高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1 空间向量及其运算(练习)》导学案

2020秋高中数学人教A版选修2-1达标练习：3.1-3.1.1 空间向量及其加减运算含解析A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是(）A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案:D2．下列说法中正确的是()A．若｜a｜＝｜b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量,则｜a｜＝|b｜C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中,一定有错误!＋错误!＝错误!解析：｜a|＝｜b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等,则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式错误!＋错误!＝错误!，有的不规则四边形ABCD不满足此式,D错．答案:B3．已知空间向量错误!、错误!、错误!、错误!，则下列结论正确的是(）A.错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C.错误!＝错误!＋错误!＋错误! D。

错误!＝错误!－错误!解析:错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1,设错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c，则|a＋b＋c|等于(）A．0 B．3 C．2＋错误!D．2错误!解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a ＋b＋c|＝2|错误!|＝2错误!.答案:D5。

如图，在长方体ABCD。

A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量错误!的是()①（错误!－错误!)－错误!；②(错误!＋错误!)－错误!；③(错误!－错误!)－错误!；④(错误!－错误!)＋错误!.A．①②B．②③C．③④D．①④答案:A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析:在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点,则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCD-A1B1C1D中,错误!＋错误!＋错误!与向量错误!之间的关系是________．解析:因为错误!＝错误!＋错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝2错误!。

新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+- ，BD AB AD AA ''=-+ ，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD； （2）A G ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==.3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85ABADAA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以AC '=3、解：因为A C α⊥所以A C B D ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅= ，0AC AB ⋅= ，又知0BD AB ⋅=.2C D C DC D =⋅222222()()C A A B B D C A A B B D C A A B B D a b c=++⋅++=++=++所以CD =.练习（P94）1、向量c 与a b + ，a b - 一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b + ，a b -共面，于是c 与a ，b共面，这与已知矛盾. 2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222O G O C C G O C C B b a c a b c '=+=+=++=++.练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,D A D C D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C所以，1(1,1,1)DB = ，1(1,,0)2C M =- .所以，111110cos ,15D B C M D B C M D B C M-+⋅<>===⋅ . 习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+= ；（3）设点M 是线段C C '的中点，则12A B A D C C A C C M A M '++=+=； （4）设点G 是线段A C '的三等分点，则11()33A B A D A A A C A G ''++==.向量,,,A C A C A M A G '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298ABADAA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos 602A B A C A B A C a ⋅=⋅︒= ；（第1题）（2）21cos1202A D DB A D D B a ⋅=⋅︒=- ；（3）21cos1802G F A C G F A C a ⋅=⋅︒=- 11()22G F A C a == ；（4）21cos 604E F B C E F B C a ⋅=⋅︒= 11()22E F B D a == ；（5）21cos1204F G B A F G B A a ⋅=⋅︒=- 11()22F G A C a == ；（6）11()22G E G F G C C B B A C A ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos 60cos 6042414D C C B BA C A D C C A C B C A BA C A D C C A C B C A BA C A a=++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)A B =-- ，(5,1,10)BA =-设A B 的中点为M ，119()(,,2)222O M O A O B =+=-， 所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，A B ==10、解：以1,,D A D C D D 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N .1(1,1,)2C M =- ，11(1,1,)2D N =-所以32C M ==，132D N ==111114cos ,994C MD N --<>==-由于异面直线C M 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，C M 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22-习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥ ，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅= ，0OB AC ⋅= ，所以()0O A O C O B ⋅-= ，()0O B O C O A ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅ ，OB OC OB OA ⋅=⋅ .∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅= ，()0O A O B O C -⋅=，0BA OC ⋅= .∴ O C AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12E F A B = ，12H G A B =，所以EF HG =∴四边形E F G H 是平行四边形.1122EF EH AB O C ⋅=⋅ 11()()44O B O A O C O B O C O A O C =-⋅=⋅-⋅∵ O A O B =，C A C B =（已知），O C O C =.∴ B O C ∆≌A O C ∆（SSS ） ∴ B O C A O C ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅=∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□E F G H 是矩形.3、已知：如图，直线O A ⊥平面α，直线B D ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：O A ∥B D证明：以点O 为原点，以射线O A 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ B D α⊥.∴ BD i ⊥ ，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0B D i x y z x ⋅=⋅== ，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==.（第3题）∴ (0,0,)BD z =.∴ BD z k = .∴ BD∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ B D ∥O A .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a = ，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅= ，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l . 2、（1）0u v ⋅= ，αβ⊥； （2）2v u =- ，α∥β；（3）u v u v⋅=-α与β相交，交角的余弦等于.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =- ，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-= ，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF D D B E B A ⋅=-⋅-=+-+= ，所以1D F AE ⊥ .因此1D F ⊥平面A D E .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68C A AB BD C A AB C A BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2M N A B M B B C C N A B M B B C C D A B ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos 60cos 600222M B BC AD AC ABa a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ M N AB ⊥. 同理可证M N C D ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=-- ，所以AA d '==3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O .∵ 11(,1,)(1,0,1)022D O BC '⋅=---⋅-= ∴D O B C '⊥习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2M N C D M B B N C C C D ''''''⋅=+⋅+=，12M N C D '⋅=⋅=112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2M N A D M B B N A D ''⋅=+⋅=，122M N AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1D B AC ⊥. 因为111111()000DB AD DA A B AD ⋅=+⋅=+=，所以11D B AD ⊥.因此，1D B ⊥平面1A C D .3、证明：∵()cos cos 0O A BC O C O B O A O C O A O B O A θθ⋅=-⋅=-=，∴O A B C ⊥.4、证明：（1）因为11()000A C LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1A C LE ⊥.因为11()000A C EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1A C EF ⊥.因此，1A C ⊥平面E F G H LK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1A C DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，2113A C D B ⋅==所以 1cos 3θ=-.因此1D B 与平面E F G H LK 的所成角α的余弦cos 3α=.5、解：（1）222211111()()22222D E D E D E D E D A A B A C A B O A A C A B ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2D E =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，2AE AO ⋅=1cos 32θ===，sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 133O H O A θ==⨯=6、解：（1）设1AB =，作A O B C ⊥于点O ，连接D O .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向， 建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，0,0)2D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C，(0,2A .∴3(0,0)(2224D O D A ⋅=⋅-=，4D O D A ⋅=，cos 2θ=.∴ A D 与平面BC D 所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0,022BC D A ⋅=⋅-=. 所以，A D 与B C 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,022x y AB x y ⋅=⋅-= ，(,,1)(,,1)0,022x y AD x y ⋅=⋅-= .解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BC D 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos 5θ==.因此，二面角A B D C --的余弦cos cos()5απθ=-=-7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB∥α，所以123412x y z -+==-.因为226AB α==，所以26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a h E -. （1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE D E h a BE D E--⋅-<>==+. （2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-= ，222h a =222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+ 9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -， 1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅= ，10OM BD ⋅=，所以1O M AA ⊥，1O M BD ⊥，2O M ==.10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅ ，60θ=︒因此，线段B D 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02O P B D z ⋅=⋅-= ，解得98z =. 所以，938tan 38PB O B θ===.12、解：不妨设这条线段M N 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1M P =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，Q M PN ==，PQ =2cos 2PQ M N PQ M Nθ⋅====⋅ 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222A B C S ∆=⨯⨯=，()4502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，AD BE θ⋅==，AD =，4BD ==.184233A B C D V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，(,0,1)22M a -，,,0)22N a a .2221)122M Na =-=-+，M N =（2）2211(22a a -+=-+，当2a =时，M N 的长最小.（3）当2a =时，M N 的中点为111(,,)244G ，所求二面角的余弦值1cos 3G A G B G A G Bθ⋅==-⋅.3、证明：设A E B F b ==. 以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(0,,0)A a ， (,,0)B a a -，(,0,0)C a -，(0,0,)O a '，(0,,)A a a '，(,,)B a a a '-，(,0,)C a a '-，(,,0)E b a -，(,,0)F a a b --.（1）(,,)(,,)0A F C E a b a a b a a ''⋅=---⋅--=，A F C E ''⊥.（2）221111()[()]2242B E F S b a b a a b ∆=-=--，当2a b =时，BEF S ∆最大，三棱锥体积最大. 此时，E F 的中点G 与点B的连线4BG =，tan B B B Gθ'==.第三章 复习参考题A 组（P117）1、B .2、（1）111222A P a b c =++ ； （2）1122A M a b c =++；（3）12A N a b c =++ ； （4）114555A Q a b c =++.3、证明：因为1116()()302A MB A A B BC C M B A A A A B B A C M A A ⋅=++⋅+=⋅+⋅=-+=所以1AM BA ⊥4、解：（1）以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(,0,0)A a，1(,,0)22B a ，1(,2)A a a，1(0,)C .（2）点1C 在侧面11ABB A内的射影为点23(,)44C a a ，1212cos 2A C A C A C A C θ⋅==⋅，30θ=︒. 5、解：（1）1cos 2AB AC AB ACθ⋅==⋅，60θ=︒，sin S AB AC θ=⋅=.（2）设a的坐标为(,,)x y z ，则(,,)(2,1,3)0x y z ⋅--=，(,,)(1,3,2)0x y z ⋅-=解得(1,1,1)a = ，或(1,1,1)a =---6、解：cos 42O A O C m n O A O C π⋅+===⋅，2m n +=；cos 42O B O C O B O Cπ⋅===⋅2n p += 22221m n n p +=+=，解得4n =22cos 4O A O BAO B O A O B⋅±∠===⋅.7、D . 8、C .9、解：以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(1,0,0)A，1(,0)22B ，1(0,0,2)C，11(2)22B，1(0)44M ，(0,0,)N z . 10AB M N ⋅= ，得18z =.∴点N 坐标为1(0,0,)8，即点N 在1C C 上，18C N =.10、（1）证明：因为()0EF C F ED D F C F ED C F D F C F ⋅=+⋅=⋅+⋅=，所以E F C F ⊥.（2）解：因为1()()4E F C G E D D F C B B G ⋅=+⋅+=，cos 15E F C G E F C Gθ⋅==⋅所以，E F 与C G所成角的余弦值为15.（3）解：2C E ==.11、解：以点C 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，1(0,0,2)C ，11(,,2)22M ，(1,0,1)N .（1）BN ==（2）111111cos ,10B A C B B A C B B A C B ⋅<>==⋅. （3）因为1111(1,1,2)(,,0)022A B C M ⋅=--⋅= ，所以11A B C M ⊥.12、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，0,0)2A，(0,0)2B ，(0,0)2C -，44E，(0)44F -.118cos 11222O E O F O E O F θ-⋅===-⋅⨯ ，120E O F ∠=︒. 13、证明：（1）因为11()22F E B A B C C A =-= ，11()22H G D A D C C A =-=所以FE HG =. 因此,,,E F G H 四点共面.（2）因为B D 在平面E F G H 之外，B D ∥E H ，所以B D ∥平面E F G H .（3）11111()[()()]()22224O M O E O G O A O B O C O D O A O B O C O D =+=+++=+++.第三章 复习参考题B 组（P119）1、解：（1）AC '===（2）设BD '与A C 的夹角为θ，则cos 42BD ACa bBD ACθ'⋅===-=-+'⋅ .由于BD '与A C 所成的角的范围为[0,]2π，因此直线BD '与A C夹角的余弦值为42a b+.2、（1）证明：因为11()()0A C AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=所以1A C AE ⊥；因为11()()0A C AF A D DC AF DC AF BC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+=所以1A C AF ⊥， 因此，1A C ⊥平面AEF .（2）解：以点1A 为原点建立坐标系，得下列坐标：1(0,0,0)A ，1(4,0,0)B ，1(4,3,0)C ， 1(0,3,0)D ，(0,0,5)A -，(4,0,5)B -，(4,3,5)C -，(0,3,5)D -.设平面11D B BD 的法向量为(,,0)a x y =，则110a B D ⋅= ，得43x y =.令3,4x y ==，则(3,4,0)a = ， 所以11cos 25a A C a A Cθ⋅==⋅3、解：（1）14V =.（2）以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(,0,0)2D ，(0,0,1)S设平面SD C 的法向量为(,,1)a x y =，则0a SC ⋅= ，0a SD ⋅= ，得2,1x y ==-.因此(2,1,1)a =- .cos 3a A D a A Dθ⋅==⋅ .。

空间向量及其加减运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·福州高二检测)空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( )A.a=bB.a+b为实数0C.a与b方向相同D.|a|=3【解析】选D.向量a,b互为相反向量,则a,b大小相同方向相反.故D正确.【误区警示】本题易错选B,原因是没有注意向量运算与实数运算的区别.2.已知空间向量,,,,则下列结论正确的是( )A.=+B.-+=C.=++D.=-【解析】选B.根据向量加法、减法运算可得B正确.3.(2014·天津高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n=( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】主要从对应空间向量的大小与方向两个角度进行分析.【解析】选B.对于①与,③与大小相等,方向相反;②与大小相等,方向不相反;④与大小相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是( )①(-)-;②(+)-;③(-)-;④(-)+.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-=-≠;④(-)+=+≠.5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱与底面边长不相等),与向量的模相等的向量(不包括向量)有( )A.1个B.2个C.5个D.11个【解析】选D.||=||=||=||=||=||,故向量,,,,,,,,,,与向量的模相等.【举一反三】若把题目中的条件“与向量的模相等的向量”改为“与向量相等的向量”,则结果如何?【解析】选A.与向量相等的向量只有.6.(2014·武汉高二检测)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,D A边上的中点,则下列各式中成立的是( )A.+++=0B.+++=0C.+++=0D.-++=0【解析】选B.+=+=,+=,易证四边形EFGH为平行四边形,故+=0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.式子(-)+运算的结果是.【解析】(-)+=(+)+=+=.答案:8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,++= ;-+= .【解析】++=++=.-+=-(-)=-=.答案:【一题多解】由平行四边形法则可得+=,+=,故++=.-+=-+=+=.【变式训练】化简-+所得的结果是.【解析】-+=+=0.答案:09.如图在平行六面体AG中,①与;②与;③与;④与;四对向量中不是共线向量的序号为.【解析】由图形知与方向相同,大小相等为相等向量,且为共线向量;与方向不一致不共线;与所在直线相交不共线;与所在直线异面不共线.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)10.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)若A,B,C,D四点在一条直线上,则与共线.(2)互为相反向量的向量的模相等.(3)任一向量与它的相反向量不相等.【解析】(1)正确.因为A,B,C,D四点在一条直线上,所以与一定共线.(2)正确.相反向量的模相等,但方向是相反的.(3)不正确.零向量的相反向量仍是零向量,零向量与零向量是相等的.11.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简(1)++.(2)++,并标出化简结果的向量.【解题指南】(1)利用向量加法法则,注意首尾相接.(2)利用向量相等的概念,注意向量的平移.【解析】(1)++=+=,如图中向量.(2)连接GF,++=++=+=,如图中向量.【变式训练】如图,在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,求证:++=.【证明】+=,+=,所以++=+=.在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,=,所以++=.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.空间任意四个点A,B,C,D,则+-等于( )A. B. C. D.【解析】选D.+-=+=-=.2.(2014·福州高二检测)下列命题中,正确的有( )(1)若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(2)若a=b,b=c,则a=c.(3)向量a,b相等的充要条件是(4)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.(1)正确.因为=,所以||=||且∥.又因为A,B,C,D不共线,所以四边形ABCD是平行四边形.反之,在平行四边形ABCD中,=.(2)正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同.因为b=c,所以b,c的长度相等且方向相同.故a=c.(3)不正确.由a∥b,知a与b方向相同或相反.(4)正确.a=b⇒|a|=|b|,|a|=|b| a=b.故选C.3.(2014·西安高二检测)如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是( )A.与B.与C.与D.与【解题指南】从向量的方向与大小两个角度分析.【解析】选D.因为=,所以||=||,AB∥DC,即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=.4.已知向量,,满足||=||+||,则( )A.=+B.=--C.与同向D.与同向【解析】选D.由条件可知,C在线段AB上,故D正确.【举一反三】若把条件“||=||+||”中的“+”改为“-”则结论如何? 【解析】选C.由条件可知,C在线段AB的延长线上,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是.【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且与,方向相反时,有||-||=||.只有②一定不成立.答案:②6.(2014·泰安高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.则上述结论正确的有(填写正确命题的序号).【解析】因为与,与互为相反向量,所以+与+互为相反向量.故①正确;因为-=,-=,=,所以②不正确;又+++=+++=-(+++),所以③正确;因为-=,-=,=-,所以④正确.故填①③④.答案:①③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·大庆高二检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简:-+- +-.【解析】-+-+-=++=+=.【误区警示】对于向量减法理解错误致误,如-=易错,造成如下错解,-+-+-=++=++=+=.【拓展延伸】化减为加,避免出错掌握向量加法、减法的运算法则及向量的加法的交换律、结合律等基础知识,在求解时可把较杂乱的向量运算有序处理,必要时化减为加,降低出错率.8.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,设=a,=b,=c,(1)用a,b,c表示向量.(2)试求向量a+b+c的模.【解题指南】注意把向量放到对应的平行四边形或三角形中,结合空间向量运算的平行四边形法则与三角形法则求解.【解析】(1)在三角形ACA′中,=-.在四边形ABCD中=+,又=,故=+-=a+b-c.(2)利用向量加法的平行四边形法则,结合正方体性质得a+b+c=++=+=,故|a+b+c|=||=.。

3讲堂成效落实1.以下各命题中，不正确命题的个数为()①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③ a·(b＋ c)＝(b＋c)·a；④ a2b ＝b2a.A．4 个C．2 个B．3 D．1个个分析：①②③正确，④不正确．答案： D2．已知 |a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝ 60°，则 |2a－3b|等于 ()A.97B．97C.61D．61分析： |2a－ 3b|2＝ 4a2＋9b2－ 12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60 °1＝97－ 12×2×3×＝61.2答案： C3．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一极点为端点的三条棱长都等于1，且相互的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线 AC1的长为 ()A ．6 B.6C．3 D.3→→→→分析：∵AC1＝AB＋AD＋AA1，→→→→→→→→→∴AC12＝ (AB＋ AD ＋ AA1)2＝ AB2＋ AD 2＋ AA12＋ 2AB·AD ＋→→→ →2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋ 1＋2(cos60 °＋cos60°＋cos60°)＝6，→∴ |AC 1|＝ 6，即 AC 1 的长为 6.答案： B4．已知空间向量 a 、b ，|a |＝3 2，|b |＝5，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝ 135°，若 m ⊥n ，则 λ的值为 ________．分析： 由 m ⊥n ，得 (a ＋b ) ·(a ＋λb )＝0，∴ a 2＋λb 2＋(1＋λ)a ·b ＝0，即 18＋25λ＋(1＋λ)×3 2×5×cos135°＝0，3∴ λ＝－ 10.3答案： －105．如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点 E 、F 、G 分别是 AB 、AD 、DC 的中点，求以下向量的数目积．→ →→ → ；·；(2)AD ·(1)AB ACBD→ →→ →·；(4)EF ·(3)GF AC BC.解：在空间四边形 ABCD 中，∵ → → ，〈 → → (1) ＝ ＝ ，AC 〉＝ 60°，|AB| |AC| a AB→ →∴ AB ·AC ＝a ·acos60°＝12a 2.→ → → →(2)∵|AD|＝a ，|BD|＝a ，〈AD ，BD 〉＝ 60°，→ →∴ AD ·BD ＝a 2cos60 °＝1a 2.2∵ → ＝1， →→ →→ →＝ ，又∥AC ，∴〈 GF ，AC 〉＝ π.(3) |GF| 2a|AC| a GF→ → ＝1 2 π＝－ 1 2∴ GF ·AC 2a cos2a .∵→＝1 ， → ， →→＝∥BD ，(4)|EF| 2a|BC| a EF → → → →∴〈 EF ，BC 〉＝〈 BD ，BC 〉＝ 60°，→ →∴ EF ·BC ＝12a 2cos60 °＝14a 2.。

§3.1 空间向量及其运算测试题( 时间 50分钟 总分100分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题6分，共48分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=.则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．--=2 B ．OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ）A ．85BC．D ．504．与向量)2,3,1(-=平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1,－2,6），B （1,2,－6），O 为坐标原点，则向量与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足·，0=·，0=·0=，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则=（）A ．21B ．22 C ．-21 D ．0二、填空题（每小题6分，共24分）．9．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 10．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{},,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．11．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 12．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)．13．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．14．（16分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30° （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1．A ；解析：)(21111A B B ++=+==+21（－+）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ1．6．B ；解析：显然OM 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 二、填空题（每小题6分，共24分） 9．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．10．OC OB OA 313161++； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+=11．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 12．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)13．（12分）解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ， 所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||4MN ==．14．（16分）解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°, ∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD 的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=.。

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)一、选择题1. 下列说法正确的是（ ）A. a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 33．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( ) A.AA ′→＋12AB →＋12AD → B.12AA ′→＋12AB →＋12AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 5．以下命题：①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行；②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合． 其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )A.SG →＝12(SA →＋SB →＋SC →)B.SG →＝13(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14(SA →＋SB →＋SC →) D.SG →＝SA →＋SB →＋SC →二、填空题7．已知i ，j ，k 是三个不共面向量，已知向量a ＝12i －j ＋k ，b ＝5i －2j －k ，则4a －3b ＝_______________.8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1A ，B 1B 的中点，O 为BD 1的中点．设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，用a ，b ，c 表示下列向量：(1)D 1N →＝_______________；(2)OM →＝_______________.三、解答题9．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →、A 1M →共面．10．已知i 、j 、k 是不共面向量，a ＝i －2j ＋k ，b ＝－i ＋3j ＋2k ，c ＝－3i ＋7j.证明这三个向量共面．参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] D[解析] M 为△ABC 重心，则AM →＝23⎣⎡⎦⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )． 3．[答案] A[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.4．[答案] D[解析] 由条件AF ＝12EF 知，EF ＝2AF ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12A ′C ′→) ＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13AA ′→＋16AD →＋16AB →. 5．[答案] A[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共面，然而平面ABCD与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.6．[答案] B[解析] SG →＝SA →＋AG →＝SA →＋13(AB →＋AC →)＝SA →＋ 13(SB →－SA →)＋13(SC →－SA →)＝13(SA →＋SB →＋SC →)．二、填空题7．[答案] －13i ＋2j ＋7k8．[答案] a －12b －c －12a －12c [解析] (1)D 1N →＝a －12b －c (2)OM →＝－12a －12c 三、解答题9．[解析] A 1B →＝AB →－AA 1→，A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→，AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)． ∴A 1N →＝AN →－AA 1→＝23(AB →＋AD →)－AA 1→ ＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →. ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．10．[解析] 设a ＝λb ＋μc ，则i －2j ＋k ＝(－λ－3μ)i ＋(3λ＋7μ)j ＋2λk ，∵i ，j ，k 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－3μ＝13λ＋7μ＝－22λ＝1，∴⎩⎨⎧ λ＝12μ＝－12，故存在实数λ＝12，μ＝－12，使a ＝λb ＋μc ， 故a ，b ，c 共面．。

2021年高中数学 3.1.3 空间向量的数量积运算同步练习 理（实验班）新人教A 版选修2-11．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小2．已知PA ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1443．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14B.14 C ．4 D ．24．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A.12B.22 C ．－12 D ．05．在空间四边形ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是( )A ．|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|B ．|AB →＋AC →＋AD →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋|AD →|2C ．(AB →＋AD →＋AC →)·BC →＝0D.AB →·CD →＝AC →·BD →＝AD →·BC →6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________. 8．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC →＝________.9．对于任意空间四边形，证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．3.1.3 空间向量的数量积运算 1.[答案] C[解析] 易知AE ⊥BC ，∴AE →·BC →＝0，AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD →＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD → ＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos60°＋12|BC →|·|CD →|cos120°<0. 2．[答案] C[解析] ∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴|PC →|＝12.3. [答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B.4. [答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos∠AOC －|OA →||OB →|cos∠AOB|OA →||BC →|.因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3， 所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.5. [答案] C[解析] A 中，由|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|，得(AB →＋AC →＋AD →)2＝(AB →＋AC →－AD →)2，展开得(AB →＋AC →)2＋|AD →|2＋2(AB →＋AC →)·AD →＝(AB →＋AC →)2＋|AD →|2－2(AB →＋AC →)·AD →，整理得(AB →＋AC →)·AD →＝0，因为AB →，AC →，AD →两两垂直，所以(AB →＋AC →)·AD →＝0成立，因此A 正确．易得B 正确．(AB →＋AD →＋AC →)·BC →＝(AB →＋AD →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－|AB →|2＋AD →·AC →－AD →·AB→＋|AC →|2－AC →·AB →＝|AC →|2－|AB →|2，当|AC →|＝|AB →|时，|AC →|2－|AB →|2＝0，否则不成立，因此C不正确．D 中，AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0，同理AC →·BD →＝0，AD →·BC →＝0，因此D 正确．6. [答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →， BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．7.[答案] 3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4. 8．[答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC →＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC →＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0.9. [证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12AD →＋12BC →. 即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．10．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．(33628 835C 荜39602 9AB2 骲(H's 36923 903B 逻24506 5FBA 徺28355 6EC3 滃dQ35945 8C69 豩40857 9F99 龙。

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。