|讪
而由a = 0时，
〔0
其中P 为任意满秩矩阵，而
注：A = -E 无实解，A n
=E 的讨论雷同。
性方程AX -XA=0有n 2
个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵,
习题
-cosnx sin nx[ 1-("因[L sinnxcosnx 丄sin
C0SX sin x = COs(n 1)x sin(n 1)x ，故由归纳法知 x cosx f-sin(n 1)x cos(n 1)x A n
cosnx sin nx '-sinnx cosnx
(2)直接计算得 A 4 - -E ，故设 n =4k r(r =0,1,2,3)，则 A n = A 4k A r =(-1)k A r
，即 只需算出A 2, A 3即可。 (3 )记 J= ，则
a n
C ：a
n
n
i i n _i_
A =(aE J) = 6 C n a J
i =0
n 』亠2 n _2
C n a C ；a nJ
n
a
III c ：〕 III c^a
C ：
a n
」 n a
2?设 A =P F a
1 -0 /一
2 _
P’yo),则由 A 2
=E 得
冷0
1 〔0 1 一
,B 2 = 【0 -0] ，艮
0]
。
-1 i 0 -k 0 1
2
_0
所以所求矩阵为PB i P’ ,
3?设A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵
X 有AX=XA ，即把X 看作n 个未知数时线
通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。a n ? a n 1 ■ 11（ ? = 0
5.先证A 或B 是初等到阵时有 AB *=B
*A * ，从而当A 或B 为可逆阵时有 AB 、B *A *。
考虑到初等变换 A 对B 的n 阶子行列式的影响及 A 二A‘即可得前面提到的结果。
下设PAQ = E r 0
,（这里P , Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可: 〔0。」
6 .由 r(A)二 r(A —)及 AX 二 0= (AX)—AX = 0，即 AX = 0 与 A —AX = 0 同解，此即所 求证。
7.设其逆为 a j ，则当I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程
.i 1
. 1 2
. 1 n-1
?
a a i2（w J j+a i3（w j ）+H| + a in （w j ）=外，j =1,2j||n ， 其中j 为Kronecker 符号。对这里的第I 个方程乘以w J ‘ n ，然后全加起来得 nw （J ￥3. =w（J ° 『T ），即得 a . =」w （J 4『十"）。 n 注：同一方程式的全部本原根之和为 0,且w m 也是本原根（可能其满足的方程次数小于 n ）。 ⑴ (2) 0] r 于 = B*y 0]， n-1的n 阶方阵的n-1阶子式全为 0,结论显然; 亦2川b n "J E r 0 丨 4^22 川 b 2n ：0 0J : 0102 川 dn j b 21b 22III b 2n * * * ■0 0 III 0 j ，故 _ Bn 卜 0 B B n1 B n2 B nn 冷E r _0 4 .分别对（A B ）和 作行（列）初等变换即 ，但 习题二 1 1. 因X 二1=X=1二X ，所以V 中零元素为1 , X 的负元素为—，再证结合律、交换律和 X 分配律。 2. 归纳法：设 W AJ W 2^-U W ;J -V ，则下面三者之一必成立： （1） w U W 2U …UWs 」w s ； （2） w IMU …CM 」二W s 。 （3） 存在二三W U W ^U …Uw s 」w s 及 i^Ws （W U W 2U …J W ^）。 如果是（1） （2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数kjk z JH’k s ，则必有某 一个 k 「亠「W , U W 2U …Uw s 。 2 3. U 是满足方程tr （A ）=O 解向量空间，其维数为n -1 ,故其补空间为一维的， 可由任一迹 非0的矩阵生成。 4. 易证线性封闭。又设 V 中元素为f =a n X n ，? a n 」x n ，? III ? a 1，贝y U 是满足方程 a n ? a nd J I] a^o 的子空间。故 u 的维数为n-1,其补空间为一维的，故任取一系 数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 准形为 故 U A W 的基为-3w 1 w 2, U 的基为-3w 1 w 2 , u 1 ； W 的基为「3w 1 W 2 , w 1 ； U W 的基为—3W | w 2, U | , w 1。 5. 记 U= U !,U 2,U 3 W = w 1,w 2，把U,W 放在一起成4行5列的矩阵，其 Hermite 标 ■1 0 【 1 3 1 0 2〕 5 9 3 6. U ClW =」（x,y,乙 w ） x y z w = 0 x_yz_w=0 ，Z1 1 1 1 r =2 , J -1 1 _1丿 故dim U PW =2,dim U W =dimU dimW -dim U^W =4； URW的基为方程组的解向量0,1,1,-1 和1,1,—1,—1。 j 二 7.( 1)由x j=(x_1)j a i X i知x j可表示为(x -1)i线性组合，由基定义知其为一组基。 7 n n j i j (2)由迟a j X，=迟bj(x—1 j 及x j =(x-1+1)j=迟Cj(x—1 j 得b j =迟C k a k。 i =0 i =0 iz0 k=0 注：当k &由为的线性组合知存在矩阵A使得〉1，〉2，川宀二1, 2^1，t A，由：? i线性无关可知r A i；= s故s岂t，把A的Hermite标准形非0行的第一个非0元所在列对应的'-i全替代为:i即为所求。 9.易证为子空间；U为B在空间〈Z=XAx?F n?上的核空间，故 dim U 二dim fz 二XA X F n.；-r AB 二r A - r AB。 习题三 1.略 a b ' % 2.(x, y )=(为公2 ) ，故内积定义的(1) (3)显然；而 2 C八y2丿 a b2 (2)成立u 为正定矩阵二a>0,ac—b >0。 ? c丿 3.( 1) (3)显然 (2) (f,f)-0且等号成立当且仅当(f,f)=0二 f2 0 f 2 =0-=0 2 2
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