巨亏8.4亿,股价暴跌了60%!联想上演教科书般大溃堤

山西省大同市2024高三冲刺（高考物理）统编版（五四制）模拟(强化卷)完整试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题某校举行托球跑步比赛，赛道为水平直道。

比赛时，某同学将球置于球拍中心，运动过程中球拍的倾角始终为且高度不变，质量为m的乒乓球位于球拍中心相对球拍保持静止，如图所示。

已知球受到的空气阻力大小与其速度v的大小成正比且方向与v相反，不计乒乓球和球拍之间的摩擦，重力加速度为g，则（ ）A．该同学刚开始运动时的加速度为B．该同学先做匀加速运动后匀速运动C．匀速运动时空气阻力大小为D．匀速运动时球拍对乒乓球的弹力为第(2)题作用在飞机上的气动力和发动机推力的合力与飞机质量之比称为飞机的过载。

则当飞机以g的加速度向上加速时，我们称飞机的过载为2g。

现有一位飞行员所能承受的最大过载为9g，已知g取，声速约为340m/s，当飞机在竖直面内以声速做圆周运动在经过最低点时对其半径的要求是（ ）A．小于1445m B．大于1445m C．小于1284m D．大于1284m第(3)题2022年3月23日，“天宫课堂”进行了第二次授课活动。

授课过程中信号顺畅不卡顿，主要是利用天链系列地球同步轨道卫星进行数据中继来实现的。

如图所示，天链卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B时，再次点火进入圆形同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。

设地球半径为R，地球表面的重力加速度为，卫星质量保持不变。

则下列说法中正确的是（ ）A．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运动的周期均与地球自转周期相同B．卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B点的加速度大小不同C．卫星在轨道Ⅱ上的运行速率小于D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能第(4)题在物理学的探索和发现过程中常用一些方法来研究物理问题和物理过程，下列说法错误的是（ ）A．在伽利略研究运动和力的关系时，采用了实验和逻辑推理相结合的研究方法B．在利用速度时间图像推导匀变速直线运动的位移公式时，使用的是极限法C．在不需要考虑物体本身的大小和形状时用质点来代替物体，运用了理想化模型法D．比值定义包含“比较”的思想，例如，在电场强度的概念建立过程中，比较的是相同的电荷量的试探电荷受静电力的大小第(5)题掷冰壶是以队为单位，在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上的“国际象棋”。

普通60度三角螺纹深度怎么计算我是车工，级别很低的那种现在想学车螺纹不知道怎么车，不知道多大的直径该车多宽的螺距和深度。

该怎么计算呢？望懂的师傅指点指点再此感激您了。

希望就是您能说的尽量能让我懂，我理解能力有限，不要说的太复杂了，我举个例子：M45的普通60度三角螺纹它的螺距和深度怎么计算？我现在就是要学车这种螺纹。

M50或M60或更多的其他螺纹计算也是一样吗都有规律吗？望个位师傅指教指教谢谢了！如果直接标注M45、M50、M60的话说明是普通粗牙螺纹。

像这类螺纹如果要加工的话，需要通过查表来确定螺纹的螺距，知道螺距后可以通过公示计算螺纹的小径，中径，大径。

如果就加工来讲，以M45的螺纹为例，公称直径为45mm，查表后得知M45螺距为4.5mm。

现在就可以计算了，d=45小径=d-1.0825p=45-1.0825*4.5 结果你自己算吧。

所谓小径可以说是你车削的终点。

下面是螺距表格，和计算方法表格：普通粗牙螺纹不标螺距，这些螺距是标准化规定。

根据直径螺距表中d*t（d-螺纹公称直径；t-螺距）.1*0.25 1.6*0.35 2*0.4 2.5*0.45 3*0.5 4*0.7 5*0.8 6*1 8*1.25 10*1.5 12*1.75 14*2 16*2 18*2.5 20*2.5 22*2.5 24*3 27*3 30*3.5 33*3.5 36*4 39*4 42*4.5 45*4.5 48*5 52*5 56*5.5 60*5.5 64*6计算方法：螺距P 原始三角形高度H=0.866P 牙高(工作高度) H=0.5413P 内螺纹大径D--内螺纹公称直径外螺纹大径d--外螺纹公称直径内螺纹中径D=D-0.6495P 外螺纹中径d=d-0.6495P内螺纹小径D=D-1.0825P 外螺纹小径d=d-1.0825P查表和计算方法都明白之后，值得注意的是加工时的方法，和经验的运用，多学多看，多问师傅总没有坏处。

2024-2025学年山西省高三（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−4≤x ≤2}，B ={x|x =2n−1,n ∈Z}，则A ∩B =( )A. {−3,−1,1,3}B. {−3,−1,1}C. {−1,1}D. {1}2.已知复数z =3−4i (2+i )2(i 是虚数单位)，则z 的虚部是( )A. 2425B. 2425iC. −2425D. −2425i 3.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1(八卦模型图)抽象并以正八边形ABCDEFGH 的中心O 为旋转中心顺时针旋转π8而得到，若OG =x OH +y OF ，则x +y =( )A. 2B. 32C. 2D. 3 224.若命题p ：∃x ∈[−2,2]，使得x 2−2x−m 2+2m ≥0为假命题，则实数m 的取值范围为( )A. (−∞,1)∪(1,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (−∞,−4)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(4,+∞)5.已知x ∈(−π2,π4]，则函数f(x)=(13)tanx 的值域是( )A. (0,13]B. (0,3]C. [13,+∞)D. [3,+∞)6.若不等式(ax−1)(x−b)≥0对任意的x ∈R 恒成立，则4a +b 的最小值为( )A. 2 2B. 4C. 5D. 4 27.已知命题p ：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1S 2⋯S k =0(k ∈N +且k ≥2)，则a 1a 2⋯a k =0，命题q ：设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 1T 2⋯T k =0(k ∈N +且k ≥2)，则b k−1+b k =0，则( )A. p 是真命题，q 是假命题B. p 是假命题，q 是真命题C. p 与q 都是真命题D. p 与q 都是假命题8.在半径为2的圆C 上任取三个不同的点A ，B ，P ，且|AB|=2 2，则PA ⋅PB 的最大值是( )A. 2+2 B. 2+2 2 C. 2 2+4 D. 4+4 2二、多选题：本题共3小题，共18分。

【期末专题复习】冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形_单元检测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 在RR △RRR 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角R 的正弦值和正切值（） A.都缩小12 B.都扩大2倍 C.都没有变化D.不能确定2. sin 30∘的值是（） A.12B.√22C.√32D.13. 已知R 、R 都是锐角，且sin R <sin R ，则下列关系中，正确的是（） A.R >R B.tan R >tan R C.cos R >cos RD.R =R4. 如果R 是锐角，则下列成立的是（） A.sin R +cos R =1 B.sin R +cos R >1 C.sin R +cos R <1D.sin R +cos R ≤15. 如图，△RRR 中，RR =5，cos R =√22，sin R =35，则△RRR 的面积为（）A.212B.12C.14D.216. 如图，R 是∠R 的边RR 上一点，且点R 的坐标为(3, 4)，则cos R =()A.35B.45C.34D.437. 小明(R )和小丽(R )两人一前一后放风筝，结果风筝在空中R 处纠缠在一起（如示意图）．若∠RRR =45∘，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则∠R 的正切值是（）A.2+√3B.2−√3C.√2+1D.√2−18. 温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市R 的正西方向300千米的R 处（如图），以每小时10√7千米的速度向东偏南30∘的RR 方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市R将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市R的时间会持续多长？（）A.5B.6C.8D.109. 一人乘雪橇沿坡比的斜坡笔直滑下，滑下的距离R(R)与时间R(R)间的关系为R=10R+2R2，若滑到坡底的时间为4R，则此人下降的高度为（）A.72RB.36√3RC.36RD.18√3R10. 如图，为了测得电视塔的高度RR，在R处用高为1米的测角仪RR，测得电视塔顶端R的仰角为30∘，再向电视塔方向前进120米达到R处，又测得电视塔顶端R的仰角为60∘，则这个电视塔的高度RR （单位：米）为（）A.60√3B.61C.60√3+1D.121二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 求值：sin260∘+cos260∘=________．12. 如图，一艘轮船由西向东航行，在R处测得北偏东68.7∘反向有小岛R，继续前进60海里到达R处，此时测得小岛R在船的北偏东26.5∘方向，则船继续向东航行________海里，离小岛最近（精确到0.1海里，参考数据tan21.3∘≈0.39，tan63.5∘≈2.01）．，则R﹕R﹕R为________．13. 在△RRR中，∠R=90∘，cos R=2314. 在RR△RRR中，∠R=90∘，RR=3，RR=4，那么cos R的值是________．15. 已知在RR△RRR中，∠R=90∘，sin R=3，则tan R的值为________．516. 如示意图，若斜坡RR的坡度，∠RRR=90∘，RR=23米，则RR的长为________米．17. 如图，某建筑物RR上有一旗杆RR，从与RR相距38R的R处观测旗杆顶部R的仰角为50∘，观测旗杆底部R的仰角为45∘，则旗杆的高度约为________R．（结果精确到0.1R，参考数据：sin50∘≈0.77，cos50∘≈0.64，tan50∘≈1.19）18. 如图，小亮在太阳光线与地面成30∘角时，测得树RR在地面上的影长RR=18R，则树高RR约为________R（结果保留根号）19. 如图所示，某河堤的横断面是梯形RRRR，RR // RR，迎水坡RR长10R，且tan∠RRR=4，则河堤的高RR为________．320. 如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至R处时，测得小岛R在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达R处，此时测得小岛R在轮船的南偏东60度的方向处．若RR=40海里，则轮船航行的时间为________．三、解答题（本题共计 8 小题，共计60分，）．21. （4分）计算：√3tan30∘−4cos30∘2sin60∘tan45∘22. （8分）已知：如图，在△RRR中，RR⊥RR，sin R=4，RR=13，RR=12，求RR的长5和tan R的值．23.(8分) 某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知RR=RR=8R，∠R=30∘，RR⊥RR于点R．（1）求∠RRR的大小；（2）求RR的长度．24. （8分）如图，有一电线杆RR直立于地面，它的影子正好射在地面RR段和与地面成45∘角的土坡RR上，已知∠RRR=60∘，RR=8米，RR=2√2米，求电线杆RR的高．（结果保留3个有效数字，√3≈1.732）25. （8分）轮船沿着正北方向航行，在R处看到某目标岛屿R在北偏西30∘方向，继续向南航行40海里到R处测得这个岛屿方向变成了北偏西45∘，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到1海里，参考数据：√2=1.414,√3=1.732）26. （8分）已知：如图，在山脚的R 处测得山顶R 的仰角为53∘，沿着坡度为30∘的斜坡前进400米到R 处（即∠RRR =30∘，RR =400米），测得R 的仰角为63∘，求此山的高度RR ．（答案保留根号） （参考数据：sin 53∘≈45，cos 53∘≈35，tan 53∘≈43，sin 63∘≈1213，cos 63∘≈513，tan 63∘≈125）27. （8分）酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路RR 为一条坡度为的斜坡，在斜坡下端R 处有一座塔，陈老师在R 处测得塔顶R 的俯角为14∘，沿斜坡前行65米到达R 处，请根据以上条件求塔的高度RR ．（参考数据：tan 14∘≈0.25，sin 14∘≈0.24，cos 14∘≈0.97）28.(8分) 中国派遣三艘海监船在南海保护中国渔民不受菲律宾的侵犯．在雷达显示图上，标明了三艘海监船的坐标为R(0, 0)、R(80, 0)、R(80, 60)，（单位：海里）三艘海监船安装有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为R的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）．（1）若在三艘海监船组成的△RRR区域内没有探测盲点，则雷达的有效探测半径R至少为________海里；（2）某时刻海面上出现一艘菲律宾海警船R，在海监船R测得点R位于南偏东60∘方向上，同时在海监船R测得R位于北偏东45∘方向上，海警船R正以每小时20海里的速度向正西方向移动，我海监船R立刻向北偏东15∘方向运动进行拦截，问我海监船R至少以多少速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船R？参考答案与试题解析【期末专题复习】冀教版九年级数学上册_第26章_解直角三角形_单元检测试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据锐角三角函数的概念：锐角R的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可直接得到答案．2.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值【解析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的增减性【解析】先根据锐角三角函数的增减性由sin R<sin R得到R<R，然后再根据锐角三角函数的增减性进行判断即可．4.【答案】B【考点】同角三角函数的关系【解析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案．5.【答案】A【考点】解直角三角形【解析】根据锐角三角形函数可以求得RR、RR和RR的长，从而可以求得△RRR的面积．6.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】过点R作轴于点R，那么在直角△RRR中，RR=3，RR=4，由勾股定理可得RR=5，再由余弦函数的定义得出cos R的值．7.【答案】D【考点】解直角三角形的应用【解析】，进而将各边长用RR 首先过点R作RR⊥RR于点R，得出RR=RR，RR=RR，sin45∘=RRRR表示得出即可．8.【答案】D【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】首先过R作作RR⊥RR于R，求得RR的长；设台风中心距R点处，刚好处在RR上的R，R两点则，在直角三角形中，求得RR，RR的长，已知速度，则可以求得受影响的时间．9.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】首先设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．10.【答案】C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意求出RR的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出RR的长，根据正弦的定义计算即可．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】1【考点】特殊角的三角函数值【解析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．12.【答案】15【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过R作RR的垂线，交直线RR于点R，分别在RR△RRR与RR△RRR中用式子表示RR，从而求得RR的值，即离小岛R最近的距离．13.【答案】考点】解直角三角形【解析】先利用余弦的定义得到cos R=RRRR =23，则可设，，再利用勾股定理计算出RR，然后计算三角形三边的比．14.【答案】45【考点】锐角三角函数的定义【解析】在直角△RRR中利用勾股定理求得RR的长，然后利用三角函数的定义求解．15.【答案】4【考点】互余两角三角函数的关系【解析】根据所给的角的正弦值可得两条边的比，进而可得第三边长，tan R的值=∠R的对边与邻边之比．16.【答案】69【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据坡度，可得出tan R=RRRR =13，继而代入数据可求出RR的长．17.【答案】7.2【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】根据题意分别在两个直角三角形中求得RR和RR的长后求差即可得到旗杆的高度．18.【答案】6√3【考点】解直角三角形的应用【解析】利用所给30∘角的正切函数求解即可．19.【答案】8【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】根据tan∠RRR=43得出RR，RR的关系，根据勾股定理表示出RR，再根据RR=10，从而得出RR的长．20.【答案】(1+√3)小时【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】作RR⊥RR于点R，根据题意得：∠R=45∘，∠R=60∘，然后分别在RR△RRR中和RR△RRR中，求得RR和RR，从而求得线段RR的长，利用路程除以速度求得航行的时间．三、解答题（本题共计 8 小题，共计60分）21.【答案】解：原式=√3×√334×√322×√32×=1−2=−1．【考点】特殊角的三角函数值【解析】把特殊角的三角函数值代入后进行二次根式的运算即可．22.【答案】解：∵RR⊥RR，∴∠RRR=90∘…∵sin R=RRRR =45∴RR=15．…∴RR=9．…∴RR=4．…∴tan R=RRRR=3…【考点】解直角三角形锐角三角函数的定义【解析】由sin R=45，RR=12，根据三角函数可得RR=15，根据勾股定理可得RR=9，则RR=4，再根据正切的定义求出tan R的值．23.【答案】解：（1）∵RR=RR，∠R=30∘，∴∠R=∠R=30∘．∵∠R+∠R+∠RRR=180∘，∴∠RRR=180∘−∠R−∠R=180∘−30∘−30∘=120∘．（2）∵RR=RR，RR⊥RR，∴RR=2RR．在RR△RRR中，∠R=30∘，RR=8，∴RR=RR⋅cos R=8⋅cos30∘=8×√32=4√3．∴RR=2RR=8√3(R)．【考点】解直角三角形的应用【解析】（1）根据等腰三角形的性质，可求得∠R的度数，再根据三角形内角和定理求解；（2）根据等腰三角形的性质，RR=2RR．在直角△RRR中，根据三角函数求得RR的长．从而求解．24.【答案】解：延长RR交RR的延长线于点R，则∠R=30∘，∵∠RRR=45∘，RR⊥RR，RR=2 √2米，∴RR=RR=2，=2 √3米，在直角三角形RRR中，RR=RRtan30∘∴RR=RR+RR+RR=(10+2 √3)米，+2≈7.77米．在直角三角形RRR中，RR=RR×tan30∘=10√33【考点】解直角三角形的应用【解析】构造∠R为直角，∠R为一内角的直角三角形，由RR长易得RR，RR长，在直角三角形RRR中利用30∘在正切值可求得RR的长，那么可求得线段RR的长，在直角三角形RRR中利用30∘的正切值可求得电线杆RR的高．25.【答案】它与目标岛屿最近距离约为55海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点R作RR⊥RR延长线于R．则直角△RRR和直角△RRR有公共边RR，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用RR表示出RR与RR，根据RR=RR−RR即可列方程，从而求得RR的长，即为所求．26.【答案】此山的高度RR为(600√3−250)米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】首先根据题意分析图形；作RR⊥RR于R，作RR⊥RR于R，构造两个直角三角形，分别求解可得RR与RR的值，再利用图形关系，进而可求出答案．27.【答案】解：如图，过点R作RR⊥RR于点R．∵RR=65米，tan∠RRR=RRRR =512，∴，米，米，∴RR=RR=60米，∴RR=RR⋅tan14∘=60×0.25=15（米）．∴RR=RR=25−15=10（米）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】如图，过点R作RR⊥RR于点R．通过坡度的定义求得，则得米RR=60米，所以利用矩形的性质和解直角△RRR求得RR的长度即可．28.【答案】50．（2）过点R作RR⊥RR于点R，设，由题意得：，则tan60∘=RRRR，∴，∴解得：，设船和舰在点R处相遇，海监船的速度为R海里/小时，过点R作RR⊥RR于点R，设RR=R，由题意得：RR=√2R，RR=2R，∴√2R20=2RR，解得：R=20√2，答：我海监船R至少以20√2海里/小时速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船R．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】（1）利用点的坐标性质得出RR的长，进而利用直角三角形外心的性质得出答案；（2）利用方向角画出图形，进而利用锐角三角角函数关系得出即可．。

第四章锐角三角函数（基础卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sin B的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，∴AB=13，∴sin B=ACAB =1213．2、在Rt△ABC中，∠C=90∘，则下列式子定成立的是()A.sin A=sin BB.cos A=cos BC.tan A=tan BD.sin A=cos B【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∴sin A=cos B．3、已知sinαα是锐角，则α=( )A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘【答案】B【解析】根据sin60∘a的值．【解答】解：∵sinαα是锐角，∴α=60∘．4、sin58∘、cos58∘、cos28∘的大小关系是（）A.cos28∘<cos58∘<sin58∘B.sin58∘<cos28∘<cos58∘C.cos58∘<sin58∘<cos28∘D.sin58∘<cos58∘<cos28∘【答案】C【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】sin58∘＝cos32∘．∵58∘>32∘>28∘，∴cos58∘<cos32∘<cos28∘，∴cos58∘<sin58∘<cos28∘．5、在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正弦值是( )A.34B.43C.35D.45【答案】C【解析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】∵AC=4，BC=3，AB=5,∴sin A=BCAB =35.6、拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是BC=10m，则坡面AB的长度是（）A.15mB.C.D.20m【答案】D【解析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=10m，tan A=∴AC=BC÷tan A=，∴AB=20m．7、在Rt△ABC中，∠B=90∘．若AC=2BC，则sin C的值是( )A.12B.2【答案】C【解析】利用已知表示出各边长，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵AC=2BC，∴设BC=x，则AC=2x，∴AB=，∴sin C=ABAC=8、如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(4, 3)，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.35B.45C.34D.43【答案】C【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90∘，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90∘，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P(4, 3)，∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα=PNON =34，9、在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，∠A=40∘，BC=3，则AC等于（）A.3sin40∘B.3sin50∘C.3tan40∘D.3tan50∘【答案】D【解析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正切的概念解答即可．【解答】解：∵∠C=90∘，∠A=40∘，∴∠B=50∘.∵tan B=AC，BC∴AC=BC⋅tan B=3tan50∘.10、我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60∘方向走到B地，再沿北偏西37∘方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（）（参考数据sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.32）A.12千米B.(3+千米C.(3+千米D.(12―千米【答案】B【解析】作BD⊥AC于点D，根据题意可得，∠A＝60∘，AB＝6，∠CBD＝53∘，再根据锐角三角函数即可求出AD和CD的值，进而求出A，C两地的距离．【解答】如图，作BD⊥AC于点D，根据题意可知：在Rt△ADB中，∠A＝60∘，AB＝6，∴AD＝3，BD＝在Rt△CDB中，∠CBD＝53∘，≈∴CD＝BD⋅tan53∘≈×1.32≈×43∴AC＝AD+CD＝3+则A，C两地的距离为(3+千米．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11. 已知tan(α+15∘)=α的度数为________∘．【答案】15【解析】根据tan30∘=α+15∘＝30∘，再解即可．【解答】∵tan30∘=∴α+15∘＝30∘，∴α＝15∘，12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=5，则tan B的值为________．13【答案】125，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股【解析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sin A=513定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sin A=513，∴设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tan∠B=ACBC =125．13.如图，在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，若cos A=35，则BC的长为________．【答案】8【解析】根据锐角三角函数定义和勾股定理求解．【解答】∵在△ABC中，∠C＝90∘，AC＝6，cos A=35，∴cos A=ACAB =6AB=35，∴AB＝10，∴BC8．14. △ABC中，∠C=90∘，AB=8，cos A=34，则BC的长________．【答案】【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】解：如图，∵cos A=ACAB，∴AC=AB⋅cos A=8×34=6，∴BC15. △ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A cos B=12，则∠C=________．【答案】60∘【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sin A cos B=12，∴∠A=∠B=60∘．∴∠C=180∘―∠A―∠B=180∘―60∘―60∘=60∘．16. 如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB=BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝________．【答案】81【解析】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．在Rt△BET中，解直角三角形求出BT，ET，BC，由△ECG ∽△EBC，求出EC，CG，再利用相似三角形的性质求出EF，BF，AE，AB，证明点T与点A重合即可解决问题．【解答】如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ECG＝∠ABE，∴∠ECG＝∠CBE，∵∠CEG＝∠CEB，∴△ECG∽△EBC，∴ECEB =EGEC=CGCB，∴EC2＝EG⋅EB＝5×(5+4)＝45，∵EC>0，∴EC＝在Rt△BET中，∵sin∠AEB=BTBEBE＝9，∴BT∴ET==∴CT＝ET+CE∴BC=∴CG=EG⋅BCEC=10，∵∠ECG＝∠FBG，∴ E ，F ，B ，C 四点共圆，∴ ∠EFG ＝∠CBG ，∵ ∠FGE ＝∠BGC ，∴ △EGF ∽△CGB ，∴ EF CB =EGCG ，∴510，∴ EF ＝5，∵ ∠AFE ＝∠ACB ，∠EAF ＝∠BAC ，∴ △EAF ∽△BAC ，∴AE AB=AFAC =EFBC =12，设AE ＝x ，则AB ＝2x ，∵ ∠FBG ＝∠ECG ，∠BGF ＝∠CGE ，∴ △BGF ∽△CGE ，∴ BF CE =BGCG ，∴410，∴ BF ∵ AE ⋅AC ＝AF ⋅AB ，∴ x (x ＝(2x ―⋅2x ，解得x =∴ AE ＝ET ∴ 点A 与点T 重合，∴ AB ＝2AE =∴ S △ABE =12×AB ×AE =12××81．三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计86分） 17. 计算(1)tan30∘sin60∘+cos 230∘―sin 245∘tan45∘；(2)2―1+∘+|―5|―(π―2013)0.解：(1)原式=×+―×1=12+34―12=34 .(2)原式=12+―1=12+32+5―1=6 .18. 如图，在△ABC 中，AB =AC =4,BC =6，求cos B 及tan B 的值．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ．∵ AB =AC ，∴ BD =CD =3.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ===∴ cos B =BDAB =34,tan B =ADBD =19. 在△ABC 中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a ,b ，c ，且a :b :c =3:4:5，求证：sin A +sin B =75 证明：设a =3k ,b =4k ,c =5k (k >0)．∵ a 2+b 2=(3k )2+(4k )2=25k 2=c 2，∴ △ABC 是直角三角形，且∠C =90∘.∴ sin A =ac =3k5k =35,sin B =bc =4k c=45．∴ sin A +sin B =75.20. 如图，一艘船由西向东航行，在A 处测得北偏东60∘方向上有一座灯塔C ，再向东继续航行60km 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30∘方向上，已知在灯塔C 的周围47km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据题意可知∠BAC =90∘―30∘=30∘，∠DBC =90∘―30∘=60∘，∵ ∠DBC =∠ACB +∠BAC ，∴ ∠BAC =30∘=∠ACB ，∴ BC =AB =60km ，在Rt △BCD 中，∠CDB =90∘，∠BDC =60∘，sin ∠BCD =ADAC ，∴ sin60∘=CD60，∴ CD =60×sin60∘=60×=km )>47km ，∴ 这艘船继续向东航行安全．21. 如图，王亮为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东45∘方向，然后沿河岸直行100米到B点，在B点测得对岸C点在其北偏西45∘方向，求河宽CD的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732).解：设GD=x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD=30∘，∠BCD=45∘，∴∠ADC=∠BDC=90∘，∴AD=米，BD=CD=x米，∵AD+BD=AB=100米，∴+x=100，解得：x=6.5，即河宽CD约为63.5米（63.4也对）.22. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF=23∘，量得树干倾斜角∠BAC=38∘，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60∘，AD=4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据≈1.4≈1.7≈2.4）．解：(1)如图，延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠AEF=23∘，∴∠GAE=90∘―23∘=67∘．又∵∠BAC=38∘，∴∠CAE=180∘―67∘―38∘=75∘．(2)如图，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60∘，AD=4，cos∠ADC=DHAD ，sin∠ADC=AHAD，∴DH=2，AH=在Rt△ACH中，∵∠C=180∘―75∘―60∘=45∘，∴CH=AH=∴AC=∴ CD =CH +DH =+2．∴ AB =AC +CD =+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形．∠ACB =90∘，点A ，C 的坐标分别为A (―4,0)，C (2,0)，tan ∠BAC =12，AB 与y 轴相交于点D ．(1)求过点A ，B 的直线的函数表达式；(2)在y 轴上找一点E ，连接EB ，使得△EDB 与△ABC 相似，求点E 的坐标．解：(1)∵ 点A (―4,0)，C (2,0)， ∴ AC =6.∵ tan ∠BAC =12=BC AC ， ∴ BC =3， ∴B 点坐标为(2,3).设过点A ，B 的直线的函数表达式为：y =kx +b ，则―4k +b =0，2k +b =3， 解得k =12，b =2，∴ 直线AB 的函数表达式为：y =12x +2.(2)①当∠BED =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE //x 轴，与y 轴交于点E ，则∠EBD =∠CAB ，∴ △EDB ∼△CBA ，则DE BC =BE AC ，即DE 3=26，解得DE =1，∴ E (0,3).②当∠DBE =∠ACB =90∘时，即过点B ，作BE ⊥BD ，与y 轴交于点E ，则∠DEB =∠BAC ，∴ △EDB ∼△ABC ，则DE BA =BD BC ，即=DE =5，∴ E (0,7).24、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN(如图)，在码头西端M 的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距的C 处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝，∴BC＝km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴80＝千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝km)，∴CS＝30°＝km)．∴AS＝30°＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝km)．∴AR＝40×cos60°＝40×12＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴STRT＝CSBR，STST＋20＋12＝解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．。

北京市广渠门中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列计算正确的是（）A ．22423a a a +=B ．632a a a ÷=C ．352()a a =D ．222()ab a b =3．已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（）A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．13cm 4．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）A ．三角形的稳定性B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短5．若正多边形的一个外角是60︒，则这个正多边形的边数是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．如图，已知AOB ∠，尺规作A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠，作图痕迹中如图所示，则DOC D O C ''' ≌的作图依据是（）A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS7．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()1,28．若3298m n x x y x y ⋅=，则m n +的值为（）A ．6B ．10C ．9D ．79．将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，30MAN ∠=︒，点B 是射线AN 上的定点，点P 是直线AM 上的动点，要使PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在ABC V 中，10AB AC BC AD BC ==⊥，，于点D ，则B 的长为．12．比较两个数的大小关系：12283．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．等腰三角形的两边长分别为4cm ，6cm ，其周长为cm ．14．如果3m a =，7n a =，那么2m m n a a ++=．15．如图，AB CD ∥，AD 与BC 交于点O ，请添加一个条件，使AOB DOC △≌△．（只填一种情况即可）16．如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于E 点，∠B =50°，∠FAE =20°，则∠C =度．17．图中的四边形均为长方形，根据图形，写出一个正确的等式：．18．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA <OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°；连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ；下列结论：①∠AMB ＝36°；②AC ＝BD ；③OM 平分∠AOD ；④MO 平分∠AMD ；其中正确的结论有(填序号)三、解答题19．计算：(1)()()22323a b a b -⋅-．(2)()22222ab a ab b +-(3)()()3x y x y -+．20．如图，CD ＝CA ，∠1＝∠2，EC ＝BC ．求证：DE ＝AB ．21．如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P 在A 区内，且到铁路FG 、公路CE 和CD 的距离相等，如果你是红方的指挥员，请你在下图中准确地作出蓝方指挥部点P 的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）22．已知220x x --=，求代数式()()()()3531x x x x -++--的值，23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是第一、三象限的角平分线．已知ABC V 的三个顶点坐标分别为()3,1A ，()4,3B ，()6,0C ．(1)若ABC V 与A B C ''' 关于y 轴对称，画出A B C ''' ，并写出点A '的坐标；(2)若在直线l 上存在点P ，使ABP 的周长最小，则点P 的坐标为______．24．如图，在ABC V 中，AB CB =，D 是BC 上的一点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥交AC 于点F ，ED 与FC 的延长线交于点G ．求证：DF DG =．25．请阅读下面材料，填空，并解决后续问题．学习了等腰三角形，我们知道，等边对等角，即在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角对等边．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？如图1，在ABC V 中，如果AB AC >，那么我们可以将ABC V 折叠（即），使边AC 落在AB 上，点C 落在AB 上的D 点，折线交BC 于点E ，即作BAC ∠的平分线AE ，交BC 于E ，在边AB 上截AD AC =，连结DE ，则可通过证明全等得到：C ∠=∠①．再由外角可以得到：∠②B >∠，∴C B ∠>∠．这样，我们证明了，在一个三角形中，大边所对的角也较大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究角的问题与研究边的问题互相转化，利用这样的想法，请解决以下问题：已知：如图2，ABC V 中，2C B ∠=∠，AE 平分BAC ∠，请用等式表示线段AB ，AC ，CE 之间的数量关系，并证明．26．如图，P 为ABC ∠的平分线上的一点，PF BC ⊥于F ，点D 和点E 分别在AB 和BC 上，且BD BE <，PD PE =，试探究BDP ∠与BEP ∠的数量关系，并给予证明．27．根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．a ．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：2426624⨯=，32381216⨯=，47432021⨯=，52583016⨯=；b ．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：算式：________①___________；c ．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；d ．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：如果设一个两位数十位上的数是m （010m <<，且m 为整数），个位上的数是n （010n <<，且n 为整数），那么这个两位数可以表示为10m n +，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含m ，n 的式子表示）；e ．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．28．在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 为BC 边上一动点，点E 在边AC 上，CE CD =，作点D 关于直线AB 的对称点F ，P 为AD 的中点，连接PE ，PF ，EF ．(1)如图1，当点D 与点B 重合时，直接用等式表示线段PE 与EF 的数量关系；(2)当点D 与点B ，点C 都不重合时，请补全图2，并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和点A ，若存在点Q ，使得90PAQ ∠=︒，且AQ AP =，则称点Q 为点P 关于点A 的“链垂点”．(1)如图1，①若点A 的坐标为2,1，则点A 关于点O 的“链垂点”坐标为______；②若点()5,3B 为点O 关于点C 的“链垂点”，且点C 位于x 轴上方，试求点C 的坐标；(2)如图2，图形G 是端点为1,0和2,1的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D 为图形G 上的动点，对于点()0,E t ，存在点D ，使得点D 关于点E 的“链垂点”恰好在图形H 上，请直接写出t 的取值范围．。

三角函数60度公式
在数学中，三角函数是一个周期函数，它们描述了一个角和一个单位圆上的点之间的关系。

三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别表示为sin(某)、cos(某)和tan(某)。

在一个等边三角形中，任意一个角的度数是60度。

等边三角形的特点是三边全等且三个角度都是60度。

因此，当角度为60度时，三角函数的数值是固定的。

A
/\
/\
/_____\
BC
假设等边三角形边长为2，那么三角形ABC的高等于根号3、正弦函数的定义是对边与斜边的比值，因此sin(60度)等于根号3/2。

sin(60度)=根号3/2
对于余弦函数，我们可以应用勾股定理来推导其60度公式。

在等边三角形中，由勾股定理我们可得cos(60度)=根号(2^2-1^2)/2=1/2。

对于正切函数，我们可以将正切定义为对边与邻边的比值。

对于60度角的等边三角形，正切函数等于sin(60度)/cos(60度)=根号3。

综上所述，三角函数60度公式如下：
sin(60度)=根号3/2
cos(60度)=1/2
tan(60度)=根号3
这些公式是我们在解决与60度相关的三角函数问题时经常使用的基本公式。

通过了解和应用这些公式，我们可以更好地理解和计算三角函数的值。

60度底边长计算过程摘要：一、引言二、60 度底边长的计算方法1.使用正切函数2.使用特殊角公式三、计算过程及结果1.正切函数计算过程2.特殊角公式计算过程四、结论正文：在几何学中，我们经常会遇到需要计算一个60 度底边长的三角形。

那么，如何快速准确地计算这个底边长呢？本文将介绍两种常用的计算方法。

首先，我们可以使用正切函数来计算60 度底边长。

正切函数是三角函数的一种，它的定义为tanθ = 对边/邻边。

对于一个60度的直角三角形，假设其对边为a，邻边为b，我们可以得到以下公式：tan60° = a/b移项得：a =b * tan60°我们知道60 度的正切值是根号3，所以可以得到：a =b * √3这就是使用正切函数计算60 度底边长的方法。

其次，我们还可以使用特殊角公式来计算60 度底边长。

特殊角公式是三角函数中一个非常有用的公式，它可以将任意角的三角函数值转换为已知角的三角函数值。

对于60 度，有一个特殊角公式为：sin60° = √3/2我们可以将这个公式稍作变换，得到：b = a / (2 * sin60°)我们知道60度的正弦值是根号3/2，所以可以得到：b = a / (2 * √3/2)b = a / √3这就是使用特殊角公式计算60 度底边长的方法。

通过以上两种方法的计算过程，我们可以得出60 度底边长的计算结果。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。

总之，计算60 度底边长有多种方法，我们可以根据需要和实际情况选择合适的方法。

60°三角形斜边计算公式sin60（原创实用版）目录1.60°三角形斜边计算公式的背景和意义2.sin60°的定义和计算方法3.如何使用 sin60°公式计算 60°三角形的斜边4.结论和应用领域正文1.60°三角形斜边计算公式的背景和意义在数学和物理学中，计算三角形斜边长度的公式是非常重要的。

特别是在等边三角形和等腰三角形中，60°角的出现频率非常高。

因此，有一个专门的公式来计算 60°三角形的斜边长度是非常有用的。

这个公式就是基于三角函数中的正弦函数（sine function）sin60°。

2.sin60°的定义和计算方法sin60°是一个三角函数，它的值是 3/2，约等于 0.866。

这个值表示的是一个 60°角的对边长度与斜边长度之比。

具体来说，如果在一个等边三角形中，一个 60°角的对边长度为 a，斜边长度为 c，那么 sin60°=a/c=3/2。

3.如何使用 sin60°公式计算 60°三角形的斜边使用 sin60°公式计算 60°三角形的斜边，需要知道一个 60°角的对边长度。

假设这个长度为 a，那么可以通过以下公式计算斜边长度 c：c=a/sin60°。

将 sin60°的值 3/2 代入公式，得到 c=a/(3/2)=2a/3。

这样就可以得到 60°三角形的斜边长度。

4.结论和应用领域sin60°公式为计算 60°三角形的斜边长度提供了一个简便的方法。

在实际应用中，这个公式可以帮助我们在没有其他测量工具的情况下，快速计算出三角形的斜边长度。

60度底边长计算过程假设我们有一个角度为60度的三角形，且我们已知它的底边长度。

现在，我们将一步步来计算这个底边的长度。

第一步，我们需要了解三角形的特性。

在三角形中，角度的和为180度。

因此，另外两个角度为60度的角，它们的和也是120度。

第二步，我们可以使用三角形的正弦定理来计算未知边长。

正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中，a、b、c分别代表三角形的边长，A、B、C分别代表相应的角度。

在这个例子中，我们已知底边的长度，我们可以将它记为a。

另外两个角度分别记为A和B，正好是60度。

我们还未知三角形的两个边长，我们将它们分别记为b和c。

根据正弦定理，我们可以得到以下表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC由于sin60度等于√3 / 2，因此我们可以将上述表达式简化为：a/√3 / 2 = b/√3 / 2 = c/√3 / 2即，a/(√3 / 2) = b/(√3 / 2) = c/(√3 / 2)我们可以进一步简化上述表达式：2a/√3 = 2b/√3 =2c/√3现在，我们已经得到了一个比较简单的表达式，我们可以将它转化为等式的形式：2a/√3 = b/√3 = c/√3我们可以将分母的根号3化简为根号3的分子形式，得到：2a√3 / 3 = b√3 / 3 = c√3 / 3现在，我们来解这个等式。

由于我们已知底边的长度为a，我们将它代入等式中：2a√3 / 3 = a√3 / 3 = c√3 / 3我们可以再次化简等式：2a√3 / 3 = a√3 / 3 = c√3 / 3我们可以看出，等式的左侧和右侧都是a乘以根号3再除以3。

因此，我们可以得出结论，三角形的未知边长b和c也是底边的长度a 乘以根号3再除以3。

综上所述，当我们已知一个60度底边的长度时，我们可以通过将底边的长度乘以根号3再除以3来计算另外两条边的长度。

这个计算过程基于正弦定理，利用了三角形角度的特性进行推导。