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2014线性代数强化

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2 0 −1 3 2 4 x − 9 −2 6 2 −3 −1 x + 1 0 −2 3 0 1
5 0 3 −1 2 10 x − 9 −2 6 c1 − 3c3 2 0 0 −1 x + 1 −2 0 0 1
−1 x 2 + 1 = = 5 ( x 2 − 9 )(1 − x 2 ) = 0 ， 2 10 x − 9 1 −2 5 0
0 0 0 0 0 0 ． # # 1 α +β
【解】 按第 1 列展开
Dn = (α + β ) Dn −1 − αβ Dn − 2 ⇒ Dn − α Dn −1 = β ( Dn −1 − α Dn − 2 ) = β n − 2 ( D2 − α D1 ) = β n ，
故得递推公式
Dn = α Dn −1 + β n ．
第一章
【重要题型】 抽象行列式的计算 【方法】 1. n 阶行列式的计算方法有
行列式
①化为三角（尤其是上三角）行列式（注意：提取公因子，加边，列变换） ． ②利用行列式展开定理，用归纳递推法（注意：选择外围的某行或某列，最 多只有两个非零元素） ． 2.低阶行列式的计算法 ①利用行列式性质化为上三角或展开计算． ②利用范得蒙行列式结论计算．
3
⎛ α ⎞ ⎛β ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2γ 2 ⎟ γ ⎜ 【例 1.11】 设 4 阶矩阵 A = ， B = ⎜ 2 ⎟ ，其中 α ， β ， γ 2 ， γ 3 ， γ 4 均为 4 ⎜ 3γ 3 ⎟ ⎜γ3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4γ 4 ⎠ ⎝γ 4 ⎠
维行向量，且已知 A = 8 ， B = 1 ，则 A − B = _____．
i =1
1 xi
1 x1 0 # 0
1
"
Dn =
0 0 # 0
0 " x2 " # 0 %
⎞ ⎟ x1 x2 " xn ． ⎠
" xn
【例 1.6】
2 2 −1 3 4 x 2 − 5 −2 6 设 = 0 ，求 x ． 2 −3 −1 x + 1 2 −2 −2 3 1
【解】
2 2 −1 3 2 4 x − 5 −2 6 c2 + 2c3 2 2 −3 −1 x + 1 −2 −2 3 1
1 4 42 43
= −10 × ( 2 − 1) × ( 3 − 1) × ( 4 − 1) × ( 3 − 2 ) × ( 4 − 2 ) × ( 4 − 3) = −120 ．
α +β
【例 1.3】当 α ≠ β 时，计算 Dn = 1 0 # 0
αβ α +β
1 # 0
" αβ " α +β " # % 0 " 0
【知识点】代数余子式
⎛ a11 ⎜ 设 A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31 a12 a22 a32 a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ ，则 a33 ⎟ ⎠
① A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 ( i = 1，， 2 3) ． ② ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + ai 3 Aj 3 = 0，i ≠ j ．
1 + x1
1
"
1 1 1
【例 1.5】计算 Dn =
1 # 1
1 + x2 " # % 1
，其中 x1 x2 " xn ≠ 0 ．
" 1 + xn
【解】用加边法
1 1 0 1 + x1 Dn = 0 # 0 1 # 1 1 1 # 1 " " 1 1 1
，
1 + x2 "
% # " 1 + xn
将 Dn 中第 1 行乘以 −1 ，依次加到以下各行，得
由 Dn 中 α 与 β 的对称性可得另一递推公式
Dn = β Dn −1 + α n ．
当 α ≠ β 时，消去 Dn −1 ，得
(α − β ) Dn = α n +1 − β n +1 ，
所以
α n +1 − β n +1 Dn = ． α −β
注 当 α = β 时，有
Dn = αDn −1 + α n = α αDn − 2 + α n −1 + α n = α 2 Dn − 2 + 2α n = " = α n −1 D1 + (n − 1)α n = α n −1 2α + (n − 1)α n = (n + 1)α n ．
1 2 1 22 【例 1.2】计算 D = 1 23 9 8
3 32 33 7
4 42 ． 43 6
【解】将第 1 行加到第 4 行，并提出公因子 10,得
1
1 2 1 22 D = 10 1 23 1 1
3 32 33 1
4 1 1 2 4 1 2 = −10 3 4 1 22 1 1 23
1 3 32 33
则 x = ±3 或 x = ± 1 ．
【知识点与方法】抽象行列式的主要结论
4
①
A C A O = = A B． O B C B
n −1
②设 A 为 n 阶方阵，则 A* = A
．
③设 A 为 n 阶方阵，则 A = λ1λ2 " λn ． ④设 A ， B 为 n 阶方阵，则 AB = A B ． 【例 1.7】 设 A 为 n 阶方阵， α ，β 为 n 维行向量，a ， b ，c 为常数， 已知 A = a ，
⎛1 0 0⎞ −1 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ * 【例 1.9】 设 A = ⎜ 2 2 0 ⎟ ， A 为 A 的伴随矩阵，则 ⎜ A ⎟ − 15 A* = _____． ⎝4 ⎠ ⎜ 3 4 5⎟ ⎝ ⎠
【解】因为 A* = A A−1 = 10 A−1 ，所以
( −146 ) ． 3 1 ⎛1 ⎞ * −1 −1 −1 = ⎜ A ⎟ − 15 A = 4 A − 150 A = −146 A = ( −146 ) A 10 ⎝4 ⎠
a1 0 b1 a2 0 # 0 0 0 " b2 " a3 " # 0 0 % 0 0 0 # 0 0 0 # = _____．
【例 1.1】 Dn =
0 # 0 bn
" an −1 bn −1 " 0 an
【解】按第一列展开
Dn = a1a2 " an + ( −1)
n +1
b1b2 "bn ．
6
a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + a24 A24 = D
⇒ 1 × 4 + ( − 5 ) a + 0 × ( −3 ) + 8 × 2 = 4 ⇒ a =
16 ． 5
（2）由 a21 A41 + a22 A42 + a23 A43 + a24 A44 = 0
⇒ −a21M 41 + a22 M 42 − a23 M 43 + a24 M 44 = 0 ⇒ −1× 4 + ( −5 ) a − 0 × ( −3) + 8 × 2 = 0 ⇒ a =
则 C = _____． 【解】 C = ( −1)
n2
4B ⎞ ⎟， O⎟ ⎠
⎛ 4B ⎜ ⎜O ⎝
A2
( A B)
*
−1
⎞ 2 −1 ⎟ = ( −1)n 4 B ( A* B ) ⎟ ⎠
= ( −1) 4n B
n2
1 1 1 n2 n n2 n n2 n 1 1 4 1 4 = − B = − 1 4 n −1 ． = − ( ) ( ) ( ) n −1 a A* B A* B A
⎛ α ⎞ ⎛β ⎞ ⎛α − β ⎞ ⎛α ⎞ ⎛ β ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ γ2 ⎟ γ 2 ⎟ ⎜γ 2 ⎟ 1 ⎜ 2γ 2 ⎟ ⎜ γ 2 ⎟ 1 ⎜ ⎜ = A − 6 B = −4 ． 【解】 A − B = = 6× −6 =6 −6 ⎜ 2γ 3 ⎟ ⎜γ3 ⎟ ⎜γ3 ⎟ 24 ⎜ 3γ 3 ⎟ ⎜ γ 3 ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4γ 4 ⎠ ⎝ γ 4 ⎠ ⎝ 3γ 4 ⎠ ⎝γ 4 ⎠ ⎝γ 4 ⎠
3
1 1 −1 x1 Dn = −1 0 # # −1 0
1 0 # 0
" "
1 0 0 ，
x2 "
% # " xn
再将 Dn 的第 2 列， " ，第 n + 1 列分别乘以
n
1 1 ， " ， 加到第 1 列上，可得 x1 xn
1
n 0 ⎛ 1 = ⎜1 + ∑ 0 ⎝ i =1 xi #
1+ ∑
−1
3
【例 1.10】 设 4 阶矩阵 A 和 B 相似，如果 B* 的特征值是 1 ， −1 ， 2 ， 4 ，则
5
A* = _____．
【解】 B* = 1× ( −1) × 2 × 4 = −8 ⇒ B = B* = −8 ⇒ B = −2 ，又
3
A = B = −2 ⇒ A* = A = −8 ．
(
)
2
0 1 【例 1.4】当 n > 3 时，计算 Dn 0 # x
" " " % "
1 x x． # 0
【解】①将 Dn 中第 1 行乘以 − x ，依次加到第 2 行， " ，第 n 行，得

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线性代数讲义-强化

线性代数讲义-强化

线性代数——强化题型一：求矩阵方程行列式 例1.（2006一5）设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 满足2BA B E =+其中E 为单位矩阵，求||B 例 2.（2003二）设三阶方阵A 、B 满足2A B A B E --= 其中E 为单位矩阵，10102021A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求||B 例3.设矩阵1113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足AB A B +=求||B 例4.设矩阵1113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足32A E B A B -+=求||B 例5.（2004一5）设矩阵21012001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+其中E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，求||B 题型二：求向量行列式例1. 设12,αα为二维列向量，记矩阵121212(,),(,2)A B αααααα==++，||1A =，求||B 例2. （2005一5）设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++已知||1A =，求||B例3. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(,,),A ααα=131231(,2,)B αααααα=+++已知||1A =，求||B例4. 设123,,ααα为三维列向量，记矩阵123(2,,),A ααα=12(B αα=+12313,2,)ααααα+++已知||2A =，求||B题型三：求解矩阵方程 例1. 已知220213010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 满足方程AB A B =+，求B例2. 已知1213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程2A E AB B -+=，求B 例3. 已知1210A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程A BA E -=，求B 例4. 已知1210A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 满足方程AB E =，求B 例5. （2002二）已知12012002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 满足方程124AB A E -=-，求B 题型四：求抽象逆矩阵例1. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 22A A O -=求1()A E -- 例2. （2001一4）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若24A A E O +-=求1()A E --例3. （2008一、三5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若 3A O =求1()A E -+ 例4.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若2AB A B E =--，求1(2)A E -+ 例5.设A 、B 为3阶非零矩阵，E 为3阶单位矩阵，若243A B A B E =-+，求1(2)A E -+ 例6.（2002二）设A 、B 为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵，若124A B B E -=-，求1(2)A E -- 题型五：求矩阵的秩 例1.已知矩阵112211101026A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦求A 的秩。

2014考研提高班线性代数例题-3向量

2014考研提高班线性代数例题-3向量

1
C2: (00 二) 已知向量组
0 a b
β1
=

−11,
β2
=

12,
β3
=
10
及向量组
1 3 9
α1
=

−23,
α2
=
10,
α3
=

−67Leabharlann 有相同的秩，且β3 可由α1,α2,α3 线性表示,求 a,b 的值.
(1) 记 P =(x, Ax, A2x) ， 求 3 阶 方 阵 B 使
A = PBP −1;
(2)计算行列式 A + E . [放在 chap.5 E″11]
16
三、关于向量组的秩与极大无关组
C12:设
1 0 3 1 2
α1
=

−1 2
,
α2
=

（C）α1,α3,α4； （D）α2,α3,α4。
14
C″′10: (06 一~四)设α1,α2,…,αs 均为 n 维列向 量，A 为 m×n 矩阵，下列选项正确的是[ ].
(A)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性相关；
(B)若α1,α2,…,αs 线性相关， 则 Aα1,Aα2,…,Aαs 线性无关；
α3
到基
α1+α2, α2+α3, α3+α1
的过
渡矩阵为[ ].
1 0 1
(A)

2 0
2 3
0 3
;
1 2 0
(B)
0 1
2 0
3 3

，
20
2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解

2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解

对于 ，求解齐次线性方程组 ，得到基础解系
将其单位化，得 ......7分
令 ,则 为正交矩阵，
经正交变换 ，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组 线性相关，故存在不全为零的常数 ，使得
......2分
其中必有 。否则，如果 ，则上式化为
其中 不全为零，由此推出 线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当 取何值时 能由 线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组 的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 与可逆矩阵 ，使得 。
22.用正交变换将二次型 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数 使得 。
3.设向量组 的秩为2，则 中 【 】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是 的属于特征值 的特征向量为 【 】
A. B. C. D.
5.二次型 的正惯性指数为 【 】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素 的代数余子公式为 （i,j=1,2,3)，则 【 】
A. B.0 C.1 D.2
2.设 为3阶矩阵，将 的第3行乘以 得到单位矩阵 ，
2014海南高考数学线性代数题及答案解析

2014海南高考数学线性代数题及答案解析

2014海南高考数学线性代数题及答案解析一、题目解析2014年海南高考数学试卷中，线性代数部分是其中的一个重要部分。

以下是针对该部分题目的解析和答案分析。

1.选择题题目一：已知方程组：\[ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y + kz = 7 \\ 3x + 4y + 5z = 15\end{cases} \]若方程组有唯一解，则实数$k$的取值范围是：解析：首先，我们需要判断方程组的解的情况。

通过计算可知，若行列式的值为零，则方程组无解；若值不为零，则方程组有唯一解。

计算行列式：\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & k \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 31k - 14 \]要使得行列式的值不为零，即解存在，使得\[ 31k - 14 \neq 0 \]所以，$k \neq \frac{14}{31}$。

因此，实数$k$的取值范围是$k \neq \frac{14}{31}$。

题目二：已知二次型\[ f(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 4yz \]则对于任意的实数$a$，当且仅当$a \geqslant \frac{5}{3}$时，二次型$f(x,y,z)$正定。

解析：对于一个二次型，判断其正定还是负定，需要计算其特征值。

特征值公式为：\[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -2 \\ 1 & -2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]计算得到特征方程：\[ (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-5) = 0 \]所以，该二次型的特征值为$1, 3, 5$。