22.2 二次函数与一元二次方程(第一课时)

《二次函数与一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时的作业设计旨在帮助学生进一步巩固对二次函数和一元二次方程的基本概念、性质和解题方法的理解与掌握，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，并为其后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 复习巩固二次函数和一元二次方程的基本概念。

要求学生掌握二次函数的定义、性质及一元二次方程的解法等基础知识，能够准确描述相关概念及性质。

2. 练习二次函数的图像与性质。

通过绘制二次函数的图像，让学生直观地理解二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，并能够根据图像分析函数的增减性。

3. 掌握一元二次方程的解法。

通过大量练习，让学生熟练掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、公式法等，并能够根据题目要求选择合适的解法。

4. 运用所学知识解决实际问题。

设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，如求最大值、最小值问题、抛物线相关问题等，以培养学生的应用能力。

5. 预习下一课时的内容。

让学生提前预习下一课时的内容，为下一课时的学习做好准备。

三、作业要求1. 作业量适中，难度梯度合理。

作业应包含基础题、提高题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。

2. 注重知识的系统性和连贯性。

作业内容应紧密围绕本课时的教学重点和难点，同时为下一课时的学习做好铺垫。

3. 注重实际应用。

作业应设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决，以培养学生的应用能力和解决问题的能力。

4. 要求学生独立完成作业。

教师应引导学生独立思考、自主解决问题，培养学生的自主学习能力。

5. 及时反馈。

学生应按时完成作业，并认真检查、订正错误，教师也应及时批改作业，给予学生反馈和指导。

四、作业评价1. 评价学生的知识掌握情况。

通过批改作业，了解学生对二次函数和一元二次方程的掌握情况，及时发现问题并给予指导。

2. 评价学生的解题能力。

通过分析学生的解题过程和结果，评价学生的解题能力、思维能力和应用能力。

3. 鼓励学生的进步。

22.2二次函数与一元二次方程问题：二次函数的223y x x =--的图象如图所示。

根据图象回答：⑴ x 为何值时, 0y =？⑵ 你能根据图象，求方程2230x x --=的根吗？⑶ 你认为二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？请你谈一谈你的看法。

探究（一）二次函数与一元二次方程之间的关系如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。

考虑以下问题：⑴ 球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m ？如能，需要多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？知识总结：一般地，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数_______________的值为______时自变量x 的值。

所以：⑴ 如果抛物线2y ax bx c =++与x 轴有公共点（x 0，0），那么 就是方程20ax bx c ++=的一个根。

⑵ 抛物线与x 轴的三种位置关系：相交，即有_____公共点；相切，即有______公共点；相离，即______公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况：有 实数根；有________ 的实数根； ______的实数根。

（3）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）基础练习：1. 二次函数232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3、二次函数642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．4、抛物线 y=2x 2－3x －5 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点5、一元二次方程 3 x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2 ，x 2=5/3，那么二次函数 y= 3 x 2+x －10与x 轴的交点坐标是4.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 (1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________;变式训练：1.不与x 轴相交的抛物线是（ ）A. y = 2x 2 – 3B. y=－2 x 2 + 3C. y= －x 2 – 3xD. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax 2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x 轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定3.已知抛物线y = ax 2+bx+c 的图象如图,则关于x 的方程ax 2 + bx + c －3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根4、已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根判断方程 ax 2+bx+c =0 (a ≠0,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A. 3< x < 3.23B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24 <x< 3.25D. 3.25 <x< 3.26 6、关于x 的一元二次方程 x 2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x 2－2x+m 与x 轴有＿＿个交点.7.已知抛物线 y=x 2 – 8x + c 的顶点在 x 轴上，则 c =＿＿.8.若抛物线 y=x 2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x 2 + bx+ c =0 的根的情况是 。

《22．2 二次函数与一元二次方程》教案【教学目标】1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系．2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．【教学过程】一、情境导入如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断下列函数的图象与x只有一个交点的是( )A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程．【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－2解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m＋2)2－4m(12m＋1)＝0，解得m＝2或－2，当m＝0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax ＋b＝0的解是( )A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x＝4，故选D.2方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c ＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况．体会知识间的相互转化和相互联系.《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计【教学目标】知识与技能1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．【教学重点和难点】重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.【教学过程设计】（一）问题的提出与解决问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t—5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2.所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程 15＝20t—5t2. t2—4t＋3=0. t1＝1,t2＝3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.（2）解方程 20＝20t－5t2. t2－4t＋4＝0. t1＝t2＝2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）解方程 20.5＝20t－5t2. t2－4t＋4.1＝0因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.（4）解方程 0＝20t－5t2. t2－4t＝0. t1＝0,t2＝4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t－5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3.求自变量x的值.可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） .反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值.一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.（二）问题的讨论二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋0.的图象如图26.2－2所示.（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像，输入a,b,c的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.总结：一般地，如果二次函数y=2ax bx c++的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程2ax bx c++=0的根.（三）归纳一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题例利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.（五）小结总结本节的知识点.（六）作业:（七）板书设计《22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）》教案【教学目标】：1．知识与技能：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2．方法与过程：使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识.3．情感、态度与价值观：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点.【教学难点】：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．【教学过程】：一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋4 5 .(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－34＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－34＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－34＝0的解.更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系.三、课堂练习： P23练习1、2.五、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况.六、作业：《22.2 二次函数与一元二次方程（第二课时）》教案【教学目标】：1．知识与能力：复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.【教学重点】；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点.【教学难点】：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m ＝1所以y1＝x＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1.5y2＝2.5所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：《22.2二次函数与一元二次方程》导学案【学习目标】：1.探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.掌握一元二次方程(组)的图象解法．【重点、难点】1.重点：探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．2.难点：掌握一元二次方程(组)的图象解法．【导学过程】：阅读教材P16 — 19 , 完成课前预习【课前预习】1：准备知识（1） 一元二次方程根的情况：（2）一次函数与一元一次方程的关系：2：探究1以40米/秒的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

22.2 二次函数与一元二次方程教学时间课题22.2 二次函数与一元二次方程课型新授课教 学 目 标知 识 和能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

过 程 和方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

情 感 态 度 价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件学生“五个一〞课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。

本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

根据设计图纸：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋45。

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。

问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB ＝时，涵洞顶点与水面的距离为。

这时，离开水面处，涵洞宽ED 是多少?是否会超过1m?教学要点1．教师分析：根据条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度。