微积分第七章习题答案

《微积分第二篇》第七章习题解答【习题7.1】（解答）1、用二重积分表示由圆柱面x 2 + y 2 = 1, 平面z =0, z =2 所围成的平顶柱体的体积.22{(,)|1},2d 2d .DDD x y x y V σσ=+≤==⎰⎰⎰⎰解:设那么所求体积2、用二重积分表示以下列曲面为顶,区域D 为底的曲顶柱体的体积. (1) 曲面 z =x +y +1, 区域D 是长方形：0≤x ≤1, 1≤y ≤2;{(,)|01,12},(++1)d .DD x y x y V x y σ=≤≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积(2) 曲面 z =x +y , 区域D 是由圆x 2 + y 2 = 1 在第一象限部分与坐标轴所围成.22{(,)|01,0,0},(+)d .DD x y x y x y V x y σ=≤+≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积3、利用二重积分的性质 (1) 比较()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3的大小,其中D 是由x 轴、y 轴与直线 x + y = 1所围成;()()()()2323,01,,.DDD x y x y x y x y d x y d σσ∀∈≤+≤+≥++≥+⎰⎰⎰⎰解:因故所以(2) 比较()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰的大小,其中 {(,)|35,01}.D x y x y =≤≤≤≤()()()()22,36,1ln ln ,ln d ln d .DDD x y x y x y x y x y σσ∀∈≤+≤≤+≤+⎡⎤⎣⎦+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰解:因故所以(3) 估计()⎰⎰++Dd y x σ1的值,其中D 是长方形区域：0≤x ≤1, 0≤y ≤2 ；(),114,2,211d ln 1d 4d 48.D D D DDDD x y D S S x y S σσσ∀∈≤++≤==⋅=≤++≤=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:因而的面积故【习题7.2】（解答）1、画出积分区域D 的图像再计算二重积分:(1)()dxdy y x D⎰⎰+,其中区域D 是由直线x y x y x x 3,,2,1====所围成的闭区域.解： 画出积分区域D ,如图 5.6 所示,区域D 是-x 型的,区间[1,2]上任意取定一()()2313222211d d d d 6d 14.2xxDxx x y x y x x y yy xy dx x x +=+⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰x个值.过点作垂直轴的直线,与区域的边界相交,因此解：积分区域D 取为X型：110d d d Dx yσ=⎰⎰⎰{(,)|01,1}.D x y x y =≤≤≤≤那么(3)dy dx e Dy⎰⎰-2,其中区域D 是由直线y x y y 及,,1==轴所围成的闭区域. 解： 如图5.6 所示, D 既是-x 型,也是-y 型的,若先对y 积分,后对x 积分,则dy dx e Dy ⎰⎰-2=dy e dx xy⎰⎰-1102. 由于函数e y 的原函数无法用初等函数表示, 因此累次积分无法进行. 若先对x 积分,再对y 积分,则()2222211110d d d d d 111d 1.22yy y y y Dy ye x y y e x e x yye y e e -----==⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)，设 D 由曲线与直线 x =0, y=1 所围成的区域.Dσy (17116000111131d (1.2222714yy x x x x ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22514632211[(2)]d 2145[2]5.24368y y y y y y y y --=+-=++-=⎰222222211d d d d 2y y yDy xxy y xy x y y σ++--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰解：将D 作 Y 型: 2{(,)|12,2}.D x y y y x y =-≤≤≤≤+2d ,2Dxy D y x y x σ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及所围成的闭区域.(4) cot cos()d Dx x xy σ⎰⎰2、计算二重积分: , 其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.(1)解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是()111111111000d cot cos()d cot dcos()d()cotsin()d cot cos d cos d sin |sin1.y y x x x xy y x x xy xy x xy x x x x x x x =========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式e d x xy x σ+⎰⎰，(2)其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是111110001100d e d 1)2e d 2e 21)(e 1)|e 1.x xy xxyxx x x y x x x +⎫==-=⎪⎭==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式解：D 取为X 型： 3{(,)|01,1}.D x y x y x =≤≤≤+3,0,11,.DD x x y x y σ===+=其中由直线和曲线(3).420697517232213221d )21(21d ])1()1[(21d 1131d 1d d 110527322310425221122210132122102223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=+++++=++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x x x y x x x x D σ3ln ln332ln 2ln 2ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰211d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰解：(1) 积分区域D 可表为：(2) 积分区域D 可表为：{(,)|23,ln 2ln }{(,)|ln 2ln3,e 3}.y D x y x y x x y y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以2{(,)|01,{(,)|01,}.D x y y y x x yx x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以3. 设 f (x ,y ) 为二元可积函数，交换下列积分次序： 3ln 2ln 2d (,)d ;x x f x y y ⎰⎰10d (,)d .y y f x y x ⎰ (1) (2)圆周 及其内部.r =1y2r =15π4=.4.,sin ,cos θθr y r x ==解：令则D 的边界线方程分别为r =2R cos ө,ө=0, ө=π/2. 积分区域D 可表示为22{(,)|2,0},0.D x y x y Rx y R =+≤≥>常数⎰⎰=Dy x f σd ),(⎰⎰θθθθcos 202π0d )sin ,cos (d R r r r r f 于是得到.π{(,)|0,02cos },2D r r R θθθ=≤≤≤≤将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中。

习 题 七 （A ）1．在空间直角坐标系中，下列方程表示什么形状的图形. （1）22y x z +=（2）042222=+-++y x z y x （3）2x y = （4）124222=++z y x （5）0222=-+y z x （6）2222z y x =+ （7）0)1(222=++-z y x （8）x z y =-22解：（1）旋转抛物面.（2）以（1,2,0）为原点5为半径的球面. （3）抛物线柱.（4）以2) , 2 , 1(为中心的椭球面. （5）旋转抛物面. （6）圆锥面. （7）一个点（8）双曲抛物面.2．给定两点3) ， 1- ， 2(1P ，5） ， 0 ， 3(2-P ，求 （1）1P 与2P 之间距离21P P； （2）线段21P P 的垂直平分面的方程； （3）以2P 为中心，21P P 为半径的球面方程.解：（1）30)()()(22122122121=-+-+-=z z y y x x P P .（2）中点4) , , 21(021P --；垂直向量2) , 1 , 1(；方程为：0)2(2)21()21(=-++++z y x .（3）30)5()3(222=-+++z y x .3．求下列函数定义域，并画出定义域示意图.（1）2241y x z -+-= （2）)ln(22y x z -=（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1arcsin xyz （4）2221)ln(y x x y z --+-=（5）)1ln(4222y x y x z ---= （6）y x z -=2（7）yx yx z --+=11 （8）94122y x z --=解：（1）⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-2211010122y x ：y x 定义域 （2）022>-y x 定义域：y x >（3）200111≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠≤-≤-x y x xy （4）⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-1010222222y x xy y x x y （5）⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≠-->--41041101222222222y x y x y x y x y x （6）4200x y y y x ≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥- （7）y x y x y x >⇒⎩⎨⎧>->+00且y x ->（8）⎩⎨⎧≤≤-≤≤-⇒≤+≥--332236499412222y x y x y x4．设xy y x y x y x f -+=-+22) , (，求) , (y x f解：令y x v ,y x u +=+=；434)()(2)()().(222222v u y x y x y x y x v u f +=--++-++= 所以43） ， (22y x y x f +=5．设x x y x y x x x y x f ln )ln (ln ,ln 2+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛，求),(y x f .解：令xyu ,lnx u == 则u u ve y e x ==，所以u v ve ue ve v e e v uf u u u u u ++=++=ln ln )(2，所以yx y e y x f x ++=ln )(，6．计算下列函数在给定点处的偏导数； （1）xyz arctan =，求)1 , 1( , )1 , 1(-'-'y x z z ； （2）yx yx z +-=，求)2 , 1( , )2 , 1(y x z z ''； （3）2e y x z +=，求)0 , 1( , )0 , 1(y x z z ''；（4）z xy u )1(+=，求3) , 2 , 1(x u '，3) , 2 , 1(y u '，3) , 2 , 1(z u '； （5）3tan )1(xyx xy z -+=，求0) , 1(x z '，0) , 1(y z '； （6）yx xy y x z sin sin 1cos cos ++-=，求0) , 0(x z '，0) , 0(y z '.解：（1）21)1,1(1.)(11)1,1(2=-+=-'x xy z x 21)1,1(1.)(11)1,1(2=-+=-'x xy z y （2）94)2,1()()()2,1(2=+--+='y x y x y x z x 92)2,1()()()()2,1(2-=+--+-='y x y x y x z y（3）e e z y x x =='+)1,0()1,0(20)1,0(2.)1,0(2=='+y e z y x y（4）54)3,2,1()1()3,2,1(1=+='-yxy z u z x27)3,2,1()1()3,2,1(1=+='-xxy z u z y3ln 27)3,2,1()ln()1()3,2,1(=++='xy x xy z u zz（5）)0,1()(31).((s co 1).1(tan )0,1(2343133xyx y x y xy x xyy z x--'-++='-- 1)0,1(1)(31(s co 1).1()0,1(343=-'-+='-x x y xyx x z y （6）1)sin sin 1(cos )cos cos ()sin sin 1)(sin (cos )0,0(2=++--+++='y x xx y y x y x x y y z x1)sin sin 1(cos )cos cos ()sin sin 1)(cos sin ()0,0(2-=++--++--='y x yx y y x y x x y x z y7．求下列函数的一阶偏导数 （1）yx xy z 2+= （2）y x z arctan =（3）3⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y x z （4）)ln ln(y x z +=（5）)sin(tan xy x y z •= （6）xyyx z -+=1arctan（7）xyy x z )sin (+= （8）zy x u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=解：（1）22,2yx x z y x y z y x -+='+='（2）2222222)1( , )1(1y x x yx y xz yx y yx y z y x +-=+-='+=+='（3）436232233.,3y x y y x z y x z y x -=-='='（4）)ln ln(y x z +=y x x z ln 1+=∂∂ yy x y z 1.ln 1+=∂∂ （5）)sin(.tan xy xyz =)cos(.tan .)sin()..(sec 22xy x yy xy x y x y x z +-=∂∂ )cos(tan sec ).sin(.12xy xyx x y xy x y z +=∂∂ （6）xyyx -+1arctan22211)1()).(()1(.)(11x xy y y x xy xy x y x x z +=--+---++=∂∂ 22211)1())(()1()1(11y xy x y x xy xyy x y z +=--+--+-++=∂∂ （7）xy y x z )sin (+=)sin 1.)sin ln(..()sin ln(yx xy y x y e x z y x xy +++=∂∂+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=y x xy x y x y xy sin )sin ln(.)sin .( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂+y x y xy y x x e y z y x xy sin cos .)sin ln(..)sin ln( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=y x y y y x y x x xy sin cos )sin ln()sin .( （8）zy x u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11...1--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂z z zy x y z x z y x uz y x y z y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂. yx y x z u zln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂ 8．设xyy x y x z ln +-=，验证方程0=∂∂+∂∂yz y x z x解：证明：=∂∂+∂∂yzy x z x01..ln )()()(..ln )()()(222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++--+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-++--+x y x y x y x x y y x y x y x y x y x y y x y x x y y x y x y x x9．设)(by ax f z +=，f 可导，验证方程0=∂∂-∂∂yz a x z b解：证明：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂-∂∂fb by ax y f a fa by ax x f b y z a x z b)()( 0)()(='-'abf abf10．设2e y xz =，验证方程02=∂∂+∂∂yzy x z x解：证明：021.224222=-+=∂∂+∂∂y xy ye y xe y z y x z x y xy x11．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x f z 1ln ，其中f 为可微函数，验证方程 02=∂∂+∂∂yzy x z x解：证明：=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂+∂∂2221)1(ln 1)1(ln y f y x y f y x f y x x f x y z y x z x0='-'f f12．设)tan tan ln(tan z y x u ++=，验证方程22sin 2sin 2sin =∂∂+∂∂+∂∂z zu y y u x x u解： 证明：=∂∂+∂∂+∂∂z zu y y u x x u 2sin 2sin 2sin=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++z z y y x x z y x 2sin cos 12sin cos 12sin cos 1tan tan tan 1222 2tan tan tan tan tan tan 2=++++zy x zy x13．求下列函数的二阶编导数y x zyz x z ∂∂∂∂∂∂∂22222 , , （1）22y x x z +=（2）xyz arctan= （3）)ln(y x x z += （4）xy e y x z sin)(cos += （5）y x y x y x z arctan arctan 22-= （5）2222y x y x z +-= 解：（1）32222223222223222222)()3(2 , )()3(2 , )()3(2y x y x x y z y x y x y y x z y x y x x x z +--=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂ （2）2222222222222222)(2 , )( , )(2y x xyy z y x x y y x z y x xyx z+-=∂∂+-=∂∂∂+=∂∂ （3）22222222)( , )( , )(2y x xy z y x y y x z y x y x x z +-=∂∂+=∂∂∂++=∂∂ （4）)sin cos 3sin 3cos (e 3222x y x y x y x xz xy ++--=∂∂)sin cos 2sin sin 2cos 2(e 22x xy x xy x x x y x y x zxy ++-+=∂∂∂ []x x x y x x yz xy cos sin )2(e 2222++=∂∂ （5）22222222222222arctan 2 , , 2arctan 2y x xy y x y z y x y x y x z y x xy x y x z ++-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂ （6）3222222232222232222222)()3(4, )()(8 , )()3(4y x x y x y z y x y x xy y x z y x x y y x z +-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂14．求下列函数的全微分 （1）xyz =（2）x y z arcsin =（3）xy x z y 2-= （4）yx yx z -+=arctan（5）y y x z cos += （6）)sin(e 22xy xy z y x ++=（7）xyy x z e 122+= （8）2222arctany x y x z +-=（9）yz xy u e e += （10）xy z u =（11）z xy u )(= （12）xyy x z arctan-22e )(+=解：（1）dy x x y dx xy x y dy y z dx x z dz 1)(21.)(212122-+-=∂∂+∂∂=（2）dy xxy dx x yxy dy yz dx x z dz 1)(11)(11222-+--=∂∂+∂∂=（3）dy y x x x dx x y yx dy yzdx x z dz y y )ln ()(21211----+-=∂∂+∂∂=（4）dy y x y x y x yx y x dx y x y y x y x dy y z dx x z dz 2222)(.)(11)(2.)(11-++-+-++--+-+=∂∂+∂∂=（5）dy y y x y y x ydx y x dy y z dx x z dz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+++=∂∂+∂∂=--sin cos )(21cos )(212121（6）dy xy x xy x e dx xy y y xy e dy yzdx x z dz y x y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∂∂+∂∂=)cos(2.)cos(2.2222 （7）dy y x xe y x ye dx y x ye y x xe dy y z dx x z dz xy xy xy xy ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=∂∂+∂∂=2222222222)(2)(2 （8）dz y e dy ye x e dx x e dz z u dy y u dx x u du x yx yx yx y1)1.1(1.22+-++=∂∂+∂∂+∂∂=（9）++--++-+-+=∂∂+∂∂=-dx xy x y x y x x y x y x y x y x dy yzdx x z dz 2)()()(2)(21.1122222222122222222dx yy x y x y x y y x y x y x y x 2)()()(2)(21.1122222222122222222+--+-+-+-+-（10）dz xyz zdy xz zdx yz dz zudy y u dx x u du xy xy xy 1ln ln -++=∂∂+∂∂+∂∂= （11）dz xy z dy xy xy x dx xy xy y dz zu dy y u dx x u du z z z 1)()ln()()ln()(-++=∂∂+∂∂+∂∂=（12）+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-++=∂∂+∂∂=--dx x y x y e y x xedy y z dx x z dz x yx y 22arctan 22arctan .)(11)(2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++--dy x x y e y x yex yx y 1.)(11)(22arctan 22arctan dy ey x dx e y x x yx yarctanarctan)2()2(---++15．求下列函数在给定点的全微分（1）e) , (2ln y x z = （2）0) , (4 cos y x z = （3）0) , (0 )sin(y x x z +=，⎪⎭⎫⎝⎛4 , 4ππ （4）2) , 1 , (0)ln(32z y x u ++=解：（1）[]dy yx y xdx x dy y z dx x z dz y y 1.(ln 1)ln ln -+=∂∂+∂∂=当2x =，e y =时.dy edx dz 12+=(2)ydy x ydx x dy y z dx x z dz sin cos 2121-=∂∂+∂∂=-当4x =，0y =时.dx dz 41= (3)[]dy y x x dx y x x y x dy yz dx x z dz )cos()cos()sin(+++++=∂∂+∂∂=当0x =，0y =时.0=dz ；当4π=x ，4π=y 时dx dz =(4)dz zy x z dy z y x y dx z y x dz z u dy y u dx x u du 3223232321++++++++=∂∂+∂∂+∂∂=当0x =，1y =时.dz dy dx du 349291++=16．求函数22y y x z +=在点（2，1）当1.0=∆x ，2.0-=∆y 时的全增量和全微分.解：0.8321) , (20.8) , 1.2(),(),(0000-=-=-∆+∆+=∆f f y x f y y x x f zy x xzxy x z 2 , 22+=∂∂=∂∂ 8.0)2.1(4.0)2(202000=-+=∆++∆=y y x x y x dz17．求函数22yx x z +=在给定点与给定x ∆，y ∆的全微分（1）点（0，1），1.0=∆x ，2.0=∆y ； （2）点（1，0），2.0=∆x ，1.0=∆y .解：（1）01.01.02.212212222222222=+=∆++-+∆++-+=y y x y x x x x y x yx x xx y dz（2）1.01.002.212212222222222-=-=∆++-+∆++++=y y x y x x x x y x yx x xx y dz18．用全微分求下列各数的近似值.（1）33)97.1()02.1(+ （2）05.4)02.1(解：（1）令33y x +令02.0=∆x ，03.0-=∆y ，10=x ，20=y213212) , 1( , 32) , 1(332=+='=y x x f f x ， 23212) , 1( , 32) , 1(332=+='=yx y f f y95.206.001.032) , 1(2) , 1(2) , 1()97.1()02.1(33=-+=∆'+∆'+=+∴y f x f f y x（2）令y x z =令10=x ，40=y ，02.0=∆x ，05.0=∆y4)4,1()4,1(1=='=-y x yx f f 0ln )4,1(=='x x f y y所以08.102.041)02.1(05.4=⨯+=19．已知一长为8米，宽为6米的矩形，当宽增加5厘米，长减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值.解：设长为x ，宽为y 对角线长22y x z +>.6).2.( 12122dy y dx zx yx dz ++-=)05.0(62)1.0(82(10121-⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯-=dz)6.06.1(201+--= 201=20．用圆锥体形变时，它的底半径R 由30厘米增到30.1厘米，高h 由60厘米减到59.5厘米，试求体积变化的近似值.解：令体积303102==hx R v π，600=y ，1.0=∆x ，5.0-=∆yππ1200)60,30(,1800)60,30(='=R f fπππ30031)60,30(,1800)60,30(2=='=R f f k变后的体积y f x f v k R ∆'+∆'=∆)60,30()60,30()5.0(3001.01200-+⨯=ππ 330cm π=21．用水泥做一个长方形无盖水池，其外形长5米，宽4米，深3米，侧面和底均厚20厘米，求所需水泥的精确值和近似值.解：精确值2.0)22.04()2.02(52.03)22.04(22.03521⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=v634.12312.332.46=++= 近似值z f y f x f v x y x ∆'+∆'+∆'=)3,4,5()3,4,5()3,4,5(22.0204.0154.012⨯+⨯+⨯= 8.14=22．求下列复合函数的偏导数或全导数 （1）)arcsin(y x z -=，t x 3=，34t y =，求dtdz ； （2）)e e ln(y x z +=，3x y =，求dxdz ； （3）21)(e a z y u ax +-=，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ； （4）v u z ln 2=，x y u =，22y x v +=，求xz∂∂，y z ∂∂；（5）yx z 2=，v u x 2-=，u v y 2+=，求u z ∂∂，y z ∂∂；（6）uv z e =，22ln y x u +=，x y v arctan =，求xz∂∂，y z ∂∂；（7）v u z =，y x u cos =，x y v cos =，求xz∂∂，y z ∂∂；（8）y x z =，t x sin =，t y cos =，求dtdz.解：（1）[])123()43(11)43arcsin(2233t t t dt t t d dt dz ---=-=（2）)3..(1)ln(2333x e e e e dt e e d dx dz x x xx x x ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= （3）[])sin cos ()cos sin (111)cos sin (22x x a e x x a ae adt a x x a e d dx du ax ax ax +=-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-= x e ax sin =（4）2222224222222)ln(2.)ln(y x x x y y x x x y x y x x y x z +++-=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂=∂∂222222222222)ln(1)ln(y x y x y y x x y y x x y y z +++=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂=∂∂ （5）2222)2()3)(2(2)2()2(2)2)(2(22)2(v u v u v u v u v u v u v u u u v u u u z ++-=+--+-=∂⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-∂=∂∂ 222)(y x y y x y z -=∂∂=∂∂ （6）)ln arctan 2.()(222222arctan.ln arctan.ln 2222y x yy x x y yx x exe xz x y y x x y y x +-+++=∂∂=∂∂++ )ln arctan 2.()(222222arctan.ln arctan.ln 2222y x xy x x y yx y eyeyz x y y x x y y x ++++=∂∂=∂∂++ （7）2)cos (sin cos cos cos )cos cos (x y x y yx x y y x x y yx xz+=∂∂=∂∂ =--=∂∂=∂∂2)cos (cos cos cos sin )cos cos (x y x y x x y x y x y yx yz2)cos (cos cos cos sin x y xy x x y xy --（8）[])ln(sin sin )(sin cos )(sin cos 1cos cos t t t t dtt d dt dz t t t+==-23．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u , ，f 可微，求x u ∂∂，y u∂∂. 解：令yxv =则yv x f v x f x u v u x u x u v x 1). , () , ('+'=∂∂∂∂+∂∂=∂∂ 2) , (yx v x f y u u u y u v -'=∂∂∂∂=∂∂24．)e , (22xy y x f z -=，f 可微，求xz∂∂，y z ∂∂.解：令22y x u -=y e v u f x v u f x v v z x u u z x z xy v u .).,(2).,('+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ x e v u f y v u f yu v z y u u z y z e v xy v u xy .).,()2).(,('+-'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂==25．设))(1ln(22222y x y x z ++++=，求dz .解：dy y x y x yy x y x y dx y x y x xy x y x x dy uz dx x z dz )(12).(2)(11212)(12).(2)(112122222222222222222+++++++++++++++++=∂∂+∂∂=26．设xyy x y x z 22e )(22++=，求dz .解：+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=∂∂+∂∂=++dx xy y y x y x e y x xe dv y z dx x z dz xyy x xy y x 222222)()(2.)(22222 dy xy y y x y x xy y x e y x ye xyy x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++++22222222)()(2.)(22227．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y y x f u , ，其中f 可微，求u d .解：令zy v yx w == , dz zu v u z w w u dy y u v u y w w u dx x v v u x u w u dz z u dy y u dx x u du )()()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂= dz z y v w f dy z u w f dx y v w f v v w 2),(1).,(1).,(-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=28．设)(u xF xy z +=，其中F 可微，而xyu =，证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂.解：证明：)1).(()).()((2x u F x x y xy u F x u F y x y z y x z x'++-'++=∂∂+∂∂ xy z y u F xy y u F u xF xy +='++'-+=)()()(29．设)(32xy xy z ϕ+=，且ϕ可微，证明022=+∂∂-∂∂y y z xy x z x .解：证明： 22y yz xy x z x +∂∂-∂∂ 2222).(32).()3(3y x xy x y xy y xy x y x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'+-=ϕϕ 0)(32)(3122222=+'--'+-=y xy y x y xy y x y ϕϕ30．设⎪⎭⎫⎝⎛=x y xe f z y sin , ，其中f 可微，求x z ∂∂，yz ∂∂.解：令y xe u =，xy v sin = 则)(cos ),(),(2xy x y v u f e v u f x v v z x u u z x z v y u -'+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )1(cos ),(),(xx y v u f xe v u f y v v z y u u z y z v y u '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂31．v u z =，22ln y x u +=，xyv arctan =，求z d .解：dy yv v z y u u z dx x v v z x u u z dy y z dx x z dz )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=dy xy x u u y x y vu dx xyxyuu y x x vu v v v v ))(11ln ())(1ln (222122221+++++-++=--dy y x x uu yx y vu dx yx y uu yx x vu v v v v )ln ()ln (2222122221+++++++=--32．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x x xy z ,)sin(ϕ，求y x z∂∂∂2，其中),(v u ϕ有二阶编导数.解：y x v x u yz y yz yzz y z y y z =='-'-=∂∂⇒,)(2)()(令ϕϕϕyy v u v u xy y y u z vu ∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+∂=∂∂∂1).,(),()cos(2ϕϕ 221),("1),("1),(")sin()cos(y v u y v u yv u xy xy xy uv vv uv -+++-=ϕϕϕ33．已知),(v u f z =，y x u +=，xy v =，且),(v u f 的二阶偏导数都连续，求yx z∂∂∂2.解：ayv u yf v u f y x z v u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'∂=∂∂∂),(),(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+'+'+'=y v u f v u f y v u f v u yf v u f vv uu v uv uu ),(),(),(),(),( ),(),("),(")(),("v u f v u xyf v u f y x v u f v vv uv uu '+'++++=34．设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(21,),(22y x xy f y x g求2222y g x g ∂∂+∂∂.解：令)(21,22y x v xy u -==[][][]='=---+'++++=∂∂+∂∂v vv vu uv uu v vv vu uv uu f y f x f y y f x f x f x f y f x x f y f y y g x g )""(""""""22222222)"")((y x f f y x vv uu +=++35．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y z y z x ϕ22，其中ϕ为可微函数，求y z∂∂.解：)).(()(2)(22z yzy z y z y y z yzyz y z x -∂∂'+=∂∂⇒=+ϕϕϕ )()()(2yzz y z y y z y z y yz ϕϕϕ'-=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⇒)(2)()(yz y yz yz z y z y y z ϕϕϕ'-'-'=∂∂⇒36．已知)()(z yg z xf xy +=，0)()(≠'+'z g y z f x ，其中),(y x z z =是x 和y 的函数，求证[][]yz z f y xz z g x ∂∂-=∂∂-)()(解：)()(z yg z xf xy +=对等式两边分别微分得： [])1()()()(xz z g y z f x z y y ∂∂'+'=- 同理可得：[])2()()()(yzz f x z g y z g x ∂∂'+'=- 两式相乘得：[][]xz z g x y z z f y ∂∂-=∂∂-)()(37．设函数),,(z y x f u =有连续偏导数，且),(y x z z =由方程z y x ze ye xe =-所确定，求u d .解：z y x ze ye xe =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-='++='⇒⎪⎩⎪⎨⎧'+'=+-'+'=+⇒z x y z x x y z y z y x z x z x e z e y z e z e x z z ze z e y e z ze z e x e )1()1()1()1(·)1(··)1( 所以dy yzz u y u dx x u z u x u du )()(∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂= dy e z e y f f dx e z e x f f z y zg z x z x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-'+'+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++'+'=)1()1()1()1(38．求下列方程所确定的隐函数的导数dxdy （1）0)sin(=+xy xe y （2）xy y x 2222=+ （3）y x x y = （4）y x xy y x ++=+)ln(22解：（1）)cos()cos(xy x xe xy y e xF z Fdx dg y y ++-=∂∂∂∂-=（2）令xy y x y x F 2),(22-+=则y x xy x y y x x F z F dx dy 22422--=---=∂∂∂∂-=（3）令y x x y y x F -=),(则x x xy yx y y xF z F dx dy y x y x ln ln 11---=∂∂∂∂-=--（4）令y x xy y x y x F ---+=)ln(),(22则12122222--+--+-=∂∂∂∂-=x y x y y yx x x F z F dxdy39．求下列方程所确定的隐函数),(y x z z =的全微分 （1）)arctan(yz xz = （2）x z xyz +=e（3）1sin cos sin 222=++z y x （4）)(32e z y x z y x ++-=++解：（1）令)arctan(),,(yz xz z y x F -=则y z xy x zz y y x z x F z F dx dz -+-=+--=∂∂∂∂-=22221 所以yy x x zdydx z y y z x x z dy x z dx x z dz -+-++-+-=∂∂+∂∂=222222)1( （2）令x z e xyz z y x F +-=),,(则z x z x z x e xy xz zF yFy e xy z e yz zF x Fx z +++--=∂∂∂∂-=∂-∂--=∂∂∂∂-=∂∂ 所以dy e xy xzdx e xy e yz dy y z dx x z dz zx z x z x +++--+---=∂∂+∂∂=（3）令1sin cos sin ),,(222-++=z y x z y x Fz x z z x x z F x F x z 2sin 2sin cos sin 2cos sin 2-=-=∂∂∂∂-=∂∂ z y z z y y zF y F y z 2sin 2sin cos sin 2cos sin 2-=--=∂∂∂∂-=∂∂ （4）令)(32),,(z y x e z y x z y x F ++--++=)(2)(31z y x z y x e z e z F x F x z ++-++-++-=∂∂∂∂-=∂∂ )(2)(32z y x z y x e z e y zF y F y z ++-++-++-=∂∂∂∂-=∂∂ 所以dy ez e y dz e z e dy y z dx x z dz z y x z y x z y x z y x )(2)()(2)(3231++-++-++-++-++-++-=∂∂+∂∂=40．求下列函数的极值，并判断是极大值还是极小值 （1）y x y xy x y x f +-+-=2),(22（2）0,0,ln 2ln 2),(22>>--+=y x y x y x y x f （3）1232),(23+--=y x xy y x f （4）25126),(23+-+-=y x x y y x f （5）)2(e ),(22y y x y x f x ++=（6）[])2,0(),2,0( )cos(cos sin ),(ππ∈∈-++=y x y x y x y x f （7）22e )(),(xy x y x f +=（8）)2)(2(),(22y by x ax y x f --=解：（1）令022),(0000=--='y x y x f x ，012),(0000=++-='y x y x f y0,100==⇒y x因为2),(" 1),(",2),("000000==-====y x f C y x f B y x f A yy xy xx所以02<-=AC B Ω 又因为02>=A所以（1，0）是极小值。

微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

7.2 平面图形的面积 习题7.21. 求由下列各组曲线所围成的图形的面积： （1）212y x =与228x y +=（两部分都要计算）； 解：根据2221,28y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得交点为()()2,2,2,2-，所以2212121442,86.233S x dx S S πππ-⎫==+=-=-⎪⎭⎰（2）1y x =与直线y x =及 2.x = 解：2113ln 2.2S x dx x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰（3）,xxy e y e -==与直线1x =。

解：()101 2.x xS e e dx e e-=-=+-⎰ （4）ln y x =，y 轴与直线()ln ,ln 0y a y b b a ==>> 解：ln ln .by aS e dy b a ==-⎰（5）21y x =-，23y x =； 解：根据21,23y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为1212,,3939⎛⎛----+-+ ⎝⎭⎝⎭，所以2213S x x dx ⎫=--= ⎪⎝⎭ （6）112,,124y x y x y x ===+； 解：根据2,114y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为48,77⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1,2114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点为()4,2，所以4474071111221.2427S x x dx x x dx ⎛⎫⎛⎫=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰（7）()22,2,0y x y x y ==-=；解：根据()22,2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点为()1,1，所以()12220122.3S x dx x dx =+-=⎰⎰ （8）2,,2y x y x y x ===；解：根据2,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点为()()0,0,1,1，根据2,2y x y x⎧=⎨=⎩得交点为()()0,0,2,4所以()()12201722.6S x x dx x x dx =-+-=⎰⎰（9）()2,sin 0y x y x x x π==+≤≤； 解：()20sin .2S x x x dx ππ=+-=⎰2.求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。