注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第2章工业机器人运动学2.1 引言通过上一章的学习我们知道，从机构学的角度看，工业机器人可以认为是用一系列关节连接起来的连杆所组成的开链机构。
工业机器人运动学研究的是各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系。
本章仅研究位移关系，重点是研究手部相对于机座的位姿与各连杆之间的相互关系。
“位姿”是“位置和姿态”的简称。
工业机器人手部相对于机座的位姿与工业机器人各连杆之间的相互关系直接相关。
为了便于数学上的分析，一般选定一个与机座固联的坐标系，称为固定坐标系，并为每一个连杆（包括手部）选定一个与之固联的坐标系，称为连杆坐标系。
一般把机座也视为一个连杆，即零号连杆。
这样，连杆之间的相互关系可以用连杆坐标系之间的相互关系来描述。
工业机器人手部相对机座的位姿就是固联在手部的坐标系相对固定坐标系的位姿。
工业机器人运动学主要包括正向运动学和反向运动学两类问题。
正向运动学是在已知各个关节变量的前提下，解决如何建立工业机器人运动学方程，以及如何求解手部相对固定坐标系位姿的问题。
反向运动学则是在已知手部要到达目标位姿的前提下，解决如何求出关节变量的问题。
反向运动学也称为求运动学逆解。
在工业机器人控制中，先根据工作任务的要求确定手部要到达的目标位姿，然后根据反向运动学求出关节变量，控制器以求出的关节变量为目标值，对各关节的驱动元件发出控制命令，驱动关节运动，使手部到达并呈现目标位姿。
可见，工业机器人反向运动学是工业机器人控制的基础。
在后面的介绍中我们会发现，正向运动学又是反向运动学的基础。
工业机器人相邻连杆之间的相对运动不是旋转运动，就是平移运动，这种运动体现在连接两个连杆的关节上。
物理上的旋转运动或平移运动在数学上可以用矩阵代数来表达，这种表达称之为坐标变换。
与旋转运动对应的是旋转变换，与平移运动对应的是平移变换。
坐标系之间的运动关系可以用矩阵之间的乘法运算来表达。
用坐标变换来描述坐标系（刚体）之间的运动关系是工业机器人运动学分析的基础。
在工业机器人运动学分析中要注意下面四个问题：1）工业机器人操作臂可以看成是一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联起来的。
开链的一端固定在机座上，另一端是自由的。
自由端安装着手爪（或工具，统称手部或末端执行器），用以操作物体，完成各种作业。
关节变量的改变导致连杆的运动，从而导致手爪位姿的变化。
2）在开链机构简图中，关节符号只表示了运动关系。
在实际结构中，关节由驱动器驱动，驱动器一般要通过减速装置（如用电机或马达驱动）或机构（如用油缸驱动）来驱动操作臂运动，实现要求的关节变量。
3）为了研究操作臂各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固联一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用的方法，用一个4×4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手部坐标系”相对于“固定坐标系”的齐次变换矩阵，建立操作臂的运动方程。
4）在轨迹规划时，人们最感兴趣的是手部相对于固定坐标系的位姿。
2.2 齐次坐标及对象物的描述 齐次变换具有较直观的几何意义，非常适合描述坐标系之间的变换关系。
另外，齐次变换可以将旋转变换与平移变换用一个矩阵来表达，关系明确，表达简洁。
所以常用于解决工业机器人运动学问题。
下面我们先介绍有关齐次坐标和齐次变换的内容。
2.2.1 点的位置描述如图2-1所示，在选定的三维空间直角坐标系{A}中，空间任一点P 的坐标可以用一个(3×1)列阵（或称三维列向量）A p 表示，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x p A (2-1) 式中：X ，y ，z 是点P 在坐标系{A}中的三个坐标分量；A p 的左上标A 代表选定的参考坐标系。
2.2.2 齐次坐标如果用四个数组成的(4×1)列阵（或称四维列向量）表示三维空间直角坐标系{A}中的点P ，即： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1z y x p (2-2) 则定义列阵[x y z 1]T 为三维空间点P 的齐次坐标。
必须注意，齐次坐标的表示不是唯一的。
如果将列阵p 中的元素同乘一非零系数w 后，仍然代表同一点P ，即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=w c b a z y x 1p (2-3) 式中：x ＝a/w ，y ＝b/w ，z ＝c/w 。
2.2.3 坐标轴的描述如图2-2所示，i 、j 、k 分别是直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量，若用齐次坐标来描述X 、Y 、Z 轴，则定义下面三个(4×1)列阵分别为单位矢量i 、j 、k （即X 、Y 、Z 坐标轴）的方向列阵。
i ＝[1 0 0 0]T j ＝[0 1 0 0]Tk ＝[0 0 1 0]T 图2-2中所示矢量v 的单位矢量h 的方向列阵为： h ＝[a b c 0]T ＝[cos cos cos 0]T (2-4) 式中，、、分别是矢量v 与坐标轴X 、Y 、Z 的夹角，0≤≤180，0≤ ≤180，0≤ ≤180。
cos 、cos OY X Z {A} P(x ，y ，z )O Y X Z v ij k h 图2-2 坐标轴及矢量的描述、cos 称为矢量v 的方向余弦，且满足cos 2+cos 2+cos 2＝1。
综上所述，可得下面两点结论：1）(4×1)列阵[a b c w ]T 中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置；2）(4×1)列阵[a b c 0]T 中第四个元素为零，且a 2+b 2+c 2＝1，则表示某个坐标轴(或某个矢量)的方向，[a b c 0]T 称为该矢量的方向列阵。
表示坐标原点的(4×1)列阵定义为：o ＝[0 0 0 ]T ≠0[例2-l] 用齐次坐标分别写出图2-3中矢量u 、v 、w 的方向列阵。
解：矢量u ：u ＝[cos cos cos 0]T＝[0.0 0.7071 0.7071 0]T 矢量v ：v ＝[cos cos cos 0]T ＝[0.7071 0.0 0.7071 0]T 矢量w ：w ＝[coscoscos 0]T ＝[0.5 0.5 0.7071 0]T2.2.4 动坐标系位姿的描述对动坐标系位姿的描述就是相对固定坐标系对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标系三个坐标轴方向的描述，现以两个实例说明。
1）刚体位姿的描述组成工业机器人的每一个连杆都可以看作是一个刚体。
若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间上是完全确定的。
设有一刚体Q ，如图2-4所示，在刚体上选任一点O，建立与刚体固连的坐标系O XY Z ，称为动坐标系。
O 点在固定坐标系OXYZ 中的位置可用齐次坐标形式的(4×1)列阵表示为： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000z y x p (2-5) 刚体姿态可用动坐标系三个坐标轴的方向来表示。
令n 、o 、a 分别为X 、Y 、Z 坐标轴的单位方向矢量，每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系该坐标轴的方向余弦，用齐次坐标列阵分别表示为：n ＝[i x i y i z 0]T ＝[cos X cos X cos X 0]To ＝[o x o y o z 0]T ＝[cos Y cos Y cos Y 0]T(2-6) a ＝[a x a y a z 0]T ＝[cos Z cos Z cos Z 0]T式中：X 、Y 、Z 分别为X 、Y 、Z 坐标轴与X 坐标轴的夹角；图2-3 用不同方向角描述的方向矢量u O Y X Z u ＝90 ＝45 ＝45 O Y X Z v ＝45 ＝90 ＝45O Y X Z w ＝60 ＝60 ＝45 Q O Y X ZO (x 0，y 0，z 0) 图2-4 刚体的位置和姿态 X Y Z n o a pX 、Y 、Z 分别为X 、Y 、Z 坐标轴与Y 坐标轴的夹角； X 、Y 、Z 分别为X 、Y 、Z 坐标轴与Z 坐标轴的夹角。
因此，图2-4中刚体的位姿可用下面的(4×4)矩阵来描述：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000][000z a o n y a o n x a o n z z z y y y x x x p a o n T (2-7) 很明显，对刚体Q 位姿的描述就是对固连于刚体Q 的坐标系O X Y Z 位姿的描述。
[例2-2] 图2-5表示固连于刚体的坐标系{B}位于O B 点，x b ＝10，y b ＝6，z b ＝0。
Z B 轴和Z A 轴与纸面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式。
解：X B 的方向列阵：n ＝[cos30 cos60 cos90 0]T ＝[0.866 0.5 0.0 0]T Y B 的方向列阵：o ＝[cos120 cos30 cos90 0]T ＝[-0.5 0.866 0.0 0]T Z B 的方向列阵：a ＝[cos90 cos90 cos0 0]T ＝[0.0 0.0 1.0 0]T 坐标系{B}的位置列阵：p ＝[10.0 6.0 0.0 1]T所以，坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000.0000.1000.0000.00.6000.0866.0500.00.10000.0500.0866.0T 2）手部位姿的表示 工业机器人手部的位姿也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图2-6所示。
坐标系{B}可以这样来确定：取手部的中心点O B 为原点；关节轴为Z B 轴，Z B 轴的单位方向矢量a 称为接近矢量，指向朝外；两个手指的连线为Y B 轴，指向可任意选定，Y B 轴的单位方向矢量o 称为姿态矢量；X B 轴与Y B 轴及Z B 轴垂直，X B 轴的单位方向矢量n 称为法向矢量，且n ＝o ×a ，指向符合右手法则。
手部的位置矢量为固定坐标系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p ，手部的方向矢量为n 、o 、a 。
于是，手部的位姿可用(4×4)矩阵表示为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==1000][z z z z y y y y x x x x p a o n p a o n p a o n p a o n T (2-8) [例2-3] 图2-7表示手部抓握物体Q ，物体为边长2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。
O A A Y {A } Y BB {B} 30︒ O B (x B ，y B ，z B ) 图2-5 动坐标系{B}的描述 n o {B} O B a Z BY B X B p O ZX Y 图2-6 手部位置及姿态的描述解：因为物体Q 的形心与手部坐标系O X Y Z 的坐标原点O 重合，固定坐标系原点O 为正立方体的后下方左侧顶点，所以手部位置的(4×1)列阵为：p ＝[1 1 1 1]T设n 、o 、a 为手部坐标系三个坐标轴的单位方向矢量，由图2-7可知：矢量n 的方向角为：X ＝90 X ＝180 X ＝90矢量o 的方向角为：Y ＝180 Y ＝90 Y ＝90矢量a 的方向角为：Z ＝90 Z ＝90Z ＝180 于是有： n ＝[cos X cos X cos X 0]T ＝[0 -1 0 0]T o ＝[cos Y cos Y cos Y 0]T ＝[-1 0 0 0]Ta ＝[cos Z cos Z cos Z 0]T ＝[0 0 -1 0]T根据式(2-8)可知，表达该手部位姿的矩阵式为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==1000110010011010][p a o n T 2.2.5 目标物的齐次矩阵表示设有一楔块Q 如图2-8所示，坐标系OXYZ 为固定坐标系，坐标系O X Y Z 为与楔块Q 固连的动坐标系。
