哈密顿正则方程

KAM理论与哈密顿偏微分方程

在本论文中,我们致力于研究哈密顿偏微分方程(HPDEs)的拟周期解和几乎周期解的存在性.主要从半线性哈密顿偏微分方程和拟线性哈密顿偏微分方程两类方程来考虑.本文的主要内容为以下两个部分：半线性调和振子几乎周期解的存在性；拟线性哈密顿偏微分方程拟周期解的存在性.在第一章中,我们将大致回顾KAM理论的发展过程,并给出哈密顿偏微分方程关于扰动无界性的分类.最后,介绍了无穷维KAM理论在哈密顿偏微分方程中的应用.在第二章中,我们主要讨论半线性调和振子几乎周期解的存在性.处理这个问题的主要方法是一个改进的KAM定理.需要强调的是,在构造几乎周期解的过程中,半线性调和振子对应的特征函数即Hermite函数(hj(x))j≥1,具有衰减性是很关键的.在第三章中,我们深入讨论了拟线性哈密顿偏微分方程.首先通过分析,知道处理拟线性HPDEs的困难在于其相应的非线性项是无界的.然后我们给出了三个相关的结论：慢变拟周期线性系统可约;KdV方程存在多个频率的拟周期解;带导数Schrodinger方程存在实解析的拟周期解.在第四,第五,第六章中,我们详细证明了第三章中给出的三个结论.关于慢变拟周期线性系统约化的证明,主要利用一个关键引理及Newtonian迭代；关于KdV方程存在多个频率的拟周期解的证明,主要利用KdV方程解的L2守恒,Toplitz-Lipschitz’性质及相应的无穷维KAM定理；关于带导数Schrodinger方程存在实解析的拟周期解的证明,主要利用一个部分Birkhoff正规型及相应的无穷维KAM定理.

3. 正则变换

原广义坐标：q ，新广义坐标：,QQqt

（1） 目的：

哈密顿函数：,,HHpqt是广义坐标q和广义动量p以及t 的函数，哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程。

如果在哈密顿函数中不出现某个广义坐标q，例如不出现iq，则这个iq为循环坐标，应用哈密顿正则方程：

HqpHpq 可以得到一个对应的积分。换句话说：如果H中不出现iq，则对应的ip是常数，这正是我们期望的。

（2） 正则变换

（a）H中是否出现循环坐标与我们选取的坐标系有关，例如：在有心力场中极坐标系下：

222212kmTmrrVHTVr

H中不包含 所以：

20HLppmrconst

如果通过某种变换能找到新的哈密顿函数，设为*H，这个新函数使得正则方程不便，这种变换称为正则变换！

设新的广义坐标为：,QQqt ，则拉格朗日方程为： 0dLLdtQQ

,,,,QQqptPPqpt

*****,,,,LLQQtTVHHPQtPQL

令：

**HQPHPQ 由哈密顿原理可知，正则方程与哈密顿原理等价，所以，只要使

,,,,QQqptPPqpt

满足哈密顿原理的就可以保证新的正则方程保持不变，对于原来的正则变量和

,,HHpqt

2211,,,,0ttttSLqqtdtpdqHpqtdt

由于L与,dLfqtdt等价，为使p完全独立于q：

211,,,,0ttSpdqHpqtdtdfpqt

新的*H，

21*2,,,,ttSPdQHPQtdtdfPQt

哈密顿—雅克比方程的数值解法

首先，我们研究了哈密顿-雅克比方程的数值解法。一般而言，即使对于具有光滑数据的哈密顿-雅克比方程，随着时间的推移，它的解会出现奇性。

在数值求解上，大家寻找一致单调格式去近似哈密顿-雅克比方程的粘性解。在第二章，我们针对依赖时间的哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题构造了单调格式。

由于如何去处理边界点和内点的联系不是那么显然的，因此这类问题的数值格式的构造是有一定理论困难的。为了解决这个问题，我们针对带有弱狄利克雷边值条件的哈密顿-雅克比方程，提供了一类新的抽象单调格式，并且证明了这一格式具有1/2阶的收敛率。

基于抽象的收敛结果，我们针对求解哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题，构造了数值上有用的收敛格式。首先，我们针对柯西问题构造了一个收敛的有限体积格式，这个格式的三角剖分只需要满足通常的正则性条件。

之后，我们在边界上重新构造了能够准确反映抽象格式性质的有限体积近似,并且针对哈密顿-雅克比方程的柯西-狄利克雷问题给出了收敛的有限体积格式。对于守恒律方程和哈密顿-雅克比方程的近似，WENO格式是一个成功的高阶数值方法。

基于重构中的自适应方法，WENO格式在解的光滑区域能获得高阶精度，并且本质上不波动、敏锐的奇性解决。另一方面，虽然这一格式具有好的数值性质，但是对于某种非凸问题，这个数值格式不能收敛到哈密顿-雅克比方程的粘性解。

在第三章，针对依赖时间的哈密顿-雅克比方程，我们提出了构造高阶收敛格式的一般方法，并且讨论了收敛性问题。依靠高阶格式和一阶单调格式的合理组合，使得所得到的格式是收敛的，同时具有高阶精度。

我们还提供了针对非凸哈密顿问题的自适应算法，并且进行了详细的数值研究来证明格式的收敛性。此外，我们认为类似的自适应策略能够被应用于任何一双消散和高阶（压缩）重构，包括非结构网格情形。

这将成为我们将来研究的话题。在第四章，我们研究了水平集类方程的数值解法。

分析力学总结报告

分析力学是从能量的观点出发，应用数学中的分析法来研究系统力学问题的一门科学。它主要包含了以下内容：约束的分类、广义坐标、广义力、广义速度、自由度等基本概念，虚功原理，第二类拉格朗日方程，哈密顿正则方程，哈密顿原理，变分原理，Hamilton—Jacobi方程等。

在基本概念中，自由度数n是个比较重要的概念。对于完整系统，自由度数

3nNl，（N为此系统中包含的质点个数，l为完整约束方程的个数），而且广义坐标的数目就等于系统自由度数。对于非完整系统，自由度数3()nNlg（g为非完整约束方程的个数）。虚功原理的矢量形式为：1NiiiFr=0（i=1,2, ,n），广义坐标形式为：

10NjjjQq或jQ=0(j=1,2, ,n)，主动力为有势力的形式为：0jVq，这也为系统的平衡条件，且当220dVdq时系统为稳定平衡。由此可见，虚功原理是一个微分形式的变分原理，从功的观点来研究系统的平衡问题，它提供了一个区别非自由系统的真实平衡和约束所允许的可能位置的准则是解决非自由系统平衡问题的一个普遍原理。

第二类拉格朗日方程的一般形式为:(1,,)jjjdTTQjndtqq，当主动力为有势力时形式为: 0(1,,)jjdLLjndtqq（其中拉式函数LTV，210TTTT），拉式函数还有其他形式。比如情形1：方程中不显含某一广义坐标jq，即0jLq，可得循环积分jLqconstant，jq叫循环坐标；情形2：方程中不显含时间t时，即0Lt，可得能量积分*1njjjLqLEq，当约束定常时有机械能守恒*TVE。第二类拉格朗日函数只适用于完整系统，它是以广义坐标表示的一组独立运动微分方程，方程数等于广义坐标的数目，用来解决复杂的非自由系统的动力学问题比用动力学普遍方程方便的多。