对称性及守恒定律
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第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -=η （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d η= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i η的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d ηηη-== （２） 此式遍乘2η即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1ηη （１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=ηη ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ*ηη 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅ϖϖϖμ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅ϖϖ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d ϖϖηϖϖ⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μϖϖ )],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂=η，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ϖϖ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i ηηη=+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆη （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ηηϖϖμ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=ϖημ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ϖϖϖμ2ˆ)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆϖϖ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d ϖϖϖϖϖτμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=ϖ21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
根据前一题的结论：V rT ∀⋅=ˆ2ϖ （２） 现在试行计算本题条件下V r ∀⋅ϖ的式子及其定态下平均值。
zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅ϖ∑∂∂+∂∂+∂∂=k j i ijk z y x C zz y y x x)( ∑∑∑---++=111k j i ijk k j i ijk k j i ijkz y x kC z z y x jC y z y x iC x∑++=ijkk j i ijkz y x Ck j i )(),,(z y x nV =这个关系在数学分析中称Euler 的齐次式定理。
再利用（２）即得：V n T =2 （３）本证明的条件只要V r ∀⋅不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。
现将其直接用于几种特例，并另用（２）式加以验证。
（１）谐振子：)(2232221z y x V ωωωμ++=直接看出2=n ，根据（３）式知道V T 22=，即 V T =也可以根据前一题的结论，即（２）式直接来验证前一结论zVz y V y x V xV r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅ z z y y x x 321μωμωμω⋅+⋅+⋅=V z y x 2)(232221=++=ωωωμV V r 2=∀⋅ϖ，由（３）式可知V T =（２）库仑场 2221zy x V ++=直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅ϖ2/32222/32222/3222)()()(z y x zz z y x y y z y x x x ++-⋅+++-⋅+++-⋅= V z y x -=++-=2221 V V r -=∀⋅ϖ代入（２）式，亦得到 V T -=2（３）场2222)(),,(n nz y x C Cr z y x V ++== 直接看出Ｖ是z y x ,,的n 次齐次式，故由（３）式得：V n T =2仍根据（２）式来验证：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∀⋅ϖ)2()(2)2()(21222212222y z y x n y x z y x n x nn⋅++⋅+⋅++⋅=--)2()(212222z z y x n z n ⋅++⋅+-V n z y x n n =++=2222)(由（２）得 V n T =2，结果相同。
本小题对于n 为正、负都相适，但对库仑场的奇点0=r 除外。
［５］证明，对于一维波包：)(12px xp x dt d +=μ（解）一维波包的态中，势能不存在故μ2ˆˆ2x p H = （自由波包） 依据力学量平均值时间导数公式：]2ˆ,ˆ[1]ˆ,ˆ[12222μx px i H xi x dt d ηη== ]ˆ,ˆ[2122x p x iημ=（２）但 222222ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[x p p x p xx x x -= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x p p x p x p x p x p x p p x xx x x x x x x x -+-= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x x p p x p x p x p x p x p p xx x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x xx x x x x x x x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[ˆ+++= （３） 因 i p xx η=]ˆ,ˆ[ )ˆˆˆˆ(2]ˆ,ˆ[22x p p xi p x x x x +=η （４） 代入（２）式，得到待证的一式。
［６］求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。
（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(ˆt A应满足：]ˆ,ˆ[1ˆH A idt A d η= （１）又对于自由粒子，有μ2ˆˆ2p H =（p ˆϖ不随时间t 变化） 令)(ˆ)(ˆt x t A=为海氏表象座标算符；代入（１）]2ˆ),(ˆ[1)(ˆ2μpt x i dt t x d η=]ˆ),(ˆ[21)(ˆ2p t xidt t x d ημ= （２） 但 x p p x p t xˆˆˆˆ]ˆ),(ˆ[222-= x p p p x p p x p p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+-= p i p x p p p xˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[η=+= （３） 代入（２），得： μμpi p i dt t x d ˆ21ˆ2)(ˆ==ηη积分得 C t pt x+=μˆ)(ˆ将初始条件0=t 时，)0(ˆ)(ˆx t x =代入得)0(x C =，因而得到一维座标的海氏表象是： )0(ˆˆ)(ˆxt pt x+=μ［７］求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。
