1 计算n阶行列式的若干方法举例
20111113班孟遵制涛
有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算
例1 计算行列式
001002001000000nDnn
解 Dn中不为零的项用一般形式表示为
112211!nnnnnaaaan.
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于(1)(2)2nn，故
(1)(2)2(1)!.nnnDn
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n阶行列式nijDa的元素满足
,,1,2,,,ijjiaaijn
则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由ijjiaa知iiiiaa，即
0,1,2,,iiain
故行列式Dn可表示为
1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa
由行列式的性质AA 2 1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa
12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa
(1)nnD
当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n阶行列式
abbbbabbDbbabbbba
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba
计算n阶行列式的若干方法举例
n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算
例 计算行列式 001002001000000nDnn
解 Dn中不为零的项用一般形式表示为 112211!nnnnnaaaan.
该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于(1)(2)2nn，
故(1)(2)2(1)!.nnnDn
2．利用行列式的性质计算
例： 一个n阶行列式nijDa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn 则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由ijjiaa知iiiiaa，即0,1,2,,iiain
故行列式Dn可表示为1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa，由行列式的性质TAA，1213112232132331230000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa12131122321323312300(1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa(1)nnD
当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
n阶行列式的余子式展开式详解
行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中各个元素的代数式，可以用于解线性方程组、计算矩阵的逆等。而行列式的余子式展开式是一种常用的计算行列式的方法，它将一个n阶行列式展开成n个n-1阶行列式的和。下面将详细介绍n阶行列式的余子式展开式。
我们来回顾一下行列式的定义。对于一个n阶方阵A=(a[i][j])n×n，其中每个元素a[i][j]属于集合R（实数集合）或C（复数集合）。n阶行列式的定义为：
|A| = ∑(-1)^(i+j) * a[i][1] * M[i][1]，其中i=1,2,...,n
在这个定义中，∑代表求和，i和j代表A的行和列的下标，a[i][j]代表A中第i行第j列的元素，M[i][j]代表A中删去第i行和第j列后所得到的(n-1)阶行列式，(-1)^(i+j)是一个符号因子，当i+j是奇数时，符号因子为-1，当i+j是偶数时，符号因子为1。
通过行列式的定义，我们可以看到n阶行列式的计算是通过递归地计算n-1阶行列式来实现的。这就是余子式展开式的思想。具体来说，我们可以选择第i行（或第j列）展开，然后计算每个元素的余子式，再将它们乘以对应的符号因子，最后求和得到行列式的值。
例如，对于一个3阶行列式A，我们可以选择展开第1行：
|A| = a[1][1] * M[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * M[1][2] + (-1)^(1+3) * a[1][3] * M[1][3]
其中M[1][1]、M[1][2]和M[1][3]分别是删去第1行和第1列、第2列、第3列后所得到的2阶行列式。同样地，我们可以选择展开第2行和第3行，然后按照相同的方法计算余子式。
通过余子式展开式，我们可以将一个n阶行列式转化为n个n-1阶行列式的和，从而简化计算的过程。这种方法在实际应用中非常常见，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的逆等问题时。
第一章行列式
行列式是线性代数的基本内容之一，本章主要介绍阶行列式的定义、性质n
及其计算方法，此外还要介绍阶行列式求解元线性方程组的克莱姆(Cramer)nn
法则。
§1.1阶行列式的定义n
下面先介绍二、三阶行列式的定义，再研究有关排列的知识，然后引出n
阶
行列式的概念。
一、二阶行列式的定义
设二元线性方程组
（1.1）
⎩⎨⎧
=+=+
22221211212111
bxaxabxaxa
用消元法求解，当时，解得0
21122211≠−aaaa
，（1.2）
21122211122221
1aaaaabab
x
−−=
21122211211112
2aaaaabab
x
−−
=
（1.2）式的分母是由方程组（1.1）的四个系数构成的，将这四个
21122211aaaa−
数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成两行两列（横排称行、竖排称列）并
定义的式子
21122211aaaa−
（1.3
）
22211211
aaaa
叫做二阶行列式。
数称为行列式（1.3）的元素。元素的第一个下标称为)2,1;2,1(==jia
ijijai
行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列。ijj类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
，
222121
212221abab
baab=
−
221111
211211baba
abba=−
那么（1.2）式可写成
，
22211211222121
1
aaaaabab
x
=
22211211212111
2
aaaababa
x=
二、三阶行列式的定义
定义1.1设有个元素排成三行三列的式子定义为9)3,2,1,(=jia
ij
(1.4
)
312213332112322311322113312312332211
333231232221131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−−−++=
并称它为三阶行列式。
上述定义表明三阶行列式含有项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘6积再冠以正负号，其规律是按照下面(1.5)式所示的方法（称为沙路法）得到的。
