3-00线性规划简介及引例及模型

线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
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线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
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总结词：几何方法
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详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
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单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

cj(j1,2, ,n)称为价值系数或目标函数系数
bi(i1,2, ,m) 称为资源常数或约束右端常数
a ij 0 (i= 1 ,..,m ;j= 1 ,..,n ) 称为技术系数或约束系数
概 念 和 模 型
紧缩形式：
n
max（或min） Z c j x j j 1 n max z cj xj j 1
24
x1 , x 2 0
(1.1a) (1.1b) (1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
图
由于线性规划模型中只有两个决策 变量，因此只需建立平面直角坐标系就
解
可以进行图解了。
法
1.建立平面直角坐标系，标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。
2.对约束条件加以图解，找出可行域。
定理 如果向量 的第 k 个分量k 0 ，而向量 B 1 Ak 0 ， 则原问题无界。
定理 对于非退化的基本可行解 x ，若向量 的第 k 个分量 k 0 ，而向量 B 1 Ak . 至少有一个正分量，则可以找到一个新的 基本可行解 xˆ 使得 c xˆ c x 。
给定一个非退化的基可行解 x ，对应的可行基为 B ，则等式约束变为：
解 的 概 念
线性规划问题
可行解：
n
max z c j x j j 1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
(i 1,.., m)
x
j
0
（j 1,2, , n）
变量满足所有约束条件的一组值
可行解集：
所有可行解构成的集合
可行域：
可行解集构成n维空间的区域
AX b
x
0
D {x|Ab xx ,0 }

第六年所掌握的资金最多。
解：设x1为第一年的投资; x2为 第一年的保留资金
x1+ x2 第二年： x3为=第10二0 年新的投资； x4：第二年的保 留资金；
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( x1 2
x3 )
x4
x2
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第三年：x5为新的投资；x6：第三年的保留资金；
(
x3 2
x5 )
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线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是：
1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值；
x7
x j 0, j
2 x 8 2 x9 1,2,,9
0
用单纯形法解得：X＝（22.64，72.36，58.54，0， 26.02， 0，104.06，0，0）’。Z＝208.12。
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即：第一年投资22.64元; 第二年新投资58.54元; 第三年新投资26.02元; 第四年新投资104.06元; 第六年末有资金208.12万元。
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为了书写方便，上式也可写成
n
max(min) Z c j x j j 1
n j 1
aij
x
j
(或
,)bix j 0 j 1,2,, ni 1,2,, m
在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。
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线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、求解方法以及相关的应用案例。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一组线性等式或者不等式，称为约束条件。

3. 变量：线性规划中的决策变量是用来表示问题中需要决策的量，可以是实数或者非负实数。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。

二、模型建立方法1. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。

2. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性等式或者不等式。

3. 确定变量范围：确定变量的取值范围，可以是实数或者非负实数。

4. 建立数学模型：将目标函数和约束条件整合成一个数学模型。

三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

该方法通过逐步迭代，不断改变可行解以找到最优解。

3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。

该方法将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过特定的算法求解最优解。

四、应用案例1. 生产计划问题：某工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料消耗和利润都不同。

通过线性规划，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

2. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户，每一个仓库和客户之间的运输费用和容量都不同。

通过线性规划，可以确定最优的运输方案，以最小化总运输成本。

3. 资源分配问题：某公司有限的资源需要分配给多个项目，每一个项目的收益和资源需求都不同。