n阶行列式定义

一、内容提要

本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．

二、学习要求

正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．

第一节 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组

(1)

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有

(2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

如果记

则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

(3) 这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

例1 用二阶行列式解线性方程组

解：这时，

因此，方程组的解是

对于三元一次线性方程组

(4)

第二节 n阶行列式的定义

介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处

内容要点：

从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。

一、排列与逆序

定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n级排列(简称为排列)。

例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列.

规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。

定义2 在一个n级排列)(21nstiiiii中，若数,stii 则称数ti与si构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21niiiN

根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:

设在一个n级排列niii21中,比),,2,1(nkik大的且排在ki前面的数由共有kt个, 则ki的逆序的个数为kt, 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即

.)(12121nkknnttttiiiN

定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.

二、n阶行列式的定义

定义4 由2n个元素),,2,1,(njiaij组成的记号

nnnnnnaaaaaaaaa212222111211

称为n阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积nnjjjaaa2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即

nnnjjjnjjjjjjNnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(

其中njjj21表示对所有n级排列njjj21求和. 行列式有时也简记为det)(ija或||ija，这里数ija称为行列式的元素，称 nnnjjjjjjNaaa212121)()1( 为行列式的一般项.

第一章行列式

行列式是线性代数的基本内容之一，本章主要介绍阶行列式的定义、性质n

及其计算方法，此外还要介绍阶行列式求解元线性方程组的克莱姆(Cramer)nn

法则。

§1.1阶行列式的定义n

下面先介绍二、三阶行列式的定义，再研究有关排列的知识，然后引出n

阶

行列式的概念。

一、二阶行列式的定义

设二元线性方程组

（1.1）

⎩⎨⎧

=+=+

22221211212111

bxaxabxaxa

用消元法求解，当时，解得0

21122211≠−aaaa

，（1.2）

21122211122221

1aaaaabab

x

−−=

21122211211112

2aaaaabab

x

−−

=

（1.2）式的分母是由方程组（1.1）的四个系数构成的，将这四个

21122211aaaa−

数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成两行两列（横排称行、竖排称列）并

定义的式子

21122211aaaa−

（1.3

）

22211211

aaaa

叫做二阶行列式。

数称为行列式（1.3）的元素。元素的第一个下标称为)2,1;2,1(==jia

ijijai

行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列。ijj类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式

，

222121

212221abab

baab=

−

221111

211211baba

abba=−

那么（1.2）式可写成

，

22211211222121

1

aaaaabab

x

=

22211211212111

2

aaaababa

x=

二、三阶行列式的定义

定义1.1设有个元素排成三行三列的式子定义为9)3,2,1,(=jia

ij

(1.4

)

312213332112322311322113312312332211

333231232221131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−−−++=

并称它为三阶行列式。

上述定义表明三阶行列式含有项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘6积再冠以正负号，其规律是按照下面(1.5)式所示的方法（称为沙路法）得到的。

.

.. 关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(

2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;

(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:

(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.

它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132,

它们都是奇排列.

§ 行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 322311332112312213aaaaaaaaa322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD（1.

.. 即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

如: D=dcba=ad-bc , badc=bc-ad= -D

以ri表第i行，Cj表第j列。交换 i,j两行记为rjir,交换i,j两列记作CiCj。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作rik）

推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。