第一章n阶行列式的定义

考研辅导《线性代数》教案-1

- 1 - 第一章 行列式

◆ 基础知识概要

1.n阶行列式的定义

二阶行列式

2112221122211211aaaaaaaa.

三阶行列式.

333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa.

对角线法则：

n阶行列式的定义

1212111212122212,,,121...nnntnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa,

它是取自不同行不同列的n个数的乘积1212...njjnjaaa的代数和（共!n项），其中各项的符号为1t，t代表排列12,,,njjj的逆序数，简记为detija.

n阶行列式也可定义为121212,,,1...nntiiiniiiDaaa，其中t为行标12,,,niii排列的逆序数.

例1.1 计算行列式

（1）12n；

（2）12n. 考研辅导《线性代数》教案-1

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练习：计算下列行列式

（1）2341342013004000；

（2）111212220nnnnaaaaaa（上三角形行列式）；

（3）112122120nnnnaaaaaa（下三角形行列式）.

2. 行列式的性质与计算

2.1行列式的性质

（1）行列式与其转置行列式相等；

（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；

特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零；

（3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面；

即以数k乘以行列式等于用数k乘以行列式的某一行或某一列；

特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零；

一、内容提要

本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆法则．

二、学习要求

正确理解n阶行列式的定义；熟悉行列式的性质，会利用行列式的性质化简行列式；熟悉行列式按行（列）展开的方法；熟练掌握行列式的计算方法；掌握克莱姆法则．

第一节 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式

行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．

设有二元线性方程组

(1)

用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有

(2)

这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号

为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．

根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成

如果记

则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成

(3) 这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．

首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．

例1 用二阶行列式解线性方程组

解：这时，

因此，方程组的解是

对于三元一次线性方程组

(4)

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

一、 二、三阶行列式定义的引出

1. 二阶行列式

例1：二阶线性方程组

22221211212111bxaxabxaxa

且021122211aaaa.

解：利用加减消元可求得122122112121121122122111221221,.baababbaxxaaaaaaaa

取 2112221122211211aaaaaaaaD，2122212221211baabababD，

得 .,2211DDxDDx

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

2112221122211211aaaaaaaa

称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ija称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的),(ji元。2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例2：解方程组.328322121xxxx

解 D213213)2(2,71D2338)3(3)2(8,7 1112112121212abDabbaab

2D318218)3(2.14

因,07D故所给方程组有唯一解

1xDD177,12xDD2714.2

2.三阶行列式

定义2

由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号）

第一章行列式

行列式是线性代数的基本内容之一，本章主要介绍阶行列式的定义、性质n

及其计算方法，此外还要介绍阶行列式求解元线性方程组的克莱姆(Cramer)nn

法则。

§1.1阶行列式的定义n

下面先介绍二、三阶行列式的定义，再研究有关排列的知识，然后引出n

阶

行列式的概念。

一、二阶行列式的定义

设二元线性方程组

（1.1）

⎩⎨⎧

=+=+

22221211212111

bxaxabxaxa

用消元法求解，当时，解得0

21122211≠−aaaa

，（1.2）

21122211122221

1aaaaabab

x

−−=

21122211211112

2aaaaabab

x

−−

=

（1.2）式的分母是由方程组（1.1）的四个系数构成的，将这四个

21122211aaaa−

数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成两行两列（横排称行、竖排称列）并

定义的式子

21122211aaaa−

（1.3

）

22211211

aaaa

叫做二阶行列式。

数称为行列式（1.3）的元素。元素的第一个下标称为)2,1;2,1(==jia

ijijai

行标，表明该元素位于第行，第二个下标称为列标，表明该元素位于第列。ijj类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式

，

222121

212221abab

baab=

−

221111

211211baba

abba=−

那么（1.2）式可写成

，

22211211222121

1

aaaaabab

x

=

22211211212111

2

aaaababa

x=

二、三阶行列式的定义

定义1.1设有个元素排成三行三列的式子定义为9)3,2,1,(=jia

ij

(1.4

)

312213332112322311322113312312332211

333231232221131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−−−++=

并称它为三阶行列式。

上述定义表明三阶行列式含有项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘6积再冠以正负号，其规律是按照下面(1.5)式所示的方法（称为沙路法）得到的。