2.1.1《离散型随机变量及其分布列》20141215

反思超几何分布是一种很重要的分布,其理论基础是古典概型,主
要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型,其中的随机变
量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数.
题型五
易错辨析
易错点:对排列组合的概念理解不透而致错
【例5】 有3名大学生要到四川、云南、贵州、甘肃四省中的任意
一省工作.设到各省的大学生人数最多为X,求X的分布列.
判断其出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值;(4)试验结果
能一一列出.
题型二
离散型随机变量的分布列
【例2】 袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,现从袋中随机
取3个球,设ξ表示取出3个球中的最大号码,求ξ的分布列.
分析确定随机变量ξ的所有可能取值,分别求出ξ取各值的概率.
解:根据题意,随机变量 ξ 的所有可能取值为 3,4,5,6.
高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学
“南方杯”竞赛,求这3名同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人
数ξ的分布列及P(ξ<2).
分析该问题与抽取产品在本质上是一致的,从而可用超几何分布
解决.
解:由题意可知,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则
C04 C33
P(ξ=0)=
C37
p
若随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,并称
p=P(X=1)为成功概率.
(2)一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X
-
-
,k=0,1,2,…,m,其中
C
C C
件次品,则 P(X=k)=
m=min{M,n},且
n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列

X0
1 …m
P
C0MCNn－－0M CnN
C1MCNn－－1M CnN
…
CmMCnN－－mM CNn
• 辨析感悟
• 1．离散型随机变量
• (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 随机变量．(√)
• (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量 取各个值的概率之和可以小于1. (×)
• (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事 件是彼此互斥的． (√)
• (2)求X的数学期望E(X)．
解 (1)由题意得 X 取 3,4,5,6，
且 P(X＝3)＝CC3539＝452，P(X＝4)＝CC14·C93 25＝1201， P(X＝5)＝CC24·C93 15＝154，P(X＝6)＝CC3439＝211.
所以 X 的分布列为
X3 4 5 6
P
5 42
10 21
0
1
P 1－p p
• ，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
CkMCnN－－kM 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝ CnN ，k＝0,1,2，…，m，
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机
变量 X 服从超几何分布.
• 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5 监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本， 监测值频数如下表所示：
PM2.5 日均值( [25,3 (35,4 (45,5 (55,6 (65,7 (75,8 微克/立 5] 5] 5] 5] 5] 5]
方米)
频数 3 1 1 1 1 3
•(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天， 求恰有一天空气质量达到一级的概率；

7 , 6 , 5 , 43 , 2 ,

(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数
连 (5)某一自动装置无故障运转的时间 ． ,取 （ )0 ( 内的一切值） 续 型 (6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度 ． 03 （ 取, 0 内的一切值）
, 3 , 2 1 ,
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
2.1.1《离散型随机变量 及其分布列-随机变量》
教学目标
1.了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机 变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的 随机试验的结果 2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子， 并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变 量 教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型 随机变量的意义 教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型 随机变量的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时
36
“ ＝5”．所以，“ 点．
＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1
4.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球， 每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到 红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机 9 2 10 变量，则P(ξ=12)=___________。（用式子表示） C 53
．

练习二: 1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
(A)两次出现的点数之和 (B)两次掷出的最大点数 (C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数
2.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求 至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定：一次 购买小于或等于50只的不优惠.大于50只的，超出的部 分按原价格的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元. 这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量，那么他所 付款η是否也为一个随机变量呢? ξ、η有什么关系呢？

－
E
－
F
)＋P(DE
F
)，这样利用分布列的性质进行检验时可
查出错误避免失误．
[正确解答]
(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则－来自D，－
E
，
F－ 分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．(2分)
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知
解：(1)若胜一场，则其余为平，共有 C14＝4 种情况； 若胜两场，则其余两场为一负一平或两平， 共有 C24C12＋C24＝18 种情况； 若胜三场，则其余一场为负或平，共有 C34×2＝8 种情况； 若胜四场，则只有一种情况．综上，共有 31 种情况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4， P(X＝1)＝341，P(X＝2)＝1381， P(X＝3)＝381，P(X＝4)＝311， 所以X的分布列为
三、超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从
中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的
件数，那么P(X＝k)＝
CkMCnN－－kM CnN
(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从
参数为N，M，n的超几何分布．
1．(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：
X1 2 34
则p为
P
1 6
1 3
1 6
p
()
1
1
A.6
B.3
2
1
C.3
D.2
解析：由16＋13＋16＋p＝1，∴p＝13. 答案： B
2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示