bdg哈密顿量的正则变换

目录

第五章再谈哈密顿力学2

5.1泊松括号.............................3

5.1.1辛结构...........................3

5.1.2泊松括号.........................5

5.1.3涡旋的运动........................9

5.2正则变换.............................12

5.2.1正则变换作为相空间坐标变换..............12

5.2.2正则变换作为相空间的微分同胚映射..........14

5.2.3无穷小正则变换与诺特定理...............16

5.2.4刘维尔定理和庞加莱回归定理..............20

5.2.5生成函数与哈密顿正则方程...............24

5.3哈密顿-雅可比方程........................27

5.3.1哈密顿-雅可比方程....................27

5.3.2可积系统.........................30

5.3.3举例：哈密顿雅可比方程求解中心力场问题......31

1第五章再谈哈密顿力学

陈童

本章讲述哈密顿力学的系统理论，内容包括泊松括号，正则变换，以

及哈密顿-雅可比方程。这一章和通常教材的不同在于，处理方式更为现

代，语言也更为现代，因此更有利于读者日后阅读现代文献。

这一章中包含了一些漂亮的定理，包括诺特定理的重新回顾，刘维尔

定理，还有庞加莱回归定理。只要不是单纯的数学定理，而是理论力学框

架中的结论，我们都给出了证明，并且我采用的都是一些在我看来最为简

洁优雅的证明。

2第五章再谈哈密顿力学3

5.1泊松括号

5.1.1辛结构

前面的章节中我们引入了哈密顿正则方程，它是一组关于粒子如何在

广义坐标和广义动量所构成的相空间中演化的一阶常微分方程，其形式是

˙qa=∂H∂pa,˙pa=−∂H∂qa.(5.1)

第 1 页 共 2 页 bdg哈密顿量的正则变换

（原创实用版）

目录

1.哈密顿量的正则变换概述

2.哈密顿量的正则变换的定义和性质

3.哈密顿量的正则变换的应用

4.总结

正文

一、哈密顿量的正则变换概述

哈密顿量是量子力学中描述系统能量的一个算符，其正则变换是量子力学中常用的一种变换方法。通过对哈密顿量进行正则变换，可以更好地描述系统的物理性质和规律。

二、哈密顿量的正则变换的定义和性质

哈密顿量的正则变换是指将一个哈密顿量变换为另一个哈密顿量，这种变换需要满足一定的条件。具体来说，设 H1 为原始哈密顿量，H2 为变换后的哈密顿量，则哈密顿量的正则变换需要满足以下条件：

1.变换后的哈密顿量 H2 必须满足厄米性，即 [H2,H2]=0。

2.变换后的哈密顿量 H2 的本征值和本征态必须与变换前的哈密顿量 H1 的本征值和本征态一一对应。

3.哈密顿量的正则变换应该保持物理系统的时间演化规律不变，即变换后的哈密顿量 H2 所描述的物理系统与变换前的哈密顿量 H1 所描述的物理系统在时间演化规律上应该是一致的。

三、哈密顿量的正则变换的应用

哈密顿量的正则变换在量子力学中有广泛的应用，下面以一个具体的 第 2 页 共 2 页 物理系统为例，来说明哈密顿量的正则变换的具体应用。

设有一个量子谐振子系统，其哈密顿量为 H1=p^2/2m+kx^2/2，其中 p

为动量，x 为位移，m 为质量，k 为弹性系数。如果我们希望将这个系统的哈密顿量变换为 H2=x^2/2+px 的形式，我们可以通过哈密顿量的正则变换来实现。具体来说，我们可以将原始哈密顿量 H1 中的 x 和 p 替换为 x"和 p"，其中 x"=x+k/2m*x^3，p"=p-k/2m*x^2，这样，我们就得到了变换后的哈密顿量 H2=x"^2/2+px"。

四、总结

哈密顿量的正则变换是量子力学中一种重要的变换方法，它可以帮助我们更好地描述物理系统的物理性质和规律。通过哈密顿量的正则变换，我们可以将一个复杂的哈密顿量变换为另一个简单的哈密顿量，从而简化物理系统的描述。

正则变换的研究

学生xx

红河学院理学院物理学，云南省，中国，661100

摘 要：正则变换是由一组正则变量到另一组能保持正则形式不变的变量的变换。是解决正则方程的

解而引入的一种重要的变换方法。

关键词：正则变换；母函数；广义坐标。

1788年，拉格朗日写了一本大型著作《分析力学》。在这一本著作中，完全用数学分析的方法来解决所有的力学问题。而无需借助以往常用的几何方法，全书一张图都没有。在基础上，逐步发展为一系列处理力学问题的新方法，称之为分析力学。

拉格朗日是用s个独立变量来描写力学体系的运动，所以和牛顿运动方程一样，是二阶常微分方程组，我们通常把这组方程叫做拉格朗日方程。后来，哈密顿在1834年又提出：如果用坐标和动量作为独立变量，则虽方程式的数目增加了一倍，由s个变为2s个，但微分方程式却都由二阶将为一阶。这组方程叫哈密顿正则方程。他在1843年又运用变分法提出了另一个和牛顿定律等价的哈密顿原理，用来描述力学体系的运动。哈密顿正则变换将是求解哈密顿正则方程必不可少的一种计算方法。本节将给出正则变换的目的、条件和变换形式。

（一）正则变换的目的和条件

哈密顿函数是),...,2,1(,psq及t的函数，而哈密顿正则方程则是2s个一阶微分方程。如果H中不出现某个q，例如qi，则这个不出现qi就是循环坐标，而我们也将由正则方程式

),...,2,1(qsHHqpp ……（1）

力学体系的哈密顿函数H中，有没有循环坐标，与我们所选的坐标系有关，在某种坐标系中没有循环坐标，在另一种坐标系中却可以有一个或几个循环坐标，有心力就是一个最明显的例子，在极坐标中，如质点的质量是m，则动能)(m21222rrT。对平方反比引力问题来讲，势能rmVk2，故H=T+V.很显然，这里极角是一个循环坐标，故对应的广义动量的微分0pL,即

在二维坐标系下的一般经典哈密顿系统的正则变换和对应于它的量子幺正变换

在二维坐标系下，一般的经典哈密顿系统的正则变换是由动能函数氏公式定义的，因此可以表示为：

H=p^2/2m+V(x,y)

其中，p代表动量，m代表质量，V(x,y)代表势能函数，即这个系统的位移函数。基于该正则变换，可以定义出相应的量子幺正变换，它可以表示为：

H_q=\frac{\hbar^2}{2m}\left[\nabla^2-2\left(\frac{\hbar}{m}\right)^2V(x,y)\right]

其中，\hbar代表普朗克常数，\nabla^2表示拉普拉斯算符。基于上述正则变换，可以定义出该量子幺正变换，这个变换是一种有序的，统一的方法来描述波函数的变化。在这种量子正变换中，可以精确的描述出空间尺度下的波函数和能级。而且，由于它是一种通用的变换，所以可以应用到各个物理系统中，是一种重要而有效的工具。