上海市虹口区2020届高三下学期数学二模考试卷

上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数()3cos 21f x x 的最小值为2.函数()f x 的定义域为 3. 设全集R U ，若{||2|3}A x x ，则U A4. 3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活 动的概率为5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x 的图像关于直线y x 对称，则(3)g6.设复数cos i sin i z（i为虚数单位），若||z ，则tan 2 7.若25(ax 的展开式中的常数项为52 ，则实数a 的值为 8. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b ，8c ，30A ， 则sin C9. 已知点(3,2)A ，点P 满足线性约束条件201024x y x y，设O 为坐标原点，则OA OP 的 最大值为10. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a（a 的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF ，则椭圆C 的长轴长为11. 已知球O 是三棱锥P ABC 的外接球，2PA AB BC CA，PB ，点D 为 BC的中点，且PD O 的体积为12. 已知函数|51|1()811x x f x x x ，若方程(())f f x a 恰有5个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知抛物线24y x 上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 614. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ）A. 32B. 36C. 40D. 4815. 已知函数1()sin()62f x x（0 ）在区间(0,2上有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为（ ） A. 14(2,]3 B. 14[2,3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]316. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a ，且24323S S S ，已知*,N m n ，若存在正整数i 、j （1i j ），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA 底面ABCD ，且2PA AD AB 2 ，设E 、F 、F 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.（1）求证：FH ∥平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小.18. 已知函数4()31x f x a （a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ，不等式()3x u f x恒成立， 求实数u 的最大值.19. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型” 图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边 是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB ，记“H ”型图形的面积为S . （1）将AB 、AD 用R 、 表示，并将S 表示成 的函数； （2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当 为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.20. 设双曲线2222:1x y C a b的左顶点为D ，且以点D 为圆心的圆222:(2)D x y r （0r ）与双曲线C 分别相交于点A 、B ，如图所示.（1）求双曲线C 的方程；（2）求DA DB的最小值，并求出此时圆D 的方程；（3）设点P 为双曲线C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与x 轴相交于点M 、N ，求证：||||OM ON 为定值（其中O 为坐标原点）.21. 已知项数为m （*N m ，2m ）的数列{}n a 满足条件：①*N n a （1,2,,n m ）；②12m a a a ；若数列{}n b 满足*12()N 1m n n a a a a b m （1,2,,n m ），则称{}n b 为数列 {}n a 的“关联数列”.（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”， 若不存在，请说明理由；（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：11n n a a m （1,2,,1n m ）；（3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a ，2049m a ，求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.参考答案一. 填空题1. 22. (3,1]3. (1,5)4.185. 26. 17. 128. 79. 16 10. 11.27 12. 8(,4)5二. 选择题13. B 14. A 15. D 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）arcsin 15. 18.（1）2a ，奇函数，2a ，非奇非偶函数；（2）3.19.（1）2sin AB R ，2cos sin 3AD R R ；22162(sin cos sin )33S R ；（2）12arctan 423 时，max 169S . 20.（1）2214x y ；（2）13 ，2211(2)9x y ；（3）4. 21.（1）存在；（2）略；（3）略.。

解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。

上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD AB C D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈（10n≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）15．直线:10l kx y k -++=与圆228x y+=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A .B4 .C .D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.P 2P 1C 1A N 2N 1x19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x =-（x R∈）. （1）如果x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[,1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++成立的充要条件是3a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1） 12ABC S ∆=，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分 （2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC . 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC =，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为122z i =±.…………2分 P 2P 1C 1A N 2N 11cos 2A ∴=，sin 2A = ，3A π= .…………4分∴5sin sin124C π== ，sin sin c a C A=，得2c =……………7分 （2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于4.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分11(1)2na n n d =+-.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆= （2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MFα⋅====22cos 4d MF d MF β⋅====，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由3()()022a a -+--≤，得3a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<121 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->121x x <，122x x -<+ 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当120x x <≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，120x x ≤120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->. ∴ ()g x在(1,2-递减，在[0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分 (3) 充分性：当3a ≥-时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q -=+++++成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在(1,]2-递减，在[,1)2递增，从而，1()32g x ≤<-或()3g x ≥.从而31qa q =-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ） （A ）(1,3)- （B ）(1,3] （C ）[1,3)（D ）[1,3]- 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】因为{|1}A x x => ，所以{|13}A B x x =<≤。

故选B 。

2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ）（A ）4 （B ）4- （C ）8（D ）8-【考点】平面向量的线性运算，平面向量的坐标运算 【难度】1 【答案】D【解析】由已知条件有(1,4)a b +=，因(2,)k =-c 为 ()//a b c +所以有214k-= ，故选D 3. 设命题p：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝ 【考点】简单的逻辑联结词 【难度】1 【答案】D 【解析】 因1()x f x e -=在R 上是增函数，故p 命题为真；而()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==,所以()f x 为偶函数，故q 命题为假，则q ⌝为真，从而()p q ∧⌝为真命题，选D.4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）（A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}【考点】算法和程序框图【难度】1【答案】A【解析】当n=1时，经过判断后重新赋值得到n=3，所以输出的s=1；当n=2时经过判断后重新赋值得n=9，此时输出s=2；当n=3时，判断为是，直接输出s=1，所以s的集合为｛1，2｝.选A5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为（）（A）（B）（C）（D）【考点】空间几何体的三视图【难度】1【答案】C【解析】结合正视图和侧视图，且注意到正视图中间为虚线，可知应选C 6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系2464=+，若欲使此设备的年平均花费最低，则y x此设备的使用年限x为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】B 【解析】 设年平均花费为t ，则2464164()32y x t x x x x+===+≥ （当且仅当16x x=时，即x=4时，取等号）。

上海市虹口区2020届高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 抛物线y 2=4px(p >0)上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为( )A. a −pB. a +pC. a −p2D. a +2p2. 已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则其体积为( )A. 27√32cm 3B. 92cm 3C. 9√32cm 3D.272cm 33. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)，若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )A. (1,52)B. [1, 52)C. (52, 4)D. [52, 4)4. 已知{a n }是等差数列，a 3=5，a 9=17，数列{b n }的前n 项和S n =3n −1，若1+a m =b 4，则正整数m 等于( )A. 29B. 28C. 27D. 26二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知函数y =3cos(π−x)，则当x =________时，函数取得最大值．6. 函数f(x)=ln(2−x)x−1的定义域为______．7. 已知全集U =R ，A ={x|x 2−1≥0}，则∁ U A =________．8. 从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______． 9. 已知y =f (x )与y =3x 的图象关于直线y =x 对称，若f (a )=3，则a =________．10. 若tanα=2，则tan2α= ______ ．11. 若(2x −1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n =________，展开式中的常数项是________．12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；若a 2−c 2=√3bc ，sinB =2√3sinC ，则角A = ______ ．13. 已知A(2,1)，设P(x,y)为可行域{x ≥0,3x +2y ≤74x −y ≤2，内一点，O 为坐标原点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大值为________． 14. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于MF 2，则椭圆的离心率为________．15. 已知三棱锥A −BCD 中，BC ⊥面ABD ，AB =3，AD =1，BD =2√2，BC =4，则三棱锥A −BCD 外接球的体积为______．16. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2,x >2，若方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，E ，F 分别为AB ，B 1C 1的中点． (Ⅰ)求证：B 1E//平面ACF ；(Ⅱ)求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．18. 已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=√x ，g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0，(1)求当x <0时，函数f(x)的解析式；(2)求g(x)的解析式，并证明g(x)的奇偶性．19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“工”字图形，“工”字图形由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横距形全等且成是竖矩形长的√3倍，设O为圆心，∠AOB=2α，“工”字图形的面积记为S．(1)将S表示为α的函数；(2)为了突出“工”字图形，设计时应使S尽可能大，则当α为何值时，S最大？)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为20.已知：以点C(t,2t原点．(Ⅰ)当t=2时，求圆C的方程；(Ⅱ)求证：△OAB的面积为定值；(Ⅲ)设直线y=−2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=−2，a n+1+3S n+2=0(n∈N∗).(1)求a2、a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在整数对(m、n)，使得等式a n2−m⋅a n=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m,n)；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=4px，p>0∴抛物线的焦点为F(p,0)，准线方程为x=−p根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于M到准线的距离，∴|MF|=a=x+p，解之可得x=a−p，即M到y轴距离为a−p．故选：A根据题意算出抛物线的焦点为F(p,0)，准线方程为x=−p，再利用抛物线的定义即可算出M到y轴距离．本题给出抛物线上的点满足的条件，求该点到y轴的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查的知识点由三视图求体积和表面积，其中根据已知中的三视图，判断出几何体的形状，是解答的关键．由已知中的三视图可画出该几何体的直观图，进而将其割补为棱锥的体积后，可得答案．解：由几何体的三视图可得几何体为图中红色区域部分：其体积为V=13×12(2+4)×3×3√32=9√32．故选C．3.答案：D 解析：由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2π≤2ωπ3+π3<3π，由此求得ω的范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．解：∵函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，在[0,2π3]上，ωx+π3∈[π3,2ωπ3+π3]，若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点，∴2π≤2ωπ3+π3<3π，求得52≤ω<4，故选：D．4.答案：C解析：解：设等差数列{a n}的公差是d，因为a3=5，a9=17，所以d=17−59−3=2，则首项a1=a3−2d=1，所以a n=a1+(n−1)d=2n−1，因为数列{b n}的前n项和S n=3n−1，所以当n=1时，b1=31−1=2，当n≥2时，b n=S n−S n−1=3n−1−(3n−1−1)=2⋅3n−1，当n=1时，也满足上式，则b n=2⋅3n−1，因为1+a m=b4，所以1+2m−1=2×27，解得m=27，故选：C．由题意和等差数列通项公式求出公差d和首项a1，再求出a n，根据数列{b n}的前n项和S n，以及“当n=1时，b1=S1；当n≥2时b n=S n−S n−1”关系式求出b n，代入1+a m=b4求出m的值．本题考查了等差数列通项公式，以及“当n=1时，b1=S1；当n≥2时b n=S n−S n−1”关系式的应用，属于中档题．5.答案：2kπ+π(k∈Z)解析：【分析】本题考查余弦函数的最大值，属于基础题．根据题意得y=3cos(π−x)=−3cos x，余弦函数的性质可得x=2kπ+π(k∈Z)时，y有最大值3．【解答】解：y=3cos(π−x)=−3cos x，当cos x=−1，即x=2kπ+π(k∈Z)时，y有最大值3．6.答案：(−∞,1)∪(1,2)解析：解：由函数f(x)=ln(2−x)x−1，得{2−x >0x −1≠0， 解得x <2且x ≠1，所以函数f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,2)． 故答案为：(−∞,1)∪(1,2)．由函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了利用函数解析式求定义域的应用问题，7.答案：{x|−1<x <1}解析：本题考查了补集的定义及一元二次不等式解法，求解一元二次不等式化简集合A ，然后直接利用补集运算求解．解：由集合A ={x|x 2−1≥0}={x|x ≥1或x ≤−1}， 又U =R ，所以C U A ={x|−1<x <1}. 故答案为{x|−1<x <1} ．8.答案：310解析：解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n =C 53=10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m =C 11C 32=3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P =m n=310．故答案为：310．基本事件总数n =C 53=10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m =C 11C 32=3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：27解析：本题主要考查互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数反函数的求法，是基础题．由题意可得函数y =f(x)与y =3x 互为反函数，则f(x)=log 3x ，结合f(a)=3，即可求出a 的值．解：∵y=f(x)与y=3x的图象关于直线y=x对称，∴函数f(x)与函数y=3x互为反函数，∴f(x)=log3x，f(a)=log3a=3，∴a=33=27．故答案为27．10.答案：−43解析：解：因为tanα=2所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43故答案为：−43直接利用正切函数的二倍角公式求解即可．本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．11.答案：6；240解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．解：∵(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为2n=64，则n=6；根据(2x−1x2)n=(2x−1x2)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅(2x)6−r⋅x−2r=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r，令6−3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是C62⋅24=240，故答案为6；240．12.答案：π6解析：本题主要考查了正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题．先利用正弦定理得b=2√3c，再由a2−c2=√3bc可得a2=7c2 ，利用余弦定理即可求出cos A的值，即可求出A的值．解：由sinB=2√3sinC及正弦定理可得b=2√3c，因为a2−c2=√3bc，可得a2=7c2，由余弦定理，可得cosA=b2+c2−a22bc =2224√3c2=√32，∵0<A<π，。

上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试高三数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2.本考试分设试卷和答题纸。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分：第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1.函数()3cos21f x x =+的最小值为 .2.函数()f x =的定义域为 . 3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A = .4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为 .5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g = .6.设复数cos sin i ziαα=（i为虚数单位），若z =tan2α= .7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 . 8.设ABC∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若8,30b c A ︒===，则sin C = .9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r 的最大值为 .10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C 的长轴长为 .11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为 .12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩ ，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。