高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课后课时精练新人教A版必修5

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课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2015·全国Ⅱ理，4)已知等比数列｛a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝错误! ( B )A．21 B．42C．63 D．84[解析]设等比数列公比为q,则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0,解得q2＝2,所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5）q2＝42，故选B．2．（2015·东北三省四市联考）等比数列｛a n｝中，a4＝2,a7＝5，则数列｛lg a n｝的前10项和等于错误!( D ）A．2 B．lg50C．10 D．5[解析］由等比数列性质知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，故lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg(a1a2…a10）＝lg105＝5，故选D．3．设｛a n｝是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230,那么a3·a6·a9·…·a30等于导学号 54742434（ B ）A．210B．220C．216D．215[解析]设A＝a1a4a7...a28，B＝a2a5a8 (29)C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列,公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220。

第二课时 等比数列的性质[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)， 则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________.解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213[例2] ，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 2＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 2＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝a 1＋a 192＝a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数，∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列； ③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ， 则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4，∴q 4＝8116，q 2＝94.∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216.法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6，∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a.设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3. 所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋－y ，－y 2＝y －x 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。

学习资料等比数列的性质［A组学业达标]1．在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝()A．3B．6C．27 D．9解析:在等比数列{a n｝中，由a4a5a6＝27,得a错误!＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a错误!＝9，故选D.答案：D2．在各项均为正数的等比数列｛a n}中，若a n a n＋1＝22n＋1，则a5＝（）A．4 B．8C．16 D．32解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4a错误!a6＝220，结合等比数列的性质得，a4，5＝220，数列的各项均为正数,则a5＝25＝32。

答案：D3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16.∵a1·a19＝a8·a12＝a错误!，∴a8·a12＝a错误!＝16.a n＞0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝a错误!＝64。

答案：C4．已知｛a n｝，{b n｝都是等比数列，那么（)A．{a n＋b n｝，{a n·b n｝都一定是等比数列B．｛a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n｝不一定是等比数列，但｛a n·b n}一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，｛a n ·b n }都不一定是等比数列解析：｛a n ＋b n ｝不一定是等比数列，如a n ＝1,b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0,所以｛a n ＋b n ｝不是等比数列．设｛a n ｝，｛b n }的公比分别为p ，q ，则a n ＋1b n ＋1a n b n＝a n ＋1a n·错误!＝pq ≠0,所以{a n ·b n ｝一定是等比数列．故选C. 答案：C5．在等比数列{a n ｝中，已知a 7·a 12＝5,则a 8·a 9·a 10·a 11等于（ ） A ．10 B ．25 C ．50D ．75解析：利用等比数列的性质:若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *），则a m ·a n ＝a p ·a q ，可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25。

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点) 1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养．2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养．1．推广的等比数列的通项公式{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1，a n＝a m·q n－m(m，n∈N*).2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k．思考：如何推导a n＝a m q n－m?[提示]由a na m＝a1·q n－1a1·q m－1＝q n－m，∴a n＝a m·q n－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝…＝a k·a n－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n}，{b n}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a2n}，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也为等比数列．思考：等比数列{a n }的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．[提示] 由定义可判断出(1)(3)(4)正确．1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列[答案] D2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝ ，a n ＝ ． 24 3×2n －1 [a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.] 3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝ ． 9 [因为a 7＝a 5q 2，所以q 2＝32. 所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为 ． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]灵活设项求解等比数列【例1】 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为 ．8，－2，12，－18或－18，12，－2，8 [设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18； 当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2，8.]巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.[跟进训练]1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解] 由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎨⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52．所以这四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.等比数列的性质及应用【例2】 已知{a n }为等比数列． (1){a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． [解] (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[跟进训练]2．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7； (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q . [解] (1)法一：⎩⎨⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.由递推公式转化为等比数列求通项 [探究问题]1．如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．2．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？[提示] 在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．3．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？[提示] 先将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x ).将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n ＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加52，可构造出等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋52.利用等比数列求出a n ＋52即可求出a n .【例3】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4. (1)求a 1的值；(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列． 思路探究：(1)由n ＝1代入S n ＝2a n ＋n －4求得；(2)先由S n ＝2a n ＋n －4，利用S n 和a n 的关系得{a n }的递推关系，然后构造出数列{a n －1}利用定义证明．[解] (1)因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. (2)证明：因为S n ＝2a n ＋n －4， 所以当n ≥2时， S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4，S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1， 所以a n －1＝2(a n －1－1)， 又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1， 且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列．1．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2”，“b n ＝a n －1”改为“b n ＝a n ＋1－2a n ”，试证明数列{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式．[证明] a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝（4a n ＋1－4a n ）－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.所以数列{b n }是公比为2的等比数列， 首项为a 2－2a 1.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， 所以a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3. 所以b n ＝3·2n －1.2．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1”，试证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．[解] 由已知得a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0，所以(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0. 所以a n ＋1－2a n ＝0或a n ＋1＋a n ＝0，(1)当a n ＋1－2a n ＝0时，a n ＋1a n ＝2.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2n －1.(2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1a n ＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列，所以a n ＝1×(－1)n －1＝(－1)n －1. 综上：a n ＝2n －1或(－1)n －1.1．已知数列的前n 项和或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．2．由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列． ( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 020－a 2 021a 2 018－a 2 019等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3，2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍). ∴a 2 020－a 2 021a 2 018－a 2 019＝a 2 020（1－q ）a 2 018（1－q ）＝a 2 020a 2 018＝q 2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 ．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c ，8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负).所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]4．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ；(2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. (2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝±2.。

【创新方案】2013版高中数学 第二章 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质及应用 NO.1 课堂强化 新人教A 版必修51．若{a n }，{b n }都是等比数列，则下列数列中仍是等比数列的是( )A ．{a n ＋b n }B ．{a n －b n }C ．{a n b n }D ．{a n ＋5}解析：当数列{a n }和{b n }中的对应项都相等，即a n ＝b n 时，排除选项B ；当数列{a n }和{b n }中的对应项互为相反数，即a n ＝－b n 时，排除选项A ；选项D 显然不正确；而由等比数列的性质可知{a n b n }仍为等比数列．答案：C2．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：据等比数列的性质：a 2·a 6＝a 24＝42＝16.答案：C3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2D.12 解析：据a n ＝a m ·qn －m ，得：a 5＝a 2·q 3.∴q 3＝14×12＝18. ∴q ＝12. 答案：D 4．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝________. 解析：据等比数列的性质：a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．∴a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·a 3＋a 4a 1＋a 2＝120×12030＝480. 答案：4805．在等比数列{a n }中，a 1·a 9＝256，a 4＋a 6＝40，则公比q ＝________. 解析：据a 1·a 9＝a 4·a 6，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 6＝40，a 4·a 6＝256.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝32，a 6＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝8，a 6＝32. ∴q 2＝a 6a 4＝832＝14或q 2＝328＝4.∴q ＝±12或q ＝±2. 答案：±12或±26．在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n 的值．解：设等比数列{a n }的公比为q . 因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ， 所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12. 因为a 4＋a 7＝18，所以a 4(1＋q 3)＝18. 所以a 4＝16.所以a n ＝a 4q n －4＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.令16⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125.所以n －4＝5，n ＝9.。

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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。

答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。

第2课时等比数列的性质1.等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于A.4B.8C.16D.32解析因为{a n}是等比数列，所以a2·a6＝a24＝16.★答案★ C2.在正项等比数列{a n}中，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a40a50a60的值为A.32B.256C.±64D.64解析因为a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，所以a1a99＝16，又a40a60＝a1a99＝a250，{a n}是正项等比数列，所以a50＝4，所以a40a50a60＝a350＝64.★答案★ D3.在等比数列{a n }中，a n ＞a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6a 16等于A.32B.23C.16D.6解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，a 4＋a 14＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3.又因为a n ＞a n ＋1，所以a 4＝3，a 14＝2. 所以a 6a 16＝a 4a 14＝32. ★答案★ A4.在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________. 解析 因为数列{a n }为等比数列，所以a 3＝a 1·q 2，a 4＝a 2·q 2，a 5＝a 3·q 2， 所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1·q 2＋a 2·q 2＋a 3·q 2＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)， 又因为q ＝2，所以a 3＋a 4＋a 5＝4(a 1＋a 2＋a 3)， 因为前3项和为21，所以a 1＋a 2＋a 3＝21， 所以a 3＋a 4＋a 5＝4×21＝84. ★答案★ 845.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________.解析 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案★ 3或27[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列解析a n－1a na n－2a n－1＝a n－1a n－2·a na n－1＝q·q＝q2(n≥3)，所以新数列是公比为q2的等比数列.★答案★ B2.已知等比数列{ a n}中a7＝－1，a19＝－8，则a13＝A.－22B.22C.16D.－32解析由等比数列的性质得：a19a7＝(q6)2＝8，q6＝22，a13＝a7·q6＝(－1)·22＝－2 2.★答案★ A3.已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于A.2B.4C.8D.16解析由数列{a n}是等比数列，且a3a11＝4a7，得a27＝4a7，∴a7＝4或a7＝0(舍).所以在等差数列{b n}中，有b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.★答案★ C4.设各项为正数的等比数列{a n}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.230B.210C.220D.215解析 由a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230得a 301·21＋2＋…＋29＝a 301·229×302＝230.∴a 101·2145＝210. ∴a 101＝2－135.∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101·22＋5＋8＋…＋29＝a 101·2155＝2－135×2155＝220.★答案★ C5.已知数列{a n }(n ∈N *)是首项为1的等比数列，设b n ＝a n ＋2n ，若数列{b n }也是等比数列，则b 1＋b 2＋b 3＝A.9B.21C.42D.45解析 设数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∴b 1＝a 1＋21＝3，b 2＝a 2＋22＝q ＋4，b 3＝a 3＋23＝q 2＋8.∵数列{b n }也是等比数列，∴(q ＋4)2＝3(q 2＋8)，解得q ＝2.当q ＝2时，a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1，符合题意，故q ＝2.∴b 1＋b 2＋b 3＝3＋6＋12＝21.★答案★ B6.(能力提升)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是A.－15B.－5C.5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n＝1，得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.★答案★ B二、填空题(每小题5分，共15分)7.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7的值等于________. 解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)，所以a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.★答案★ 428.若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝________，ac ＝____________.解析 因为－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，所以b 2＝(－1)×(－9)＝9，设公比为q ，则b ＝－1·q 2<0，故b ＝－3，又－1，a ，b 成等比数列，所以a 2＝－b ＝3，同理c 2＝27，所以a 2c 2＝3×27＝81.又a ，c 符号相同，所以ac ＝9.★答案★ －3 99.(能力提升)画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析 这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048.★答案★ 2 048三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式.解析 设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d ). 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不符合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0，或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11.(12分)互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数.解析 设三个数为aq，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4， ∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾； (2)若－2q 为－2q与－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4，－2，1； (3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为1，－2，4.综合(1)(2)(3)可知，这三个数为－2，1，4.12.(12分)(能力提升)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3，4S 2＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{2a n }是等比数列； (3)求使得S n ＋2＞2S n 成立的n 的集合. 解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4×（2a 1＋d ）＝4a 1＋6d .解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)依题意，得2a n 2a n －1＝22n －122n －3＝4，所以数列{2a n }是首项为2，公比为4的等比数列. (3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2， 所以S n ＋2＞2S n ⇒(n ＋2)2＞2n 2⇒(n －2)2＜8. 所以n ＝1，2，3，4， 故n 的集合为{1，2，3，4}.。