平面与平面的平行和垂直的判定及其性质

面面平行的断定与性质

假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。假如一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。

面面平行的断定定理1、假如两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

2、假如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

3、假如一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

面面平行的性质定理定理1

两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

证明：设α∥β，a?α，那么a∥β

∵α∥β

∴α与β无交点

又∵a?α

∴a与β无交点

即a∥β 定理2

两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

假如交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。所以交线必定平行。

武威第三中学——邵志光

线面平行的判定及其性质

1、直线与平面平行的判定定理：

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

2、判断直线与平面平行的方法:

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

3、直线与平面平行的性质定理：

定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。

线面垂直判定及其性质

线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

线面垂直的性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

面面平行判定及其性质

1、面面平行的判定定理：

定理1：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

推论:如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）

定理2:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

2、面面平行的性质定理:

定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

定理2:两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

定理3:两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）

平行

1．直线与平面平行的判定

(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．

(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行．

2．两个平面平行的判定

(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．

(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

符号表示为：．

注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．

(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即．

3．直线与平面平行的性质

(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

符号表示为：．

注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面内的任意一条直线平行”．

(2)直线与平面平行的性质：过平面内一点的直线与该平面平行的一条直线平行，则这条直线在这个平面内．

符号表示为：若，点，且，则．

4．平面与平面平行的性质

(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行与另一个平面．

此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行．

(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等．

垂直

1．直线与平面垂直的判定

(1)直线与平面垂直的定义

线面、面面平行和垂直的八大定理

一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。符合表示： ////ababa

2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示：

babaaa////

二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： //////NnmMbaambn

2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： dldl////（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）

三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 符号表示： aMcbbaca

＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 符号表示：

PAaAoAapooAa

2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。）

四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

aa,

2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。abaab,,，