新人教版初中数学八年级下册17.2.1 勾股定理的逆定理

17.2 勾股定理的逆定理

【教学目标】

知识与技能:

1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.

过程与方法:

经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

情感态度与价值观:

通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

【重点难点】

重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用.

难点:勾股定理的逆定理的证明.

【教学过程】

一、创设情境,导入新课

小明做了一个长为40 cm,宽为30 cm的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格.”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”

同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识.

二、探究归纳

活动1:互逆命题、互逆定理

1.问题1:下面几组数分别是一个三角形的边长a、b、c(单位:cm). ①3、4、5;②4、7、9;③6、8、10.

(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形.(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗?

提示:(1)①③满足a2+b2=c2,②不满足 (2)略 (3)①③是直角三角形,②不是直角三角形.

2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗?

3.归纳:如果一个三角形的三边长a,b,c满足_________________,那么这个三角形是___________ .

答案:a2+b2=c2 直角三角形

4.问题2:阅读,命题1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

17．2 勾股定理的逆定理

第1课时 勾股定理的逆定理

1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)

2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；(难点)

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．(重点)

一、情境导入

古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．

你知道这是什么道理吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理的逆定理

【类型一】

判断三角形的形状

如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝52＋52＝52，AC＝32＋32＝32，AB＝22＋82＝68.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.

方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【类型二】

利用勾股定理的逆定理证明垂直关系

如图，已知在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝14AD.求证：CE⊥EF.

解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．

证明：连接CF.设正方形的边长为4，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵点E为AB中点，AF＝14AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.

方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．

课 题 勾股定理和逆定理

课 型

教

学

目

标

知识

技能

1． 掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系.

2． 熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题.

过程

方法 通过归纳使学生进一步掌握知识，同时也能对逆定理解决实际问题有更好的理解

情感

态度

价值

观 巩固强化所学知识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学

重点 勾股定理及其逆定理的应用

教学

难点 勾股定理及其逆定理的应用.

教学内容及教师活动 学生活动 二次修改

一、课前导学：学生自学课本37页内容，并完成下列问题

1、勾股定理： 。（即： ）

公式的变形：（1）2c ，c

（2）2a ，a

（3）2b ，b

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长cba,,满足 ，那么这个三角形是 。

3、满足 的三个正整数，称为勾股数。例如：

4、互逆命题和互逆定理

互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．

互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个

称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理。

5、若在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=5， c=12，则b= ；（3）若10,4:3:cba，学生思考、交流

1 第十七章 勾股定理

17.2 勾股定理的逆定理

第2课时 勾股定理的逆定理的应用

学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；

2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.

重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.

一、知识回顾

1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？

2. 快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;

(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.

一、要点探究

探究点1：勾股定理的逆定理的应用

典例精析

例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求

出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.

课堂探究 自主学习 教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3-5）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片6-14）

2

方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.

变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？