第一讲勾股定理

基础巩固篇第一讲勾股定理重点分析：1.勾股定理主要是直角三角形的三边关系,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(a2+b2=c2),反之,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.勾股定理既是直角三角形的性质定理,又是直角三角形的判定定理．2.勾股定理的证明方法有很多种,常用的方法是面积法,即通过构造几何图形,然后利用面积计算推导出定理．3.勾股定理常应用于几何图形中线段的计算问题,计算时常常根据方程思想列方程解题,此时勾股定理是列方程的主要等量关系．难点分析：1.运用勾股定理时一定要分清直角边和斜边,斜边是直角三角形中最长的边,如果边不确定时要注意分类讨论,用勾股定理判定直角三角形,只要判断两条较短的边的平方和是否等于最长边的平方即可．2.满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数，一组勾股数中，每个数的相同整数倍可以构成一组新的勾股数.如：3,4,5是一组勾股数，则3n,4n,5n(n为正整数)也是一组勾股数.3.转化思想和方程思想是常用的思想方法,比如把空间图形转化为平面图形,非直角三角形通过作垂线转化为直角三角形,还有直接计算有困难时,通常设未知数,列方程解决问题．例1.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是．思路点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理即可推导出正方形A,B,C,D的面积和即为最大正方形E的面积．解题过程：根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,E的面积为S3，S1+S2=S3,于是正方形E的面积S3=S1+S2,即S3=9+25+4+9=47.所以正方形E的面积是47．方法归纳：正方形A,B,C,D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A,B,C,D的面积和即是最大正方形E的面积.勾股树中直角三角形两直角边上“长”出来的正方形面积和等于斜边上的正方形面积．易错误区：注意本题通过勾股定理可以得到勾股树中正方形面积之间和的关系,而不是边长之间和的关系．例2.给出下列6组数：①4，6，8；②0.3，0.4，0.5；③24，7，25；④5，-12，13；⑤17，19，27；⑥9，40，41.其中是勾股数的有.思路点拨：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数，根据勾股数的定义进行判断即可.解题过程：①42+62=52≠82，所以4，6，8不是勾股数.②0.3，0.4，0.5不是整数，所以不是勾股数.③72+242=625=252，所以24，7，25是勾股数.④-12不是正整数，所以5，-12，13不是勾股数.⑤172+192=650≠272，所以17，19，27不是勾股数.⑥92+402=1681=412，所以9，40，41是勾股数.故答案为③⑥.方法归纳：本题考查了勾股数的定义与判断方法.判断勾股数的步骤如下：（1）确定给出的三个数都是正整数；（2）找出三个正整数中最大的一个数；（3）计算较小的两个数的平方和是否等于最大数的平方.易错误区：注意勾股数必须要是正整数这一前提，②和④虽然也满足a2+b2=c2，但这两组数不是正整数，所以不是勾股数.例3.如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为cm．思路点拨：要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的方法就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答．解题过程：如图是长方体的侧面展开图,∵PA=2×(4+2)=12(cm),QA=5cm,∴PQ 2=PA 2+QA 2=122+52=169,即PQ=13cm.故答案为13．方法归纳：空间图形中的最短距离问题需要将空间图形转化为平面图形解决,两点之间线段最短以及直角三角形边长的计算是解答本题的主要依据．易错误区：本题长方体的侧面展开图是一个由四个长方形拼成的长方形,最短距离是侧面展开图的对角线长,注意展开图的边长不要搞错．例4勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成的图形(如图1：△ABC 中,∠BAC=90°).请解答：图1 图2 图3(1)如图2,若以Rt △ABC 的三边为直径向外作半圆,则它们的面积S 1,S 2,S 3之间的数量关系是 ,请说明理由；(2)如图3,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,BC=2AD,分别以AB,CD,AD 为边向四边形外作正方形,其面积分别为S 1,S 2,S 3,则S 1,S 2,S 3之间的数量关系为 ,请说明理由．思路点拨： (1)利用Rt △ABC 的边长就可以表示出半圆S 1,S 2,S 3的面积,根据勾股定理可得到S 1,S 2,S 3之间的关系；(2)过点D 作AB 的平行线可将四边形问题转化到直角三角形中去解决．解题过程：设Rt △ABC 的三边AB,CA,BC 的长分别为a,b,c,则c 2=a 2+b 2．(1)S 1+S 2=S 3.理由如下：∵S 3=81πc 2,S 1=81πa 2,S 2=81πb 2, ∴S 1+S 2=81πa 2+81πb 2=81πc 2=S 3．(2)S1+S2=S3.理由如下：如图，过点D作DE∥AB,交BC于点E,设四边形的边AB,DC,AD的长分别为a,b,c.可证EC=AD=c,DE=AB=a,∠EDC=180°-(∠DEC+∠BCD)=180°-(∠ABC+∠BCD)=90°,则c2=a2+b2．∵S1=a2,S2=b2,S3=c2,∴S1+S2=S3．方法归纳：本题考查了正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用,正确应用直角三角形的边长表示各图形面积以及将四边形问题转化为三角形问题是解答本题的关键．易错误区：表示直角三角形以及半圆的面积时要注意正确应用面积计算公式．例如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上．图1 图2(1)如图1,如果AM=AN,求证：BM=CN；(2)如图2,如果点M,N是BC边上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM,MN,NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由．思路点拨：(1)根据等腰直角三角形的性质来判定△ABM≌△ACN，然后根据全等三角形的对应边相等求得BM=CN；(2)过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM,连接AE,EN.通过证明△ABM≌△ACE，可得AM=AE，∠BAM=∠CAE，然后由等腰直角三角形的性质∠MAN=∠EAN=45°,可得△MAN≌△EAN,最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．解答过程：(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C．∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM,即∠AMB=∠ANC．在△ABM和△ACN中,∵∴△ABM≌△ACN(AAS).∴BM=CN．(2)MN2=BM2+NC2成立．证明：如图,过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM，连接AE,EN．∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中, ∵∴△ABM≌△ACE(SAS)．∴AM=AE,∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°．∴∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中,∴△MAN≌△EAN(SAS).∴MN=EN．在Rt△ENC中,由勾股定理得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2.方法归纳：本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及等腰直角三角形的性质等知识,第(2)题要证明在同一直线上的三条线段满足勾股定理,关键是要通过几何变换将三条线段转化到同一个直角三角形中．易错误区：第(2)题也可以通过折叠变换作辅助线,即在∠MAN内作∠NAE=∠NAC,且AE=AC构造全等三角形,不论用哪种方法作辅助线都要注意证明全等的条件要符合判定定理,不要误用“边边角”证明全等．拓展训练A组1.下列各组数为勾股数的是（）.A.6，12，13B.4，7.5，8.5C.21，28，35D.8，15，162.在△ABC中，给出下列各组条件：①∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；②a∶b∶c=3∶4∶5；③a=16，b=63，c=65；④a=130，b=128，c=17.其中能判定△ABC是直角三角形的有（）.A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为( ).A.60mB.500mC.400mD.300m（第3题）（第4题）4.如图,每个小正方形的边长为1,点A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( ).A.90°B.60°C.45°D.30°5.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x＞y),下列四个等式：①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=9.其中正确的是( ).A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④（第5题）(第6题) (第8题)6.由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，如图，则这棵树在折断前的（不包括树根）长度是( ).A.8mB.10mC.16mD.18m7.已知a+b-c=8，且满足|3c -8|+（3b-27c+9）2=0，那么以a ，b ，c 为边长的三角形面积是 . 8.编织一个底面周长为120cm 、高为50cm 的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A 1C 1B 1，A 2C 2B 2，…，则每一根这样的竹条的长度最少是 .9.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15km.早晨8:00甲先出发,他以6km/h 的速度向东行走,1h 后乙出发,他以5km/h 的速度向北行走,上午10:00,甲、乙两人相距多远？还能保持联系吗？10.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D 为AB 边上一点,求证：（第10题）(1)△ACE ≌△BCD ；(2)AD 2+DB 2=DE 2．11.如图，铁路MN 和铁路PQ 在点P 处交汇，点A 处有一所学校，AP=160m ，点A 到铁路MN 的距离为80m ，假使火车行驶时，周围100m 以内会受到噪音影响.（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；（2）如果受到影响，已知火车的速度是180km/h ，那么一辆火车开过，学校受到影响的时间是多久？(第11题)B 组12.如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵树高4m ，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）.A.8mB.10mC.12mD.14m(第12题)(第13题) (第14题)13.如图是一段楼梯示意图，斜边长为5m，直角边为3m，若在此楼梯上铺地毯，则地毯长度至少需要（）.A.3mB.5mC.7mD.12m14.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形，已知③号正方形的面积是1，那么①号正方形的面积是（）.A.4B.8C.16D.32(第15题)15.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm.16.已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段取整数时，这三条线段能围成一个直角三角形.17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，点P是BC边上除点B，C外的任意一点，求代数式AP2+PB PC的值.(第17题)18.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）. （1）当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为三角形；（2）猜想:当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC 为钝角三角形；（3）判断当a=12，b=9时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.走进重高1.【漳州】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）.若线段AD的长为正整数，则点D共有（）.A.5个B.4个C.3个D.2个(第1题) (第2题)2.【黔东南州】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）.A.13B.19C.25D.1693.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC.若BC=4cm，AD=5cm，则AB= cm.(第3题) (第4题)4.【包头】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度.5.【柳州】如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．（第5题）6.【泰安】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,点F为BC 的中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE．(1)线段BH与AC相等吗？若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2．（第6题）高分夺冠1.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从点A到点B只能沿图中的线段走，那么从点A到点B的最短距离的走法共有（）.A.1种B.2种C.3种D.4种(第1题) (第3题)2.在△ABC 中，若AC=15，BC=13，AB 边上的高CD=12，则△ABC 的周长为（ ）.A.32B.42C.32或42D.以上都不对3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4.分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4.则S 1+S 2+S 3+S 4等于 .4.探索与研究：（方法1）如图1，是对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程；（方法2）如图2是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？图1图2(第4题)5.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三,股四,弦五”．(1)观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.计算21(9-1), 21(9+1)与21(25-1), 21(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式；(2)根据(1)的规律,用含n(n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想它们之间的两种相等关系并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用含m(m 为偶数且m ≥4)的代数式来表示它们的股和弦．。