高考数学复习—— 数列求和及数列的综合应用

第四节 数列求和与数列的综合应用

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．

知识点一 数列求和的几种常用方法

1．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

2．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

5．并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

1．判断正误

(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝na1＋an2较为合理．( )

(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )

(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，前n项和为9，则n＝________.

解析：∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n.

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.∴n＋1－1＝9，即n＋1＝10，∴n＝99.

数列求和

题组一 分组转化求和

1.数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10之值为

( )

A．31 B．120 C．130 D．185

解析：a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130.

答案：C

2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于 (

)

A．13 B．10 C．9 D．6

解析：∵an＝1－12n，

∴Sn＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n)

＝n－(12＋14＋18＋…＋12n)

＝n－12[1－(12)n]1－12＝n－1＋12n，

由Sn＝32164＝n－1＋12n，

观察可得出n＝6.

答案：D

3．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1，且n∈N*)满足y＝2x－1，则a1＋a2＋…＋a10＝________.

解析：∵an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)

∴{an－1}为等比数列，则an＝2n－1＋1，

∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋…＋29)

＝10＋1－2101－2＝1 033.

答案：1 033

题组二 裂项相消求和

4.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是 (

)

A.nn＋1 B.n＋2n＋1 C.nn－1 D.n＋1n

解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，

∴f(x)＝x(x＋1)，

1f(n)＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，用裂项法求和得Sn＝nn＋1.

第4节 并项求和与分组求和法

【基础知识】

1．分组转化求和法：有一类数列{}nnab，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}nnab是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如1nnafn类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721nS100999897215050.

【规律技巧】

常见可以使用公式求和的数列：(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解；(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．

【典例讲解】

【例1】 设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′π2＝0.

(1)求数列{an} 的通项公式；

(2)若bn＝2an＋12an，求数列{bn}的前n项和Sn.

【变式探究】 在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝an（n＋1）2，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.

【针对训练】

1、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…

解：设)231()71()41()11(12naaaSnn

将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1111(12naaaSnn

第2讲数列求和及其综合应用

错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法

错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)·bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．

(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n.求数列{cn}的前n项和Tn.

【解】(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，

当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d，

由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，得11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，

可解得b1＝4，d＝3.

所以bn＝3n＋1.

(2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，

两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋4（1－2n）1－2－（n＋1）×2n＋2＝－3n·2n＋2，

所以Tn＝3n·2n＋2.

应用错位相减法求和需注意的问题

(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．

(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．