相似三角形培优试题

2019-2020相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，90B ︒∠=，6cm AB =，8cm BC =，点P 由点A 出发沿AB 方向向终点B 以每秒1cm 的速度匀速移动，点Q 由点B 出发沿BC 方向向终点C 以每秒2cm 的速度匀速移动，速度为2cm /s .如果动点同时从点A ，B 出发，当点P 或点Q 到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？2．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形； ②推断：AGBE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由： （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．3．如图1，在Rt ABC 中，90,4,2B AB BC ∠︒＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．1（）问题发现①当0α=o 时，AE BD = ；②当180α=o 时，AEBD= ． 2（）拓展探究 试判断：当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 3（）问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至,,A B E 三点在同一条直线上时，求线段BD 的长．4．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想 如图1，当60α︒=时，BDCP的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD CP的值．5．如图1，在△ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC．（1）问题发现：若∠ACB=∠ECD=45°，则AEBD=．（2）拓展探究，若∠ACB=∠ECD=30°，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中AEBD的大小有无变化？如果不变，请求出AEBD的值，如果变化，请说明理由．（3）问题解决：若∠ACB=∠ECD=β（0°＜β＜90°），将△EDC旋转到如图3所示的位置时，则AEBD的值为．（用含β的式子表示）6．在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（１）用含t 的代数式表示下列线段长度：①PB=__________cm,②QB=_____cm,③CQ=_________cm. (2)当△PBQ 的面积等于3 时，求t 的值.(3) (如图2)，若E 为边CD 中点，连结EQ 、AQ.当以A 、B 、Q 为顶点的三角形与△EQC 相似时，直接写出满足条件的t 的所有值.7．如图l ，在ABCD 中，点M ，N 分别在边AD 和BC 上，点E ，F 在对角线BD 上，且AM CN =，12BE DF BD =<.（1）求证：四边形MENF 是平行四边形： （2）若6AB =，10BC =，8BD =.①当四边形MENF 是菱形时，AM 的长为______； ②当四边形MENF 是正方形时，BE 的长为______； ③当四边形MENF 是矩形且6AM =时，BE 的长为______.8．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．9．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．10．如图，在△ C中，过点C作CD，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．求证：四边形AFCD是平行四边形．若， C，，求AB的长．11．已知：如图，点A ．F ，E ．C 在同一直线上，AB ∥DC ，AB=CD ，∠B=∠D ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG=5，求AB 的长．12．如图，直线 AB 与坐标轴交与点(0,6),(8,0)A B ， 动点P 沿路线O B A →→运动.(1)求直线AB 的表达式;(2)当点P 在OB 上，使得AP 平分OAB ∠时，求此时点P 的坐标;13．如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG ． (1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2) 求证：21=2EG AF GF ⋅； (3)若AG=6，EG=25，求BE 的长．14．如图,在△ABC 中.AC=BC=5.AB=6.CD 是AB 边中线.点P 从点C 出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿C-D-C 运动.在点P 出发的同时，点Q 也从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA 向点A 运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒.（1）用含t 的代数式表示CP 、CQ 的长度. （2）用含t 的代数式表示△CPQ 的面积.（3）当△CPQ 与△CAD 相似时，直接写出t 的取值范围.15．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B.C ，且AB=8，DC=6，BC=14，BC 上是否存在点P 使△ABP 与△DCP 相似？若有，有几个？并求出此时BP 的长，若没有，请说明理由.16．如图，正方形ABCD ，点P 为射线DC 上的一个动点，点Q 为AB 的中点，连接,PQ DQ ，过点P 作PE DQ 于点E .（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若4AB ，以点,,P E Q 为顶点的三角形与ADQ △相似，试求出DP 的长.17．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PF ⊥AE 于 F ．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA ＝x ，是否存在实数 x ，使以 P ，F ，E 为顶 点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．18．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD ＝CE ，AD 、BE 相交于点M ，求证：（1）△AME ∽△BAE ；（2）BD 2＝AD×DM ． 19．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，过AB 上一点D 作DE‖ C ，D ‖ C 分别交AC 、BC 于点E 和F（1）如图1，证明：△ADE∽△DBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与△BDF相似，求AD的长．20．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）若AD＝2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．21．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EF⊥AM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB＝12，BM＝6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB ＝12，DE ＝1，BM ＝5，求DN 的长．22．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ； 第三步，连接DE 、DF ．若BD =6，AF =4，CD =3，求线段BE 的长．23．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==， 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．24．正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长．25．如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？26．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．28．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图①，当t为何值时，AP＝3AQ；（2）如图②，当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）如图③，作QD∥AB交BC于点D，连接PD，当t为何值时，△BDP与△PDQ相似？29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于E，过E作EF∥AB交BC 于F，连结DF．（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，直接写出当△DEF为直角三角形时AD的长．30．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．31．（1）观察发现：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AB上，过D作DE∥BC交AC于E，AB＝5，AD ＝3，AE＝4．填空：①△ABC与△ADE是否相似？（直接回答）；②AC＝；DE＝．（2）拓展探究：将△ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想△ADB与△AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明．（3）迁移应用：将△ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长．32．如图1，一次函数y＝12x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点．P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n．（1）当△BPO∽△ABO时，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y＝2x+b与直线AB相交于C，求当△P AC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标．33．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=45，∠BAC=45°．(1)直接写出点A的坐标________点C的坐标________；(2)若反比例函数y=kx的图象经过点B，求k的值；(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 2，CE=4，则DE的长为______．35．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为9 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案1．当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似 【解析】 【分析】设t 秒后，以Q ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似；则PB ＝（6−t ）cm ，BQ ＝2tcm ，分两种情况：①当PB BQAB BC=时；②当BP BQBC BA=时；分别解方程即可得出结果． 【详解】解：设(04)t t <…秒后，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则(6)cm PB t =-，2cm BQ t =.∵90B ︒∠=，∴分两种情况讨论：①当PBQ ABC ∆∆∽时，PB BQ AB BC =，即6268t t-=，解得 2.4t =； ②当QBP ABC ∆∆∽时，BP BQBC BA=，即6286t t -=，解得1811t =. 综上所述，当运动2.4秒或1811秒时，以点Q ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键．2．（1）①四边形CEGF 是正方形；②2；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ；（3）35 【解析】 【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得； （3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GHAC AH=得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ， ∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形； ②由①知四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE ∥AB ， ∴2AG CGBE CE==， 故答案为：2； （2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ C =α， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =22、CB CA =22， ∴CG CE =2CACB=， ∴△ACG ∽△BCE ，∴2AG CABE CB==， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG=2BE ； （3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG ∽△BCE ， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ，则由AG GHAC AH=得6222AHa=，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CH=22CD DH+=103a，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为：35．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（1）①5；②5；(2) 5;(3) 35 5【解析】【分析】（1）①根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；②根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：()1①当0α︒＝时，Rt ABC Q V 中，90B ∠︒＝，22222425AC AB BC ∴++＝＝＝，点,D E 分别是边,BC AC 的中点，115122AE AC BD BC ∴＝＝，＝＝，5AEBD∴=． ②如图1﹣1中，当180α︒＝时， 可得//AB DE ，AC BCAE BD =Q ， 5AE ACBD BC∴==． 故答案为：55①,②． 2（）如图2，当0360α︒≤︒＜时，AEBD的大小没有变化， ECD ACB ∠∠Q ＝， ECA DCB ∴∠∠＝，又5EC ACDC BC==Q, ECA DCB ∴V V ∽，5AE ECED DC∴==． ()3①如图3﹣1中，当点E 在AB 的延长线上时，在Rt BCE V 中,5,2CE BC ＝＝，22541BE EC BC ∴--＝＝＝，5AE AB BE ∴+＝＝，5AEBD=Q， 555BD ∴==．②如图3﹣2中，当点E 在AB 线段上时，易知1,413BE AE -＝＝＝， 5AEBD=Q， 355BD ∴＝， 综上所述，满足条件的BD 的长为355． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定. 4．（1）1，60︒（2）45°（3）22-，22+ 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()CAP BAD SAS ∆≅∆，即可解决问题． （2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明DABPAC ∆∆，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD DC =即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．60PAD CAB ︒∠=∠=，CAP BAD ∴∠=∠，CA BA =，PA DA =，()CAP BAD SAS ∴∆≅∆， PC BD ∴=，ACP ABD ∠=∠， AOC BOE ∠=∠，60BEO CAO ︒∴∠=∠=，1BDPC∴=，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60︒， 故答案为1，60︒．（2）如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．45PAD CAB ︒∠=∠=， PAC DAB ∴∠=∠，2AB ADAC AP ==， DABPAC ∴∆∆，PCA DBA ∴∠=∠，2BD ABPC AC==， EOC AOB ∠=∠，45CEO OAB ︒∴∠=∠=，∴直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45︒．（3）如图3﹣1中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．CE EA =，CF FB =，EF AB ∴∥，45∴∠=∠=，EFC ABC︒PAO︒∠=，45∴∠=∠，PAO OFH∠=∠，POA FOH∴∠=∠，H APO=，90∠=，EA ECAPC︒∴==，PE EA ECEPA EAP BAH∴∠=∠=∠，∴∠=∠，H BAH∴=，BH BA∠=∠=，ADP BDC︒45∴∠=，90ADB︒∴⊥，BD AHDBA DBC︒∴∠=∠=，22.5ADB ACB︒∠=∠=，90∴A，D，C，B四点共圆，DCA ABD︒∠=∠=，DAC DBC︒∠=∠=，22.522.5∴∠=∠=，22.5DAC DCA︒DA DC ∴=，设=AD a ，则DC AD a ==，22PD a =， 2222ADa CPa a∴==-+c ．如图3﹣2中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：=DA DC ，设=AD a ，则CD AD a ==，22PD a =，22PC a a ∴=-， 2222ADa PCa a∴==+-．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（1）2；（2）此过程中AE BD 的大小有变化，3AEBD=（3）2 osβ 【解析】 【分析】1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°，于是得到∠B=∠EDC=90°，推出四边形EFBD 是矩形，得到EF=BD ，推出△AEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β，根据相似三角形的性质得到BC ACDC CE=，即BC DCAC EC =，根据角的和差得到∠ACE=∠BCD ，求得△ACE ∽△BCD ，证得AE AC BD BC=，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，过E 作EF ⊥AB 于F ，∵BA=BC ，DE=DC ，∠ACB=∠ECD=45°， ∴∠A=∠C=∠DEC=45°， ∴∠B=∠EDC=90°， ∴四边形EFBD 是矩形， ∴EF=BD ， ∴EF ∥BC ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴2BD EFAE AE==， 故填：2，（2）此过程中AEBD的大小有变化， 由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ， ∴△ACE ∽△BCD ，∴AE ACBD BC=， 在△ABC 中，如图2，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，则AC=2CF ，在Rt △BCF 中，3cos302CF BC BC ︒=⋅=， ∴AC=3BC ．∴3AE ACBD BC==； （3）由题意知，△ABC 和△EDC 都是等腰三角形，且∠ACB=∠ECD=β， ∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β， ∴△ABC ∽△EDC ，∴BC AC DC CE =，即BC DCAC EC=， 又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB ， ∴∠ACE=∠BCD ，∴△ACE∽△BCD，∴AE AC BD BC=，在△ABC中，如图3，过点B作BF⊥AC于点F，则AC=2CF，在Rt△BCF中，C = C• osβ，∴ C=2 C osβ．∴AE ACBD BC==2 osβ，故答案为2 osβ．【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．6．（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）或或.【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，①PB=4-t；②QB=2t；③CQ=8-2t；（2）∵△PBQ的面积等于3，∴2t(4-t)=3×2,解之得，t=1或3；（3）当△ABQ～△QCE时，,∴,解之得，x1=，x2=;当△ABQ～△ECQE时，,∴,解之得，t=.∴满足条件的t的所有值为或或.【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7．（1）证明见解析，（2）①5．②1．③41045 ．【解析】【分析】（1）如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．利用平行线等分线段定理即可解决问题．②在①的基础上，OE OM =时，四边形MENF 是正方形．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形． 【详解】（1）证明：如图1中，设BD 的中点为O ．连接AC ，AN ，CM ，MN ．四边形ABCD 是平行四边形， AC ∴与BD 互相平分且交于点O ，//AMCN ，AM CN =，∴四边形ANCM 是平行四边形，AC ∴与MN 互相平分且交于点O ，OM ON ∴=，OB OD =，BE DF =，OE OF ∴=，∴四边形MENF 是平行四边形．（2）①如图21-中，连接MN 交BD 于点O ，当MN BD ⊥时，四边形MENF 是菱形．6AB CD ==，10AD BC ==，8BD =， 222AD AB BD ∴=+，90ABD ∴∠=︒，90MOF ABD ∴∠=∠=︒，//OM AB ∴， OB OD =， 5AM DM ∴==．②在①的基础上，满足OM OE =时，四边形MENF 是正方形， 易知132OM AB ==， 3OE OF ∴==， 8BD =，1·(86)12BE DF ∴==-=．③如图32-中，连接MN 交BD 于点O ，作MH BD ⊥于H ．//MH AB ，:::MH AB DM DA DH DB ∴== :64:10:8MH DH ∴==，125MH ∴=，165DH =， 164455OH ∴=-=， 224105OM MH OH ∴=+=， 当OE OF OM ON ===时，四边形MENF 是矩形，1810410(8)4255BE DF ∴==-=-． 故答案为：5，1，41045-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（1）y ＝34x +94；（2）D 点位置见解析，D （134，0）；（3）符合要求的m 的值为12536或259．【解析】 【分析】（1）先根据A（−3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝34 AC，∴BC＝34×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴303k bk b-+=⎧⎨+=⎩，∴3494kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝34x+94；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时ABAC＝ADAB，即AB2＝ C• D．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝25 4，∴OD＝AD﹣AO＝254﹣3＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝254﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有APAB＝AQAD，∴ P• D＝ • Q，∴254m＝5（254﹣m），解得m＝25 9；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有APAD＝AQAB，∴ P• ＝ D• Q，∴5m＝254（254﹣m），解得：m＝125 36，综上所述：符合要求的m的值为12536或259．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建立方程求解．9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD ，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BFDF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP ．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ， ∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE 和△DAF 中12BEA AFDAB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE=AF ，∴EF=AE ﹣AF=AE ﹣BE ；（2）如图，∵AF DFBF AD=， 而AF=BE ，∴BE DFBF AD =， ∴BE BFDF AD=， ∴Rt △BEF ∽Rt △DFA ，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.10．证明见解析；．【解析】【分析】由E是AC的中点知 E CE，由CD知 E CDE，据此根据“ S”即可证△ E ≌△CED，从而得CD，结合CD即可得证；证△∽△ CD得，据此求得CD，由CD及可得答案．C CD【详解】E是AC的中点，E CE ， CD ， E CDE ， 在△ E 和△CED 中， ，△ E ≌△CED S ， CD ，又 CD ，即 CD ， 四边形AFCD 是平行四边形； CD ， △ ∽△ CD ，CCD，即CD，解得：CD，四边形AFCD 是平行四边形， CD，． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11．（1）证明见解析；（2）AB=10．【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．详解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中＝＝＝，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．12．（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【解析】【分析】1）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出△AOP∽△CBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（0，6），B（8，0），∴680bk b⎧⎨+⎩＝＝，∴346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为y=34-x+6；（2）方法1、如图1，∵A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，∴∠C=∠OAP，∵AP平分∠OAB，∴∠OAP=∠BAP，∴∠C=∠BAP，∴BC=AB=10，∵BC∥OA，∴△AOP∽△CBP，∴OP OA=BP BC=35，∴OP3=OB8，∴OP=3，∴P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，∵AP是∠OAB的角平分线，∴OP=PM，设OP=m，∴PM=m，∴BP=OB-OP=8-m易知，△AOP≌△AMP，∴AM=OA=6，∴BM=AB-AM=4，在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，∴m=3，∴P（3，0）．故答案为：（1）y=34x+6；（2）P（3，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为125 5.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明D 2= O• ，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．14．（1）当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t；当8552t<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=232t；当8552t<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=1 2×（8-2.5t）×35×2t=232425t t-+.（3）0＜t≤85或80t41=s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t52≤时，分别求解即可．（2）分两种情形：当0＜t≤85时，当85＜t≤52时，根据S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ分别求解即可．（3）分两种情形：当0＜t≤85，可以证明△QCP∽△DCA，当85＜t52≤，∠QPC=90°时，△QPC∽△ADC，构建方程求解即可．【详解】解：（1）∵CA=CB，AD=BD=3，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴CD=22AC AD-=2253-=4，当0＜t≤85时，CP=2.5t，CQ=2t，当85t52<≤时，CP=8-2.5t，CQ=2t．（2）∵sin∠ACD=ADAC=35，∴当0＜t≤85时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×2.5t×35×2t=23t2当85t52<≤时，S△CPQ=12•PC•sin∠ CD•CQ=12×（8-2.5t）×35×2t=2324t t25-+.（3）①当0＜t≤85时，∵CP=2.5t，CQ=2t，∴CQCP=45，∵CDCA=45，∴CQ CD CP CA=，∵∠PCQ=∠ACD，∴△QCP ∽△DCA ，∴0＜t≤85时，△QCP ∽△DCA ， ②当85t 52<≤时，当∠QPC=90°时，△QPC ∽△ADC ， ∴CP CQ CD CA =， ∴8 2.5t 2t 45-=， 解得：80t 41=， 综上所述，满足条件的t 的值为：0＜t≤85或80t 41=s 时，△QCP ∽△DCA ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【解析】 【分析】设BP=x ，表示出PC=14-x ，然后分BP 与CP 是对应边，BP 与DC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】设BP=x ，则PC=14−x ，BP 与CP 是对应边时,=BP ABCP DC， 即8146x x =-，解得x=8，BP 与DC 是对应边时,=BP ABDC CP， 即8=614x x-， 解得x1=6,x2=8，所以，BC 上存在两个点P ，BP=6或8使△ABP 与△DCP 相似. 【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程. 16．（1）DPE QDA ∽，见解析；（2）2DP =或5DP ＝. 【解析】 【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定DPE QDA ∽；（2）首先根据已知条件求出DQ ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论. 【详解】（1）DPE QDA ∽根据已知条件，得∠DAQ=∠PED=90° 又∵∠ADQ+∠PDE=∠DPE+∠PDE=90° ∴∠ADQ =∠DPE ，∠AQD=∠PDE ∴DPE QDA ∽（2）由已知条件，得22224225DQ AD AQ =+=+=设DE 为x ∵DPE QDA ∽∴DA PEAQ DE= ∴PE 为2x ∵PEQADQ △△∴分两种情况：①AQ DAPE EQ = 即24225x x=- 解得255x =∴()2222DP x x =+=②AQ DAEQ PE= 即24225xx =- 解得5x =()2225DP x x =+=【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17．（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图，连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE, 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF.∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE=22=25AB BE，∴EF=12AE=5.∵5==225,PE EF PEAE EB，即，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线. 18．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】。

专题27.22 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0，3)，点B 坐标(4，0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在∠OAB 的平分线上的O’处，则b 的值为（ ）A ．12B ．65C ．98D ．15162．如图，CD 是ABC 的高，2CD AD BD M =⋅,是CD 的中点，BM 交AC 于,E EF AB ⊥于F ．若164,5EF CE ==,则AB 的长为( )A ．485B ．383C ．413D ．4153．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．654．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，AB BC =，若2AD =，1CD =，则BD 的值为（ ）AB ．2CD ．5．如图，点E 从矩形ABCD 的顶点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒1个单位的速度运动，过E 作EF ∠AE 交直线DC 于F 点，如图2 是点E 运动时CF 的长度y 随时间t 变化的图象，其中M 点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M 点作MN ∠y 轴交图象于N 点，则N 点坐标是（ ）A ．（5，2）B ．（2）C ．（2+2）D ．（2+，2）6．如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4，0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若∠COB∠∠CAO ，则点C 的坐标为（ ）A ．（1，52）B ．（43，83）C D7．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，线段AB 与线段B 'C '交于点P ，连接BB '．当五边形A 'B 'BCD 为正五边形时，BPAP即长为（ ）A．1B C1D8．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）A．2B．6-C．D．49．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A．B C．203D．410．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP HF⊥，10AP=，则小正方形边长GF的长是（）A ．52B ．C ．3 D二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，连接EC ，已知BC ＝6，AD ＝2，且S △CDE ＝2710，则点A 到DE 的距离为 _________．12．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC ＝AB 的长为___．13．在平面直角坐标系中，如图，3==OB AB ，点(,0),33-<+A a a 点C 在y 轴上且OC OA =，连接BC ．现给出以下结论：∠连接AC ，则AC =； ∠OAB 的周长是一个固定值； ∠BC 的最小值为1；∠当BC 取最小值时，OA其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）14．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，1)，点B 为直线y=12x 上的一个动点，∠ABC ＝90°，BC =2AB ，则OC 的最小值为____．15．已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．16．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是_________．17．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点，连接ED ，延长EA 至F ，使EF ＝ED ．以线段AF 为边作正方形AFGH ，点H 落在AD 边上，连接FH 并延长，交ED 于点M，则DMDE的值为_____．三、解答题19．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC ＝32，则CD的长度为______．20．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求DFAG的值．21．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若∠CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似？22．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．23．如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC=，求:CE BC的值；（3）求证：PF EQ=．24．【操作发现】如图∠，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图∠条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN 上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图∠，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．参考答案1．D【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得35OC OACB AB==,再由平行线分线段成比例得,OD OC OA AB =即3353b =+，解得98b =,结合图象，1928﹤b ﹤，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与∠OAB 的平分线交x 轴点C ，交y 轴于D ，如图：∠A(0，3)，B(4，0)，∠OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB 斜率等于34-，由直线34y x b =-+知OD=b ，且直线与AB 平行，∠AC 平分∠OAB, ∠35OC OA CB AB ==, ∠直线与AB 平行, ∠,OD OC OA AB=即3353b =+，解得98b =, 结合图象直线34y x b =-+的位置，b 的范围为1928﹤b ﹤，利用排除法， 故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧．2．C 【分析】延长BC 交FE 的延长线于点H ，推出4EF EH ==，通过证明ACDCBD ，得出90ECH ∠=︒，继而得出 2.4CH =，再证明AEF HEC ，得出5AE =，再证明HECABC ，从而得出答案．解：延长BC 交FE 的延长线于点H ，∠,EF AB CD AB ⊥⊥∠//CD FH ∠,DM BM CM BM EF BE EH BE == ∠DM CM EF EH= ∠M 是CD 的中点∠DM CM =∠4EF EH ==∠ACD CBD∠A BCD ∠=∠∠90BCD ACD ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ECH ∠=︒∠222CH CE EH +=∠ 2.4CH =∠AEF HEC ∠,AE EF A EHC EH CE=∠=∠ ∠5AE =∠AC AE CE =+∠8.2AC =∠90,ACB HCE EHC A ∠=∠=︒∠=∠∠HEC ABC ∠HE HC AB AC=∠4 2.48.2 AB=∠413 AB=故选：C．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．3．D【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∠AF DF AB BC=，∠CF＝2，AC＝6，BC＝8，∠AF＝4，AB10，∠即4108DF=，∠ 3.2 DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．4．C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，易发现ABE CDE，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用ABE DFE即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，AB BC⊥，AD CD⊥，90ABE CDE∴∠=∠=︒，AC AB BC∴===,又,E E ABE CDE∠=∠∴，DE CE CDBE AE AB∴==，设DE=x,CE=y,2yx===+整理可得关于x,y的二元一次方程组，⎧=⎪=，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，90,,ABE DFE E E∠=∠=︒∠=∠ABE DFE∴,35DF CE DE AB BE AE ∴===33225555DF AB BF BE ∴=====BD ∴=故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5．D【分析】当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，证明ABE ECF ∽△△，当F 在DC 的延长线上时，且2FC =，根据相似三角形的性质求得BE 的长，即可求得点N 的横坐标解：根据函数图象可知，当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，AE EF ⊥∠90AEB FEC ∠+∠=︒四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒90AEB BAE ∴∠+∠=︒FEC BAE ∴∠=∠90ECF ABE ∠=∠=︒∴ABE ECF ∽△△,M N 的纵坐标相等，则当F 在DC 的延长线上时，2FC =，BE t =，4EC t =-，AB EC BE FC=， 即242t t -=解得12t =，22t =-即点N 的坐标为(2，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．6．B解：根据相似三角形对应边成比例，由∠COB∠∠CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到13CBAB=，过点C作CD∠y轴于点D，然后求出∠AOB和∠CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83，最后写出点C的坐标为（43，83）．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出13CBAB=是解题的关键，也是本题的难点．7．B【分析】先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∠∠BAC'，求得BP= C'A= C'B1，进一步计算即可求解．解：连接BC'，AC'，如图：∠五边形A'B'BCD为正五边形，∠∠CDA '=()521805-⨯︒=108°， ∠菱形ABCD 绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，且∠ADC =72°，∠∠A 'DC '=∠ADC =72°，∠∠CDC '=∠ADA '=108°-72°=36°，∠∠CDC '=∠ADA '=∠ADC '=36°，∠点C '在对角线BD 上，∠ABC '=36°，由旋转的性质知AD =AB = DC '=2，∠∠DC 'A =∠DAC '=72°，∠∠C 'AB =36°，∠C 'A = C 'B ，设C 'A = C 'B =x ，则BD = x +2，∠∠BDA =∠BAC '=36°，∠△BDA ∠∠BAC '，∠DA ：AC '=BD ：BA ，即2：x =( x +2)：2，整理得：x 2+2x -4=0，解得x 1，(负值已舍)∠∠C 'BP =36°，∠BC 'P =72°，∠∠C 'PB =72°，∠BP = C 'A = C 'B 1，∠AP =3∠BP AP == 故选：B ．【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．解：如图所示，四边形ABQN 是裁切后的矩形：∠ABG AHN HEQ ∠=∠=∠，CD QE =，6AB NQ ==∠ABGAHN HEQ ∠,,AH AN AN NH AB AG HQ QE== ∠正方形HFG 的面积是24∠AH AG === ∠4AN =∠NH∠6HQ NQ NH =-=-=解得2CD QE ==故选：A ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．9．C【分析】过点G 作GI ∠AB ，GH ∠ED '，垂足分别为I 、H ，由折叠的性质可得C ′E =5-4=1，在Rt △EFC ′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'∠∠C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∠∠DAB=90°，∠四边形ADED'是矩形，∠AD=AD'，∠四边形ADED'是正方形，过点G作GI∠AB，GH∠ED'，垂足分别为I、H，∠AD'ED是正方形，∠AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∠D'B=EC=8-5=3，在Rt∠C′BD'中，C′D'=4，∠C′E=5-4=1，在Rt∠EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，∠∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∠∠BC′D'=∠C′GH，又∠∠GHC′=∠BD'C′=90°，∠∠BC′D'∠∠C′GH，∠C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∠HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∠C′G=5m=5，∠FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．B【分析】过点E作EM∠AB于点M，证明∠AED∠∠HMD，可得DH MH DMAD AE DE==，由MH∠DP，可得32AH AMHP DE==，从而可得结论.解：∠∠ADE∠∠DCH∠∠CBG∠∠BAF，∠AE=DH，DE=CH，∠四边形GFEH是正方形，∠EH=EF=HG=GF，∠HF A=45°=∠EHF，∠AP∠HF，∠∠F AH=∠AFH=45°=∠AHE，∠AH=FH，AE=HE，∠AF=2AE，设AE=a，则AF=DE=2a，如图过点H作HM∠AD于M，∠,AD=∠∠DMH=∠AED=90°，∠ADE=∠MDH，∠∠AED∠∠HMD，∠DH MH DM AD AE DE==，∠MH，DM=，∠AM AD DM=-==，∠AD∠CD，∠MH∠DP，∠ 32AH AM HP DE ==， ∠AP =10，∠AH =6，∠EH =GF ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11． 【分析】过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，由将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，可得,BD DG BDA EDA =∠=∠，可证AH AG =，由D 为BC 中点，BC =6，可求132BD ED DC BC ====，由S △CDE ＝2710，可求95EF =，在Rt △EDF 中，由勾股定理125DF ，可求FC =35，在Rt △ECF 中，由勾股定理EC ==，可证AHD EFC ∆∆∽，可得AD AH EC EF = ，可求AH =即可 解：过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，∠将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∠,BD DG BDA EDA =∠=∠，∠AD 为∠BDE 的平分线，∠EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，∠AH AG =，∠D 为BC 中点，BC =6，∠132BD ED DC BC ====， ∠S △CDE ＝2710， ∠112732210DCE S DC EF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ∠95EF =， 在Rt △EDF中，由勾股定理125DF =，∠FC =DC -DF =3-12355=， 在Rt △ECF中，由勾股定理EC =∠DE =DC ， ∠DEC DCE ∠=∠，由外角性质，22BDE DEC DCE DCE BDA ∠=∠+∠=∠=∠， ∠DCE BDA ∠=∠，90AHD EFC ∠=∠=︒，∠AHD EFC ∆∆∽，∠AD AHEC EF =95AH=，∠AH =， ∠AG=AH =，．【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．12．【分析】如图，连接BD ．由∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ，可得AD GC ＝DGCF，推出2=a bb a，可得b a ，在Rt ∠GCF 中，利用勾股定理求出b ，即可解决问题； 解：如图，连接BD ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ＝∠CG ＝DG ，CF ＝FB ， ∠GF ＝12BD∠AG ∠FG ， ∠∠AGF ＝90°，∠∠DAG +∠AGD ＝90°，∠AGD +∠CGF ＝90°， ∠∠DAG ＝∠CGF ， ∠∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ， ∠AD GC ＝DGCF， ∠2=a b b a， ∠b 2＝2a 2， ∠a ＞0．b ＞0， ∠b，在Rt ∠GCF 中，3a 2＝3， ∠a ＝1，∠AB ＝2b ＝故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．∠∠∠【分析】∠利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；∠表示出∠OAB的周长即可判断；∠利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；∠利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可．解：∠∠A（a，0），OA＝OC，a，∠AC∠C△OAB＝OA+AB+OB＝a∠3﹣a＜∠C△OAB不是一个固定值，故∠错误；∠如图，将∠OBC绕点O顺时针旋转90°，得到∠ODA，则OB＝OD，BC＝AD，∠BOD＝90°，∠BD4，在∠ABD中，AD＞BD﹣AB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BC＝DA﹣AB＝4﹣3＝1，故∠正确；∠如图，当B，A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则∠OEB ＝∠DFO ＝90°，∠1+∠2＝90°， 又∠BOD ＝∠2+∠3＝90°， ∠∠1=∠3， 又OB ＝OD ，∠∠BOE ∠∠ODF （AAS ），设B （x ，y ），则DF ＝OE ＝x ，OF ＝BE ＝y ，且x 2+y 2＝（）2＝8， 由BE ∠x 轴，DF ∠x 轴得BE ∠DF ， ∠∠ADF ∠∠ABE ， ∠=DF ADBE AB，即13x y =，∠y ＝3x ，把y ＝3x 代入x 2+y 2＝（2＝8得， x 2+9x 2＝8，解得x ＝（负值舍去），∠y =由∠ADF ∠∠ABE 得，13AF AD AE AB ==， ∠AE ＝3AF ，即a ﹣x ＝3（y ﹣a ）， a ﹣x ＝3y ﹣3a ，∠a 35544x y +===即OA =故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．解：连接OC，在∠AOC中，OC<OA+AC或OC>AC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：∠ABC=90 ，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC=根据点到直线的距离可知，m最小= 1255．此时AB∠直线y=12x，点C在直线上作BD∠OA与点D，在∠ABD和∠BOD中(DOB AOBDBO OAB公共角）∠∠DOB∠∠OBA∠12 OD OB BD AB又．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．15【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，ABF BHE ∠=∠，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形， 又EDC ∆是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，EHD DBC ∠=∠，9045ABF FBD DBC DBC ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 45BHE EHD ∠=︒-∠ABF BHE ∴∠=∠ //AB HE ∴AFB HFE ∠=∠， ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AFEH EF AE AF， 2AE =∴35=AF ∴=，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．16．(3，32)【分析】过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，通过证明△ADO ∠△CEB ，△ADO ∠△OGC 即可．解：过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，∠四边形BFGE 是矩形，∠ADO =∠CBE =90°， ∠BF =EG ，∠四边形OABC 是矩形， ∠OA =CB ，∠BCO =90°，∠∠AOD =90°-∠COG =∠GCO =90°-∠BCE =∠CBE ， ∠∠ADO ∠∠CEB ，∠ADO ∠∠OGC ， ∠AD =CE ，AD DOOG CG=， ∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∠AD =CE =2，BF =EG =72，CG =EG -CE =72-2=32，∠2132OG =，解得OG =3，故点C 的坐标为(3，32)，故答案为：(3，32)．【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．17．2120【分析】过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B FB D DE''=，DE 可求． 解：过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，如图，∠矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∠5BD =， ∠1122ABDAB AD B SD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∠342.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∠ 1.8BF =，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=，AD AD ='， ∠AF BD ⊥，∠ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=， ∠5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，∠根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即ABD ADD '∠=∠， ∠90ABD ADB ∠+∠=︒，∠90ADB ADD BDD ∠+∠==∠''，∠90AB F DB E ''∠+∠=，90B ED DB E ''∠+∠=， ∠AB F DEB ''∠=∠， ∠90AFB B DE ''∠=∠=， ∠AB F B ED ''△∽△， ∠AF B F B D DE ''=， ∠2.4 1.81.4DE=， ∠2120DE =， 故答案为：2120． 【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．18【分析】过点M 作MN ∠AD 于点N ，根据勾股定理可得DE ＝EF AFGH 是正方形，可得AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1，根据//MN AE ，可得∠DMN ∠∠DEA ，所以MN DN DMAE DA DE==，即12MN DN ==MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ，再根据DN +NH ＝AD ﹣AH ，列式)3213x =-=求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M 作MN ∠AD 于点N ，∠正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点， ∠AD ＝AB ＝2，AE ＝1，∠EAD ＝90°，∠DE EF = ∠四边形AFGH 是正方形，∠AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1， ∠∠AHF ＝∠NHM ＝45°， ∠MN ＝NH ， ∠//MN AE ， ∠∠DMN ∠∠DEA ， ∠MN DN DMAE DA DE ==， ∠12MN DN == 设MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ， ∠DN +NH ＝AD ﹣AH ，∠)3213x =-=∠DM =，∠DM x DE ==【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．19．24【分析】过E 作EF ∠BD 于F ，根据矩形的性质得到∠C =∠ADC =90°，于是得到∠ADB +∠BDC =90°，根据已知条件推出180°-∠AEB =2（90°-∠ADB ），得到∠AEB =2∠EDB ，根据等腰三角形的性质得到BF =12BD ，由平行线的性质得到∠ADB =∠DBC ，等量代换得到∠EBF =∠DBC ，推出∠EBF ∠∠DBC ，根据相似三角形的性质，求得BD =40，由勾股定理即可得到结论．解：过E 作EF BD ⊥于F ，∠四边形ABCD 是矩形，∠90C ADC ∠=∠=︒，∠2BED BDC ∠=∠，∠()180290AEB ADB ︒-∠=︒-∠，∠2AEB EDB ∠=∠，∠,AEB ADB EBD ∠=∠+∠，∠EDB EBD ∠=∠，∠BE DE =， ∠12BF BD =， ∠AD BC ∥，∠ADB DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∽△△，BD BC∠2222253240BD BC BE =⋅=⨯⨯=，∠40BD =，∠24CD ．故答案为：24．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析（2【分析】（1）连接CE ，通过全等三角形的判定，得到Rt △CFE∠Rt △CDE ，进而得出结论； （2）连接BG 、BF 、BD ，作CH∠DF ，垂足为H ．依据△CFG∠∠CBG ，可得GF=GB ，进而得出△GBF 是等腰直角三角形，故BF BG ．再判定△BGA∠∠FBD ，即可得到DF BF AG BG＝ 解：（1）如图1，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠BC=CD ，∠B=∠D=90°．∠∠PBC 和△FPC 关于PC 对称，∠BC=CF ，∠B=∠PFC=90°．∠∠EFC=90°．∠∠EFC=∠D=90°，CF=CD ．∠CE=CE，∠Rt△EFC∠Rt△DFC（HL）．∠EF=ED．（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH∠DF，垂足为H．∠四边形ABCD是正方形，∠BC=CD．∠CH∠DF，∠∠HCF=12DCF ∠，∠∠PBC和△FPC关于PC对称，∠BC=CF，∠FCG=∠BCG．∠EB∠CG．又∠CG=CG，∠∠CFG∠∠CBG．∠GF=GB．∠∠HCF=12DCF∠，∠FCG=∠BCG=12BCF∠，∠∠HCK=12BCD∠=45°．∠∠PFH=135°．∠∠GFB=45°．∠∠GBF=45°．∠∠GBF是等腰直角三角形．∠BF=．∠∠ABD=45°，∠∠GBA=∠FBD．∠BG BF AB BD=， ∠∠BGA∠∠FBD ．∠DF BF AG BG== 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．21．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011 【分析】（1）在Rt∠CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 解：由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm =；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt∠CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，CP CQ CB CA=，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似 【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得∠EAF∠∠DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF∠BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明∠EHA∠∠DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得∠HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD∠BC ，在∠EAF 和∠DAB ， AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAF∠∠DAB(SAS)，∠∠E=∠BDA ，∠∠BDA+∠ABD=90º，∠∠E+∠ABD=90º，∠∠EGB=90º，∠BG∠EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，∠AF∠BC ，∠E=∠E ，∠∠EAF∠∠EBC ， ∠EA AF EB BC =，又AF=AB=1， ∠11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在∠EAH 和∠DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAH∠∠DAG(SAS)，∠∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，∠∠EAH+∠DAH=90º，∠∠DAG+∠DAH=90º，∠∠HAG=90º，∠∠GAH 是等腰直角三角形，∠222AH AG GH +=即222AG GH =，，∠GH=EG -EH=EG -DG ，∠EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．(1)见解析；(2)38；(3)见解析 【分析】(1)由旋转知∠PBQ 为等腰直角三角形，得到PB=QB ，∠PBQ=90°，进而证明∠APB∠∠CQB 即可；(2)设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，又∠ABC 为等腰直角三角形，所以BC=2AC ，，再证明∠BQE∠∠BCQ ，由此求出BE ，进而求出CE:BC 的值；(3)在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，证明∠PFA∠∠QGC ，进而得到PF=QG ，然后再证明∠QGE=∠QEG 即可得到QG=EQ ，进而求解．解：∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=BC ，∠ABC=90°，∠BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，∠BP=BQ ，∠PBQ=90°，∠∠ABC -∠PBC=∠PBQ -∠PBC,∠∠ABP=∠CBQ ，在∠APB 和∠CQB 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BC ABP CBQ BP QB ，∠∠APB∠∠CQB(SAS)，∠AP=CQ ．(2) 设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，∠ABC 为等腰直角三角形，AC ， 在Rt∠PCQ中，由勾股定理有：=PQ ，且∠PBQ 为等腰直角三角形，∠==BQ ， 又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∠∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ ，∠∠BQE∠∠BCQ ， ∠=BQ BE BC BQ，x ，∠CE=BC -，∠3:8=CE BC ， 故答案为：38．(3) 在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，如图所示：∠∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ ，且截取CG=FA ，故有∠PFA∠∠QGC(SAS)，∠PF=QG ，∠PFA=∠CGQ ，又∠∠DFP=180°-∠PFA ，∠QGE=180°-∠CGQ ，∠∠DFP=∠QGE ，∠DA //BC ，∠∠DFP=∠CEQ ，∠∠QGE=∠CEQ ，∠∠QGE 为等腰三角形，∠GQ=QE ，故PF=QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE 上截取CG ，并使CG=FA 这条辅助线．24．（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明∠ABE∠∠ADM 得到BE=DM ，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN ，再证明∠AMN∠∠EAN （SAS ），得出MN=EN 最后证出MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明∠AEG ∠∠AEF （SAS ），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，得到ABQP 为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD=AD ，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：∠ABE∠∠ADM ，∠BE=DM ，∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，∠∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∠∠MAN=45°，∠∠EAN=90°-45°=45°，∠∠MAN=∠EAN ，在∠AMN 和∠EAN 中，AM AE MAN EAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AMN∠∠EAN （SAS ），∠MN=EN ．∠EN=BE+BN=DM+BN ，∠MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，5MN = ，则BN+DM=5，设正方形ABCD 的边长为x ，则BN=BC -CN=x -3，DM=CD -CM=x -4，∠x -3+x -4=5，解得：x=6，即正方形ABCD 的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EF BE FD =+，证明如下：将∠AFD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到∠ABG ，连结EG ．由旋转的性质得到：AF=AG ，DAF BAG ∠=∠又∠∠EAF ＝45°，∴904545GAE ∠=︒-︒=︒,且AE=AE ，∠∠AEG ∠∠AEF （SAS ），从而得EG ＝EF ．（全等三角形对应边相等），又∠BN ＝DM ，BN∠DM ，∠四边形DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∠DN∠BM ，∠AND ABM ∠=∠ （两直线平行，同位角相等），∠90AND ADN ∠+∠=︒,∠90ABG ABM ∠+∠=︒（等量替换），即：∠GBE=90°，则222EG BE GB =+，∠222EF BE FD =+；（3）在AD 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，易证ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR +BN ＝RN ．设PR ＝x ，则RQ ＝3﹣x ，RN =1+x ，QN =3-1=2在Rt∠QRN 中，由勾股定理得：222RN NQ RQ =+，即222(1)2(3)x x +=+-解得：x ＝32， ∠PR =32∠PQ ∠DC ，∠∠APR ∠∠ADM ， ∠PR AP DM AD= （相似三角形对应边成比例） ∠3234DM = ∠DM ＝2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．。

(3题图）EDC B ADBCA NM O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中，底边BC=a ,A ∠=036,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ）A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．33()22 B ．33(22, C ．13(22, D ．31()226、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）y xP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图） B (4，-1)O图 4 图 5FED CBA E FADCB7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．2231 C. 2.5 D. 2.3(7题图)8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.9、如图9，已知ABC ∆，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。

相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN△与四边形BCNM 重叠部分的面积为y，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴= （2）1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM内或BC边上时，1A MNy S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y xx =-+-，取163x =，8y=最大86>Q ∴当163x =时，y 最大，8y=最大2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】解：（1）Q 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，M NC BEF AA 1得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM mm =-+-．又90COA PMA ∠=∠=Q °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m mm ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m mm -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216ly x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833DB D xx y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684ED E E yy x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG =，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC Q △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．·············································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t tt t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米； （2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求（图（图（图出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA积都相等？若存在，求a 明理由．【答案】解： （1）34PM =， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t Q ≤，636a a ∴+≤，则636a a ∴<≤，≤，（4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等NM M∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3ta t t a∴-=-，把66a t a =+代入，解之得a =±，所以a =．所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．A B D EF C O M Nx y图7-2A DOBC21 MN图7-1ADBM N12图7-3ADOBC21 MNO.7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD 的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°． ∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ． （3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，图4ADO B C21 MNEF A2E∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD =． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。