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变分法

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§1 变分法简介

作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：

约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”

这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph

Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。

有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题

(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。

伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程

解此方程并适当选取参数，得

)(21axaxeeay （1）

即为悬链线。

悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！

现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。

1.1 变分法的基本概念

1.1.1 泛函的概念

设S为一函数集合，若对于每一个函数Stx)(有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作))((txJ。S称为J的容许函数集。

例如，在],[10xx上光滑曲线y(x)的长度可定义为

1021xxdxyJ （2）

考虑几个具体曲线，取1,010xx，

若xxy)(，则

若y(x)为悬链线，则

对应],[101xxC中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合],[101xxC上的一个泛函，此时我们可以写成

我们称如下形式的泛函为最简泛函

fttdttxtxtFtxJ0))(),(,())(( （3）

被积函数F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。

1.1.2 泛函极值问题

考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：

在所有连接定点),(),(1100yxByxA和的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求1100101)(,)(],,[)()()(yxyyxyxxCxyxyxy，使

取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，

称泛函))((txJ在Stx)(0取得极小值，如果对于任意一个与)(0tx接近的Stx)(，都有))(())((0txJtxJ。所谓接近，可以用距离))(),((0txtxd来度量，而距离可以定义为

泛函的极大值可以类似地定义。其中)(0tx称为泛函的极值函数或极值曲线。

1.1.3 泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(tx在)(0tx的增量记为

也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作

如果J可以表为

其中L为x的线性项，而r是x的高阶项，则称L为泛函在)(0tx的变分，记作

))((0txJ。用变动的)(tx代替)(0tx，就有))((txJ。

泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：

0))()(())((txtxJtxJ （4）

这是因为当变分存在时，增量

根据L和r的性质有

所以

1.2 泛函极值的相关结论

1.2.1 泛函极值的变分表示

利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。

泛函极值的变分表示：若))((txJ在)(0tx达到极值（极大或极小），则

0))((0txJ （5）

证明：对任意给定的x，)(0xxJ是变量的函数，该函数在0处达到极值。根据函数极值的必要条件知

再由（4）式，便可得到（5）式。

变分法的基本引理：],[)(21xxCx，],[)(211xxCx，0)()(21xx，有

210)()(xxdxxx，

则],[ ,0)( 21xxxx。

证明略。

1.2.2 泛函极值的必要条件

考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。

00)(xtx，ffxtx)( （6）

泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程

0xxFdtdF （7）

欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：

对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0ftxtx，有 ffttxttxxdtxxtFdtddtxxxtF00),,(),,(，

所以

利用泛函极值的变分表示，得

因为x的任意性，及0)()(0ftxtx，由基本引理，即得（7）。

（7）式也可写成

0xFxFFFxxxxxtx （8）

通常这是关于x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。

1.2.3 几种特殊形式最简泛函的欧拉方程

(i) F不依赖于x，即),(xtFF

这时0xF，欧拉方程为0),(xtFx，这个方程以隐函数形式给出)(tx，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。

(ii) F不依赖x，即),(xtFF

欧拉方程为

将上式积分一次，便得首次积分1),(cxtFx，由此可求出),(1ctx，积分后得到可能的极值曲线族

(iii) F只依赖于x，即)(xFF

这时0,0,0xxxtxFFF，欧拉方程为

由此可设0x或0xxF，如果0x，则得到含有两个参数的直线族21ctcx。另外若0xxF有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族cktx，它包含于上面含有两个参数的直线族 21ctcx 中，于是，在)(xFF情况下，极值曲线必然是直线族。

（iv）F只依赖于x和x，即),(xxFF

这时有0xtF，故欧拉方程为

此方程具有首次积分为

事实上，注意到F不依赖于t，于是有

0)()(xxxxxxxFdtdFxFdtdxFxxFxFFxFdtd。

1. 3 几个经典的例子

1.3.1 最速降线问题

最速降线问题 设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A滑行至B的时间最短。

解 将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。根据能量守恒定律，质点在曲

线)(xy上任一点处的速度dtds满足（s为弧长）

A(0, 0) x

将dxxyds)('12代入上式得 B(x1,y1)

dxgyydt2'12 y 图1最速降线问题

于是质点滑行时间应表为)(xy的泛函

端点条件为

最速降线满足欧拉方程，因为 不含自变量x，所以方程（8）可写作

等价于

作一次积分得

令 ,2'ctgy则方程化为

又因

积分之，得

由边界条件0)0(y，可知02c，故得

这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数1c可利用另一边界条件11(yxy）来确定。

1.3.2 最小旋转面问题

最小旋转面问题 对于xy平面上过定点),(11yxA和),(22yxB的每一条光滑曲线)(xy，绕x轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线)(xy的泛函))((xyJ，易得 dxxyxyxyJxx )('1)(2))((212

容许函数集可表示为

解 因 "1yyF不包含x，故有首次积分

122''1'''1'cyyyyyyFyFy

化简得 21'1ycy 令shty'，代入上式， chtctshcy1211

由于 dtcshtshtdtcydydx11' 积分之，得 21ctcx

消去t，就得到121ccxchcy 。

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1

变分法综述

1.变分法

1.1.变分法起源

变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论

完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制

论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1]

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样

的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函

数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：

一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A

到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时

间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找

函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理

在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问

题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例

子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推

广。[2]

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，

或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很

显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau

问题。

1.2变分问题类型

固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式

的变分问题。[3]

（1）古典变分问题举例

例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent）

问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A、

数学中的变分法

数学中的变分法

数学中的变分法

变分法是一种数学方法，它在许多物理学原理的证明和应用中被广泛使用。变分法的基本思想是将一个对象视为其可能的所有函数中一种函数。例如，如果我们考虑曲线上的能量问题，我们将尝试确定曲线的最小能量。在这种情况下，我们将使用变分法来确定能量的最小值，同时识别导致最小值的曲线。

变分法被广泛运用于许多科学和工程领域中的分析问题。其中一些领域包括最优控制理论、力学、统计学、经济学和化学等。变分法是这些领域的基础，并广泛应用于生物力学、流体力学、材料科学以及其他科学和工程领域的问题。

变分法的核心思想是通过应用变分运算符来寻找函数的极值。对于一个实变函数f，它的变分是指通过对f进行微小调整来找到f的变化方向，例如δf。对于函数f(x)，它的变分可以表示为如下形式：

δf(x)=f(x+εv)-f(x)

其中，v是任意的可微向量函数，而ε是一小的正实数。变量v被称为变分方向或测试函数。此时，我们可以考虑将上式变化为以下形式：

δf(x;v)=lim（ε -> 0）[f(x+εv)-f(x)] / ε

当ε趋近于0时, δf(x;v)的极限被称为f在v方向的变分。当δf(x;v)等于0时，我们可以说f在v方向上不变。因此，我们可以通过使用变分法来确定f的最小值或最大值。

例如，如果我们要找到一条曲线，其起点和终点都已知，同时满足总长度最小的条件。在这个问题中，我们需要确定曲线的形状来最小化熵函数。最小化长度问题的变分形式可以表示为：

L[y]=∫[a,b]L（y，y'）dx

其中y是曲线的方程，L（y，y'）是曲线的弧长元素。此时，我们需要找到这条曲线，其满足以下条件：

∫L（y，y'）dx≤∫L（y0，y'0）dx

其中y0和y'0是固定的曲线。我们可以取v为x的变化方向，而L（y，y'）可以视为动能或势能。因此，我们可以将上式改写为：

∂L[y]/∂y- d/dx∂L[y]/∂y'=0

这里的d/dx是导数。此时我们可以通过各种数学工具来解决这个方程，从而找到曲线的最小长度。

变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程

变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程

变分法练习题掌握变分法的最小化问题与变分方程

变分法练习题: 掌握变分法的最小化问题与变分方程

在数学和物理学中，变分法是一种重要的数学工具，用于解决函数的最小化问题和变分方程。变分法通过将一个函数作为变量，并在其上进行微小变化，来找到使某个泛函达到最小值的函数。本文将介绍变分法的基本概念以及应用，并通过练习题来加深对变分法的理解。

一、最小化问题

在最小化问题中，我们希望找到一个函数，使得某个泛函达到最小值。泛函是定义在函数空间上的函数，通过将一个函数映射到一个实数来描述函数的性质。最小化问题可以用以下形式的泛函来表示：

$$ J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y')dx $$

其中，$y$是定义在区间$[a, b]$上的函数，$y'$表示$y$关于自变量$x$的导数，$F(x, y, y')$是一个给定的函数。我们的目标是找到一个函数$y$，使得$J[y]$达到最小值。

为了解决最小化问题，我们首先要假设函数$y$在区间$[a, b]$上有足够的光滑性，即$y$满足一定的边界条件。然后，我们引入变分法的基本概念——变分。

二、变分 变分是指在一个函数上进行微小变化。对于给定的函数$y(x)$，我们可以引入一个新的函数$y(x)+\epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个趋近于零的常数，$\eta(x)$是任意函数。函数$\eta(x)$称为变分函数，它的选择可以是任意的，只需满足边界条件。

三、变分法的基本原理

通过变分的引入，我们可以构造一个新的函数：

$$ J[y+\epsilon \eta] = \int_{a}^{b} F(x, y+\epsilon \eta, (y+\epsilon

\eta)')dx $$

然后，我们对上述函数关于$\epsilon$求导，再让$\epsilon$趋近于零，即可得到泛函$J[y]$的变分。泛函$J[y]$的变分可以表示为：

变分法证明等周定理

变分法证明等周定理

第 1 页 共 2 页 变分法证明等周定理

【实用版】

目录

1.变分法简介

2.等周定理的概念和背景

3.变分法证明等周定理的过程

4.结论和意义

正文

一、变分法简介

变分法是数学分析中的一种重要方法，主要研究函数的极值、曲线的弯曲以及泛函的取值范围等问题。它起源于 17 世纪，经过数学家们的不断发展和完善，现已成为数学领域中一个独立的分支。变分法在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解最优化问题、研究弹性力学和流体力学等。

二、等周定理的概念和背景

等周定理，又称等周不等式，是数学领域中一个著名的定理。它主要研究的是平面上两个周长相等的简单闭曲线之间的面积大小关系。具体来说，等周定理表明：在所有周长相等的简单闭曲线中，椭圆的面积最大，且其最大面积与周长成正比。等周定理在数学史上有着重要地位，许多数学家曾为证明该定理付出了巨大的努力。

三、变分法证明等周定理的过程

利用变分法证明等周定理的过程可以分为以下几个步骤：

1.建立变分模型：首先，根据等周定理的背景和问题，我们构造一个合适的变分模型，即求解一个泛函取得极值的问题。在这个问题中，我们让平面上简单闭曲线的周长固定，然后求解曲线的面积函数的极值。 第 2 页 共 2 页 2.求解欧拉方程：为了求解泛函的极值，我们需要先求解欧拉方程。欧拉方程是描述变分法中极值问题的基本方程，它将引导我们找到满足条件的曲线。

3.证明等周定理：通过求解欧拉方程，我们可以得到满足条件的曲线方程。进一步证明可得，在所有周长相等的简单闭曲线中，椭圆的面积最大，从而证明了等周定理。

四、结论和意义

利用变分法证明等周定理，不仅揭示了等周定理的本质，也展示了变分法在解决这类问题中的优越性。