人教A版数学必修一1.2集合间的基本关系作业练习一

2022-2022年高一必修一第1章1.1.2 集合的基本关系数学题带答案和解析（人教A版）填空题已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是____.【答案】m≥1【解析】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1解答题判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤xB(2) B A.【解析】试题分析：（1）利用一元一次不等式的解法分别求出集合A和集合B，由此能得到集合A是集合B的真子集．（2）A＝{x∈Z|－1≤x}，∴利用数轴判断A、B的关系．如图所示，A B.(2)∵A＝{x∈Z|－1≤xA.选择题如果集合A＝{x|x≤}，a＝，那么()A. a∉AB. {a}AC. {a}∈AD. a⊆A【答案】B【解析】a＝，∴a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错，B正确．故选B点睛:本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，元素与集合之间用属于∈，不属于∉的符号；集合与集合之间用包含于⊆，真包含，不包含相等=，的符号表示.解答题已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P ＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.【答案】M P＝N.【解析】试题分析：M＝{x|x＝m＋，m∈Z}＝{x|x＝，m ∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}M表示3的偶数倍加1除以6的数；N ＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n－1∈Z}，N表示3的整数倍加1除以6的数；P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，P表示3的整数倍加1除以6的数即可得出结论.试题解析：∵M＝{x|x＝m＋，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，N＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝，n－1∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，比较3×2m＋1,3(n－1)＋1与3p＋1可知，3(n－1)＋1与3p＋1表示的数完全相同，∴N＝P,3×2m＋1只相当于3p＋1中当p为偶数时的情形，∴M P＝N.综上可知M P＝N.解答题设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅且B⊆A，求实数a、b的值.【答案】a＝－1，b＝1, a＝b＝1, a＝0，b＝－1【解析】试题分析：集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅且B⊆A，∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}，分情况进行讨论即可.试题解析：∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B⊆{－1,1}，∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且B≠∅，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．当B＝{－1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.当B＝{1}时，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，解得a＝b＝1.当B＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得a＝0，b＝－1.综上：a＝－1，b＝1；或a＝b＝1；或a＝0，b＝－1选择题集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A. 7B. 12C. 32D. 64【答案】D【解析】集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.故选D选择题若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．故选D选择题设A＝{x|－1a}，若A B，则a的取值范围是()A. {a|a≥3}B. {a|a≤－1}C. {a|a>3}D. {a|aB，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能取否得－1是正确求解的关键．故选B填空题集合⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝____.【答案】2【解析】得，代入y＝3x＋b得b＝2.故答案为2选择题已知集合M＝{(x，y)|x＋y0}和P＝{(x，y)|xM B. M P C. M＝P D. M P【答案】C【解析】∴M＝P.故选C填空题已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝____.【答案】0或2或－1【解析】由B⊆A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m ＝0或2或－1.故答案为0或2或－1填空题已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝___，y＝____.【答案】25【解析】由集合相等的定义可知或解得或，又x，y∈Z.故x＝2，y＝5.故答案为2,5选择题已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x 是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A. A⊆BB. C⊆BC. D⊆CD. A⊆D【答案】B【解析】∵等腰直角三角形必是等腰三角形，∴C⊆B.故选B选择题下列命题中，正确的有()①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④【答案】C【解析】空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C．选择题已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】试题分析：由B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，故讨论B的可能性，从而求a．解：∵B={x|ax﹣2=0}，且B⊆A，∴若B=∅，即a=0时，成立；若B={1}，则a=2，成立；若B={2}，则a=1，成立；故a的值有0，1，2；故不可能是3；故选D．选择题若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()A. b＝－3，c＝2B. b＝3，c＝－2C. b＝－2，c＝3D. b＝2，c＝－3【答案】A【解析】由条件知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得b＝－3，c＝2.故选A选择题集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是()A. 1∈AB. B⊆AC. (1,1)⊆BD. ∅∈A【答案】B【解析】B＝＝{(1,1)}，而A＝{(x，y)|y＝x}，B 中的元素在A中，所以B⊆A故选B．选择题下列四个集合中，是空集的是()A. {0}B. {x|x＞8，且x＜5}C. {x∈N|x2－1＝0}D. {x|x＞4}【答案】B【解析】选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B．填空题已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能值构成的集合为____.【答案】{0,1,2}【解析】∵B⊆A，∴B＝∅，{1}或{2}．当B＝∅时，a＝0；当B＝{1}时，a＝2，当B＝{2}时，a＝1.∴a∈{0,1,2}．故答案为{0,1,2}11。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≥，集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈.若B A ⊆，则实数a 的取值范围（ ）. A ．(],2-∞B ．[]0,2C ．[]04，D ．[]22-，2．已知集合{}|A x y ==，集合{}|0B x x a =-≥，A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,0]-∞3．已知集合{}1A =，{}1,2,3B =，则有（ ） A ．A B ⊆B ．A B =C ．B A ⊆D ．B A ∈4．已知集合S ＝0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集的个数为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．205．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ）A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤6．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知集合{},,,A a b c =集合B 满足A B A ⋃=，那么这样的集合B 有（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．已知集合A 满足{}{},,a A a b c ⊆⊆，则不同集合A 的个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．89．满足关系{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 的个数（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个10．已知M 为非空数集，{}1,2,3M ⊆，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有． A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题1．若集合(x ，y)|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}⊆(x ，y)|y ＝3x ＋b}，则b ＝________． 2．满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆的集合M 的个数是______． 3．设集合{1,},{2,}P a Q b ==-，若P Q =，则a b += _________4．有四个集合：①{}233x x +=；②(){}2,|,,x y y x x y R =-∈；③{}20x x -≥；④{}210,x x x x R -+=∈；其中表示空集的序号是______；5．若集合A {}1,2,3，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.三、解答题1．已知集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.2．已知集合，，且，求实数的值.3．判断下列各组中集合之间的关系： （1），； （2），，，；（3），； （4），.4．记函数()12x x xf +=-A ，集合()(){}10B x x x a =--≤． （1）当2a =时，求A B ；（2）若1a <，且B A ⊆，求a 的取值范围．5．设A ＝x|x 2－2x ＝0}，B ＝x|x 2－2ax ＋a 2－a ＝0}． (1)若A∩B＝B ，求a 的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的值．参考答案一、单选题 1．A解析：先判断集合B 是集合A 的子集，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求实数a 的取值范围即可. 详解：解：因为B A ⊆，所以集合B 是集合A 的子集， 当B =∅时，则33a a ->+，解得0a <，满足题意； 当B ≠∅时，则33a a -≤+且31a -≥，解得：02a ≤≤， 综上所述：实数a 的取值范围为(],2-∞ 故选：A. 点睛：本题考查利用集合的包含关系求参数的范围，还考查了分类讨论的数学思想，是基础题. 2．C解析：先分别求得集合A 、B ，再根据集合间的包含关系得出参数的范围. 详解：因为{}[)|1A x y ===+∞，，{}[)|0,B x x a a =-≥=+∞，又A B ⊆， 所以1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞. 故选：C. 点睛：本题考查集合的含义和根据集合间的包含关系求参数的范围，属于基础题. 3．A解析：根据子集概念即可作出判断. 详解：∵{}11,2,3B ∈=， ∴A B ⊆， 故选：A点睛：本题考查子集概念，考查学生对基本概念的理解与掌握程度，属于基础题. 4．D解析：由集合S ＝0，1，2，3，4，5}，结合x∈A 时，若有1x A -∉，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得出答案. 详解：∵当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，∴单元素集合都含“孤立元素”．S 中无“孤立元素”的2个元素的子集为0，1}，1，2}，2，3}，3，4}，4，5}，共5个，S 中无“孤立元素”的3个元素的子集为0，1，2}，1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，共4个，S 中无“孤立元素”的4个元素的子集为0，1，2，3}，0，1，3，4}，0，1，4，5}，1，2，3，4}，1，2，4，5}，2，3，4，5}，共6个，S 中无“孤立元素”的5个元素的子集为0，1，2，3，4}，1，2，3，4，5}，0，1，2，4，5}，0，1，3，4，5}，共4个，S 中无“孤立元素”的6个元素的子集为0，1，2，3，4，5}，共1个，故S 中无“孤立元素”的非空子集有20个，故选D. 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，我们根据定义列出满足条件的所有不含”孤立元素”的集合，进而求出不含”孤立元素”的集合个数. 5．C解析：根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 详解：解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C 6．D 详解：试题分析：满足题意的集合A 可以为{}{}{}{},,,,,,,a a b a c a b c ，共4个考点：集合的子集7．D解析：根据集合B 满足A B A ⋃=,得到B A ⊆,根据一个集合的子集的个数的运算公式,即可得结果. 详解：集合B 满足A B A ⋃=，B A ∴⊆,因为集合{},,A a b c =有3个元素, 所以集合B 有328=个, 故选D. 点睛：本题主要考查并集与子集,是一个基础题,解题的关键是将并集问题转化为子集问题. 8．C解析：由题意得a A ∈，再根据子集的概念即可得出结论． 详解：解：∵{}{},,a A a b c ⊆⊆， ∴a A ∈，∴{}A a =，或{},A a b =，或{},A a c =，或{},,A a b c =， 故选：C ． 点睛：本题主要考查集合的子集的个数问题，属于基础题． 9．D解析：根据题意得，B 是1，2，3，4}的一个包含元素1子集，列举法得出所以符合的子集. 详解：解：满足关系式{}1{1,2,3,4}B ⊆⊆的集合B 有{1},{1,3},{1,2},{1,4},{1,2,3},{1,2,4}，{1,3,4},{1,2,3,4}一共有8个. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题. 10．A解析：先得到{}1,2,3所有子集的个数,且M 中至少含有一个奇数元素,即M 不能为{}2的子集,故减去{}2的子集个数即可 详解：集合{}1,2,3的所有子集共有328=（个）,集合{}2的所有子集共有2个, 所以满足要求的集合M 共有826-=（个）. 故选A 点睛：本题考查子集的定义,考查子集的个数,当集合有n 个元素时,该集合子集的个数为2n 个二、填空题 1．2解析：利用集合的包含关系解决该问题，通过求解方程组得出第一个集合的元素，根据它在第二个集合中列出关于b 的方程，求出b ． 详解：联立x+y ﹣2=0和x ﹣2y+4=0， 解出x=0，y=2， 代入y=3x+b ，得2=0+b 即b=2． 故答案为2． 点睛：利用方程思想求出第一个集合中的元素是解决本题的关键，元素在集合中一定得出元素满足集合中元素的性质．将集合的包含关系转化为元素满足的性质问题． 2．3解析：列举满足条件得到集合得到答案. 详解：{}{}1,21,2,3,4M ⊆，则满足条件的集合有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,3,4.故答案为：3. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求集合，属于简单题. 3．1解析：根据两个集合相等，确定集合中的元素，求+a b 的值. 详解：P Q =，2,1a b ∴==-，即1a b +=.故答案为：1 4．④解析：不含任何元素的集合称为空集，分别判断上述集合中的元素即可. 详解：解：对于①{}233x x +=，表示方程233x +=的解集，方程233x +=的解为0x =，故集合{}233x x+=含有元素0，故①错误；对于②(){}2|,,x y y x x y R =-∈，，表示函数2y x =-上的点的集合，集合中含有无数个元素，故②错误；对于③{}20x x -≥，表示不等式20x -≥的解集，不等式20x -≥的解为0x =，故集合{}20x x -≥含有元素0，故③错误；对于④{}210,x x x x R -+=∈，表示方程210x x -+=的实数根的集合，方程210x x -+=，()2140∆=--<，所以方程无实数根，即{}210,x x x x R -+=∈=∅故答案为：④ 点睛：本题考查空集的概念，属于基础题. 5．5解析：列举出符合条件的集合即可得出结论. 详解：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{}1、{}3、{}1,2、{}2,3；若A 中含有两个奇数，则{}1,3A =. 故符合条件的集合有5个. 故答案为：5. 点睛：本题考查集合子集个数的求解，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于基础题.三、解答题1．{}(,2]0[2,)-∞-+∞解析：根据题意，分0a =，0a >和0a <三种情况分类讨论，结合A B ⊆，列出相应的不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合{|12},{|11}A x ax B x x =<<=-<<， ①当0a =时，集合A φ=，满足A B ⊆；② 当0a >时，集合12{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则1121a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≥；③ 当0a <时，集合21{|}A x x a a =<<，因为A B ⊆，则2111a a⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2a ≤-.综上所述，所求实数a 的取值范围为{}(,2]0[2,)-∞-+∞.故答案为：{}(,2]0[2,)-∞-+∞.点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练应用集合的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力. 2．或解析：由得或，分别求出的值，再将的值代入到集合中验证是否满足题意，可得解.详解： 因为集合，，且，或即或，解得:或或， 当时，集合，，符合题意；当时，集合，这与集合中的元素需满足互异性相矛盾，故舍去； 当时，集合，，符合题意；综上所述，实数的值为：或.故得解. 点睛：本题考查集合间的包含关系，注意在求解参数的值后，需代入集合中验证是否满足集合元素的互异性等，属于基础题. 3．（1）;（2）;（3）;（4）解析：根据子集、真子集，以及集合相等的概念，即可判断每组集合与的关系．详解：（1）∵是12的约数，∴必定是36的约数，反之不成立，∴.（2）由图形的特点可画出维恩图如图所示，从而.（3）∵，且，∴的取值为，0，1，2.∴. 又∵，∴的值是0，1，2.∴.∴.（4）方法一（列举法）：结合题中所给集合的特征属性可得，，，所以.方法二（描述法）：，.∵，∴.点睛：考查子集、真子集的定义，空集的定义，以及集合相等的概念，属于基础题.4．（1）{}12A B x x ⋂=≤<；（2）11a -≤<.解析：（1）化简可得{}12A x x =-≤<，{}12B x x =≤≤，直接求交集即可；（2）根据集合关系B A ⊆，直接求参数a 的范围，即可得解.详解：（1）函数()12x x x f +=-的定义域满足：102x x +≥-，故12x -≤<，即{}12A x x =-≤<． ()(){}{}12012B x x x x x =--≤=≤≤，故{}12A B x x ⋂=≤< （2）当1a <时，()(){}{}101B x x x a x a x =--≤=≤≤，{}12A x x =-≤<． B A ⊆，故1a ≥-，即11a -≤<．点睛：本题考查了集合的运算以及利用集合关系求参数范围，考查了计算能力，属于基础题.5．（1）a|a≤0或a ＝1}．（2）a ＝1.解析： 试题分析：（1）先求A ＝0,2}，再根据A∩B＝B ，转化为B ⊆A ，最后根据子集，分类讨论求a 的取值范围；（2）根据A∪B＝B ，得A ⊆B ，再根据方程根与集合元素关系求a 的值．试题解析：由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.所以A ＝0,2}．(1)因为A∩B＝B ，所以B ⊆A ，B ＝∅，0}，2}，0,2}．当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a)＝4a<0，所以a<0.当B ＝0}或2}时，则⇒a ＝0， 或无解，所以a ＝0，B ＝0,2}，则⇒a ＝1，综上，a 的取值范围为a|a≤0或a ＝1}．(2)因为A∪B＝B ，所以A ⊆B ，所以B ＝0,2}，所以a ＝1.点睛: 防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合M= x ∈N*| x (x －3)< 0}的子集个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D 详解：{}{*|(3)0}{*|03}1,2M x N x x x N x =∈-<=∈<<=所以集合的子集个数为224=个，故选D ．2．若集合{|11}M x x =∈-≤≤Z ，2{|,}P y y x x M ==∈，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．M P C ．P MD ．M P ⋂=∅答案：C解析：根据集合M ，求出集合P ，进而可得集合M 与P 的关系． 详解：解：由题意可得{1,0,1}M ，{0,1}P =，所以P M ．故选：C ． 点睛：本题考查了集合包含关系的判断及应用，属基础题．3．已知集合{}12A x x =<≤，{}B x x a =<.若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．1a a ≥ B ．1a a ≤C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >答案：D解析：利用数轴法，根据集合间的关系，即可得答案； 详解： 根据题意作图：易知2a >. 故选：D.点睛：本题考查根据集合间的关系求参数的取值，求解时注意等号成立的条件. 4．已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1答案：B解析：根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可. 详解：集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-. 故选：B. 点睛：本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．集合（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．15D ．16答案：B解析：直接枚举求解即可. 详解：易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4. 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题. 6．集合{1,0,1}-的非空真子集共有（ ） A ．5个 B ．6个C ．7个D ．8个答案：B解析：将集合的所有非空真子集列举出来，即可得解. 详解：集合{1,0,1}-，则其非空真子集为{}1-，{0}，{1}，{1,0}-，{0,1}，{1,1}-， 所以非空真子集共有6个， 故选：B. 点睛：本题考查了集合的真子集概念，真子集个数计算，属于基础题.7．已知集合{}0,1,2A =，则A 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案：D解析：根据集合中元素的个数，以及集合子集的个数2n ，简单计算可得结果. 详解：集合A 的子集共有328=个. 故选：D. 点睛：本题考查集合子集个数的计算，识记常用结论，假设集合元素个数为n ，则该集合子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -，属基础题. 8．含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，则20092009a b +的值为 A ．0 B ．-1 C ．1 D ．答案：B解析：根据集合的相等，分别找到元素的对应关系，排除不可能的情况，再进行分类讨论，得到答案. 详解：含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b + 所以可得0a =或者0ba=当0a =时，因有b a，所以不成立. 故只能0b a=，即0b =此时集合分别为{},0,1a 和{}2,,0a a所以有21a =，即1a =±而由集合的互异性可知，1a =时，不成立 故1a =- 故选B 项. 点睛：本题考查集合的相等，和集合的性质，属于简单题.9．集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为A ．3B ．7C ．15D ．31答案：C解析：首先分析集合A 中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解. 详解：根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有111,1,,3,,232-中的某些元素，13和3，12和2都以整体出现，13和3看成一个元素，12和2也看成一个元素，∴共有4个元素，集合是非空集合，∴有42115-=个.故选C 点睛：本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.10．设A=x|2≤x≤4}，B=x|2a≤x≤a+3}，若B 真包含于A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．(){}3,1∞+⋃ C ．{}1 D ．()3,∞+答案：C解析：由B 真包含于A ，讨论B ＝∅与B≠∅时，求出a 的取值范围． 详解：∵A＝x|2≤x≤4}，B ＝x|2a≤x≤a+3}，且B 真包含于A ； 当B ＝∅时，2a ＞a+3，解得a ＞3；当B≠∅时，232234a a a a ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩解得a ＝1；此时A=B.∴a 的取值范围是a|a ＞3} 故选C ． 点睛：本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B ＝∅的情况，是易错题．11．集合{}1,2,3的真子集有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个答案：C解析：根据集合真子集的个数公式求解即可. 详解：集合{}1,2,3的元素个数为3个， 故真子集的个数为3217-=， 故选：C 点睛：本题主要考查了集合子集，真子集的概念，考查了集合真子集个数公式，属于容易题.12．集合{}2|4,,A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6答案：C 详解：{}0,3,4,A =故A 有7个真子集13．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为 A ．{}1,0,1- B ．{}1,1- C ．{}1 D ．{}1-答案：A 详解：试题分析：B A ⊆，∴B=φ或B ＝－1}或B ＝1}，∴a=0,-1,1． 考点：子集关系点评：本题考查了子集关系，勿忘空集．14．下列四个集合中，空集是A ．{}2|20x R x ∈+=B ．0C ．{}|84x x x ><或D ．{}∅答案：A 详解：试题分析：A.因为方程2+2=0x 无解，所以{}2|20x R x ∈+= =φ；B.0中含有一个元素0，所以不是空集；C. {}|84x x x ><或含有很多元素，所以不是空集；D. {}∅含有一个元素φ，所以不是空集． 考点：集合的表示方法；空集的定义．点评：空集就是不含任何元素的集合．属于基础题型．15．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{},a a b ∈ B ．{}{},a a b ∈ C ．{}a a ∉D ．(){},a a b ∈答案：A解析：因为a 是集合{,}a b 中的元素，判断A 选项正确；因为{}a 与{},a b 是两个集合，判断B 选项错误；因为a 是集合{}a 中的元素，判断C 选项错误；因为数a 不在集合{(,)}a b 中，判断D 选项错误. 详解：解：A 选项：因为a 是集合{,}a b 中的元素，所以{},a a b ∈，故A 选项正确； B 选项：{}a 与{},a b 是两个集合，集合之间没有属于关系，故B 选项错误； C 选项：因为a 是集合{}a 中的元素，所以{}a a ∈，故C 选项错误；D 选项：因为集合{(,)}a b 中的元素是点(,)a b ，数a 不在集合{(,)}a b 中，故D 选项错误； 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题 16．集合｛1，2，3｝的子集共有 A ．7个 B ．8个 C ．6个 D ．5个答案：B 详解：集合｛1，2，3｝中共三个元素，子集个数为：328=. 故选B.17．集合A ＝(x ，y)|y ＝x}和B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，则下列结论中正确的是 ( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．∅∈A答案：B解析：B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭＝(1,1)}，而A ＝(x ，y)|y ＝x}，B 中的元素在A 中，所以B ⊆A故选B ．18．已知集合{}22,4,A a =，{}2,6B a =+，若B A ⊆，则a =（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．-2或3答案：C解析：因为B A ⊆得到64a +=或者26a a +=，但是算出a 的值后，要将a 值代回去检验是否满足集合的互异性的条件. 详解： 因为B A ⊆，若64a +=，则2a =-，24a =，集合A 中的元素不满足互异性，舍去； 若26a a +=，则3a =或-2，因为2a ≠-，所以3a =. 故选C. 点睛：根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性.19．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C ．21a -<< D ．2a <-或1a >答案：B解析：{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，选A. 点睛：形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a|＋|x －b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解.20．设集合{}|12A x x =<<,{}|B x x a =<,若A B ⊆,则a 的取值范围 A ．2a ≤ B ．1a ≤C ．1a <D ．2a ≥答案：D解析：结合数轴分析即可. 详解：画出数轴可得,若A B ⊆则2a ≥.故选：D点睛：本题主要考查了根据集合的关系求参数的问题,属于基础题型.。

1.2 集合间的基本关系1．若集合M 满足{}1M ≠∅，{}*3|1M x x ⊆∈N ，则符合条件的集合M 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．设集合6|2B x Z N ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭x ,则集合B 的子集个数为( )． A ．3B ．4C ．8D ．16 3．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 4．集合{|3,}n M x x n ==∈N ，集合{|3,}x x n N n =∈=N ，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．MND ．MN 且NM5．已知集合{}|11A x x =-≤≤，{}|0B x x a =-≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞6．设集合{}1012U =-，，，，2{|1}A y y x x U ==+∈，则集合A 的真子集个数为A ．2B ．3C ．7D ．8 7．集合A=﹣1，5，1}，A 的子集中，含有元素5的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个8．已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是 A ．A C φ⋂= B ．A C C = C ．B C B =D ．AB C =9．集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．1310．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-11．已知集合{}{}2|4,|1.A x x B x ax ====若B A ⊆，则实数a 的值是（ ）A ．12B ．2C ．11,22-D ．110,,22-12．已知函数1()lg1xf x x+=-的定义域为A , 函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ,则下述关于A B 、的关系中,不正确的为A ．AB ⊇ B ．A B B ⋃=C ．A B B =D ．B A13．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．7个B ．5个C ．3个D ．8个14．下列集合中表示同一集合的是 A ．(){}2,3M =，(){}3,2N =B ．2,3M，{}3,2N =C ．(){},1M x y y x ==+，{}1N y y x ==+D ．{}1M y y x ==+，{}21N y y x ==+15．已知集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=，若B A ⊆，则a 的值不可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．给出下列关系式：①23Q ⊆；②{}210x x x ∅∈++=；③(){}(){}21,4,23x y y x x -⊆=--；④{}[)22,x x <=+∞，其中正确关系式的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．317．下列符号表述正确的是（ ）A ．*0N ∈B ．1.732Q ∉C ．{}0∅∈D ．{}2x x ∅⊆≤18．已知集合{2,4}A ，则集合A 的子集个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．819．设集合{}2|1P x x ==，则集合P 的非空真子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．820．已知集合A =a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是A ．aB ．a ，c}C ．a ，e}D ．a ，b ，c ，d }参考答案1．C2．D3．C4．D5．D6．C7．B详解：试题分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得结论．解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，故选B．考点：子集与真子集．8．C9．B10．B11．D12．D13．A14．B15．D16．B17．D18．C19．A20．B详解：由集合的子集的定义可知：集合A=a，b，c}的子集为：∅，a}，b}，c}，a，b}，a，c}，b，c}，a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是a，c}.故选B.点睛：集合A={}12n a a a ，，，的子集个数为2n ，非空真子集个数为22n -.【参考解析】1．解析：依题可知M 致少有元素1，结合子集定义即可求解． 详解：由题意可知，{}1M =或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 故选：C2．解析：首先用列举法，分别取出满足题目时x 值，从而得出集合B 的元素，从而得出集B 的子集. 详解： 当666603,12,41,1620212421x x x x =⇒==⇒==⇒==-⇒=+++- 所以集合{}3,2,1,6B =,所以集合B 的子集个数为4216=. 故选D 点睛：本题主要考查就集合中子集的求法：若集合B 中有n 个元素，则集合B 的子集有2n 个,属于基础题.3．解析：根据题意，分析可得集合M 中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案． 详解：解：根据题意，满足题意条件的集合M 中必须有1，2，3这三个元素， 且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素， 则M 的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数， 集合{4，5，6}有3个元素，有3226-=个非空真子集； 故选：C ． 点睛：本题考查集合间的基本关系，以及非空真子集的个数的运算．4．解析：分析集合M 和N 中元素的性质，进行比较即可得出答案. 详解：由{|3,}n M x x n ==∈N ，可得集合M 中的元素为：1,3,9,27,,3,n ；由{|3,}x x n N n =∈=N ，可得集合N 中的元素为：0,3,6,9,12,,3,n ，比较得1M ∈，但1N ∉，0N ∈，但0M ∉，3M ∈，3N ∈.∴MN 且NM .故选：D. 点睛：本题考查了两个集合关系的判断，准确分析集合中元素的特点并进行比较是解题的关键，属于一般难度的题.5．解析：根据集合的包含关系,即可求得参数a 的取值范围. 详解：集合{}|11A x x =-≤≤,{}|0B x x a =-≤,即{}|B x x a =≤ 因为A B ⊆, 则1a ≥ 即[)1,a ∈+∞ 故选:D 点睛：本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.6．解析：先求出集合A ，进而求出其真子集的个数． 详解：因为集合{}1012U =-，，，，∴集合{|}A y y x U =∈＝1， ∴真子集个数为23﹣1＝7个， 故选C ． 点睛：本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题． 7．8．解析：先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可． 详解：由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B = 选C . 点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．9．解析：根据集合真子集的计算公式，直接得出结果. 详解：集合{}2,1,2,3A =-的真子集个数为42115-=. 故选：B. 点睛：本题主要考查求集合的真子集个数，属于基础题型.10．解析：根据题意，求得集合B ，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 详解：由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++， 因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--．故选：B.11．解析：计算{}2,2A =-，考虑{}2B =，{}2B =-，B =∅三种情况，计算得到答案. 详解：{}{}2|42,2A x x ===-，B A ⊆，当{}2B =时，21a =，12a =；当{}2B =-时，21a -=，12a =-；当B =∅时，0a =. 即0a =或12a =或12a =-. 故选：D. 点睛：本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力，忽略掉空集是容易发生的错误.12．解析：分别求出两函数的定义域，再判断集合关系. 详解： 因为1()lg1xf x x +=-，所以101x x +>-即()()110x x +-> ，解得11x -<< 故{}11A x x =-<<因为()lg(1)lg(1)g x x x =+--，所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<故{}11B x x =-<< 所以A B = 故选D. 点睛：本题考查函数的定义域与集合之间的关系，属于简单题.13．解析：根据集合的补集判断集合的个数，进而求得集合的真子集个数． 详解：由题可知，集合A 有三个元素．所以A 的真子集个数为：32-1=7个．选A 点睛：集合中子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1，非空真子集的个数为2n -214．解析：因为有序数对()2,3与()3,2不相同，所以A 错误；由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确；因为集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合，所以C 错误；因为M R =，[)1,N =+∞，所以D 错误， 详解：对于A 选项：有序数对()2,3与()3,2不相同，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故A 错误； 对于C 选项：由于{}(,)1,M x y y x x R ==+∈，所以集合M 表示的是当1,y x x R =+∈时，所得的有序实数对(),x y 所构成的集合，而由{}1,N y y x x R ==+∈得集合N 是当1,y x x R =+∈时所得的y 值所构成的集合， 所以集合M 与集合N 不是同一集合，故C 错误；对于D 选项，{}1M y y x R ==+=，{}{}[)21,11,N y y x x R y y ==+∈=≥=+∞，所以集合M 与集合N 不是同一集合，故D 错误；对于B 选项：由于集合中的元素具有无序性，所以集合M 与集合N 是同一集合，故B 正确； 故选B. 点睛：本题考查集合所表示的元素的意义，在判断时需分清集合中表示的是点集还是数集，理解元素的具体含义是什么，属于基础题.15．解析：由B A ⊆，分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合{}1,2,{|20}A B x ax ==-=， 因为B A ⊆，当0a =时，集合B 为空集，此时满足B A ⊆；当0a ≠时，集合2{|20}{}B x ax a =-==，可得21a或22a=，解得1a =或2a =， 综上可得，实数a 的值为{}0,1,2，所以则a 的值不可能是3. 故选：D. 点睛：本题主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合间的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.16．解析：对于①，23Q ∈；对于②，{}210x x x ∅⊆++=；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，对于④，{}[)22,x x <⊆+∞.详解：对于①，元素与集合不是包含关系，故①不正确；对于②，{}210x x x ∅∉++==∅，故②不正确；对于③，点(1,4)-在抛物线223y x x =--上，故(){}(){}21,4,23x y y xx -⊆=--正确；对于④，{}[)22,x x <⊆+∞，故④不正确. 故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，考查了集合与集合的关系，考查了空集，属于基础题.17．解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0N *∉，A 选项错误；对于B 选项，1.732Q ∈，B 选项错误； 对于C 选项，{}0∅⊆，C 选项错误；对于D 选项，{}2x x ∅⊆≤，D 选项正确. 故选：D. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.18．解析：根据子集的定义依次列出集合的子集即可得出答案. 详解：集合{}2,4A =的子集分别是：φ，{}2，{}4，{}2,4，共有4个子集. 故选：C. 点睛：本题考查集合子集的概念，属于基础题.19．解析：解出集合P ，再写出集合P 的非空真子集即可. 详解：集合{}2|1P x x ==,即{}1,1P =-，集合P 的非空真子集有{}{}1,1-， 共2个. 故选：A . 点睛：本题考查的是集合子集，真子集，是基础题. 20．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合A ＝40,?1x xx Z x ⎧⎫-<∈⎨⎬-⎩⎭，B ＝m ，2，8}，若A B ＝B ，则m ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5答案：C解析：先求出集合A, 由A B ＝B ，即A B ⊆，即可求出参数m 的值.详解： 由401x x -<-，得14x << 所以集合A ＝{}40,2,31x x x Z x ⎧⎫-<∈=⎨⎬-⎩⎭由A B ＝B ，即A B ⊆，又B ＝m ，2，8}，所以3m =故选：C点睛：本题考查分式不等式的求解，根据集合间的关系求参数的值，属于基础题.2．已知集合A =x x 是三角形}，B =x x 是等腰三角形}，C =x x 是等腰直角三角形}，D x x 是等边三角形}，则A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆D ．A D ⊆答案：B解析：根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系.详解：∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴C B ⊆.故选B.点睛：本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题.3．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是A ．S P MB ．S P MC ．S P MD ．P M S答案：C 解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系.详解：∵{|52,},{|53,}Mx x k k P x x n n Z Z ，{|103,}S x x m m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P ， {,7,3,13,23,}S ，故S P M ， 故选C.点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素.4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2答案：A解析：由题意可知集合{}1,2B =，解出集合B 即可求出a 的值.详解：因为A B =，所以集合B 为双元素集，即()(){}{}{}|10,1,1,2B x x x a a R a =--=∈==所以2a =.故选：A.5．集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P∩Q＝Æ 答案：C详解：试题分析：∵，{}{}|1|0Q y y x y y ==-=≥，所以P Q . 考点：集合之间的基本关系与运算.6．已知集合{}21P x x =≤，{}M a =，若P M M =，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,∞D ．(][),11,-∞-⋃∞详解：分析：化简集合，由P M M ⋂=，可得M P ⊆，由此列不等式求得实数a 的取值范围. 详解：集合{}{}[]2|10|111,1P x x x x =-≤=-≤≤=-，{},M a =P M M ⋂=，[],1,1M P a ∴⊆∴∈-，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断M P ⊆是解题的关键，属于简单题.7．下列各式:①{}{}a a ⊆②∅ 0③{}00⊆④{1,3} {3,4}，其中正确的有（ ）A ．②B ．①②C ．①②③D ．①③④答案：B解析：根据集合间的包含关系求解即可.详解：任何集合是它本身的子集，则①正确；空集是任何非空集合的真子集，则②正确； 0表示元素，应为{}00∈，则③错误； 1{}3,4∉，∴{}1,3不是{}3,4的真子集，∴④错误；∴正确的为①②.故选：B点睛：本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.8．已知{}24410M x x x =-+=，{}1P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为（ ）A ．{}2B ．{}0C ．{}0,4D ．{}0,2答案：D解析：先求解集合,M N ，再根据集合之间的关系，确定参数的值.详解：因为24410x x -+=，解得12x =，故集合12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.当0a =时，1ax =没有实数根，故P =∅，满足P M ⊆；当0a ≠时，1ax =，解得1x a =，故集合1P a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若满足P M ⊆，则112a =，解得2a =.综上所述，{}0,2a ∈.点睛：本题考查由集合之间的关系，求参数值的问题，属基础题.9．已知集合{0}M x Rx =∈∣，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ） A ．{0,1}B ．{}21x x =∣C ．{}20x x >∣D ．R答案：A解析：根据集合间的包含关系进行判断即可.详解：因为N M ⊆，所以集合N 是集合M 的子集对A 项，{0,1}{0}x Rx ⊆∈∣，故A 正确； 对B 项，{}21{1,1}N xx ===-∣，由于1{0}x R x -∉∈∣，则{}21x x =∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故B 错误；对C 项，由于{}210,1{0}xx x R x -∈>-∉∈∣∣，则{}20x x >∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故C 错误； 对D 项，由于1,1{0}R x Rx -∈-∉∈∣，则R 不是{0}x R x ∈∣的子集，故D 错误； 故选：A点睛：本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.10．{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的非空子集的个数为（ ）A ．10B ．9C ．1024D ．1023答案：D解析：利用列举法表示集合B ，确定集合B 的元素个数，然后利用非空子集个数公式可得出集合B 的非空子集个数.详解：由题意可得()()()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4B =，集合B 中共10个元素，因此，集合B 的非空子集的个数为10211023-=.故选D.点睛：本题考查集合非空子集个数的计算，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.二、填空题1．已知集合11{012}33,,,,A =-，集合A 的所有非空子集依次记为：1231,,,A A A ，设1231,,,m m m 分別是上述每一个子集内所有元素的乘积，(如果A 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么1231m m m +++=_________．答案：133 解析：根据集合A 的子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集的元素积，然后计算求解．详解：i A 中，含有元素0的集合中所有元素的积等于0，不含有元素0的非空子集有15个， 123111111111()12()()1()2121233333333m m m +++=-++++-⋅+-⋅+-⋅+⋅+⋅+⋅ 1111111113()1()2()1212()12333333333+-⋅⋅+-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅+-⋅⋅⋅= 故答案是：1332．设集合{}3|7M x x -=≤<，{}|20N x x k =+≤，若MN ≠∅，则k 的取值范围是________．答案：{}6|k k ≤解析：求出集合N 中x 的取值范围，根据MN ≠∅，即可求出k 的取值范围 详解：因为{}||202k N x x k x x ⎧⎫=+≤=≤-⎨⎬⎩⎭，且MN ≠∅，所以362k k -≥-⇒≤．所以k 的取值范围是{}6|k k ≤故答案为：{}6|k k ≤ 3．集合A ，B 的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有__________.答案：8解析：根据条件列举，即得结果.详解：由题意得满足题意的（A ，B ）为：A=φ，B ＝｛1，2｝；A=｛1｝，B ＝｛2｝；A=｛1｝，B ＝｛1，2｝；A=｛2｝，B ＝｛1｝；A=｛2｝，B ＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B ＝φ；A=｛1，2｝，B ＝｛1｝；A=｛1，2｝，B ＝｛2｝；共8个.点睛：本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.4．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成a 2，a+b ，0}，则a 2013+b 2014＝_____.答案：﹣1解析：根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 详解： 因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=a 2，a+b ，0}， 显然0a ≠，故0b a=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ， 则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.故答案为：1-.点睛：本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.5．用适当的符号填空：∅ _____ 0； 0 _____ ∅； ∅______ {}∅； 0______{}∅答案：∉ ∈或 ≠ 解析：根据集合与集合关系、元素与集合关系直接判断填空. 详解：∅0； 0 ∉∅； ∅{}∈∅或∅{}∅； 0{}∅故答案为：，∉，∈或，≠点睛： 本题考查判断集合与集合关系、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题1．设{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，试求集合C ，使得C A ，且B C ⊆．答案：{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．解析：突破口在于理解C A ，且B C ⊆．由B C ⊆，可得C 中至少有元素1,2，再由C A 即可得解.详解：解：∵{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，B C ⊆，∴C 中至少有元素1,2．又∵C A ，∴{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．点睛：本题主要考查子集、真子集的概念及运算，本题解题的关键是看清题目中出现的三个集合之间的关系，属于基础题．2．设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若B A ⊆，求实数a 的值．答案：1-或0解析：依题意22a a -=或a ，再分类讨论得解.详解：依题意22a a -=或a ，当22a a -=时，解得1a =-或2；当2a a a -=时，解得0a =或2，当2a =时，集合A 与集合元素的互异性相矛盾，所以舍去.1a ∴=-或0．点睛：本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知集合，，且，求实数的范围答案：解析：集合B 的真子集有,,,按照,,分三种情况分类讨论. 详解： 因为且的真子集有,,, 所以,,, 当时,无实根,所以,解得;当时, 有两个相等的实根1, 所以且,解得; 当时, 有两个相等的实根4, 所以,此方程组无解.综上所述: 实数的范围是.点睛：本题考查了集合之间的关系,分类讨论思想,着重考查了分类讨论思想,分类讨论时,要做到不重不漏,本题容易遗漏空集情况,属于中档题.4．已知集合,集合. （1）若,求实数的取值范围; （2）是否存在实数,使?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.答案：见解析解析：（1）因为,所以集合可以分为或两种情况来讨论： 当时,； 当时,得.综上,实数的取值范围是.（2）若存在实数,使,则必有,无解. 故不存在实数,使. 5．已知集合{}13A x x =＜＜，集合{}21B x m x m =-＜＜.（1）若1m =-，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）{}|12x x <<（2）(,2]-∞-解析：试题分析：（1）利用数轴求两个集合的交集；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩从而得到实数m的取值范围.试题解析：（1）A B＝；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩，解得2m≤-，即实数m的取值范围为(],2-∞-.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}0,2,3A =，{},,B x x a b a b A ==⋅∈，则B 的子集的个数是（ ）A ．10B ．12C ．14D ．162．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =；其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{},1A x =，{},1,2,4B y =，且A 是B 的真子集.若实数y 在集合{}0,1,2,3,4中，则不同的集合{},x y 共有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．已知集合{}0A =，集合{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a <D ．0a >5．已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．集合{0,1,2A =}的子集的个数是 A ．15B ．8C ．7D ．3 7．已知集合P ＝1，2，3，4}，Q ＝y|y ＝x ＋1，x∈P}，那么集合M ＝3，4，5}与Q 的关系是( )A ．M ≠⊆Q B ．M ⊆Q C ．Q ≠⊆M D ．Q ＝M 8．已知集合{}{}=|22,|(3)(2)0,-<<=-+<A x x B x x x 则（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B φ⋂= 9．已知a b 、为实数，若集合,1ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与{},0a 表示同一集合，则+ab 等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．±110．下列表示集合{}1,0,1M =-和{}20N x x x =-=的关系的Venn 图正确的是．A ．B ．C ．D ．二、填空题1．{}1,2,3,4U =，非空集合A ，B 是U 的子集，且x A ∃∈，使得y B ∀∈都有x y >，则满足条件的集合对(),A B 共___________对.2．设数集32|,|43M m m x m N n n x n ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做数集{|}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N ⋂的长度的最小值是_________.3．下列集合表示同一集合的是____________ .①{}{}(3,2)(2,3)A B ==，，②{}{}3,22,3A B ==，，③{}{}(,)|1|1A x y x y B y x y =+==+=，④{}{}2,3(2,3)A B ==，.4．设集合{}{}5,1,,A a B a b =+=，若A B =，则a b +=__________.5．已知{}1,2,3,4A ⊆，且A 中至少有一个偶数，则这样的A 有_______________个．三、解答题1．已知集合，，其中（1）求集合（2）若，求实数的取值范围2．设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=. （1）讨论集合B 与C 的关系；（2）若0a <，且A C A ⋃=，求实数a 的值.3．已知集合{}22,,A x x m n m n Z ==-∈，（1）判断8、9、10是否属于集合A ；（2）集合{}21,B x x k k Z ==+∈，证明：B 是A 的真子集.4．已知集合33{2|7}x A x =≤≤，2{|log 1}B x x =>.（Ⅰ）求()R A C B ；（Ⅱ）已知集合{|1}C x x a =<<，若C A C =，求实数a 的取值集合.5．已知命题p ：关于x 的不等式2420x x m -+<无解；命题q ：指数函数()(21)x f x m =-是R 上的增函数.（1）若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若满足p 为假命题且q 为真命题的实数m 取值范围是集合A ，集合{}2|2113B x t x t =-<<-，且A B ⊆，求实数t 的取值范围.参考答案一、单选题1．D解析：写出集合B ，确定集合B 中元素个数，利用子集个数公式可求得结果.详解：已知集合{}0,2,3A =，{}{},,0,4,6,9B x x a b a b A ==⋅∈=，因此，B 的子集的个数4216=.故选：D.点睛：本题考查集合子集个数的求解，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.2．D解析：根据集合的定义，由m S ∈，l S ∈，得到2m S ∈，2l S ∈，即2m m ≥，21l ≤，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断.详解： ∵非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈∴m S ∈，l S ∈，则2m S ∈，2l S ∈，且2m m ≥，21l ≤即0m ≤或1m ≥，01l ≤≤且1m①当1m =时，有1l =，所以{}1s =，故正确； ②当12m =时，214m S =∈，所以114l ≤≤，故正确；③当12l =时，2m S ∈，所以212m ≤，所以02m -≤≤，故正确； ④当1l =时，可知10m -≤≤或1m =，故正确；故选：D点睛：本题主要考查集合的新定义，元素与集合的关系以及一元二次不等式的解法，还考查了逻辑推理、求解问题的能力，属于中档题.3．A解析：根据集合中元素的互异性先确定y 的取值，再确定x 的值，排除x ≠y 的情况，即可得出答案．详解：因为实数y 在集合{}0,1,2,3,4中，即y 可取0或3，A 是B 的真子集:当y=0时x 可取0,2,4当y=3时x 可取2,3,4又x,y 组成集合{},x y ，即x ≠y所以当y=0时x 可取2,4当y=3时x 可取2,4．共4种故选A点睛：本题考查集合元素的互异性，属于中档题．4．D解析：由A B ⊆即可求实数a 的取值范围.详解：因为集合{}0A =，集合{}|B x x a =<，若A B ⊆，则0a >，故选：D.5．B解析：根据题意，由子集的定义分析M 、P 元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．详解：根据题意，“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．则其否定为真，则非空集合M 的元素不都是集合P 的元素，据此分析4个命题：①M 的元素不都是P 的元素，正确，②M 的部分元素可以为P 的元素，不正确，③可能M 的元素都不是P 的元素，故存在x P ∈且x M ∈，不正确，④存在x M ∈且x P ∉，正确，其中正确的命题有2个，故选：B ．6．B详解：因为{0,1,2A =}有三个元素，那么利用子集的概念可知，满足题意的子集有23个，即为8个，故选B.7．A解析：首先求得集合Q ，然后确定结合M 与Q 的关系即可.详解：由题意可得：{}2,3,4,5Q = ，结合题意可得M Q ≠⊂ ，故选A. 点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，属于基础题.8．A解析：计算得到{}|23B x x =-<<，再判断集合,A B 的关系得到答案.详解：{}{}|(3)(2)0|23B x x x x x =-+<=-<<，{}=|22A x x -<<，故A B ⊆.故选：A .点睛：本题考查了集合之间的关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.9．C 解析：由集合相等可得1,0b a a==，解出即可．详解： 解：集合相等可得1,0b a a ==，解得1,0a b ==．1a b ∴+=． 故选：C ．点睛：本题考查了集合相等，属于基础题．10．B解析：先用列举法表示{}0,1N =,根据M 与N 的关系判断Venn 图即可详解：由(){}|10N x x x =-=,即{}1,0N =,可知N M ,故选B点睛：本题考查列举法表示集合,Venn 图表示集合之间的关系二、填空题1．70解析：根据题意，按照集合A 中元素的最大值分3种情况讨论，求出每种情况下集合对数量，由加法原理计算可得答案.详解：解：根据题意，分3种情况讨论：①A 中最大的元素为2，此时{}12A =，或{}2，共有2种情况，B 只有1种情况，则此时集合对(),A B 有212⨯=对；②A 中最大的元素为3，此时{}123A =，，或{}23，或{}13，或{}3，A 有4种情况，B 有4-1=3种情况， 则此时集合对(),A B 有4312⨯=对；③A 中最大的元素为4，此时{}1234A =，，，或{}234，，或{}134，，或{}124，，或{}34，或{}24，或{}14，或{}4，A 有8种情况，B 有8-1=7种情况， 则此时集合对(),A B 有8756⨯=对；则符合题意为集合对(),A B 有2+12+56 =70对，故答案为：70.点睛：本题考查集合的子集，集合间的关系，属于较难题.2．512解析：根据题意，得出M ，N 的长度，且M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，当M N ⋂的长度的最小值，则m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端，得出0,1m n ==，求出集合M ，N ，从而得出M N ⋂的长度的最小值.详解：解：由题可知，M 的长度为34 ，N 的长度为23，因为M ，N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，当M N ⋂的长度的最小值时，所以m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端，即0,1m n ==，则413|0,|13M m x N n x ⎧⎫⎧⎫=≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 故此时1334M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是：3154312-=. 故答案为：512. 点睛： 本题考查集合的子集和交集的概念以及集合的长度问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.3．②解析：根据集合相等的定义来对各选项中两个集合是否相等进行判断.详解：对于①，在平面直角坐标系中，点()3,2和点()2,3不是同一个点，则A B ≠；对于②，集合A 、B 中的元素都相同，则A B =；对于③，集合A 是点集，集合B 为数集，则A B ≠；对于④，集合A 是数集，集合B 是点集，则A B ≠.故答案为：②点睛：本题考查集合相等的判断，一般要从元素类型以及元素相同两个方面进行判断，考查推理能力，属于基础题.4．11解析：根据两个集合相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得+a b 的值. 详解：由于A B =，所以51a a b =⎧⎨+=⎩，解得5,6a b ==，故11a b +=. 故答案为：11.点睛：本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题.5．12详解：试题分析： {}1,2,3,4A ⊆，由于集合{}1,2,3,4有4216=个子集，而其中不含偶数的子集有：∅，{}1，{}3，{}1,3共4个，∴至少至少有一个偶数的子集有16412-=个，即这样的A 有12个．故答案应填：12．考点：子集．三、解答题1．(1), ;(2)解析：(1) 解分式不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合.(2) 由，可得或，再由，求出实数得取值范围. 详解：（1），得，即或， 即. 由，得 ，，.(2) 若，则有，或， 即或， 而，或， 故当时，实数a 的取值范围是.点睛： 本题以集合的运算为载体,考查的是分式不等式的解法和一元二次不等式的解法,考查运算能力，是中档题.2．（1）当1a =时，B C =；当1a ≠时，B 是C 的真子集；（2）3a =-或12a =-.解析：（1）化简集合{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=，分类讨论，利用子集的定义判断即可；（2）A C A ⋃=等价于{}1,C m A =⊆，分两种情况讨论，分别列方程求解即可.详解：（1）{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,,C a B =是C 的真子集.（2）当0a <时，因为A C A ⋃=，所以{}1,C a A =⊆.当233a a a +-=时，解得1a =(舍去)或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-， 此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意. 综上，3a =-或12a =-.3．（1）8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）证明见解析.解析：（1）将8x =、9、10分别代入关系式()22,x m n m n Z =-∈，若满足的关系式，则属于A ，若不满足关系式，则不属于A ，由此可得出结论；（2）由()22211k k k +=+-，可得B A ⊆，再由8A ∈且8B ∉，可证明出结论成立.详解：（1）因为22831=-，22930=-，所以8A ∈且9A ∈.假设10A ∈，则()()2210m n m n m n =-=+-， 所以101m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或52m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，均无满足条件的整数解，故10A ∉； （2）因为()22211k k k +=+-，所以21k A +∈，故B 是A 的子集.由（1）知8A ∈，但8B ∉，所以B 是A 的真子集.点睛：本题考查元素与集合关系的判断，同时也考查了真子集的证明，考查推理能力，属于基础题.4．（Ⅰ）(){|12}R A C B x x ⋂=≤≤（Ⅱ）(,3]-∞解析：（Ⅰ）根据指数函数、对数函数的增减性化简集合A 、B,根据集合的交集、补集运算即可（Ⅱ）根据C A C ⋂=，可知C 是A 的子集，分C =∅，C ≠∅两类讨论即可.详解：（Ⅰ）{|13}A x x =≤≤；{}2B x x =；∴{|2}R C B x x =≤；∴(){|12}R A C B x x ⋂=≤≤；（Ⅱ）∵C A C ⋂=；∴C A ⊆；∴①C =∅时，1a ≤；②C ≠∅时，13a <≤；综上可得，实数a 的取值集合是(],3-∞.点睛：本题主要考查了集合的交集、补集运算，子集，分类讨论的思想，属于中档题.5．（1）[2,)+∞.（2）⎡⎤⎣⎦解析：（1）利用判别式求得p 为真时m 的取值范围.根据指数函数的单调性求得q 为真时m 的取值范围.由于p q ∧为真命题，所以p 真q 真，求两个m 的范围的交集，得到最终m 的取值范围.（2）求得p 假q 真时m 的取值范围，即集合A ，根据A B ⊆列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围.详解：解:（1）由p 为真命题知，1680m ∆=-解得2m ≥，所以m 的范围是[2,)+∞，由q 为真命题知，211m ->，1m，取交集得到[2,)+∞.综上，m 的范围是[2,)+∞.（2）由（1）可知，当p 为假命题时，2m <；q 为真命题，则211m ->解得：1m则m 的取值范围是(1,2)即{|12}A m m =<<，而A B ⊆，可得，2211132t t -≤⎧⎨-≥⎩解得：1t ≤所以，t 的取值范围是⎡⎤⎣⎦点睛：本小题主要考查根据命题的真假性，求参数的取值范围，考查一元二次不等式解集为空集的条件，考查指数函数的单调性，考查子集的概念和运用，属于中档题.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．设集合{}23A x x =<<，{}4B x x =<，则集合A 和集合B 的关系是 A ．B A ⊆ B ．A B ⊆ C ．B A ∈D ．A B ∈2．若集合{}{}1,1,0,2A B =-=，则集合{|},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集的个数为（ ）A ．6B ．8C ．3D ．73．已知集合13{|}A x x =-≤≤，301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．设{1,4,2}A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x = （ ）A ．0B ．0或2C ．0或2-D ．0或2±5．集合A={}|2k k Z πααπ=+∈，与集合B={}|2,2k k Z πααπ=±∈的关系是（ ） A ．A=B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．以上都不对6．下列集合与集合{2,3}A =相等的是（ ）A ．{(2,3)}B ．{(,})|2,3}x y x y ==C ．{}2|560x x x -+=D ．{}290x N x ∈-≤7．设集合，，那么A ．若，则()VennB ．若()Venn ，则C ．若，则()Venn ，反之也成立D ．和()Venn 成立没有关系8．已知集合{}1,2,3,4,A ={}23,B y y x x A ==-∈，则集合A B 的子集个数为 A ．1B ．2C ．4D ．89．11,23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|1}P x ax ==，若P M ⊆，则a 的所有可能取值的集合为（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3}10．下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题1．集合{}1,0,1-的子集共有___________个.2．设集合}{2,0,11A =，则集合A 的真子集个数为_______ ；3．设集合{}0,1A =，{}1,2B =，{},,C x x a b a A b B ==+∈∈，则集合C 的真子集个数为________. 4．已知集合12162x A x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，{}22log (9)B x y x ==-，则A B =_____________. 5．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为_____. 三、解答题 1．设整数，集合，是的两个非空子集，，记为所有满足的集合对的个数．（1）求； （2）求．2．已知集合A ＝x||x －a|＝4}，B ＝1，2，b}．（1）是否存在实数a ，使得对于任意的实数b ，都有A ⊆B ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若A ⊆B 成立，求出对应的实数对(a ，b)．3．指出下列集合之间的关系：{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N ，{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R ．4．已知集合A=x|2≤x≤6}，集合B=x|3x-7≥8-2x}． （1）求∁R （A∩B）；（2）若C=x|x≤a}，且A∪C=C，求实数a 的取值范围．5．已知函数()f x =A ，关于x 的不等式223210x mx m m -+--<的解集为集合B .（1）求集合A 和集合B ；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题 1．B解析：根据子集概念即可作出判断. 详解：∵集合{}23A x x =<<，{}4B x x =<， ∴A B ⊆， 故选：B 点睛：本题考查子集的概念，考查集合间的包含关系，属于基础题. 2．D解析：根据集合的元素关系确定集合的子集个数即可得选项． 详解：集合{}{},1,10,2A B ==-，则集合1,1{|},}3{C z z x y x A y B ==+∈∈=-,,集合{}113-,,中有3个元素，则其真子集有3217-=个， 故选：D. 点睛：本题主要考查集合元素个数的确定，集合的子集个数，属于基础题． 3．C解析：先求出集合B ，然后根据集合间的关系以及韦恩图即可判断正确选项. 详解：解：因为集合301x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，所以{|13}B x x =-<≤，又集合13{|}A x x =-≤≤， 所以B A ，根据韦恩图可得选项C 正确，故选：C.4．C解析：根据题意分24x =和22x x =两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案. 详解：当24x =时，得2x =±，若2x =，则24=x 不满足集合中的元素的互异性，所以2x ≠；若2x =-，则{}1,4,4A -＝，{}14B ＝，，满足题意， 当22x x =时，0x =或2（舍去），0x =满足题意， ∴0x =或2-， 故选：C ． 5．A解析：对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z，即可看出A ，B 的关系 详解： 对于集合A ，当k 取奇数时，令k ＝2n ﹣1，α＝2nπ2π-；n∈Z， 当k 取偶数时，令k ＝2n ，α＝2kπ2π+，n∈Z， ∴A＝α|α＝2kπ±2π，k∈Z}＝B ． 故选：A ． 6．C解析：根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可； 详解：解：集合{2,3}A =，表示含有两个元素2、3的集合， 对于A ：{(2,3)}，表示含有一个点(2,3)的集合，故不相等； 对于B ：{(,})|2,3}x y x y ==，表示的是点集，故不相等；对于C ：{}2|560x x x -+=，表示方程2560x x -+=的解集，因为2560x x -+=的解为2x =，或3x =，所以{}{}2|5602,3x x x -+==对于D ：{}{}2903,2,1,0,1,2,3x N x ∈-≤=---，故不相等故选：C 7．A解析：显然时，集合，此时；若，则可以是集合中的元素1或2，此时可以取值，即若，则不成立.8．C解析：化简集合B ，求出A∩B，从而可确定它的子集个数. 详解：∵{}1,2,3,4,A = {}23,B y y x x A ==-∈， ∴{}1,1,3,5B =- ∴{}1,3A B ⋂=所以该集合的子集个数为22＝4． 故选C ． 点睛：本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目． 9．D解析：由题意知集合M 是集合P 的子集，写出集合P 的子集，即可得出a 的所有可能取值. 详解：∵11,,{|1},32M P x ax P M ⎧⎫===⊆⎨⎬⎩⎭，∴1,3P P ⎧⎫=∅=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， ∴0a =或3a =或2a =，∴a 的所有可能取值的集合为{0,2,3}． 故选：D . 点睛：本题主要考查的是集合间的关系以及一元一次方程的解法，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理，是基础题. 10．C解析：利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 详解：对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误. 故选：C. 点睛：本题是一道基础题目，主要考查集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系.二、填空题 1．8解析：将子集一一列出即可． 详解：集合{1A =-，0，1}的子集有：∅，{}1-，{0}，{1}，{1-，0}，{0，1}，{1-，1}，{1-，0，1}共8个故答案为：8． 2．7解析：集合}{2,0,11A =, 则集合A 的真子集为∅，{}2，{}0，{}11，{}02，，{}211，，{}0,11 故答案为7 3．7解析：先求出集合C ，再根据元素个数即可求出真子集个数. 详解：{}0,1A =，{}1,2B =，{}{},,1,2,3C x x a b a A b B ∴==+∈∈=有3个元素， ∴集合C 的真子集个数为3217-=个.故答案为：7. 点睛：本题考查集合子集个数的求解，属于基础题. 4．[1,3)-解析：分别求出集合A 和集合B ，再求交集A B 即可. 详解：集合A ：12162x≤<可变形为：14222x -≤<，解之得：14x -≤<，故[)1,4A =-；集合B ：要使函数22log (9)y x =-有意义，须使：290->x ，解之得：33x -<<，故(3,3)B =-，所以[1,3)A B -⋂=. 故答案为：[1,3)-. 点睛：本题主要考查交集的求法，考查指数不等式的求解，考查对数函数的定义域，属于基础题.5．2或4解析：根据集合的包含关系，结合已知条件，即可容易求得x . 详解：因为集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.且A B ⊆ 故可得2x =或4. 故答案为：2或4. 点睛：本题考查由集合之间的包含关系求参数值，属简单题.三、解答题 1．（1）； （2）.解析：正难则反，通过求出的情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列组合公式进行求解详解： （1）集合对共个，先考虑的情况：时，，，，， 时，，，，， 时，，，，时，，，时，，时，．所以的集合对的个数为37，即．（2）集合对共个，先考虑的情况：当中有个元素时，共有种选法，则中不能包括这个元素中任何一个，只能从包含剩余个元素的集合中选取非空子集，共有种选法，故此时有种，所以，，所以，．点睛：对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常密切2．（1）不存在，理由见解析；（2） (5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 解析：（1）根据已知条件列方程组，根据方程组的解的情况作出结论. （2）根据A B ⊆列方程组，解方程组求得对应的实数对. 详解：（1）由题意，知当且仅当集合A 中的元素为1，2时，对于任意的实数b ，都有A ⊆B. 因为A ＝a －4，a ＋4}，所以4142a a -=⎧⎨+=⎩或4241a a -=⎧⎨+=⎩，方程组均无解，所以不存在实数a ，使得对于任意的实数b 都有A ⊆B. （2）结合（1），知若A ⊆B ， 则有414a a b -=⎧⎨+=⎩或424a a b -=⎧⎨+=⎩或441a b a -=⎧⎨+=⎩或442a ba -=⎧⎨+=⎩，解得59a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或37a b =-⎧⎨=-⎩或26a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求实数对(a ，b)为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)． 3．A B解析：由题意知集合A 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，集合B 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合，可以判断它们的关系.详解：集合{(,)|1,}A x y y x x ==-∈N 表示的是直线1y x =-上的一些孤立的点的集合，而集合{(,)|1,}B x y y x x ==-∈R 表示的是直线1y x =-上所有的点的集合， 因此A B . 点睛：本题主要考查的是集合与集合间的关系，观察出集合所表示的含义是解决本题的关键，是基础题.4．(1){|36}R A Bx x x （）＜或＞⋂= ；(2) a≥6. 解析：试题分析：（1）先由集合的交集概念得到A∩B=x|3≤x≤6}，再根据集合的补集概念得到{|36}R A Bx x x ⋂=（）＜或＞。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列错误的是（ ） A ．0∈∅ B ．A ∅=∅C ．{}∅⊆∅D ．若A B A ⋃=，则B A ⊆ 2．下列关于∅的说法正确的是（ ） A ．0∈∅B ．{0}∅∈C ．{0}⊆∅D ．{0}∅⊆3．设集合{}12M x x =-≤<，{}0N x x k =-≤，若M N ，则k 的取值范围是．A ．k 2≤B ．k ≥-1C ．1k >-D ．2k ≥4．集合A ＝(x ，y)|y ＝x}和B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，则下列结论中正确的是 ( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．∅∈A5．下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3）φ =0}；（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的个数有个 A ．0B ．1C ．2D ．46．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．{}2A B ⋂= D ．(){}1UAB =7．集合{12}A =，，{123}B =，，，则下列关系正确的是 A ．A B =B ．A B =∅C ．A B ⊆D ．A B ⊇8．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 A ．()2∞+， B ．[)2∞+， C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，9．已知集合{}13,B x x x Z =-<<∈，则集合B 真子集个数为（ ） A ．3B ．6C ．7D ．810．若x A ∈，则1A x∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题 1．若集合(),1,1nA m n m n R m ⎧⎫==∈⎨⎬+⎩⎭、，(){},1,B m n n m m n R ==+∈、，则A 与B 的关系是______．2．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20172017a b += ________.3．已知集合{}1,2M x =，{}N x =，若N M ⊆，则x = ________. 4．满足{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆条件的集合A 的个数有__________个. 5．已知集合{}0,1,3A =，则A 的子集个数是________. 三、解答题 1．（1）已知集合，，若Ü，求实数的取值范围．（2）若命题：如果：集合成立，则：集合成立．若原命题为真命题，且其逆命题为假命题．求实数的取值范围．2．写出集合A ＝x|0≤x＜3，x∈N}的所有真子集．3．已知集合{}24A x x =-≤≤，{}322mx B x -=<.（1）当1m =时，求A B ，()RB A ；（2）当0m >，A B B ⋃=时，求实数m 的取值范围.4．设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=，若B A ⊆，求实数a 的值．5．已知集合{}|16A x x =≤<，{}|39B x x =≤≤，{}|23C x a x a =<≤+．A B；（1）求A B，()R（2）若非空集合C满足A C C⋂=，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 1．A解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 详解：对于A 选项，0∉∅，A 选项错误； 对于B 选项，A ∅=∅，B 选项正确；对于C 选项，{}∅⊆∅，C 选项正确；对于D 选项，若A B A ⋃=，则B A ⊆，D 选项正确. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合、集合与集合包含关系的应用，属于基础题. 2．D解析：根据集合与元素、集合与集合的关系进行每个选项的判断即可. 详解：根据集合与元素、集合与集合的关系可知A 、B 、C 错误 空集是任何集合的子集，故D 正确 故选：D 点睛：本题考查的是集合与元素、集合与集合的关系，较简单. 3．D解析：由M N ⊆，则说明集合M 是集合N 的子集，即集合M 中任意元素都是集合N 中的元素，即2k ≥即可. 详解：解：因为{}{}0|N x x k x x k =-≤=≤， 又{}12M x x =-≤<且M N ，则2k ≥，故选D. 点睛：本题主要考查了子集的相关知识，重点是明确集合与其子集之间的关系，属基础题. 4．B解析：B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭＝(1,1)}，而A ＝(x ，y)|y ＝x}，B 中的元素在A 中，所以B ⊆A故选B ． 5．A解析：根据空集的定义：不含任何元素的集合；空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即可判断对错选出答案． 详解：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）、（2）错 又空集中不含任何元素，{}00∈ ，故（3）错误 空集只有空集一个子集，故（4）错 综上所述正确的个数为0个 故选A 点睛：本题考查空集的定义：不含任何元素的集合；与空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，属于基础题． 6．D解析：根据子集的定义可排除,A B ；由交集定义排除C ；根据补集和交集的定义可知D 正确. 详解：1B ∉，6A ∉ ,A B ∴错误；{}2,4A B =，则C 错误； {}1,8U C B = (){}1U AC B ∴=，D 正确.本题正确选项：D 点睛：本题考查集合间的关系、集合运算中的交集和补集运算，属于基础题. 7．C 详解：试题分析：由题{12}A =，，{123}B =，，.则根据子集的定义可得：A B ⊆. 考点：集合间的关系.8．B解析：求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 详解：解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-.A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 点睛：本题考查集合间的关系，属于基础题. 9．C解析：首先求出集合B ，然后根据集合B 中元素的个数，利用公式21n -求出集合B 真子集的个数. 详解：解：{}{}13,0,1,2B x x x Z =-<<∈=，所以集合B 中有3个元素，则集合B 真子集个数为3217-=个， 故选：C. 点睛：如果集合有n 个元素，则其有2n 个子集，有12n -个真子集. 10．D解析：写出集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的非空子集，根据和美集合的定义验证即可.详解：先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,-再考虑 含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.点睛：本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.二、填空题 1．A B解析：化简集合(){},1,1,A m n n m m n R ==+≠-∈，再根据集合间的关系，即可求解. 详解：由题意，集合()(){},1,,,1,1,1nA m n m n R m n n m m n R m ⎧⎫==∈==+≠-∈⎨⎬+⎩⎭， 又因为(){},1,,B m n n m m n R ==+∈，所以A B . 故答案为A B . 点睛：本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答中正确化简集合A ，以及熟记集合的包含关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2．-1解析：由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a ，可求a 2017+b 2017． 详解：由已知得a≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1， 又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去， 因此a ＝－1，故a 2 017＋b 2 017＝(－1)2 017＋02 017＝－1， 故答案为：－1. 点睛：本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，属于中档题．3．0或1解析：由N M ⊆，{}N x =，可得x M ∈，从而可得1x =或2x x =，进而可求得结果 详解：解：因为N M ⊆，{}N x =， 所以x M ∈，因为{}1,2M x =，所以1x =或2x x =， 当1x =时，{}{}1,2,1M N ==，满足N M ⊆，当2x x =时，得0x =，此时{}{}1,0,0M N ==，满足N M ⊆， 综上1x =或0x =，故答案为：0或1 4．8解析：由集合的包含关系知1,3A ∈，而0,5,7要么属于A 要么不属于A ，所以三个元素中任意元素与集合A 的关系都有两种可能，即可求集合个数. 详解：由{}{}1,30,1,3,5,7A ⊆⊆知：1,3A ∈，而0,5,7可能属于A ，也可能不属于A ， ∴集合A 的个数有328=， 故答案为：8 5．8解析：根据集合子集个数公式即可得出答案． 详解：集合{}0,1,3A =含3个元素，故子集个数为32=8 故答案为：8 点睛：本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查，含n 个元素的集合，子集有2n ，真子集2n -1个，非空真子集2n -2个三、解答题 1．(1)；（2）. 解析：（1）先化简集合，再由Ü，即可求出结果；（2）根据原命题为真命题，且其逆命题为假命题，得到Ü，从而可求出结果。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆ 2．已知集合16A x x k k N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，123m B x x m N ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，，126n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，则集合、、A B C 的大小关系是（ ）A ．A CB B ．C A B C ．A B C =D ．A B C3．设集合{21,},{2,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，则（ ） A ．M N B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋂=∅4．已知集合2{1,}A x x =+，{1,2,3}B =，且A B ⊆，则实数x 的值是A ．-1B ．1C ．3D ．4 5．集合{}2*70,A x x x x N =-<∈，则集合*6,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭的子集个数为（ ） A ．4个 B ．8个 C ．15个 D ．16个6．集合{}{},1,,1,2,P x Q y ==其中{},1,2,3,,9x y ∈⋅⋅⋅，且P Q ⊆，把满足上述条件的一对有序整数对(),x y 作为点，这样的点的个数是 （ ）A ．9B ．14C ．15D ．217．已知集合{}221,M y y x x x R ==--∈，{}24P x x =-≤≤，则集合M 与集合P 的关系是（ ）A ．P MB ．P M ∈C ．M PD ．M P 8．已知A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则A 可以是 A ．{}1,2 B ．{}2,4 C ．{}2D ．{}4 9．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．B AD ．A B =∅10．设集合{}1,2A =，则下列正确的是A ．1A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆11．设集合{}4A x x =≤，a = ）A ．a A ∉B ．a A ⊆C ．{}a A ⊆D ．{}a A ∈12．已知12|,01A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|1,B y y kx x A ==+∈，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为 A ．1k =- B ．1k <-C ．10k -≤≤D ．1k ≤- 13．设集合{}|12A x x =<≤,{}|B x x a =<，若A B ⊆,则a 的取值范围是 A ．{}|1a a ≥ B ．{}|1a a ≤ C ．{}|2a a ≥D ．{}2a a ＞ 14．定义集合运算A◇B=c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A=0,1,2},B=3,4,5},则集合A◇B 的子集个数为( )A ．32B ．31C ．30D ．1415．已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉；这四个命题中，真命题的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知集合{}24A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若A B A =，则a 取值范围是（ ）A ．()2,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．()2,+∞17．已知集合(){},A x y y x ==，()21,45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭,则下列结论中正确的是A ．M A =B ．M A ⊆C ．()1,1A ⊆D ．M A ∈18．已知集合{}1,2,4A =，{B x x =是8的正约数}，则A 与B 的关系是．A ．AB = B ．A BC ．A BD ．A B =∅19．已知集合{3A x x =>或}1x <，{}0B x x a =-<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞20．{}{}2|60,|10A x x x B x mx =+-==+=,且A B A ⋃=,则m 的取值范围是A ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭参考答案1．C详解：试题分析：集合与集合关系为“包含”、“含于”，元素与集合关系为“属于”、“不属于”，故选C.考点：元素与集合、集合与集合的关系．2．A3．B4．B5．D6．B详解：解：根据题意，若P Q ⊆，有2种情况：①、x≠y，则必有x=2，y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，②、x=y ，此时x 、y 可取的值为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况，即（x ，y ）有7种情况，则（x ，y ）有7+7=14种情况，故答案为14, 选B7．D8．C详解：∵A B ⊆，A C ⊆，∴把选项代入检验即可，只有集合{}2符合题意，故选C9．C10．A详解：试题分析：由{}1,2A =可知1，2是集合中的元素，元素与集合间的关系是∈，所以1A ∈ 考点：集合和元素的关系11．C12．D13．D详解：根据已知A B ⊆以及子集的性质可知，当2a >时，A B ⊆，故2a >，故选D.14．A15．B16．C17．B18．B19．D20．C详解：由题意{}3,2,A A B A B A =-⋃=∴⊆ 当11,0,,3,,3B m B m m φφ==≠-=-=时当时由得由112,.2m m -==-得 所以,m 的取值范围为110,,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【参考解析】1．2．解析：列举出集合A,B,C 即得三个集合的关系.详解： 由题得1171319=,,,,66666A x x k k N ⎧⎫⎧⎫==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，， 1112710={,,,,}2336366m B x x m N ⎧⎫==-∈-⎨⎬⎩⎭，，， 11271013={,,,}2663666n C x x n N ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，，，. 所以A C B .故选A点睛：本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．解析：先判断出M 为奇数集，N 为整数集，从而可判断两者之间的关系.详解：∵集合{21,}M xx k k Z ==+∈∣，故M 为奇数集. 而{2,}N xx k k Z ==+∈∣，故N 为整数集， ∴M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查集合的包含关系，一般根据集合元素的特征确定出两个集合的包含关系，本题属于基础题.4．解析：已知集合的元素，根据集合间的包含关系A B ⊆即可求参数详解：由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈经检验1x =符合题意∴1x =故选：B点睛：本题考查了集合间的基本关系，利用包含关系求参数5．解析：先求出A ，再找出A 中6的正约数，可确定集合B ，进而得到答案．详解：集合2{|70A x x x =-<，{}**}|07,{1x N x x x N ∈=<<∈=，2，3，4，5，6}*6{|,}{1B y N y A y=∈∈=，2，3，6}， 故B 有4216=个子集，故选：D ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，求出集合B 是解答的关键，属于基础题．6．7．解析：首先，化简集合M ，就是求解函数221y x x =--，x ∈R 的值域，然后，利用集合之间的基本关系进行判断即可．详解：解：由集合M 得2221(1)2y x x x =--=--，x ∈R2y ∴-，{|2}M y y ∴=-，{}24P x x =-≤≤，M P ∴，故选：D ．点睛：本题重点考查集合之间的基本关系，属于基础题，注意落实集合M 的元素取值情形． 8．9．解析：由题意得出Z A ⊆，而集合BZ ，由此可得出A 、B 的包含关系. 详解： 由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则B Z ，因此，B A .故选：C.点睛：本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题. 10．114，依次判断选项即可. 详解：对选项A4<，所以a A ∈，故A 错误.对选项B ，⊆用于集合与集合之间，故B 错误.对选项C 4<，所以{}a A ⊆，故C 正确.对选项D ，∈用于元素与集合之间，故D 错误.故选：C点睛：本题主要考查集合间的包含关系，同时考查了元素与集合的关系，属于简单题.12．解析：首先求出集合A ，分类讨论0k =，0k <，0k >情况下的B 集合，从而求出满足A B ⊆的实数k ．详解：由题可得{}12|,01|01A y y x x y y ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，当0k =时，{}{}|1,1B y y kx x A ==+∈=，不满足A B ⊆，舍去，当0k <时，{}{}|1,|11B y y kx x A y k y ==+∈=+≤≤，由于A B ⊆，所以10k +≤，解得：1k ≤-， 当0k >时，{}{}|1,|11B y y kx x A y y k ==+∈=≤≤+，由于11k +>，所以不满足A B ⊆，舍去， 综述所述，实数k 的取值范围为1k ≤-故答案选D点睛：本题考查集合间的关系，涉及一次函数的值域，属于基础题13．14．解析：∵A=0，1，2}，B=3，4，5}．又∵A◇B=c|c=a+b，a∈A，b∈B}，∴A◇B=3，4，5，6，7}由于集合A◇B 中共有5个元素故集合A◇B 的所有子集的个数为25=32个 故选A15．解析：根据题意，由子集的定义分析M 、P 元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案．详解：根据题意，“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题．则其否定为真， 则非空集合M 的元素不都是集合P 的元素，据此分析4个命题：①M 的元素不都是P 的元素，正确，②M 的部分元素可以为P 的元素，不正确，③可能M 的元素都不是P 的元素，故存在x P ∈且x M ∈，不正确，④存在x M ∈且x P ∉，正确，其中正确的命题有2个，故选：B ．16．解析：由条件可知A B ⊆，列不等式求a 的取值范围.详解：由A B A =知A B ⊆，故234a a -<⎧⎨+≥⎩，解得1a ≥． 故选：C ．17．解析：化简集合M ，最后根据集合的相等关系、子集关系、属于关系的概念选出正确答案.详解：因为(){}21,(1,1)45x y M x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，所以M A ⊆，故本题选B. 点睛：本题考查了集合表示方法中的列举法，考查了集合之间的子集关系.18．解析：化简集合B ，比较A ，B 中的元素，即可判断A ，B 的关系．详解：{|B x x =是8的正约数}{1,2,4,8}=，又集合{1,2,4}A =，A B ∴．故选B ．点睛：本题考查集合的包含关系及集合的基本运算，属于基础题．19．解析：由题得{}B x x a =<，根据已知得1a ≤.详解： 由题得{}B x x a =<，因为B A ⊆，所以1a ≤.故选：D点睛：本题主要考查根据集合的包含关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ≠⊂⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．92．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞； ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个． 其中结论正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}1,2,32,3,1⊆；④0∈∅；⑤{}0∅=∅.其中正确写法的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．44．从集合{},,,,a b c d e 的所有子集中，任取一个，这个集合恰是集合{},,a b c 子集的概率是（ ） A ．35B ．25C ．14D ．185．下列六个关系式中正确的个数是（ ）（1）{}0≠∅⊂ （2）{}0∅= （3）0=∅ （4） {}00∈ （5）0∈∅ （6）∅⊆∅ A ．1B ．2C ．3D ．46．设集合{}210A x x =-=，则（ ）A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{}1,1A ≠-⊂7．全集(){},Z,Z U x y x y =∈∈，非空集合S U ⊆，且S 中的点在平面直角坐标系xOy 内形成的图形关于x 轴、y 轴和直线y x =均对称.下列命题： ①若()1,3S ∈，则()1,3S --∈；②若()0,4S ∈，则S 中至少有8个元素； ③若()0,0S ∉，则S 中元素的个数一定为偶数；④若(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆，则(){},4,Z,Z x y x y x y S +=∈∈⊆. 其中正确命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．48．集合{}22A x N x =∈-<<的真子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．89．集合{}21,2,,31M a a a =--，{}1,3N =-，若3M ∈且NM ，则a 的取值为（ ）A ．1-B ．4C ．1-或4-D ．4-或1 10．集合{1,0,1}-的非空真子集共有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题1．已知关于x 的不等式()()()120x x a a -->∈R 的解集为A ，集合{}23B x x =<<．若B A ⊆，则实数a 的取值范围为______．2．已知集合A ={0,1}，B ={x|x 2−ax =0}，且B ⊆A ，则实数a=___________。