板的变分法

第２９卷第１１期　振动与冲击　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨ０ＣＫ　

槽形梁动力反应分析的能量变分法　

甘亚南　，周广春　，赫中营。　

（１．盐城工学院土木工程学院，江苏盐城２２４０５１；２．哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨１５００９０；　３．河南理工大学土木工程学院，河南焦作４５４０１０）　

摘　要：以分析箱形梁剪滞效应提出的方法为基础，考虑了剪滞翘曲应力的自平衡条件，为了准确反应槽形梁翼　板的动位移变化，三个广义动位移７７（　，Ｙ，　，ｔ）、　（　，ｔ）和０（　，ｔ）被引入。利用能量变分原理建立了槽形梁动力反应　（　，ｔ）、　（　，ｔ）和０（　，ｔ）的控制微分方程和自然边界条件，获得了相应广义位移的闭合解，据此对槽形梁的动力反应特　性进行了研究，揭示了槽形梁桥动力反应的规律。算例中，该解析解与有限元数值解进行了比较，证明了该动力分析方法　的有效性。　关键词：槽形梁；剪力滞后；动力反应；能量变分原理　中图分类号：Ｕ４４８．２２　文献标识码：Ａ　

槽形梁具有独特的力学特性，与其它预应力混凝　

土结构形式相比，如箱形结构　，槽形梁具有抗扭能　

力差、剪力滞后效应大的明显缺点。但是槽形梁作为　

一种特殊的桥梁结构形式，因具有高度低、投资少和节　省土地资源等优点，成为桥梁结构的选择之一＿４　ｊ。　

如我国在１９８１年到１９８２年分别建成怀柔双线槽形桥　

梁和通县西单线槽形梁桥的基础上，于１９９５年建成了　

跨度２５　１ＴＩ＋４０　ｍ＋２５　ｍ葛水河连续槽形梁桥，运营情　

况良好　。但是受剪力滞后效应影响，槽形梁受力非　

常复杂，这给槽形结构的静、动力分析带来很大困难，　

由于国内外学者的不懈努力其静力分析方法不断完　善　Ｊ，然而考虑剪滞效应和剪滞应力自平衡条件的　

槽形梁桥动力学特性的研究尚未见报道　一。由于槽　

形结构具有独特的应用价值，以及在施工和运营过程　

中有可能受到各种动荷载的影响（风荷载、地震波等），　

大　庆　石　油　学　院　学　报　ＪＯｕＲＮＡＬ　ＯＦ　ＤＡＱＩＮＧ　ＰＥＴＲＯＬＥＵＭ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　第３Ｏ卷　第６期　２００６年１２月　Ｖｏ１．３０　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．　２００６　

局部荷载作用下四边固支矩形板的计算用表　

张文福，马昌恒　

（大庆石油学院土木建筑工程学院，黑龙江大庆　１６３３１８）　

摘要：运用能量变分法，给出了局部荷载作用下四边固支矩形板的跨中弯矩和挠度的计算用表，以及不同相等原　则下的等效均布荷载因数．与《混凝土及砌体结构》中的结果对比，证明了该方法的精确性，所得出的计算表格可供工程　应用参考．　关键词：能量变分法；局部荷载；四边固支矩形板；等效均布荷载；计算用表　中图分类号：ＴＵ２０６　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—１８９１（２００６）０６—００６６一Ｏ４　

０　引言　

弹性薄板在土建结构中得到广泛应用，如实体板、板梁、箱形梁、箱形基础等，其中矩形薄板的应用尤　为普遍．目前有关设计手册或文献『１　］，给出了各种边界条件均布荷载作用下的矩形板相关弯矩和挠度　

的计算表格，以及虽承受局部荷载，边界条件为周边简支的计算表格，但均未给出局部荷载作用下四边固　支板的相关计算用表．此种情况在工程实际中，尤其是在工业建筑的设计中却经常遇到．笔者运用弹性　

力学中的能量变分法，给出了局部荷载作用下四边固支板的弯矩和挠度计算表格，并进一步将局部荷载换　

算为均布荷载，以便工程设计人员参考．　

１　计算方法　

Ｉ．Ｉ计算模型　设矩形板边长为口和ｂ，板厚为ｈ，边界条件为四边固　

支，计算模型见图１．在其中心区域受边长为ｃ和ｄ的面荷　载作用（局部活荷载原则上应布置在可能的最不利位置上，　

一般情况下，应至少有一个布置在板的中央处，因此将所设　

局部荷载布置在板的中央），求其跨内的最大弯矩及挠度．　Ｉ．２能量变分法求解　板内势能『４　为　丌一Ｕ＋Ｗ，　（１）　图１　计算模型　

ｕ—Ｄ２　ＪｊｆＩｆ　ａ　￣ｗ＋等－－２（１－，￣）［等等一（　）　］　

精品文档

精品文档 第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理

平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z与应力x,y和xy相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。

用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。

本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。

§6.1 基本方程与边界条件回顾

取坐标平面oxy与中面重合，z轴垂直于中面，x,y和z轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x,y和z轴方向的位移分别用u,v和w表示。由Kirchhoff假设，可以得到

xwzzyxu),,(，ywzzyxv),,(，),(),,(yxwzyxw （6-1）

并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为

第３１卷，第４期　２　０　０　６年８月　中　南　公　路　工　程　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｈｉｇｈｗａｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．３１，Ｎｏ．４　Ａｕｇ．，２０　０　６　

弹性地基板在移动荷载作用下的振动分析　谢静静　，孙会超　，王栋　（１．江苏工业学院环境与安全工程系，江苏常州　２１３０１６　２．济南市建没＿Ｉ二程勘察设计质量监督站，山东济南　２５０００１；３．江苏省邮电规划设计院有限责任公司，江苏南京２１０００６）　［摘要］建立了移动荷载作用下，弹性半卒间地基上四边弹性支撑有限板的一种新型力学模型，并以单位力　作用下的简支矩形板为基本系统，通过简化约束，利用互等功定理及变分法原理，求解出了在移动荷载作用下该矩　形板的解析解。根据机场工程中实测的道面板弯沉值，利用此解析解反算出了板边弹性支撑的刚度系数。通过该　方法就可以确定刚性道面板间的接缝传荷能力，从而使道面板的设计更加经济合理。　［关键词］弹性半空间；互等功定理；弹性支撑　［中圈分类号］Ｕ　４１６．０３　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００２　１２０５（２００６）０４—０１０６—０４　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｔｈｅ　Ｐｌａｔｅｓ　Ｔｒａｖｅｒｓｅｄ　ｂｙ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ｌｏａｄ　ｏｎ　ＥｌａｓｔｉＣ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ＸＩＥ　Ｊｉｎｇｊｉｎｇ　，ＳＵＮ　Ｈｕｉｃｈａｏ　，ＷＡＮＧ　Ｄｏｎｇ３　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　Ｅｎｖｉｏｒｍｅｎｔ＆Ｓａｆｅｔｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｊａｎｇｓｕ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｊｉａｎｇｓｕ　ｃｈａｎｇｚｈｏｕ，　２１３０１６；　２．Ｊｉｎａｎ　ｑｕａｌｉｔｙ　ｓｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎ—ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ｉｎ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｊｉｎａｎ，　Ｓｈａｎｄｏｎｇ　２５０００１，Ｃｈｉｎａ；　３．ｊｉａｎｇｓｕ　ｐｏｓｔｓ＆ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｐｌａｎｎｉｎｇ　ａｎｄ　ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ　ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ＣＯ．ＬＴＤ，　Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ　２１０００６，Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｎｅｗ　ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ　ｄｅｐｉｃｔｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｏｕｒ　ｊｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ’ｅｄｇｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｉｒｐｏｒｔ’Ｓ　ｒｉｇｉｄ　ｐａｖｅｍｅｎｔ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ａｓ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｓｕｐｐｏｒｔｓ．Ｂｙ　ｃｈｏｏｓｉｎｇ　ａ　ｂａｓｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｆｏｕｒ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｅｄｇｅｓ　ａｎｄ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｌｏａｄｅｄ　ｗｉｔｈ　ａ　ｕｎｉｔ　ｆｏｒｃｅ　ａｎｄ　ｂｙ　ｓｉｍｐｌｉ－　ｆｙｉｎｇ　ｔ｝Ｉｅ　ｅｄｇｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｓｙｓｔｅｍ．ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ｃｏｎｃｌｕｄｅｓ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ｗｉｔｈ　ｆｏｕｒ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｓｕｐｐｏｒｔｓ　ｏｎ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｍｏｖｉｎｇ　ｐｏｉｎｔ—ｌｏａｄ　ｂｙ　Ｂｅｔｔｉ’Ｓ　ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　ｔｈｅｏ－　ｒｅｍ　ｏｆ　ｗｏｒｋ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｄａｔａ　ｏｆ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｅｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｒｉｇｉｄ　ｍｏｄｕｌｕｓ　ｏｆ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｓｕｐｐｏｒｔｓ，ＳＯ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｌｏａｄ　ｃａｐａｃｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｊｏｉｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ａｓｃｅｒｔａｉｎｅｄ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｅｌａｓｔｉｃ　ｈａｌｆ－ｓｐａｃｅ；Ｂｅｔｔｉ’ｓ　ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｗｏｒｋ；ｅｌａｓｔｉｃ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｓｕｐｐｏｒｔｓ　在道（路）面工程结构中，矩形板的应用非常广　泛，因此考虑矩形板间接缝传荷能力对于道面板的　设计具有很重要的影响。国内外的学者通常是利用　有限元方法对接缝和道面板进行数值分析研究；传　统的解析分析方法则通常是把地基作为Ｗｉｎｋｌｅｒ模　式或者为“双参数”模式。虽然近年来对弹性半空间　体地基上矩形板的研究也做了一些工作，但矩形板　的分析仍是一些常见边界，例如：四边简支、四边自　由等等，而对矩形板的动力分析则更是少见。本文　建立了一种新型力学模型：把板间的接缝考虑为板　的四边铰接支撑在扭簧上。通过该模型就可以考虑　接缝具有一定的传荷能力时，弹性半空间地基上矩　形板的动力响应问题。　１板运动方程的建立　采用了运动荷载下的弹性半空间地基板系统模　型。地基模型视为弹性半空间体…，其弹性模量和　泊松比分别用　和　表示，假设地基的位移场具　有以下形式：　Ｕ＝“（　，Ｙ，ｔ）ｅ一　Ｖ＝　（　，Ｙ，ｔ）ｅ一。　Ｗ＝Ｗｄ（　，Ｙ，ｔ）ｅ　（１）　式中：ａ为常数，代表地基位移沿纵深方向衰减变　形的参数，可参考Ｖｏｌａｚｏｖ地基模型来确定。　当假定地基与板完全接触时，且板与地基水平　［收稿日期】２００５　０３　Ｏ１