下载文档原格式
初三数学直角三角形的边角关系知识精讲 北师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直角三角形的边角关系 （一）学习目标1. 通过对实际问题的探索，得出三种三角函数的概念。
2. 在探索出30°、45°、60°角的三角函数值后，利用它们解决实际问题。
3. 利用计算器解决有关三角函数计算。
4. 综合利用正弦、余弦、正切等三角函数的有关性质解决实际生活中的问题，提高合作、交流的意识和能力。
（二）学习重、难点及学法指导1. 注重揭示直角三角形的边与角的关系。
直角三角形是我们常见的三角形，我们也对它的特性做了很多了解和研究，如勾股定理，两锐角互余等。
而且直角三角形也是研究矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础，在九年级上册《证明三》中，我们已经对直角三角形的边角关系有了一定的认识。
大家还记得“直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半”吗？如图：∵在Rt △ABC 中，∠A=30° ∴。
BC AB =12所以，大家一定要认识到，学习的新知识，并不是孤立的，它与前面的知识都有密切的联系，所以我们在学习时，应学会利用旧知识来探索新知识。
2. 重视进行探索和交流，鼓励与提倡解决问题策略的多样化。
本章为我们提供了许多活动，学习中应当进行充分的探索与交流。
如对30°、45°、60°的三角函数值的探索。
我们可以利用一副三角尺来探究。
先拿出一个30°、60°的 三角板。
如图所示，先看一下°的正弦值是多少？根据正弦的定义可知30sin3030°，是°所对的直角边，是斜边，根据前面的知识，可知=BCABBC AB sin cos 301230=。
对于°的值的探索会有一定的难度。
这里应在和同伴的交流中，讨论解决的方案，因为我们已知，不妨设，，利用勾股定理BC AB BC k AB k ===122AC k AC AB k k ====3303232，根据余弦的定义得°。
BA C直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.学习重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.学习难点：用函数的观点理解正弦、余弦和正切.学习过程：一、正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2) 211122BA C A BA C A 和有什么关系? 2112BA BC BA BC 和呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：三、例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周长和面积. 3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= . 4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习： 1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=35D B A C5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC等于( ) A.34 B.43 C.35 D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.54 7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．512 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( ) A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CD CB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m A.100sin β B.100sin β C.100cos β D. 100cos β 11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCD 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.学习重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.学习难点：进一步体会三角函数的意义.学习过程：一、新课[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?结论：B DA C[例1]计算：(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 260°-tan45°.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)二、随堂练习1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒； ⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1； ⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-. 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ； 2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）（A ）600 （B ）900 （C ）1200 （D ）1500 5、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）（A ）cm 41 （B ）cm 21 （C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）21 7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． （A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2 ⑷、3245cos 2-+︒ ⑸、0045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 300- ⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 2210、请设计一种方案计算tan15°的值。
边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。
（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。
（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。
2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。
（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。
即c² = a² + b²。
（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。
3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。
（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。
（3）等腰三角形的底边上的高相等。
4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。
（2）等边三角形的三条边相等。
（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。
5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。
（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。
（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。
6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。
（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。
7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。
（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。
8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。
直角三角形的边角关系知识点1：锐角三角函数一、知识点讲解： 1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角． 3．特殊角的三角函数值．4．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA 5．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==④sin cos 12sin cos a a a a +=+ ⑤222tan cot (tan cot )2a a a a +=+- 二、经典例题讲解： 类型一、关于特殊的函数值 例题1、计算：()()013222sin 60-︒-+-+⋅（结果保留根号．．．．．．）中考典练1： 024cos 458(3)(1)π-+++-分值6分中考典练2：2(tan 301)____-= 中考典练3：13tan 60|2|22-+-+例题2、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A 、 3 33. .22B C -D ．0 例题3、等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32. .22B C D ．l 例4、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ） 1111.(3,); .(3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----例5、在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=__。
直角三角形的边角关系1.三角函数（1）.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即 tanA=的邻边的对边A A ∠∠ . tanA 的值越大，梯子越陡；反过来，梯子越陡，tanA 的值越大.（2）.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠ ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA =斜边的邻边A ∠ 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡2.锐角三角函数之间的关系互余关系：sin A cos(90A)=-∠ ；cos A sin(90A)=-∠平方关系：22sin A cos A 1+= 相除关系：sin A tan A cos A= 倒数关系：tan A tan(90A)1∙-∠=3.30°、45°、60°角的三角函数值1．如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是__________米;收绳8秒后船向岸边移动了____________米?（结果保留根号）2．如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 点重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 ．AC (B ′) B A ′C ′3．︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60°－tan45°1+tan60°·tan45°＋2sin60°3245cos 2-+︒ 2(2cos45°－tan45°)－(tan60°+sin30°)0－(2sin45°－1)－14．已知α为锐角，且31cos =α，求αααsin 1cos tan ++的值。
直角三角形边角关系讲义(初稿)一、 概念部份 一、大体概念 正弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记为A sin ，caA A =∠=斜边的对边sin 。
余弦：在Rt ∆ABC （如图），锐角A的余弦，记为A cos ，cbA A =∠=斜边的邻边cos 。
正切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记为A tan ，baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。
余切：在Rt ∆ABC （如图），锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记为A cot ，abA A A =∠∠=的对边的邻边cot 。
二、巧记概念：按正弦、余弦、正切、余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对。
3、依照正弦、余弦、正切、余切的概念，在Rt ∆ABC 中， 90=∠C ，有sinA=cosB ，sinB=cosA ，tanA=cotB ，tanB=cotA 。
4、正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系：sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡； tanA 的值越大，梯子越陡。
五、在Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 别离是A ∠、B ∠、C ∠的对边，那么caA =sin ， c b A =cos ， b a A =tan ， abA =cot 能够变形为A c a sin •=，A c b cos •=，A b a tan •=或A a c sin =，Abc cos =等等，在解题中能够依照条件正确选用。
六、注意：①、在初中，正弦、余弦、正切、余切的概念都是在直角三角形中给出的，不能在任意三角形中套用概念。
②、sinA 、cosA 、tanA 、cotA 别离表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能明白得为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积。
③sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个完整的符号，它表示A ∠的正弦、余弦、正切、余切，记号里适应省去角的符号“∠”，但当角用三个大写字母或数字表示时，角的符号“∠”不能省略。
直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3． 特殊角的三角函数值：4． 计算三角函数值，关键在于_______或______直角三角形．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A35=B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.232. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A34=，则AC 的长是_______．3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空：（1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABC中，若|tan 0B =，则∠C =_______．5.中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B -+(2sin A -20=，则△ABC 是（）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形6. 已知∠A 为锐角，且cos A >，则∠A 的值（ ）A ．小于45°B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30° 7. 当45°<∠A <90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin αACB8. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C ，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1C．12D．1+第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，cosB2=，sin C 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．212B ．12C ．14D ．2110. 计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠PAB 的值是（ ）A．B．2C．D．第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD34=，则AE的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，若A ，C D BAPD CB AAB CEDCB AC ，B′三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26°30′，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD 的长．1. 如图，已知双曲线（）经过Rt △OAB 的斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(-6，4)，则△AOC 的面积为_________．第1题图 第2题图2. 如图，双曲线（）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 边于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为_______________．DCBABCA67.5°37°DCBky x =0k <k y x =0k >3. 如图，直线y =x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，P 为双曲线上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点C ，延长CP 交直线l 于点D ，过点P 作y 轴的垂线交直线l 于点E ，若AE ·BD =6，则k 的值为________．4. 如图，函数y =kx 与的图象在第一象限内交于点A ．在求点A 的坐标时，小明由于看错了k ，解得A (1，3)；小华由于看错了m ，解得A (1，)．（1）求这两个函数的解析式及点A 的坐标；（2）根据（1）的结果及函数图象，若，请直接写出x 的取值范围．ky x=my x =130m kx x ->1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论中正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△AB C 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21|sin |cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知β为锐角，且tan 3β<≤β的取值范围是（ ）A ．3060β︒︒≤≤B ．3060β︒<︒≤C ．3060β︒<︒≤D ．30β<︒ 6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3cos 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若AB =6，BC =2，则cos A =______． 9. 在△ABC 中，∠A =120°，若AB =4，AC =2，则sin B =______．10. 如图，在△ABC 中，AB =A C ，∠A =45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点，连接CD ．如果AD =1，那么tan ∠BCD =______．第10题图 第11题图ED C BA ED CBAEDC B ADCBA11. 如图，在△ABC 中，若∠C =90°，3sin 5B =，AD 平分∠CAB ，则sin ∠CAD =______．12. 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12B．5 C．10D．513. 计算：（1）26tan 30602tan 45︒︒+︒； （2）cos30sin 45sin 60cos 45︒-︒︒-︒；（3）)2113-⎛⎫⎪⎝⎭；（4tan60︒．14. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B =cos ∠DAC ．（1）求证：AC=BD ； （2）若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．15. 如图，在△ABC 中，∠A =26.6°，∠B =45°，AC =52，求AB 的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）B CACBA45°26.6°DCBA16. 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x =的图象上，第二象限内的点B 在反比例函数k y x =的图象上，且OA ⊥OB，tan A =k 的值为（ ）A ．-3B ．-6C．D．-17. 若(-3，1y )，(1，2y )，(2，3y )三点均在反比例函数||2k y x --=的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．312y y y >>D ．231y y y >>。
您可曾想过，如何利用地面两处所测量的仰角，来计算远方建筑物的高度？国中数学课程中，介绍了直角三角形的勾股定理及三角形的许多全等与相似性质。
本章中我们介绍三角学，引入三角函数，将三角形的相似性质数量化，然后应用在实际的测量问题上。
1三角1-1直角三角形的边角关系●直角三角形边的比例●sinθ，cosθ，tanθ的性质●锐角的三角函数1-2广义角与极坐标●广义角●广义角的三角函数●广义角三角函数的性质●极坐标●弧度1-3正弦定理、余弦定理●面积公式●正弦定理●余弦定理●海龙公式1-4和角公式与差角公式●和角公式与差角公式●倍角公式●半角公式1-5三角测量●三角函数值的求法●平面测量与立体测量1-1直角三角形的边角关系在国中的时候，我们知道：相似的三角形，其三边长的比例是固定的，不因三角形的大小不同而改变。
在本节里，我们将探讨直角三角形的边角关系。
1直角三角形边的比例观察图1 这几个大小不同的30°－60°－90°直角三角形：图1我们可以发现：这几个直角三角形彼此都相似，而且三边长的比都是12。
事实上，所有 30°－60°－90°直角三角形都是如此。
因此，在图 2 的 30°－60°－90°直角三角形中，不论三角形的大小为何，我们都可以得到30的對邊長斜邊長︒＝12，30的鄰邊長斜邊長︒3030的對邊長的鄰邊長︒︒。
图 2随堂练习 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (1) 在 30°－60°－90°直角三角形中，试求下列三个比值：60︒的對邊長斜邊長，60︒的鄰邊長斜邊長，6060︒︒的對邊長的鄰邊長。
(2) 在 45°－45°－90°直角三角形中，试求下列三个比值：45︒的對邊長斜邊長，45︒的鄰邊長斜邊長，4545︒︒的對邊長的鄰邊長。
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
直角三角形边角关系知识点
1.两个锐角的和为90度：
在直角三角形中，除了一个直角为90度外，另外两个锐角的和也是90度。
这是因为三角形的内角和为180度，所以剩余的两个角相加等于180度减去直角的度数，即90度。
2.勾股定理：
勾股定理是直角三角形边角关系中的一个重要定理，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a²+b²=c²
其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边长度。
勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长，或者验证一个三边长组成的三角形是否为直角三角形。
3.边角关系的应用：
-求解未知边长：通过已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边的长度为10，求解另外两条边的长度。
-应用于测量：直角三角形的边角关系在测量中广泛应用，尤其是在实际工程测量中。
通过利用已知边长和角度，可以计算出其他未知边长和角度，以帮助进行准确的测量。
-平面几何证明定理：直角三角形的边角关系也可以用于证明平面几
何中的一些定理。
例如，利用勾股定理可以证明勾股数列的性质，或者证
明两条线段垂直等。
总结：
直角三角形的边角关系是直角三角形中两个锐角的和为90度，以及
勾股定理成立。
这些边角关系在数学中有广泛的应用，包括求解未知边长、测量、定理证明等。
熟练掌握直角三角形的边角关系，对于解决相关几何
问题非常重要。
1直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD •的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD 的长为多少？CBA3、正弦、余弦的定义例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 练习1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边。
解下列直角三角形(1)已知a=3 b=3 (2)已知c=6 b=3 (3)已知c=6 ∠A=600练习2 ．（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5。
解这个直角三角形 .（2）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3, b= 。
解这个直角三角形33ABD练习3、拓展提高已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450，∠C=300，AD ⊥BC,垂足为D, AB=32，求CD 长。
变式1：已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450，∠C=300，BC=3+3 , AD ⊥BC,垂足为D,求AD 长。
变式2：已知：如图（2）在△ABC 中,∠ABC=1350，∠C=300， BC=3 -3变式3：已知：在△ABC 中, ∠C=300， AB=32， AD ⊥BC,垂足为D,且AD=3，求BC 长。
反思练习：1.如图所示，△ABC 中，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC CD=1．求线段AB 的长。
2．在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，若AC=8,cosA=0.8，求△ABC 的面积。
33课后作业：一、知识要点1、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系： （1）三边之间关系： （勾股定理）； （2）锐角之间的关系： ；（3）边角之间的关系： ； ； .（以∠A 为例）2、由直角三角形中的 ，求出 的过程，叫做解直角三角形. 二、基础演练1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列结论成立的是（ ） A 、c=a·sinA B 、b=c·cosA C 、b=a·tanA D 、a=c·cosA2、在Rt △ABC 中∠C=90°，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______.3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）b=c=4； （2）c=8，∠A=60°； （3）b=7，∠A=45°； （4）a=24，b=例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
cbaC BA53、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）例1 求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
本节作业：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
7(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o oo -+-++----2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
3、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。
5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。
6、（2009深圳）（6分）计算：202( 3.14)45π---︒7、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 12 8＋(－1)3．第3节 三角函数的有关计算眼睛看做点A 。
现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（精确到0.1米）。
典型例题：例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。
BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）9例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF 。
（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）例5要求︒45tan 的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ，则∠ABC=45°,所以145tan ===︒aaBC AC 。
你能否在此基础上，求出'︒3022tan 的值？例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。
问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4节 船有触礁的危险吗1、方向角的定义例1 某次台风袭击了我国南部海域。
如图，台风来临前，我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救。
已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向，在B 的南偏东63°方向，此时离台风来到C 处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈︒）2、解直角三角形（重点）例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。
滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。
（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？113、解直角三角形的实际应用（难点）例3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。
根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。
台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。
例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。
甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。
甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。
（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？13例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上。
前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13≈）第5节 测量物体的高度例1 升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）150米，求山高例2：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD=3AB。
