2017年河南省洛阳一中高二文科下学期人教A版数学3月月考试卷

文档编号：YLWK874552绝密★启用前2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试（3月）数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．M={x|y=√x−1}，N={x|y=log2(2−x)}，则C R(M∩N)=（）A. [1,2) B. (−∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] D. (−∞,0)∪[2,+∞)2．设复数z满足(1+i)z=|1−i|（i为虚数单位），则z̅=（）A. 1+iB. 1−iC. √22−√22i D. √22+√22i3．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a1+a5+a9a2+a3等于（）A. 2B. 3C. 4D. 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A. 1B. √22C. √52D. √625．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A. 144种B. 180种C. 288种D. 360种6．已知圆C的方程为x2+y2=1，直线l的方程为x+y=2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|PA|的最小值为（）A. 12B. 1C. √2−1D. 2−√27．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A.M 2017B.2017MC.4M 2017D.20174M8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）A. πB. 3πC. 8πD. 9π9．如图，12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 310．设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0，则当1≤a ≤4时，2a −b 的最大值为（ ）A. 1B. 10C. 5D. 811．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A 的最大值为（ ）A. π6 B. π4 C. π3 D. π212．已知函数f(x)={x 2−1,(x <1)lnx x,(x ≥1)，关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A. {−1,1e } B. (0,+∞) C. (0,1e ) D. (0,1e ]文档编号：YLWK874552第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线4x −3y =0(x ≤0)上，则cosα−sinα=______． 14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+⋅⋅⋅+ (a 2015a 2017−a 20162)=______． 15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC =BD ，若OA =1，∠AOB =120°，则MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16．已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则kPB k QF的取值范围是______．三、解答题17．{a n a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =(n +1)a n ，(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n −λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 19．已知三棱锥A −BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD =BD =2，CD =2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且CP =2PB ，求证：AP ⊥DE . (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知动圆M 过定点E(2,0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，F(1,0)，记S =S ΔOFA +S ΔOAB ，求S 的最小值．21．已知函数f(x)=lnx −1x ，g(x)=ax +b ．(1)若a =2，F(x)−g(x)，求F(x)的单凋区间；(2)若函数g(x)=ax +b 是函数f(x)=lnx −1x 的图像的切线，求a +b 的最小值； (3)求证：2e x−52−lnx +1x >0．22．选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=3√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m|≥2m 的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c =1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值．文档编号：YLWK874552参考答案1．B 【解析】∵M =[1,+∞),N =(−∞,2)∴M ∩N =[1,2),C U (M ∩N)=(−∞,1)∪[2,+∞).选B. 2．D【解析】由题意得z =√21+i=√2(1−i)2,∴z̅=√2(1+i)2,选D.3．B【解析】由题意得a 42=a 2a 8⇒(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)⇒d =a 1(∵d ≠0)，因此a 1+a 5+a 9a 2+a 3=d+5d+9d 2d+3d=3,选B.4．C【解析】几何体为一个四棱锥P −ABCD ，其中PA =√3,PB =√6,PC =√5,PD =√2,AB =BC =CD =DA =1, 所以S ΔPAB =S ΔPAD =√22,S ΔPDC =12,S ΔPBC =√52，因此面积最大的侧面面积为√52，选C.5．C【解析】排法为C 61C 21A 44=288,选C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 6．D【解析】PA =√2d P−l ≥√2(d O−l −r)=√2(21)=2−√2,选D.7．C【解析】由题意得π×12412=M 2017⇒p =π=4M 2017,选C.8．B【解析】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为√3 ,高为3,体积为13π×(√3)2×3=3π,选B.9．B 【解析】试题分析：由双曲线的定义，知12||||2AF AF a -=，21||||2BF BF a -=．又21||||BF BF -＝21||(||||)BF AF AB --＝21||||||BF AF AB -+．又2ABF ∆为等边三角形，所以21||||||BF AF AB -+＝212||||AF AF -，即21||||BF BF -＝212||||AF AF -，所以12||||AF AF -=212||||AF AF -，所以123||||2AF AF =，所以12||6,||4AF a AF a ==．在12AF F ∆中，由余弦定理，得221212||||||F F AF AF =+－122||||cos 60AF AF ︒＝2221(6)(4)264282a a a a a +-⨯⨯⨯=，即22428c a =，所以2227c e a ==，所以e =故选B ．考点：1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率e 的求解中可以不求出a c ，的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到齐次方程220Aa Bac Cc ＋＋＝；②化简得到关于e 的一元二次方程20A Be Ce ＋＋＝；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围1()e ∈+∞，进行取舍．10．B【解析】因为f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1−x)+ln(√x 2+1+x)=0,所以函数f(x)为奇函数,又因为x >0时f(x)=ln(√x 2+1−x)=-ln(√x 2+1+x)为单调减函数,且f(0)=0所以f(x)为R 上减函数,因此f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0⇔f(a 2−2a)≤−f(2b −b 2)⇔f(a 2−2a)≤f(−2b +b 2)⇔a 2−2a ≥−2b +b 2⇔(a −1)2≥(b −1)2⇔{a ≥b a +b −2≥0或{a ≤ba +b −2≤0,因为1≤a ≤4,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A(1,1),B(4,4),C(4,−2),因此直线z =2a −b 过点C 时取最大值10,选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 11．A【解析】由正弦定理得cosB sinB=−3cosC sinC,所以tanC =−3tanB ,因此B ，C 中有一钝角, 角A 必为锐角,因为tanA =−tan(B +C)=−tanB+tanC1−tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0 , 所以tanB >0,tanA ≤2√3tanB=√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 12．C【解析】2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0⇒f(x)=−12或f(x)=m ,因为(lnx x)′=1−lnx x =0⇒x =e ,所以1≤x <e 时f ′(x)>0,f(x)∈[0,1e );x ≥e 时f ′(x)<0,f(x)∈(0,1e ];而x ≤0 时f(x)单调递减,f(x)∈[−1,+∞); 0<x <1 时f(x)单调递增,f(x)∈[−1,0);因此f(x)=−12有两个根,则f(x)=m 需有3个根, 即m ∈(0,1e ),选C.文档编号：YLWK874552点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．15【解析】P(−3,−4)为射线4x −3y =0(x ≤0)上一点,由三角函数定义得 cosα=−35,sinα=−45,cosα−sinα=1514．1【解析】a n a n+2−a n+12+a n+1a n+3−a n+22=a n a n+2+a n+1(−a n+1+a n+3)−a n+22=a n a n+2+a n+1a n+2−a n+22=a n+2(a n +a n+1)−a n+22=a n+22−a n+22=0,所以所求式等于a 1a 3−a 22=2−1=1. 15．[38,12]【解析】以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则M(12,√32)，设OD =x ∈[0.1]，则D(−x 2,√32x),C(1−x,0)，因此MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−x)(−x 2−12)+(−√32)(√32x −√32)=12(x 2−x +1)∈[38,12] 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16．(−∞,0)∪(0,1)【解析】设PA 斜率为k,(k ≠0)，则PB 斜率为1k ,由y =k(x +2)与3x 2+4y 2=12联列方程组解得Q(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2)， 所以k QF =12k3−12k 2(k 2≠14),∴k PBkQF=12k 2−312k 2=1−14k 2∈(−∞,0)∪(0,1)17．(1) a n =n(n ∈N ∗);（2）(−∞,2)．【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用S n −S n−1=a n (n ≥2)进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{b n }为递增数列，等价于b n+1>b n 恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：λ<2⋅3n 2n+1的最小值，最后根据数列{2⋅3n2n+1}单调性求最小值，即得λ的取值范围．试题解析:(1)∵2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，∴2a n+1=(n +2)a n+1+(n +1)a n ，即na n+1=(n +1)a n ，∴an+1n+1=a n n，∴an n =a n−1n−1=⋅⋅⋅=a 11=1 ∴a n =n(n ∈N ∗).（2）b n =3n −λn 2.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2 −(3n −λn 2)=2⋅3n −λ(2n +1).∵数列{b n }为递增数列，∴2⋅3n −λ(2n +1)>0，即λ<2⋅3n2n+1. 令c n =2⋅3n2n+1，则c n+1c n=2⋅3n+12n+3⋅2n+12⋅3n=6n+32n+1>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1=2，即λ的取值范围为(−∞,2)．点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n +1−a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据an +1a n与1的大小关系及a n 符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 18．(1) 3;(2)140881．【解析】试题分析: (1)本题先识别事件为独立重复试验，其随机变量服从二项分布，一名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多一台机器出现故障的概率，小于0.9；两名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多两台机器出现故障的概率，小于0.9；三名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多三台机器出现故障的概率，大于0.9；因此至少有三名工人，（2）关键确定随机变量的取法：若至多两台机器出现故障，则获利4×5−2=18；若三台机器出现故障，则获利3×5−2=13；若四台机器出现故障，则获利2×5−2=8；根据对应概率列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析: (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681，P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481，P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，X设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为文档编号：YLWK874552∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有右能取值为：18,13,8，P(Y =18)=P(X =0) +P(X =1)+P(X =2)=7281， P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181．则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881．故该厂获利的均值为140881．19．(1)见解析；(2)√217． 【解析】试题分析: (1)证明线线垂直，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理进行转化，其中线线垂直的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题需利用勾股定理计算得到线线垂直.（2）求线面角，一般利用空间向量数量积求解，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角之间互余关系求解. 试题解析: (1)PG ∥BD 交CD 于G ，∴CGGD =CPPB =2，∴GD =13CD =23√3， 在ΔADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG =30°.AC 2=AD 2+CD 2=4+12=16，∴AC =4，E 为中点，DE =AE =2，∴∠ADE =60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD =D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．∵AG ∩PG =G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2√3,0)，E(0,√3,1)，F(1,√3,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2)． 设平面EDF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即{x +√3y =0,√3y +z =0,取n =(3,−√3,3)． 设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为θ，cosθ=AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=4√21√217. 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．(1) y 2=4x ；(2) S min=4√3.【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系d M−y 2+(|PQ|2)2=|EM|2，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）先用A(y 124,y 1)（y 1>0），B(y 224,y 2)坐标化简条件OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，得y 1y 2=−8，而S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1，根据弦长公式及点到直线距离公式可得S △OAB =y 1−y 2.最后利用基本不等式求最值.试题解析: (1)设M(x,y)，PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN|=2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2+|PN|2=|PM|2. 又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2∴x 2+4=(x −2)2+y ，整理得y 2=4x . (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，不失一般性，令y 1>0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4, ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4,解得y 1y 2=−8③直线AB 的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，(y 1≠−y 2),即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y =0得x =2，即直线AB 恒过定点E(2,0)，当y 1=−y 2时，AB ⊥x 轴，A(2,2√2)，B(2,−2√2)． 直线AB 也经过点E(2,0).∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2.文档编号：YLWK874552由③可得S△OAB=y1+8y1,∴S=S△OAB=12y1+(y1+8y1)=32y1+8y1≥2√12=4√3.当且仅当32y1=8y1，即y1=4√33时，S min=4√3.21．(1)F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)；(2)−1；(3) 见解析.【解析】试题分析: (1)先求函数导数，再在定义域内求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）先设切点(x0,lnx0−1x0)，根据导数几何意义将a+b表示成x0的函数：lnx0+1x02−1x0−1，再利用导数求函数最小值，(3)利用结论e x≥x+1，进行放缩2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3，转化证明2x−3≥lnx−1x，这可以构造差函数G(x)=lnx−1x−2x+3，利用导数可得其最大值为G(1)=0.试题解析: (1)a=2时，F(x)=f(x)−g(x)=lnx−1x−2x−b，F′(x)=1x +1x2−2(x>0)，F′(x)=x+1−2x2x2=(1−x)(1+2x)x2，解F′(x)>0得0<x<1，解F′(x)<0得x>1，∴F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)．(2)设切点坐标为设切点坐标为(x0,lnx0−1x0)，f′(x)=1x +1x2，切线斜率a=f′(x0)=1x0+1x02，又lnx0−1x0=ax0+b，∴b=lnx0−2x0−1，∴a+b=lnx0+1x02−1x0−1令ℎ(x)=lnx+1x2−1x−1(x>0)，ℎ′(x)=1x −2x3+1x2=x2+x−2x3=(x+2)(x−1)x3，解ℎ′(x)<0得o<x<1，解ℎ′(x)>0得x>1，∴ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增．∴ℎ(x)≥ℎ(1)=−1，∴a+b的最小值为−1．(3)法一：令G(x)=lnx−1x−2x+3，由(1)知(G(x))max=G(1)=0，∴lnx−1x≤2x−3.又e x≥x+1，∴2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3(x>0)∴2e x−52≥2x −3≥lnx −1x ，（两个等号不会同时成立） ∴2ex−52−lnx +1x >0．法二：令P(x)=2e x−52−lnx +1x，P ′(x)=2ex−52−1x−1x 2显然P ′(x)在(0,+∞)上递增，P ′(1)<0，P ′(2)>0 ∴P ′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x ∗，且x ∗∈(1,2)，2e x∗−52=1x ∗+ 1(x ∗)2，∴P(x)在(0,x ∗)上递减，在(x ∗,+∞)上递增， ∴P(x)≥P(x ∗) =2e x∗−52−lnx =2e x∗−52−lnx ∗+1x ∗ =2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗>2+1−ln2>0 ∴2e x−52−lnx +1x >0，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数ℎ(x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) x 2+y 23=1， x +y −6=0；(2)2√2， P (12,32)．【解析】试题分析: (1)利用 cos 2α+sin 2α=1将曲线C 1的参数方程化为普通方程为x 2+y 23=1，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y 将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x +y −6=0．（2）根据直线与圆位置关系可得|PQ|取得最小值为圆心到直线距离减去半径，此时P 为过圆心且垂直于直线C 2的直线与圆的交点（靠近直线C 2）.试题解析: (1)C 1的普通方程为x 2+y 23=1，C 2的直角坐标方程为x +y −6=0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(cosα,√3sinα)，因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)=√3sinα−6|√2=√2|sin(α+π6)−3|.当且仅当α=2kπ+π3(k ∈Z)时，|PQ|取得最小值，最小值为2√2，此时P 的直角坐标为(12,32)．23．(1)1；(2)a =613，b =413，c =313时，最小值为1213． 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 |x +3|+|x +m|最小值为|m −3|.再解不等式|m −3|≥2m 即得m 的最大值；（2）由柯西不等式得(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1，即得2a 2+3b 2+4c 2的最小值，再根据等于号成立条件解得a ，b ，c 的值．试题解析: (1)因为|x +3|+|x +m|≥ |(x +3)−(x +m)| =|m −3|.文档编号：YLWK874552当−3≤x ≤−m 或−m ≤x ≤−3时取等号，令|m −3|≥2m 所以m −3≥2m 或m −3≤−2m ． 解得m ≤−3或m ≤1 ∴m 的最大值为1． (2)∵a +b +c =1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1,∴2a 2+3b 2+4c 2≥1213，等号当且仅当2a =3b =4c ，且a +b +c =1时成立． 即当且仅当a =613，b =413，c =313时，2a 2+3b 2+4c 2的最小值为1213．。

2018-2019学年河南省洛阳一高高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则z的虚部是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，则z的虚部是．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为A. 5B. 5或C.D. 或【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为，若双曲线的一条渐近线平行于直线，则，即，则，则双曲线的离心率；故选：C．根据题意，由双曲线的方程分析双曲线的渐近线方程，又由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得，即，结合双曲线的几何性质可得，由双曲线的离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，注意分析双曲线的渐近线方程．3.已知函数为其导函数，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数的导数，故选：A．根据函数的导数公式进行求导即可．本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．4.有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；己知函数在R上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”对于以上推理，说法正确的是A. 大前提错误，结论错误B. 小前提错误，结论错误C. 推理形式错误，结论错误D. 该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】解：当函数为常值函数时，则若函数的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值不正确，故大前提错误，则其结论也是错误，故选：A．当函数为常值函数时，则在点处取得极值不正确，故大前提错误本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解函数的性质，分析出大前提是错误的，是一个基础题．5.函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由函数图象可知函数在，上均为减函数，所以函数的导数值，因此D正确，故选：D．根据，函数单调递增；时，单调递减，根据图形可得，即可判断答案．本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：时，函数单调递增；时，单调递减6.地铁换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】解：由同时开放A，B疏散1000名乘客所需的时间为125s，同时开放B，C疏散1000名乘客所需的时间为186s，得到A比C疏散乘客快；由同时开放D，E疏散1000名乘客所需的时间为145s，同时开放A，E疏散1000名乘客所需的时间为175s，得到D比A疏散乘客快；由同时开放B，C疏散1000名乘客所需的时间为186s，同时开放C，D疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D比B疏散乘客快；由同时开放A，B疏散1000名乘客所需的时间为125s，同时开放A，E疏散1000名乘客所需的时间为175s，得到B比E疏散乘客快．疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：D．先求出A比C疏散乘客快；再求出D比A疏散乘客快；然后求出D比B疏散乘客快；再求出B比E疏散乘客快，由此能求出疏散乘客最快的一个安全出口的编号．本题考查疏散乘客最快的一个安全出口的编号的判断，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.若函数仅在处有极值，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号，所以要恒成立，由判别式有：，，的取值范围是故选：A．求导函数，要保证函数仅在处有极值，必须满足在两侧异号．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8.设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为A. B. 5 C. D. 10【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，设，以MF为直径的圆过点，，，，解得，，；．故选：C．根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径对直角得出，求出点M的坐标，再计算的值．本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．9.定义域为R的函数满足，则不等式的解为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，则，故在R递增，不等式，即，故，故，解得：，故选：C．令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．10.若原点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：原点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，设，不妨，，；；当且仅当时，的最小值为．故选：A．设，根据点的坐标求出的表达式，然后求关于x的二次函数的最小值即可．考查向量的坐标，椭圆的焦点，椭圆的标准方程，向量数量积的坐标运算，二次函数的最值求法．11.函数在定义域R内可导，若，且0'/>，若，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由可知，的图象关于对称，根据题意又知时，，此时为减函数，时，0'/>，为增函数，所以，即，故选：C．先根据题题中条件：“，”求其对称轴，再利用导数的符号判断函数的单调性，进而可解．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系解答关键是利用导数工具判断函数的单调性，属基础题．12.己知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为，例如，，，若，则A. 64B. 65C. 71D. 72【答案】C【解析】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数第n组n个奇数，则前n组共个奇数，设2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得，即2019在第45组中，则前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第个数，即2019为第45组从左到右的第个数，即，，故，故选：C．由等差数列的前n项和公式可得：2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，则有，解得，即2019在第45组中，由归纳推理可得：前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2019为第45组从右到左的第个数，即2019为第45组从左到右的第个数，得解．本题考查的等差数列的前n项和公式及归纳推理，属难度较大的题型二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x、y取值如表：______精确到【答案】【解析】解：将代入回归方程可得，则，解得，即精确到后m的值为．故答案为：．将代入回归方程可得，则，即可得出结论．本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．14.平面几何中，有“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值”，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为______．【答案】【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和．故答案为：．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．15.已知P是抛物线上一动点，F为焦点，点A在圆上运动，则的最小值为______．【答案】4【解析】解：圆的圆心为，过点C作抛物线准线的垂线，垂足为N，如图所示：由抛物线的定义可知：，当P、A、N经过圆C的圆心时，取得最小值，圆心，半径为1，所以最小值为：．故答案为：4．根据题意画出图形，结合图形利用抛物线的定义与性质，转化求解最小值问题．本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了圆的方程应用问题，是中档题．16.已知，则______．【答案】【解析】解：；；；；．故答案为：．求导函数，从而可求出，即得出，从而可求出的值．考查基本初等函数的求导，以及已知函数求值的方法．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了研究家庭结构对学生学习成绩的影响，某机构在本区高一年级从单亲家庭和双亲家庭中随机抽取部分学生，结合期末考试成绩，得出如表列联表．附：，其中．的前提下，认为“成绩与家庭结构有关”；若采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，从这4人中再随机抽取2人，求取到优秀的学生的概率．【答案】解：根据题意，补充列联表如下；计算，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为“成绩与家庭结构有关”；采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，优秀有1人，记为A，非优秀有3人，记为b、c、d，从这4人中再随机抽取2人，基本事件数为Ab、Ac、Ad、bc、bd、cd共6种不同取法，取到优秀的学生的事件为Ab、Ac、Ad共3种不同取法，故所求的概率为．【解析】根据题意补充列联表，计算，对照临界值得出结论；采用分层抽样法求得抽取4人中优秀与非优秀人数，用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】解：选择，计算如下：，故这个常数为．Ⅱ根据Ⅰ的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式．证明：方法一．方法二．【解析】Ⅰ选择，由，可得这个常数的值．Ⅱ推广，得到三角恒等式证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为，即，化简可得结果．本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．19.已知，，用分析法证明：；已知实数a，b，c，d满足，用反证法证明：方程与方程至少有一个方程有实根．【答案】解：要证明：成立，由于，，则证明，即证成立，即成立，即成立即可，由条件知成立，则成立．反证法：假设结论不成立，即方程与方程都没有实根，则判别式满足，，则，即，即，即，与条件矛盾，即假设不成立，则原命题成立．【解析】根据分析法的步骤进行证明即可．利用反证法假设结论不成立，利用一元二次方程根与判别式的关系进行推理即可．本题主要考查不等式的证明，结合分析法和反证法的步骤是解决本题的关键．20.如图，几何体ABC一EFD是由直三棱柱截得的，，，，求三棱锥的体积；求证：．【答案】Ⅰ解：由题意可证，平面BCD，．Ⅱ证明：连接CF，依题意可得：，，而BF和BC是平面BFD内的两条相交直线，故有平面BFD．而BD在平面BFD内，故AB．再由可得．又在和中，，，， ∽ ，，，．综上可得，BD垂直于平面CEF内的两条相交直线，故有平面CEF．又平面CEF，所以．【解析】Ⅰ解：由题意可证，平面BCD，再由，运算求得结果．Ⅱ先利用线面垂直的性质证明，再证 ∽ ，从而得到，再由直线和平面垂直的判定定理证明平面CEF，可得．本题主要考查求棱锥的体积的方法，直线和平面垂直的判定定理与性质定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．21.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合．Ⅰ求双曲线和抛物线的标准方程；Ⅱ过点F做互相垂直的直线，，设与抛物线的交点为A，B，与抛物线的交点为D，E，求的最小值．【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，所以双曲线方程为，将点代入双曲线方程，可得，所以双曲线的标准方程为，，所以，所以抛物线的方程为．Ⅱ由题意知，，与坐标轴不平行，设直线的方程为，，整理可得，恒成立，，因为直线，互相垂直，可设直线的方程为，同理可得，．当且仅当时取等号，所以的最小值为．【解析】Ⅰ由双曲线的渐近线方程可得a，b的关系，点代入双曲线方程，解得a，b，可得双曲线方程；求得双曲线的焦点，可得p，进而得到抛物线方程；Ⅱ由题意知，设直线的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，以及弦长公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.已知函数图象上在点处的切线与直线垂直．求函数的解析式；若对所有都有，求实数m的取值范围．【答案】解：函数的导数为，图象上在点处的切线斜率为a，由切线与直线垂直，可得，即；所有都有，即为，即有在恒成立，设，，由可得，递增，可得的最小值为，则，即m的取值范围是．【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到a，进而得到所求解析式；由题意可得，即有在恒成立，设，求得导数和单调性、最小值，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．。

2016-2017学年河南省洛阳一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．（5分）若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理（）A．正确B．大前提出错C．小前提出错D．推理形式出错2．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±4．（5分）已知f′（x）是f（x）的导函数，则＝（）A．f′（3）B．f′（t）C．﹣f′（3）D．﹣f′（t）5．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）＝sin x﹣x，则f（x）的单调递减区间为（）A．（0，π）B．（0，）C．（，π）D．（，π）6．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上递增，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤37．（5分）设k＜﹣1，则关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2＝k2﹣1所表示的曲线是（）A．实轴在x轴上的双曲线B．实轴在y轴上的双曲线C．长轴在x轴上的椭圆D．长轴在y轴上的椭圆8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝09．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数10．（5分）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线11．（5分）如图，直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A．13B．14C．15D．1612．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝（30.3）•f（30.3），b ＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的顶点为椭圆x2+＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是．14．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是．15．（5分）设a＞0，函数f（x）＝x+，g（x）＝x﹣lnx，若对任意x1∈（0，+∞），任意x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知函数f（x）＝ax3+f′（2）x2+3，若f′（1）＝﹣5，则f′（2）＝．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，求双曲线的渐近线方程并求以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程．18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．19．（12分）（1）设z∈C，z+||＝2+i，求z（2）已知曲线y＝x3+．求曲线过点P（2，4）的切线方程．20．（12分）已知抛物线的方程为y2＝4x，O为坐标原点（Ⅰ）点A，B是抛物线上的两点，且P（3，2）为线段AB的中点，求直线AB的方程（Ⅱ）过点（2，0）的直线l交抛物线于点M，N，若△OMN的面积为6，求直线l的方程．21．（12分）已知双曲线（a＞0，b＞0），A1、A2是双曲线的左右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，（1）求双曲线的离心率；（2）若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程．22．（12分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2﹣30x+600元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）＝1240﹣，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？2016-2017学年河南省洛阳一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．（5分）若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理（）A．正确B．大前提出错C．小前提出错D．推理形式出错【解答】解：∵若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选：B．2．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【解答】解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±B．y＝±C．y＝±D．y＝±【解答】解：∵抛物线y2＝16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，∴双曲线右焦点为F（4，0），得c＝2∵双曲线的离心率为2，∴＝2，得c＝2a＝2，a＝1，由此可得b＝＝，∵双曲线的渐近线方程为y＝x∴已知双曲线的渐近线方程为y＝x故选：D．4．（5分）已知f′（x）是f（x）的导函数，则＝（）A．f′（3）B．f′（t）C．﹣f′（3）D．﹣f′（t）【解答】解：根据导数的定义可知：＝＝f′（3），故选：A．5．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）＝sin x﹣x，则f（x）的单调递减区间为（）A．（0，π）B．（0，）C．（，π）D．（，π）【解答】解：∵y＝sin x﹣x，∴y′＝cos x﹣，令y′＜0，结合x∈（0，π）可得x，故函数的单调递减区间为（，π）故选：C．6．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上递增，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3【解答】解：f′（x）＝3x2﹣a，若f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上递增，则f′（x）＝3x2﹣a≥0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，即：a≤（3x2）min＝3，故选：D．7．（5分）设k＜﹣1，则关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2＝k2﹣1所表示的曲线是（）A．实轴在x轴上的双曲线B．实轴在y轴上的双曲线C．长轴在x轴上的椭圆D．长轴在y轴上的椭圆【解答】解：∵k＜﹣1，∴1﹣k＞2＞1，k2﹣1＞0，∴方程（1﹣k）x2+y2＝k2﹣1表示实轴在y轴上的椭圆，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）＝+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，＝，∵+f（x）＝，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．9．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数【解答】解：由图象易知f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上是增函数．故选：C．10．（5分）一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|＝2+r|，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．11．（5分）如图，直线y＝x﹣2与圆x2+y2﹣4x+3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：由x2+y2﹣4x+3＝0，得（x﹣2）2+y2＝1，∵抛物线y2＝8x的焦点为（2，0），∴直线y＝x﹣2过（2，0）点，则|AB|+|CD|＝|AD|﹣2，联立直线y＝x﹣2与y2＝8x，可得x2﹣12x+4＝0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2＝12，则有|AD|＝（x1+x2）+4＝16，故|AB|+|CD|＝16﹣2＝14．故选：B．12．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝（30.3）•f（30.3），b ＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞＝﹣2，2＝﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的顶点为椭圆x2+＝1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是．【解答】解：由题意设双曲线方程为﹣＝1，离心率为e椭圆x2+＝1长轴的端点是（0，），∴a＝．∵椭圆x2+＝1的离心率为∴双曲线的离心率e＝，⇒c＝2，∴b＝，∴双曲线的方程是．故答案为：．14．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（0，）．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），如图所示．若点M满足＝0，则，可得点M在以为F1F2直径的圆上运动，∵满足＝0的点M总在椭圆内部，∴以为F1F2直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内．由此可得b＞c，即＞c，解之得a＞c．因此椭圆的离心率e＝，椭圆离心率的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）15．（5分）设a＞0，函数f（x）＝x+，g（x）＝x﹣lnx，若对任意x1∈（0，+∞），任意x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为a≥．【解答】解：∵g（x）＝x﹣lnx，∴g'（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g'（x）≥0，函数g（x）单调递增，g（x）的最大值为g（e）＝e﹣1∵f（x）＝x+，∴f'（x）＝，令f'（x）＝0，∵a＞0，∴x＝a当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，f（1）最小＝1+a2≥e﹣1，∴1＞a≥当1≤a≤e列表可知f（a）最小＝2a≥e﹣1 恒成立当a＞e时f（x）在[1，e]上单调减f（e）最小＝≥e﹣1 恒成立综上a≥故答案为：a≥．16．（5分）已知函数f（x）＝ax3+f′（2）x2+3，若f′（1）＝﹣5，则f′（2）＝﹣4．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+f′（2）x2+3，对其求导可得：f′（x）＝3ax2+2f′（2）x，令x＝2可得：f′（2）＝12a+4f′（2），①若f′（1）＝﹣5，则有3a+2f′（2）＝﹣5，②联立①②解可得：f′（2）＝﹣4；故答案为：﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，求双曲线的渐近线方程并求以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，可得：b＝1，c＝，则a＝，渐近线方程为，以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆的长半轴为：，半焦距为：，短半轴为：1，椭圆方程为．18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+4，当x＝2时，函数f（x）有极值﹣．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f′（x）＝3ax2﹣b，由题知：f′（2）＝0且f（2）＝﹣，则代入有：f′（2）＝12a﹣b＝0且f（2）＝8a﹣2b+4＝﹣，解得a＝，b＝4，则函数解析式为：f（x）＝x3﹣4x+4．（2）由（1）知：f′（x）＝x2﹣4，令f′（x）＝0解得x＝2或x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣2，2）上单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（2，+∞）上单调递增．19．（12分）（1）设z∈C，z+||＝2+i，求z（2）已知曲线y＝x3+．求曲线过点P（2，4）的切线方程．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，z+||＝2+i，即为a++bi＝2+i，可得b＝1，a+＝2，解得a＝，b＝1，则z＝+i；（2）∵P（2，4）在y＝x3+上，又y′＝x2，∴斜率k＝22＝4．∴所求直线方程为y﹣4＝4（x﹣2），4x﹣y﹣4＝0．当切点不是点P时，设切点为（x1，y1），根据切线过点P，可得：x12＝又y1＝x13+，可解出x1＝﹣1，y i＝1（舍去（2，4）），所以切线方程为y﹣1＝x+1即切线方程为y＝x+2故切线方程为：4x﹣y﹣4＝0或x﹣y+2＝0．20．（12分）已知抛物线的方程为y2＝4x，O为坐标原点（Ⅰ）点A，B是抛物线上的两点，且P（3，2）为线段AB的中点，求直线AB的方程（Ⅱ）过点（2，0）的直线l交抛物线于点M，N，若△OMN的面积为6，求直线l的方程．【解答】解：（I）设A（x1，y1）、B（x2，y2），∵P（3，2）为线段AB的中点，∴x1+x2＝6，y1+y2＝4，由，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2）即直线AB的斜率k＝1∴直线AB的方程为x﹣y﹣1＝0（II）∵直线l过点（2，0），故可设直线l的方程为x＝my+2，由得y2﹣4my﹣8＝0∴y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣8∴|y1﹣y2|＝∴△OMN的面积S＝|OM||y1﹣y2|＝×2×＝6即m2＝，解得m＝∴直线l的方程为2x﹣y﹣4＝0或2x+y﹣4＝021．（12分）已知双曲线（a＞0，b＞0），A1、A2是双曲线的左右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，（1）求双曲线的离心率；（2）若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程．【解答】解；（1）因为M（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线（a＞0，b＞0）上一点，则，得到，故，又A1（﹣a，0），A2（a，0），则＝，及，解之得；（2）取右焦点F（c，0），一条渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，由于该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，则有，由（1）知，∴a＝5，故双曲线的方程是．22．（12分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2﹣30x+600元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）＝1240﹣，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？【解答】解：（1）P（x）＝50++＝+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40＝220．当且仅当＝x，即x＝90时，等号成立．所以P（x）＝+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（2）设总利润为y＝f（x）＝xQ（x）﹣xP（x）＝﹣，f′（x）＝﹣（x﹣100）（x+120）当f′（x）＞0时，0＜x＜100，所以当产量处于{x|x∈N*，且1≤x＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态．。

命题人： 满分分时间分钟 “为纯虚数”是“=0”的（ ）。

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分，也不必要条件 2．设复数Z满足Zi=2-i，则|Z|=A． B． C． D．3 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为： A．-1 B．0 C．1 D．3 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，则a2等于 A．4 B．2 C．1 D．-2 5．设则（ ） A．都不大于 B．都不小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 6．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度。

如果k>5.024,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为( ) P(k2>k)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k1.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83A 25％B 75％C 2.5％D 97.5％ 7．复数满足，则的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 8．下列几个说法； ①由样本数据得到的线性回归方程=x+，则回归直线必过样本点的中心； ②将一组数据都加上同一个常数后，平均数等于原平均数加上这个常数，方差不变； ③在回归分析中当相关指数R2=1时，表明变量x，y是确定关系． 其中正确命题的个数是 A．3 8．2 C．1 D．0 9．已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为 A． B. C. D． 10．直线y=-3x+m是曲线y=x3-3x2的一条切线，则实数m的值是 A．4 B．3 C．2 D．1 11．已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左右两个焦点，过F1作x轴的垂线交椭圆于点P，若∠F1PF2=，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 12．若函数f(x)=xlnx-a有两个零点，则实数a的取值范围为 A．[0，] B．(-，) C.(0，] D．(-，0) 二、填空题：(每小题5分，共20分) 13．若x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，则|x|＋|y|＝an}是等差数列，a1+ a3+ a5=105，a2+ a4+a6=99，Sn是{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n=． 15．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 16.若数列的通项公式，记， 试通过计算的值，推测出 三、解答题：（本大题共6小题．满分70分） 求证： 18．(12分) 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。

洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1. 设复数满足（为虚数单位），则复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，复数，所以，故选A.考点：复数的概念及复数的运算.2. 已知集合，，且，则实数不同取值个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B．考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程．3. 已知，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，因为所以，即，所以向量和的夹角为,又，所以，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.4. 已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为构成等比数列，所以，解得，所以，故选D.考点：等差数列的通项公式.5. 设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角恒等变换的公式，可得，，因为函数为单调递增函数，所以，所以，故选D.考点：三角函数的化简求值；比较大小.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积（）A. B. C. D.【答案】C7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，…．该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成数列称为“斐波那契数列”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，根据斐波那契数列可知，，所以根据计算的规律可得，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，故选B.考点：归纳推理.8. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（）A. B. C. D.【答案】C9. 已知直线与圆交于不同的两点，．是坐标原点．且有，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选C．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．10. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形．其中正确的结论是（）A. (1)(3)B. (2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】B【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，为了怎样转动，其水面总是正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是长方形或矩形，所以（2）是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以（4）是正确；同时过正方体的中心的平面截正方体的表面得到的截面不可能是三角形和五边形，故选B.考点：空间几何体的结构特征.11. 已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，如图过分别作于，于，连接，由，则，点为的中点，因为点是的中点，则，所以，所以点的横坐标为1，所以点的坐标为，同理可得点，所以点到抛物线准线的距离为，故选A.点睛：本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的定义的应用，着重考查了抛物线的定义的应用，抛物线上的点到焦点的距离等于抛物线上的点到准线的距离，考查了转化与化归的思想方法，把抛物线上的到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离是抛物线问题中常考查的一种形式，平时应注意总结.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有个零点；③的解集为；④，，都有．其中正确命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，当，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以①是正确的；令，可解得，当时，可解得，又函数是定义在上的奇函数，所以有，故函数的零点有2个，所以②是正确的；因为当时，由，解得，当时，由，解得，故的解集为，所以③是不正确的；因为当时，由，图象过点，又，可知当时，，当时，，所以函数处取得极大值，且当时，函数值趋向于，当时，函数值趋向于，由奇函数的图象关于原点对称可作函数的图象，可得函数，所以成立，综上所述正确的个数为3个，故选B.考点：函数性质的综合应用.点睛：本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，函数单调性的应用，函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出函数的图象是解答问题的关键.第Ⅰ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_____．【答案】【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，所以.考点：双曲线的几何性质；14. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为_____．【答案】【解析】由题意得，因为是与的等比中项，所以，又因为，所以，当且仅当是等号是成立的，所以的最小值为.15. 已知，，函数存在零点．若：“且”为真命题，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意得，因为，即当时，取得最小值，此时取得最大值，最大值为，所以；设，则，要是的在存在零点，则，解得，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查了含有量词命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中分离参数求解不等式恒成立问题和熟记二次函数的图象与性质是解答的关键.16. 已知，，，，动点满足且，则点到点的距离大于的概率为______．【答案】【解析】由题意得，因为，所以动点满足且，所以，则点到点的距离为，作出不等式组对应的平面区域，如图所示，因为点到点的距离大于，所以，则对应的部分为阴影部分，由，即点，则,所以正方形的面积为，则阴影部分的面积为，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知的最小正周期为．(1)求的值；(2)在中，角，，所对的边分别是为，，，若，求角的大小以及的取值范围．【答案】(1);(2) ,.【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，得，根据周期，得，即，即可求解的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简，可得，可得，进而求得，即可求解的取值范围.试题解析：(1)∵，由函数的最小正周期为，即，得，∴，∴．（2）∵，∴由正弦定理可得，∴．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．18. 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．(2)随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位：小时)与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：，．【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值共种等可能结果，根据题设条件可得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值共个，即可利用古典概型的概率公式求解概率.（2）根据最小二乘法的公式，求解，得出回归直线方程，即可预测结果.试题解析：(1)设被污损的数字为，则的所有可能取值为：，，，，，，，，，共种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有，，，，，，，共个，所以其概率为．(2)由表中数据得，，，，∴，．线性回归方程为．可预测年龄为观众周均学习成语知识时间为小时．19. 如图，在四棱锥中中，底面是菱形，且，，为的中点，平面平面．(1)求证：；(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，得出，进而证得得出平面平面，进而得出平面，从而证得平面，即可得出；（2）利用等体积法和棱锥的体积公式，即可求解点到的距离.试题解析：(1)证明：取中点，连接，，．底面是菱形，∴．，分别是，的中点，∴，∴．∵，∴．平面平面，平面平面，∴平面，∴，，∴平面，平面，∴．(2)，，，∴，，，在直角和中，∴，在等边中，，∴．．设三棱锥高为，则由得：，∴，点到平面的距离为．20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点的椭圆上的点．(1)求椭圆的标准的方程；(2)若为椭圆上异于顶点的任意一点，、分别是椭圆的上顶点和右顶点，直线交轴于，直线交轴于，证明为定值．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由已知且，，利用椭圆的定义可求得，进而求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，得直线的方程求得和，进而得,即可证明为定值.试题解析：(1)由已知且，∴，∴，从而，故椭圆的方程为．(2)设，其中，且，∴，，，∴直线的方程为，令得，直线的方程，令得，则，，∴,即恒等于．点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出，根据直线和椭圆的方程，化简得到是解答的关键.21. 已知函数，．(1)若，，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图象的切线，求的最小值．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由，可得，得出，利用，即可求解函数的单调区间；（2）设起点坐标为，得出，设，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到的最小值. 试题解析：(1)时，，，，解得，解得，∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．(2)设切点坐标为设切点坐标为，，切线斜率，又，∴，∴,令，，解得，解得，∴在上递减，在上递增．∴，∴的最小值为．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数求解函数在某点处的切线，利用导数求解函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据题意设出切点，得出，进而设出函数，利用导数研究函数的性质是解答的关键.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22. 选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．【答案】(1) :;:;(2) , .【解析】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为．(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为．23. 选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．(1)求的最大值；(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．【答案】(1);(2);，，.【解析】(1)因为.当或时取等号，令所以或．解得或∴的最大值为．(2)∵．由柯西不等式，,∴，等号当且仅当，且时成立．即当且仅当，，时，2的最小值为．。

2016-2017学年河南省洛阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．（5分）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0B．1C．2D．32．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2B．e+1C．e D．e﹣13．（5分）若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错4．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）＝sin x﹣x，则f（x）的单调递减区间为（）A．（0，π）B．（0，）C．（，π）D．（，π）5．（5分）用数学归纳法证明++…+≥，从n＝k到n＝k+l，不等式左边需添加的项是（）A．++B．++﹣C．D．6．（5分）抛物线y＝4﹣x2与直线y＝4x的两个交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动，当△P AB的面积为最大时，点P的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣2，0）C．（﹣1，3）D．（0，4）7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝08．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数9．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤310．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15B．16C．17D．1811．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝（30.3）•f（30.3），b ＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b12．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝ax3+f'（2）x2+3，若f'（1）＝﹣5，则a＝．15．（5分）已知正三角形内切圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的．16．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知函数，证明：f（x）≤1．18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+2，当x＝1时，函数f（x）取极值0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足+＝．20．（12分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2﹣30x+600元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）＝1240﹣，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，s n＝n2a n（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3，S4；（2）猜想{a n}的前n项和S n的公式，并用数学归纳法证明．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+）+，g（x）＝lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果关于x的方程g（x）＝x+m有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）＝kg（x）有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．2016-2017学年河南省洛阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．（5分）设曲线y＝ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：，∴y′（0）＝a﹣1＝2，∴a＝3．故选：D．2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2B．e+1C．e D．e﹣1【解答】解：（2x+e x）dx＝（x2+e x）＝（1+e）﹣（0+e0）＝e．故选：C．3．（5分）若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选：A．4．（5分）已知定义在（0，π）的函数f（x）＝sin x﹣x，则f（x）的单调递减区间为（）A．（0，π）B．（0，）C．（，π）D．（，π）【解答】解：∵y＝sin x﹣x，∴y′＝cos x﹣，令y′＜0，结合x∈（0，π）可得x，故函数的单调递减区间为（，π）故选：C．5．（5分）用数学归纳法证明++…+≥，从n＝k到n＝k+l，不等式左边需添加的项是（）A．++B．++﹣C．D．【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为++…+，当n＝k+1时，左边的代数式为+…++++，故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为++﹣，故选：B．6．（5分）抛物线y＝4﹣x2与直线y＝4x的两个交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动，当△P AB的面积为最大时，点P的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣2，0）C．（﹣1，3）D．（0，4）【解答】解：设点P的坐标为（a，b），要使△P AB的面积最大，即使点P到直线y＝4x距离最大，故过点P的切线与直线y＝4x平行，∵y＝4﹣x2，∴y′＝﹣2x，∴过点P的切线得斜率为k＝y'＝﹣2x|x＝a＝﹣2a，∴﹣2a＝4，即a＝﹣2，∴b＝4﹣（﹣2）2＝0．∴P点的坐标为（﹣2，0）时，△P AB的面积最大．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．（1）当△＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下由表格可知：①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．②∵+f（x）＝+x3+ax2+bx+c＝﹣+2c，＝，∵+f（x）＝，∴点P为对称中心，故B正确．③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确．④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；②B同（1）中②正确；③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即∃x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．综上可知：错误的结论是C．由于该题选择错误的，故选：C．8．（5分）已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x＝1处取得极小值B．f（x）在x＝1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数【解答】解：由图象易知f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上是增函数．故选：C．9．（5分）已知f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ax在（﹣∞，﹣1]上是单调函数，∴f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，即f′（x）＝3x2﹣a≥0在（﹣∞，﹣1]上恒成立，即a≤3x2在（﹣∞，﹣1]上恒成立，∵3x2≥3，∴a≤3，即实数a的取值范围是（﹣∞，3]，故选：D．10．（5分）将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15B．16C．17D．18【解答】解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45＝1980，45×46＝2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；（2015﹣1979）÷2＝18，故2015所在的列数为18，故选：D．11．（5分）已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝（30.3）•f（30.3），b ＝（logπ3）•f（logπ3），c＝（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y＝f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞＝﹣2，2＝﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a＝时，直线y＝2ax﹣1与y＝lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．简解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），则f′（x）＝lnx﹣ax+x（﹣a）＝lnx﹣2ax+1，令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，可得2a＝有两个不同的解，设g（x）＝，则g′（x）＝，当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，可得g（1）取得极大值1，作出y＝g（x）的图象，可得0＜2a＜1，即0＜a＜，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y＝x3与直线y＝4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx＝（2x2﹣x4）|02＝8﹣4＝4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：414．（5分）已知函数f（x）＝ax3+f'（2）x2+3，若f'（1）＝﹣5，则a＝1．【解答】解：根据题意，f（x）＝ax3+f'（2）x2+3，则f′（x）＝3ax2+2f'（2）x，当x＝2时，有f′（2）＝12a+4f'（2），解可得f′（2）＝﹣4a，当x＝1时，有f′（1）＝3a+2f'（2）＝﹣5，又由f′（2）＝﹣4a，将其代入f′（1）＝3a+2f'（2）＝﹣5中，解可得a＝1；故答案为：1．15．（5分）已知正三角形内切圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的．【解答】解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S×r＝×S×h，故r＝h（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故答案为：．16．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围为．【解答】解：∵g（x）＝x﹣lnx∴g'（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）＝e﹣1∵f（x）＝x+∴f'（x）＝，令f'（x）＝0∵a＞0∴x＝a当0＜a＜1 f（x）在[1，e]上单调增f（1）最小＝1+a2≥e﹣1∴1＞a≥当1≤a≤e列表可知f（a）最小＝2a≥e﹣1 恒成立当a＞e时f（x）在[1，e]上单调减f（e）最小＝≥e﹣1 恒成立综上a≥故答案为：a≥三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．（10分）已知函数，证明：f（x）≤1．【解答】证明：f（x）≤1，只需要证明lnx+1≤x．令g（x）＝lnx﹣x+1，g'（x）＝﹣1x≥1时，g'（x）≤0，所以g（x）是减函数；0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＝lnx﹣x+1≤g（1）＝0，∴lnx+1≤x，∴．18．（12分）若函数f（x）＝ax3﹣bx+2，当x＝1时，函数f（x）取极值0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝k有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解（1）由题意可知f′（x）＝3ax2﹣b．故所求的函数解析式为f（x）＝x3﹣3x+2．（2）由（1）可知f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1）．令f′（x）＝0得x＝1或x＝﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：因此，当x＝﹣1时，f（x）有极大值4，当x＝1时，f（x）有极小值0，故实数k的取值范围为（0，4）．19．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足+＝．【解答】证明：要证，只需证（b+c）（a+b+c）+（a+b）（a+b+c）＝3（a+b）（b+c），即只需证a2﹣b2+c2﹣ac＝0，①又在△ABC中，角A、B、C的度数成等差数列，有B＝60°，则cos B＝，即a2﹣b2+c2﹣ac＝0，即①式显然成立，从而得证．20．（12分）某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2﹣30x+600元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）＝1240﹣，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？【解答】解：（1）P（x）＝50++＝+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40＝220．当且仅当＝x，即x＝90时，等号成立．所以P（x）＝+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（2）设总利润为y＝f（x）＝xQ（x）﹣xP（x）＝﹣，f′（x）＝﹣（x﹣100）（x+120）当f′（x）＞0时，0＜x＜100，所以当产量处于{x|x∈N*，且1≤x＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态．21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，s n＝n2a n（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3，S4；（2）猜想{a n}的前n项和S n的公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）S1＝a1＝1由题意知，S2＝4a2＝4（S2﹣S1），∴S2＝，S3＝9a3＝4（S3﹣S2），∴S3＝同理得，S4＝（2）由（1）S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝，S4＝＝猜想{a n}的前n项和S n＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，S1＝1＝，故结论成立，②假设当n＝k时，猜想成立，即S k＝，那么当n＝k+1时，S k+1＝S k+a k＝+，∴[1﹣]S k+1＝，∴S k+1＝•＝＝即当n＝k+1时，结论也成立综上①②知，对n∈N*时，S n＝，即{a n}的前n项和S n＝22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+）+，g（x）＝lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果关于x的方程g（x）＝x+m有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）＝kg（x）有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）f（x）＝ln（x+）+（x＞﹣，且x≠0），f′（x）＝﹣＝﹣，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或3．x，f（x），f′（x）随x变化情况如下表：（﹣∴f（x）的单调递增区间是（﹣，﹣1）和（3，+∞），单调递减区间是（﹣1，0）和（0，3）．…（4分）（2）g（x）＝lnx＝x+m，∴m＝lnx﹣x，（x＞0）取t（x）＝lnx﹣x，（x＞0），则t′（x）＝﹣，（x＞0），令t′（x）＝0得，x＝2；∴x，t（x），t′（x）随x变化情况如下表：∴当x＝2时，t（x）取得极大值t（2）＝ln2﹣1，也是最大值，∴m≤ln2﹣1．…（8分）（3）h（x）＝f（x）﹣kg（x）＝ln（x+）+﹣klnx，（x＞0），∴h′（x）＝﹣﹣＝﹣﹣＝＝，取p（x）＝2（1﹣k）x2﹣（3k+4）x﹣6，（x≥0）…（10分）对称轴x＝﹣＝﹣，当k＞1时，p（x）图象开口向下，﹣＜0，∴p（x）在（0，+∞）上单调递减，p（x）＜p（0）＝﹣6＜0∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）＝0不可能有两个不等实根．当k＝1时，p（x）＝﹣7x﹣6＜0，同理h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）＝0不可能有两个不等实根．当0＜k＜1时，p（x）图象开口向上，又p（0）＝﹣6＜0，此时p（x）＝0在（0，+∞）有且仅有一根，设为x0．对x∈（0，x0），p（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减；对x∈（x0，+∞），p（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）上单调递增；h（x）min＝h（x0）＝ln（x0+）+﹣klnx0，又p（1）＝2（1﹣k）•12﹣（3k+4）•1﹣6＝﹣8﹣5k＜0，∴x0＞1，lnx0＞0，∴ln（x0+）＞lnx0＞klnx0（0＜k＜1），＞0，∴h（x0）＞0，此时h（x）＝0没有实数根．综上所述，不存在正数k，使得关于x的方程f（x）＝kg（x）有两个不相等的实根…（15分）。

洛阳一中2015-2016学年第一学期高二年级月考（文科）(数学)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.“”是“”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.抛物线上的点与焦点的距离为，则与准线的距离为（）A. B. C. D.3.曲线在点处的切线斜率是（）A. B. C. D.4.已知命题：，，则（）．A.：，B.：，C.：，D.：，5.双曲线的焦距是（）．A. B. C. D.与有关6.设函数是Ｒ上可导的函数，则的值为（）．A. B. C.D.7.已知椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，则P到另一焦点距离为( )A.２B.３C.５D.７8.已知命题：若，则，则其原命题、否命题、逆命题、逆否命题四个命题中正确的个数是（）．A. B. C. D.9.已知函数，其导函数的图象如图，则（）．A.在上为减函数B.在上为减函数C.在上为减函数D.在上为减函数10.已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为()A. B. C. D.11.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别()A.单调递增，单调递减B.单调递增，单调递增C.单调递减，单调递增D.单调递减，单调递减12.双曲线的两焦点为，在双曲线上且满足，则的面积为（）．A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.是的导函数，则的值是．14.抛物线y=−x28的准线方程是____________．15.与直线平行的抛物线的切线方程是__________．16.若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是______．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知命题P：“若ac≥0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”．(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长是虚轴长的3倍，且过点(32,1)，求双曲线的标准方程及离心率．19.已知函数，.（1）求的值（2）求函数的最大最小值20.已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点.（1）求直线的方程；（2）求的长．21.设函数f(x)=e ax,a∈R．x+1(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)单调区间．22.已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值．(1)试求动点的轨迹方程；(2)设直线与曲线交于M．N两点，当时，求直线的方程．洛阳一中2015-2016学年第一学期高二年级月考（文科）(数学)答案和解析【答案】1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.D8.B9.C 10.A 11.C 12.A13. 214.y=215. 4x-y+2=0.16. .17.解：(1)命题P的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2+bx+c=0有实根”．…(5分) (2)命题P的否命题是真命题．…(7分)证明如下：∵ac＜0，∴-ac＞0，⇒△=b2-4ac＞0，⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根．∴该命题是真命题．…(12分)18.解：∵中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，过点实轴长是虚轴长的3倍且实轴长是虚轴长的3倍，∴18a2−1b2=1a=3ba2+b2=c2，解得a=3，b=1，c=10∴双曲线C的标准方程为x29−y2=1，离心率e=ca =103．19. （1）-9；（2）函数的最大最小值分别是：10，-71.20. （1）y=x-1；（2）8.21.解：因为f(x)=e axx+1，所以f′(x)=eax(ax2−2x+a)(x2+1)2．(Ⅰ)当a=1时，f(x)=e xx+1，f′(x)=ex(x2−2x+1)(x+1)，所以f(0)=1，f'(0)=1．所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为x-y+1=0．…(4分)(Ⅱ)因为f′(x)=e ax(ax2−2x+a)(x+1)=e ax(x+1)(ax2−2x+a)，…(5分)(1)当a=0时，由f'(x)＞0得x＜0；由f'(x)＜0得x＞0．所以函数f(x)在区间(-∞，0)单调递增，在区间(0，+∞)单调递减．…(6分) (2)当a≠0时，设g(x)=ax2-2x+a，方程g(x)=ax2-2x+a=0的判别式△=4-4a2=4(1-a)(1+a)，…(7分)①当0＜a＜1时，此时△＞0．由f'(x)＞0得x<1− 1−a2a ，或x>1+1−a2a；由f'(x)＜0得1− 1−a2a <x<1+1−a2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1− 1−a2a )和(1+1−a2a,+∞)，单调递减区间(1− 1−a2a ,1+1−a2a)．…(9分)②当a≥1时，此时△≤0．所以f'(x)≥0，所以函数f(x)单调递增区间是(-∞，+∞)．…(10分) ③当-1＜a＜0时，此时△＞0．由f'(x)＞0得1+1−a2a <x<1− 1−a2a；由f'(x)＜0得x<1+1−a2a ，或x>1− 1−a2a．所以当-1＜a＜0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+1−a2a )和(1− 1−a2a,+∞)，单调递增区间(1+1−a2a ,1− 1−a2a)．…(12分)④当a≤-1时，此时△≤0，f'(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(-∞，+∞)．…(13分)22.解：(1)设点，则依题意有，整理得，由于，所以求得的曲线C的方程为．(2)由，消去得，解得x1="0,"x2=分别为M，N的横坐标)由得，所以直线的方程或【解析】1. 解：当x=2.5时，满足x＞2，但x＞3不成立，当x＞3时，一定有x＞2成立．所以“x＞2”是“x＞3”的必要不充分条件．故选B．2. 解：由抛物线的定义可得，点P到焦点的距离等于点P到其准线的距离，依题意点P与焦点的距离为8，则P到准线的距离为8．故答案选：B．3. 解：，，，故答案选：C.4. 解：∵命题P为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，得￢P：∃x∈R，有sinx＞1．故答案为：C.5. 解：由题意可得，，焦距2c=8，故答案选：C．由题意可得，焦距2c=8，故选A．考点：双曲线的简单性质．6. 解：根据定积分的定义和几何性质，∴=，故答案选：A.7. 【解析】试题分析：由已知，2a=10，而P到椭圆一个焦点的距离为３，所以P到另一焦点距离为2a－3=7,故选D。

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2016-2017学年高二春期第一次月考数学（理科）一、选择题：1—5DC CCB 6—10ADCDC 11-12DA二、填空题：13。

1 14. )21,21(- 15. 430x y --= 16。

（﹣∞,2ln2﹣2）三、解答题17. ∵()32f x x bx cx =++,∴()232f x x bx c '=++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =。

18.解：证：（1)在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22, ∴AB =2，ABCD 为正方形,因此BD ⊥AC 。

∵PA ⊥平面ABCD ，BD平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC 。

(2）∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ,设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，有d S PA S PBD BCD••=••∆∆3131， 即d•••=⨯⨯⨯•0260sin )22(21312222131，得332=d 法二证：1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0,2,0)、P （0，0， 2）。

2016-2017学年河南省洛阳一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．32．定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣13．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错4．已知定义在（0，π）的函数f（x）=sinx﹣x，则f（x）的单调递减区间为（）A．（0，π）B．（0，）C．（，π）D．（，π）5．用数学归纳法证明++…+≥，从n=k到n=k+l，不等式左边需添加的项是（）A． ++ B． ++﹣C．D．6．抛物线y=4﹣x2与直线y=4x的两个交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动，当△PAB的面积为最大时，点P的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（﹣2，0） C．（﹣1，3） D．（0，4）7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃xα∈R，f（xα）=0B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．若xα是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，xα）单调递减D．若xα是f（x）的极值点，则f′（xα）=08．已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在x=1处取得极小值B．f（x）在x=1处取得极大值C．f（x）是R上的增函数D．f（x）是（﹣∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数9．已知f（x）=x3﹣ax在（﹣∞，﹣11，e上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系转化为f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1上是单调函数，∴f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1上恒成立，即a≤3x2在（﹣∞，﹣1，故选：D．10．将正奇数按照如卞规律排列，则2015所在的列数为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】F1：归纳推理．【分析】第一行有1个奇数，第二行有2个奇数，…第n行有n个奇数，每行的最后的奇数是第1+2+3+…+n=（1+n）×n÷2个奇数，这个奇数是2×（1+n）×n÷2﹣1=（1+n）×n﹣1，这就是行数n和这行的最后一个奇数的关系，依照这个关系，采用试商法，看2015所在行的最后一个奇数是多少，上一行的最后一个奇数是多少，推算出它所在的行和是第几个数，即可得解．【解答】解：依据规律，第n排最后一个数为n×（n+1）﹣1，经试商，44×45=1980，45×46=2070，则知道，第44行末数字为1979；第45行最后数字是2069；÷2=18，故2015所在的列数为18，故选：D11．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】3F：函数单调性的性质；63：导数的运算；72：不等式比较大小．【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2，2=﹣，∴（﹣）f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选B．12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫02（4x﹣x3）dx，而∫02（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|02=8﹣4=4∴曲边梯形的面积是4，故答案为：414．已知函数f（x）=ax3+f'（2）x2+3，若f'（1）=﹣5，则a=1．【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，先对f（x）求导可得：f′（x）=3ax2+2f'（2）x，令x=2可得f′（2）=12a+4f'（2），解可得f′（2）=﹣4a，再令x=1可得f′（1）=3a+2f'（2）=﹣5，联立两个式子，计算可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=ax3+f'（2）x2+3，则f′（x）=3ax2+2f'（2）x，当x=2时，有f′（2）=12a+4f'（2），解可得f′（2）=﹣4a，当x=1时，有f′（1）=3a+2f'（2）=﹣5，又由f′（2）=﹣4a，将其代入f′（1）=3a+2f'（2）=﹣5中，解可得a=1；故答案为：1．15．已知正三角形内切圆的半径是高的，若把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体的内切球的半径是高的．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．【解答】解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S×r=×S×h，故r=h（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故答案为：．16．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈，都有f（x1）≥g （x2）成立，则实数a的取值范围为．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f （x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可．【解答】解：∵g（x）=x﹣lnx∴g'（x）=1﹣，x∈，g'（x）≥0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）=e﹣1∵f（x）=x+∴f'（x）=，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a+a2≥e﹣1∴1＞a≥当0＜a＜1 f（x）在上单调增f（1）最小=1≥e﹣1 恒成立当1≤a≤e 列表可知f（a）最小=2a当a＞e时f（x）在上单调减f（e）≥e﹣1 恒成立最小=综上a≥故答案为：a≥三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知函数，证明：f（x）≤1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】令g（x）=lnx﹣x+1，g'（x）=﹣1，确定函数的单调性，证明g（x）=lnx﹣x+1≤g（1）=0，即可证明结论．【解答】证明：f（x）≤1，只需要证明lnx+1≤x．令g（x）=lnx﹣x+1，g'（x）=﹣1x≥1时，g'（x）≤0，所以g（x）是减函数；0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）=lnx﹣x+1≤g（1）=0，∴lnx+1≤x，∴．18．若函数f（x）=ax3﹣bx+2，当x=1时，函数f（x）取极值0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值点以及极值，求解a，b即可．（2）求出函数的极值点判断函数的单调性，推出函数的极值，然后求解k的范围．【解答】解（1）由题意可知f′（x）=3ax2﹣b．故所求的函数解析式为f（x）=x3﹣3x+2．（2）由（1）可知f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）．令f′（x）=0得x=1或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x=﹣1时，f（x）有极大值4，当x=1时，f（x）有极小值0，故实数k的取值范围为（0，4）．19．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：对应三边a，b，c满足+=．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用分析法结合等差数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理即可证明．【解答】证明：要证，只需证（b+c）（a+b+c）+（a+b）（a+b+c）=3（a+b）（b+c），即只需证a2﹣b2+c2﹣ac=0，①又在△ABC中，角A、B、C的度数成等差数列，有B=60°，则cosB=，即a2﹣b2+c2﹣ac=0，即①式显然成立，从而得证．20．某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x2﹣30x+600元（其中x为产品件数）．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）=1240﹣，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态（生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大）？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用函数与导数知识方法求解．【解答】解：（1）P（x）=50++=+x+40．由基本不等式得P（x）≥2+40=220．当且仅当=x，即x=90时，等号成立．所以P（x）=+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．（2）设总利润为y=f（x）=xQ（x）﹣xP（x）=﹣，f′（x）=﹣（x﹣100）（x+120）当f′（x）＞0时，0＜x＜100，所以当产量处于{x|x∈N*，且1≤x＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，s n=n2a n（n∈N*）．（1）求S1，S2，S3，S4；（2）猜想{a n}的前n项和S n的公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）根据题设条件知S1=a1=1，S2=4a2=，S3=9a3=，S4=16a4=．（2）猜想S n=，再用数学归纳法对这个猜想加以证明．【解答】解：（1）S1=a1=1由题意知，S2=4a2=4（S2﹣S1），∴S2=，S3=9a3=4（S3﹣S2），∴S3=同理得，S4=（2）由（1）S1=1=，S2==，S3==，S4==猜想{a n}的前n项和S n=，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，S1=1=，故结论成立，②假设当n=k时，猜想成立，即S k=，=S k+a k=+，那么当n=k+1时，S k+1=，∴S k+1=•==∴S k+1即当n=k+1时，结论也成立综上①②知，对n∈N*时，S n=，即{a n}的前n项和S n=22．已知函数f（x）=ln（x+）+，g（x）=lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果关于x的方程g（x）=x+m有实数根，求实数m的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f（x）=kg（x）有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）依题意，可求得f′（x）=﹣，令f′（x）=0可解得：x=﹣1或3，列出x，f（x），f′（x）随x变化情况表，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）可求得m=lnx﹣x，（x＞0），构造函数t（x）=lnx﹣x，（x＞0），通过t′（x）可求得t（x）max，从而可求得m的范围；（3）由h（x）=f（x）﹣kg（x）=ln（x+）+﹣klnx，（x＞0），可求得h′（x）=，取p（x）=2（1﹣k）x2﹣（3k+4）x﹣6，（x≥0），通过对k 的取值情况的讨论，可判断h（x）=0的根的情况，从而可得答案．【解答】解：（1）f（x）=ln（x+）+（x＞﹣，且x≠0），f′（x）=﹣=﹣，令f′（x）=0，解得：x=﹣1或3．x，f（x），f′（x）随x变化情况如下表：x （﹣，﹣1）﹣1（﹣1，0）（0，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣﹣0+f（x）↗↘↘↗∴f（x ）的单调递增区间是（﹣，﹣1）和（3，+∞），单调递减区间是（﹣1，0）和（0，3）．…（2）g（x）=lnx=x+m，∴m=lnx ﹣x，（x＞0）取t（x）=lnx ﹣x，（x＞0），则t′（x）=﹣，（x＞0），令t′（x）=0得，x=2；∴x，t（x），t′（x）随x变化情况如下表：x（0，2）2（2，+∞）t′（x）+0﹣t（x）↗↘∴当x=2时，t（x）取得极大值t（2）=ln2﹣1，也是最大值，∴m≤ln2﹣1．…（3）h（x）=f（x）﹣kg（x）=ln（x +）+﹣klnx，（x＞0），∴h′（x）=﹣﹣=﹣﹣==，取p（x）=2（1﹣k）x2﹣（3k+4）x﹣6，（x≥0）…对称轴x=﹣=﹣，当k＞1时，p（x ）图象开口向下，﹣＜0，∴p（x）在（0，+∞）上单调递减，p（x）＜p（0）=﹣6＜0∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）=0不可能有两个不等实根．当k=1时，p（x）=﹣7x﹣6＜0，同理h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）=0不可能有两个不等实根．当0＜k＜1时，p（x）图象开口向上，又p（0）=﹣6＜0，此时p（x）=0在（0，+∞）有且仅有一根，设为x0．对x∈（0，x0），p（x）＜0，h'（x）＜0，h（x）在（0，x0）上单调递减；对x∈（x0，+∞），p（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（x0，+∞）上单调递增；h（x）=h（x0）=ln（x0+）+﹣klnx0，min又p（1）=2（1﹣k）•12﹣（3k+4）•1﹣6=﹣8﹣5k＜0，∴x0＞1，lnx0＞0，∴ln（x0+）＞lnx0＞klnx0（0＜k＜1），＞0，∴h（x0）＞0，此时h（x）=0没有实数根．综上所述，不存在正数k，使得关于x的方程f（x）=kg（x）有两个不相等的实根…2017年6月12日。