE 是⊙O 的切线；(2)若DH ＝9，tan C ＝ 34 ，求直径AB 的长.第4题图类型二与切线性质有关的证明与计算1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E，连接AD，C D.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝5，BC＝3，求AE的长.第1题图2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE.(1)求证：BC＝BH；(2)若AB＝5，AC＝4，求CE的长.第2题图3.如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接BD并延长至点C，使CD＝BD，过点D作半圆O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若BD＝2，且AB＝3BD，求DE的长.第3题图4.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.(1)求证：∠CAE＝∠CBA；(2)求证：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值.第4题图类型三特殊四边形的动态探究题1.如图所示，AD∥BC，∠BAD＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F.(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明；(2)若AB＝12，BC＝13，P从E出发沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位.填空：①当运动时间为秒时，四边形EPCQ是矩形；②当运动时间为秒时，四边形EPCQ是菱形.第1题图2.如图，已知BC是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，CD∥OA交⊙O于另一点E.(1)求证：△ACD∽△BCA；(2)若A是⊙O上一动点，则①当∠B＝时，以A，O，C，D为顶点的四边形是正方形；②当∠B＝时，以A，O，C，E为顶点的四边形是菱形.第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：EB＝EC；(2)填空：①当∠BAC＝时，△CDE为等边三角形；②连接OD，当∠BAC＝时，四边形OBED是菱形.第3题图4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，过点D作⊙O的切线，交EC于点F.(1)求证：EF＝FC；(2)填空：①当∠ACD的度数为时，四边形ODFC为正方形；②若AD＝4，DC＝2，则四边形ABCD的最大面积是.第4题图5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)填空：①当∠BAC的度数为时，四边形ACDO为菱形；②若⊙O的半径为5，AC＝3CE，则BC的长为.第5题图6.如图，已知AB是⊙O的直径，PC与⊙O相切于点P，过点A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接P A，PB，PO.(1)求证：AP平分∠CAB；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP＝时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当弧AP＝时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形.第6题图7.如图，在⊙O中，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝AB，P A，PB交⊙O于D，E两点，∠P AB 为锐角，连接DE ，OD ，OE .(1)求证：∠EDO ＝∠EBO ； (2)填空：若AB ＝8，①△AOD 的最大面积为 ；②当DE ＝ 时，四边形OBED 为菱形.第7题图8. 如图，点A ，C ，B 是⊙O 上三点，且C 是劣弧AB ︵的中点，点E ，F 是弦AB 上两点，且AF ＝BE . (1)求证：OE ＝OF ；(2)填空：若⊙O 的半径为2，①当∠AOB ＝ 时，四边形AOBC 是菱形； ②当∠AOB ＝90°时，四边形AOBC 的面积是 .第8题图9. 如图，在▱ABCD 中，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 与⊙O 相切于点C ，点P 是劣弧BC ︵上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，连接P A ，PB ，P C.(1)求证：CA＝CB；(2)当AP＝AC时，试判断△APC与△CBA是否全等，请说明理由；(3)填空：当∠D＝时，四边形ABCD是菱形.第9题图10.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝时，△AOE是直角三角形.第10题图11.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，连接BD，C D.(1)求证：△BDE≌△CDE；(2)填空：①连接CF，当∠BAC＝时，四边形BDCF是菱形；②当∠FBD＝时，四边形ABDC是正方形.第11题图12.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝O C.(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：①当∠B＝时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由.第12题图参考答案类型一与切线判定有关的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A＋∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°.∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第1题解图(2)解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴在Rt△NDM中，由勾股定理得，MN＝DM2＋DN2＝2 2.2.(1)证明：如解图，连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACO＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A，∵OA为⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线；第2题解图(2)解：如解图，过点C 作CE ⊥AB 于点E . 在Rt △BCE 中，∠B ＝60°，BC ＝2， ∴BE ＝BC ·cos B ＝1，CE ＝3， ∵AB ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝2，∴在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝7， ∴AP ＝AC ＝7.∴在Rt △P AO 中，OA ＝tan30°·7＝33×7＝213， ∴⊙O 的半径为213. 3. (1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°， ∵∠BCD ＝∠A ，∴∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴OC ⊥BC .又∵OC 为⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E . 在Rt △BCD 中，∵BC ＝5，BD ＝3， ∴CD ＝4.∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∠BCD ＝∠A ， ∴Rt △BDC ∽Rt △CDA . ∴CD AD ＝BD CD ＝34， ∴AD ＝163.∵OE ⊥CD ， ∴E 为CD 的中点． 又∵点O 是AC 的中点，∴OE ＝12AD ＝83.∴点O 到CD 的距离为83.第3题解图4. (1)证明：∵D 是AC ︵的中点， ∴OD ⊥AC ，即∠AFO ＝90°， ∴∠CAB ＋∠AOF ＝90°.又∵∠CAE ＝2∠C ＝2∠B ＝∠AOF ，∴∠CAE ＋∠CAB ＝∠AOF ＋∠CAB ＝90°＝∠EAO ， ∴EA ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AE 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，连接AD ，∵∠C ＝∠B ＝∠HDF ，D 是AC ︵的中点， ∴∠C ＝∠DAH ＝∠B ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴Rt △ADH ∽Rt △BDA ， ∵tan C ＝34，∴AD BD ＝DH DA ＝34， ∵DH ＝9，∴AD ＝12，BD ＝16，在Rt △DAB 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝20.第4题解图类型二 与切线性质有关的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接OC ， ∵直线MN 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥MN . ∵BD ∥MN ， ∴OC ⊥BD . ∴BC ︵＝CD ︵. ∴∠BAE ＝∠CAD . 在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACD AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAD， ∴△ABE ≌△ACD (ASA)；第1题解图(2)解：由(1)知∠BAC ＝∠CAD ＝∠CBD ， ∴△BCE ∽△ACB . ∴BC AC ＝CECB. ∵AC ＝AB ＝5，BC ＝3， ∴CE ＝95.∴AE ＝AC －CE ＝165.2. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC . ∵∠C ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴OE ∥BC . ∴∠CBE ＝∠OEB . ∵OE ＝OB ，∴∠EBO ＝∠OEB . ∴∠CBE ＝∠EBO ， ∵CE ⊥BC ，EH ⊥AB ， ∴CE ＝EH .在Rt △EBC 和Rt △EBH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝HE ，BE ＝BE ， ∴Rt △EBC ≌Rt △EBH (HL)． ∴BC ＝BH ；第2题解图(2)解：∵AB ＝5，AC ＝4，∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得BC ＝AB 2－AC 2＝3. ∵BC ＝BH ， ∴BH ＝3.∴AH ＝AB －BH ＝5－3＝2. 设CE ＝EH ＝x ，则AE ＝4－x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得AH 2＋EH 2＝AE 2， 即22＋x 2＝(4－x )2， 解得x ＝32，∴CE ＝32.3. (1)证明：如解图，连接OD . ∵DE 是半圆O 的切线，切点为D ， ∴OD ⊥DE ，∵BD ＝CD ，OA ＝OB ， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC . ∴DE ⊥AC ；第3题解图(2)解：如解图，连接AD ， ∵AB 是半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ， 又∵DC ＝BD ＝2，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC ， ∴∠ABD ＝∠ACD . 又∵DE ⊥AC ， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ABD ∽△DCE . ∴DE AD ＝DCAB ，即DE ＝AD ·DC AB， 在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝3BD ＝6， ∴AD ＝62－22＝42， ∴DE ＝42×26＝423.4. (1)证明：∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°. ∵BC 平分∠ABM ， ∴∠ABC ＝12∠ABM ＝45°.∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， ∴∠CAE ＝∠CBA ；(2)证明：如解图，连接OC 和OD . ∵OC ＝DO ，DE ＝OE ， ∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠DOE . ∴△OCD ∽△EDO ， ∴DO OE ＝DCOD，即DO 2＝OE ·DC .又∵OA ＝DO ， ∴OA 2＝OE ·DC ；第4题解图(3)解：由(1)知，△ACB 为等腰直角三角形， ∴C 为AB ︵的中点，CO ⊥AB ， 如解图，过点E 作EF ⊥AC 于点F ， 设圆的半径为r ，∠DCO ＝θ，则有∠EOD ＝∠CDO ＝θ，∠CEO ＝∠EOD ＋∠CDO ＝2θ，由θ＋2θ＝90°，得θ＝30°， 在Rt △COE 中，OE ＝33r ，则AE ＝r －33r ＝3－33r ，AC ＝2r . 在Rt △AEF 中，AF ＝EF ＝22×3－33r ＝32－66r ， ∴CF ＝AC －AF ＝2r －32－66r ＝32＋66r ，∴tan ∠ACD ＝EFCF ＝32－66r 32＋66r ＝2－ 3.类型三 特殊四边形的动态探究题1. 解：(1)BF ＝AE . 证明如下：由题意可知∠A ＝∠BFC ＝90°，BC ＝BE . ∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠FBC ， 在△ABE 与△FCB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ∠AEB ＝∠FBC BE ＝CB， ∴△ABE ≌△FCB (AAS)．∴AE ＝BF ； (2)①8；【解法提示】设运动时间为t 秒，∵四边形EPCQ 是矩形，∴∠APC ＝90°，∴四边形ABCP 是矩形，∴AP＝BC.由勾股定理知AE＝5，∴EP＝13－5＝8，∴t＝8.②13.【解法提示】∵四边形EPCQ是菱形，∴QE＝QC，∴点Q与点B重合，∴CQ＝CB＝13，∴t＝13.2.(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴OA⊥AD，∵CD∥OA，∴∠ADC＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC，又∵CD∥OA，∴∠ACD＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACD＝∠ACO，∴△ACD∽△BCA；(2)解：① 45°；【解法提示】∵四边形AOCD为正方形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵∠BAC＝90°，OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝90°－45°＝45°.②60°.【解法提示】如解图，连接AE，∵AD为切线，∴∠DAE＝∠ECA，∠OAD＝90°.∵四边形AOCE为菱形，∴∠OAC＝∠EAC，∴∠DAE＝∠ECA＝∠OAC＝30°，∴∠ACO＝30°，∴∠AOB＝∠ACO＋∠OAC＝30°＋30°＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接OD，BD，∵∠ABC＝90°，AB是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线．∵DE是⊙O的切线，∴BE＝DE.∴∠EBD＝∠EDB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠EBD＋∠C＝90°，∠EDB＋∠CDE＝90°.∴∠C＝∠EDC.∴DE＝CE.∴EB＝EC；第3题解图(2)解：① 30°；【解法提示】当△CDE为等边三角形时，则∠CDE＝∠C＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.②45°.【解法提示】当四边形OBED是菱形时，BO＝DE，DE∥OB，BE＝OD，BE∥OD，∵∠ABC＝90°，∴∠BOD＝90°，∵OD＝OA，∴∠BAC＝45°.4. (1)证明：∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC，∴CE是⊙O的切线．又∵DF是⊙O的切线，且交CE于点F，∴DF＝CF，∴∠CDF＝∠DCF，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°，∴∠E＝∠EDF，∴DF＝EF，∴EF＝FC；(2)解：① 45°；【解法提示】如解图，连接OD，∵四边形ODFC是正方形，∴∠DOC＝90°，又∵OD＝OC，∴∠OCD ＝∠ODC＝45°，∴∠ACD＝∠OCD＝45°.第4题解图②9.【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∵AD ＝4，DC ＝2，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝25，∴要使四边形ABCD 的面积最大，则△ABC 的面积最大，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，△ABC 的面积最大，∴四边形ABCD 的最大面积＝12×4×2＋12×25×5＝9.5. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵OA ＝OD ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵AD 平分∠EAF ， ∴∠DAE ＝∠DAO ， ∴∠DAE ＝∠ADO ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，又∵OD 为⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；第5题解图(2)解：① 60°；【解法提示】如解图，连接CD ，当四边形ACDO 为菱形时，AO ∥CD ，AC ∥OD ，已知AD 为∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠ODA ＝∠ADC ＝∠CAD ，又∵∠CDA ＝∠CBA ，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝30°，∠BAC ＝60°.②8.【解法提示】如解图，设OD 与BC 交于点G ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AC ，∴四边形CEDG 是矩形，∴DG ＝CE ，∵AC ＝3CE ，∴OG ＝12AC ＝32CE ，∴OD ＝52CE ＝5，∴CE ＝2，∴AC ＝6，∵AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝8.6. (1)证明：如解图，∵PC 与⊙O 相切于点P ， ∴OP ⊥PC . ∵AC ⊥PC ， ∴AC ∥OP . ∴∠1＝∠3. ∵OP ＝OA ， ∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP 平分∠CAB ；第6题解图(2)解：① 22；【解法提示】∵AOPC 为正方形，∴OP ＝OA ＝2，∠POA ＝90°，∴AP ＝OP 2＋OA 2＝2 2.② 23π或43π. 【解法提示】当AD ＝AP ＝OP ＝OD 时，∵四边形ADOP 为菱形，∴△AOP 和△AOD 为等边三角形，则∠AOP ＝60°，lAP ︵＝60×2π180＝23π；当AD ＝DP ＝PO ＝OA 时，∵四边形ADPO 为菱形，∴△AOD 和△DOP 为等边三角形，则∠AOP ＝120°，lAP ︵＝120×2π180＝43π.综上所述，当弧AP 为23π或43π时，以A ，D ，O ，P 为顶点的四边形是菱形．7. (1)证明：如解图，连接AE ,第7题解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∵P A ＝AB ，∴E 为PB 的中点，∵AO ＝OB ，∴OE ∥P A ，∴∠ADO ＝∠DOE ，∠A ＝∠EOB ，∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ADO ，∴∠EOB ＝∠DOE ，∵OD ＝OE ＝OB ，∴∠EDO ＝∠EBO ；(2)解：① 8；【解法提示】∵AB ＝8，∴OA ＝4，当OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大，此时点D 是AB ︵的中点，∴OD ⊥AB ，∴S △AOD ＝12×4×4＝8. ② 4.【解法提示】当四边形OBED 为菱形时，OD ＝OB ＝BE ＝DE ＝12AB ，∴DE ＝4. 8. (1)证明：∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵AF ＝BE ，∴AE ＝BF ，在△OAE 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠OAB ＝∠OBA AE ＝BF，∴△OAE ≌△OBF (SAS)，∴OE ＝OF ；(2)解：①120°；② 2.【解法提示】①如解图，连接OC ，∵四边形AOBC 是菱形，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∵OA ＝OC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ＝OC ，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC＋∠BOC ＝60°＋60°＝120°；②如解图，设OC 与AB 交于点D ，∵点C 是劣弧AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴AD ＝BD ，∠AOC ＝∠BOC ＝45°，∴OD ＝BD ，∵OB ＝2，∴BD ＝OD ＝1，∴AB ＝2，∴S 四边形AOBC ＝S △AOB ＋S △ACB ＝12AB ·OD ＋12AB ·CD ＝12AB ·OC ＝12×2×2＝ 2.第8题解图9. (1)证明：如解图，连接CO 并延长交AB 于点E ，∵CD 与⊙O 相切于点C ，∴CE ⊥CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴CE ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∴CA ＝CB ；第9题解图(2)解：当AC ＝AP 时，△APC ≌△CBA .理由如下：∵CA ＝CB ，AC ＝AP ，∴∠ABC ＝∠BAC ，∠APC ＝∠ACP ，∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠BAC ＝∠ACP ，在△APC 与△CBA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APC ＝∠CBA ∠ACP ＝∠CAB AC ＝CA，∴△APC ≌△CBA (AAS)；(3)解：60°.【解法提示】∵ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，由(1)可知，CA ＝CB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠D ＝∠B ＝60°.10. (1)证明：如解图，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA ＝90°.∵D 为BC 的中点，∴BD ＝DC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①当∠B ＝60°时，四边形BDEO 是菱形．如解图，连接OD ，∵∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，△OBD 是等边三角形，∴△AOE 是等边三角形，△DOE 是等边三角形，∴OB ＝BD ＝DE ＝EO , ∴四边形BDEO 是菱形；②若△AOE 是直角三角形， 只有一种情况，即∠AOE ＝90°，∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠AEO ＝45°，由(1)知 △ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝180°－45°2＝67.5°.第10题解图11. (1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，在△BDE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠ADB ＝∠ADC DE ＝DE，∴△BDE ≌△CDE (SAS)；(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】①∵四边形BDCF 是菱形，∴∠FBC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝∠DBC ，又∵∠ABD ＝90°，∴∠ABF ＝∠FBC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°；②∵四边形ABDC 是正方形，∴∠ABC ＝∠DBC ＝45°，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠FBC ＝22.5°，∴∠FBD ＝∠FBC ＋∠DBC ＝22.5°＋45°＝67.5°.12. (1)证明：∵OA ＝OC ，AD ＝OC ，∴OA ＝AD ，∠OAC ＝∠OCA ，∴∠AOD ＝∠ADO ，∵OD ∥AC ，∴∠OAC ＝∠AOD ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝∠AOD ＝∠ADO ，∴∠AOC ＝∠OAD ，∴OC ∥AD ，∵OC ＝AD ，∴四边形OCAD 是平行四边形；(2)解：①30°；【解法提示】∵四边形OCAD 是菱形，∴OC ＝AC ，又∵OC ＝OA ，∴OC ＝OA ＝AC ，∴∠AOC ＝60°，∴∠B ＝12∠AOC ＝30°. ②当∠B ＝45°时，AD 与⊙O 相切．理由如下：∵AD 与⊙O 相切，∴∠OAD ＝90°，∵AD ∥OC ，∴∠AOC ＝90°，1∴∠B＝2∠AOC＝45°.。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

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（分类）滚动小专题(十一)与圆有关的计算与证明类型1 与圆的基本性质有关的计算与证明(2018·安徽）20.如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）;（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长。

解：（1）画图略（2）∵AE平分∠BAC∴弧BE=弧EC,连接OE则OE⊥BC于点F，EF=3连接OC、EC在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC=21在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE=30（2018湖州）21．（8分）（2018•湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，OC ∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．（2018无锡）24、(本题满分8分)如图，四边形ABCD 内接于圆心O ，AB=17，CD=10,∠A=90°，cos B=53，求AD 的长.【解答】DA ⊥AB∴∠DAB=90°在圆O 中∴∠DCB=90°延长AD 、BC 交于点E ，易证∠B=∠EDC∴53=ED DC∴350=ED53cos =B∴34tan =B 在△EAB 中，EA=3683417=⨯∴DA=EA-ED=350368-=625．（10分)如图,AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO ⊥AO ，点M 是上的动点，且不与点A 、C 、B 重合，直线AM 交直线OC 于点D,连结OM 与CM ．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM 的长；②当AM=12时，求DM 的长． (2)探究:在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，∵OM=OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°,∴DM=OM=10②过点M 作MF ⊥OA 于点F ，设AF=x,∴OF=10﹣x，∵AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣(10﹣x）2∴x=，∴AF=,∵MF∥OD,∴△AMF∽△ADO，∴，∴，∴AD=∴MD=AD﹣AM=(2）当点M位于之间时，连接BC，∵C是的重点，∴∠B=45°，∵四边形AMCB是圆内接四边形，此时∠CMD=∠B=45°,当点M位于之间时，连接BC，由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°综上所述,∠CMD=45°（2018温州）22。