下载文档原格式
《平方根》一、教学目标1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方根.2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.二、重点和难点1.重点：平方根的概念.2.难点：归纳有关平方根的结论.三、合作探究（一）基本训练，巩固旧知1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作 .2.填空：(1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于，即 2.89＝；(2)因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于，即3≈ .（二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题.（三）如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？如果一个数的平方等于9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根（板书：3和－3是9的平方根）. 我们再来看几个例子.（师出示下表）x2 16 36 49 1 4 25x同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.大家把平方根概念默读两遍.（生默读）平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？四、精讲精练精讲例1、求下面各数的平方根：(1)100； (2)0.25； (3)0； (4)－4；(1)因为（±10）2＝100），所以100的平方根是＋10和－100的平方是0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－这说明什么？从这个例题你能得出什么结论？（稍停片刻）正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？小组讨论：正数有平方根（板书：正数有两个平方根）.平方根有什么关系？0的平方根有个，平方根是 .负数平方根.大家把平方根的这三条结论读两遍.精练1.填空：(1)因为（）2＝49，所以49的平方根是；(2)因为（）2＝0，所以0的平方根是；(3)因为（）2＝1.96，所以1.96的平方根是；2.填空：(1)121的平方根是，121的算术平方根是；(2)0.36的平方根是，0.36的算术平方根是；(3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8；(4) 的平方根是35和35，的算术平方根是35.3.判断题：对的画“√”，错的画“×”.(1)0的平方根是0；（）(2)－25的平方根是－5；（）(3)－5的平方是25；（）(4)5是25的一个平方根；（）(5)25的平方根是5；（ ）(6)25的算术平方根是5； （ ）(7)52的平方根是±5； （ ）(8)(-5)2的算术平方根是－5. （ ）五、课堂小结：1、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.2、平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身.负数没有平方根.3、平方根的表示一个正数a 的正的平方根用符号2a 来表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根，用符号“2a -”表示.这两个平方根合起来可以记作“2a ±”.这里，符号“2”读作“二次根号”，2a 读作“二次根号a ”，根指数是2时，通过常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”.平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。
6.1 平方根、立方根（一）平方根一、教材分析本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
二、学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
三、教学目标1、掌握平方根及算术平方根的概念。
2、能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根。
3、培养学生观察问题和概括问题的能力。
四、教学重点、难点1、教学重点：平方根和算术平方根的概念和性质。
2、教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系。
五、教法设计根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
六、教学过程㈠创设情境，导入新课洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?(学生探讨，回答问题)㈡观察概括由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义。
1、平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。
问题：25的平方根只有一个吗?(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)2、 试一试：(1) 144的平方根是多少?(2) 0的平方根是多少? (3) 254的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结。
概括：（1） 一个正数有两个平方根，且互为相反数；（2） 零只有一个平方根；（3） 负数没有平方根。
第六章 实数6．1 平方根第1课时 算术平方根【课标要求】知识与技能1．了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根． 过程与方法通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．情感态度价值观通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和学习兴趣．【教学重难点】重点：理解算术平方根的概念．难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．【教学过程】【情景导入，初步认识】教师出示下列问题1，并引导学生分析．问题1由学生直接给出结果． 问题1 求出下列各数的平方．1，0，(－1)，－1/3，3，1/2.问题2 下列各数分别是某实数的平方，请求出某实数．25，0，4，4/25，1/144，－1/4，1.69.对学生进行提问，针对学生可能会得出的一个值，由学生互相交流指正，再由教师指明正确的考虑方式．由于52＝25，(－5)2＝25，故平方为25的数为5或－5.02＝0，故平方为0的数为0.22＝4，(－2)＝4，故平方为4的数为2或－2.(－25)2＝425，(25)2＝425，故平方为425的数为±25. (±112)2＝1144，故平方为144的数为±112. 对于－14这个数，没有实数的平方等于它，故平方为－14的实数不存在． (±1.3)2＝1.69，故平方为1.69的数是±1.3问题3 学校要举行美术比赛，小壮想在一块面积为25 dm 2的正方形画布画一幅画，这块画布的边长应取多少？分析：本题实质是要求一个平方后得25的数，由上面的讨论可知这个数为±5，但考虑正方形的边长不能为负数，所以正方形边长应取5 dm.【思考探究，获取新知】教师归纳出新定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”，a 叫作被开方数．规定：0的算术平方根是0.例1求下列各数的算术平方根．(1)(－3)2；(2)11549；(3)0；(4)81. 分析：正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根． 解：(1)因为32＝9＝(－3)2，所以(－3)2的算术平方根是3，即（－3）2＝3.(2)因为(87)2＝6449＝11549， 所以11549的算术平方根是87，即11549＝87. (3)因为0的算术平方根是0，故0＝0.(4)因为81是81的算术平方根9，而9的算术平方根是3，所以81的算术平方根是3. 教学说明(1)算术平方根是非负数，要注意不要弄错算术平方根的符号．如：不要把（－3）2＝3写成（－3）2＝－3；(2)要审清题意，不要被表面现象迷惑．如求81的算术平方根，错误地理解为求81的算术平方根81.探究：当a 为负数时，a 2有没有算术平方根？其算术平方根与a 有什么关系？举例说明所得结论．教学指导当a 为负数时，a 2为正数，故a 2有算术平方根，如a ＝－5时，a 2＝(－5)2＝25，a 2＝25＝5，5是－5的相反数，故a <0时，a 2的算术平方根与a 互为相反数，表示为－a .当a 2为正数时，a 的算术平方根表示为a 2，其值为a ，即a 2＝a .当a ＝0时，a 2＝0.综上所述，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a >0，a ， a ＝0.－a ， a <0.教学说明应用上述结论解题时，可如例题的解答写出过程，熟练后再直接写出结果．对a 2结果的讨论，可以检验学生是否真正理解了算术平方根的含义．学生中出现的问题，可由学生间交流讨论．教师向学生介绍用计算器求算术平方根的方法，并由学生实际运用，体会方法．【运用新知，深化理解】1．“49的算术平方根是23”用数学式子表示为( A ) A.49＝23 B.49＝±23 C ．±49＝23 D.49＝23 2．计算（－5）2的结果是( A )A ．5B ．－5C ．±5D ．253．下列各式中无意义的是( D )A ．－ 2 B.42C.（－2）2D.－32 4．求下列各式的值． (1) 1.44；(2)（－0.1）2；(3)0.81－0.04；(4)1214. 解：(1) 1.44＝1.2 (2)（－0.1）2＝0.01＝0.1(2)0.81－0.04＝0.9－0.2＝0.7(4)1214＝494＝72 教学说明学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知．【师生互动，课堂小结】1．读一读本节课学习的主要内容，说出平方根与平方的关系．2．算术平方根的意义是什么样的？3．怎样求一个正数的算术平方根？教学说明小组间学生互相交流并总结．【课后作业】1．布置作业：从教材“习题6.1”中选取．2．完成练习册中本课时的练习．【教学反思】本课时采用观察、思考、讨论等探究活动归纳得出相应结论，使学生感受到算术平方根的概念与以前学过的求一个数的平方之间的联系．教学时应注意让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程，从而更好地接受新知识．第2课时 平方根【课标要求】知识与技能1．掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根之间的联系与区别．2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系． 过程与方法通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会用算术平方根解决平方根的问题． 情感态度价值观通过对平方根的学习，培养学生从多方面，多角度分析问题，解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯．【教学重难点】重点：平方根的概念和求一个数的平方根．难点：平方根和算术平方根的联系与区别．【教学过程】【情景导入，初步认识】问题 已知一个数的平方等于16，这个数是多少？如何表示这个数呢？【教学分析】由于42＝16，(－4)2＝16，故平方等于16的数有两个：4和－4，把4和－4叫做16的平方根，记为4＝16，则－4＝－16，把4和－4称为16的平方根．提出平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，即若x 2＝a ，则x 为a 的平方根，记为x ＝±a .【思考探究，获取新知】把求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，而平方运算与开平方运算互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根．例1 求下列各数的平方根和算术平方根．(1)925；(2)0.000 4；(3)(－6)2；(4)256. 分析：一个正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正的平方根为算术平方根．可根据平方与开平方的互逆关系，通过平方运算求一个数的平方根．解：(1)因为(±35)2＝925， 所以925的平方根是±35，925的算术平方根是35. (2)因为(±0.02)2＝0.0004，所以0.000 4的平方根是±0.02，它的算术平方根是0.02.(3)因为(－6)2＝36，故±（－6）2＝±6，（－6）2＝6.(4)因为(±16)2＝256，故±256＝±16，256＝16.教学说明一个正数的平方根有两个，不要丢掉其中负的平方根，算术平方根是其中的一个正平方根，不要弄错了符号．求平方根时一定要把所求的数化成x 2的形式，同时注意正数有两个平方根．例2 计算下列各题． (1)484；(2)±1214；(3)－20.25；(4)8×9×10×11＋1. 分析：(1)484就是求484的算术平方根；(2)是求1214的平方根，可把带分数化成假分数；(4)应先求出被开方数的大小．解：(1)484＝222＝22. (2)±1214＝±494＝±72. (3)－20.25＝－4.5.(4)8×9×10×11＋1＝9291＝892＝89.教学说明提醒学生注意分清每个算式的符号(包括性质符号)．例3 求下列各式的值． (1)252－242·32＋42；(2)2014－130.36－15900. 分析：先要弄清每个符号表示的意义，并注意运算顺序．解：(1)原式＝49·25＝7×5＝35.(2)原式＝814－13×0.6－15×30＝92－0.2－6＝－1.7. 教学说明(1)混合运算的运算顺序是先算开平方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学时可根据平方根，算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a 2＝a (a >0)来解．例4 求下列各式中的x .(1)x 2－361＝0；(2)(x ＋1)2＝289；(3)9(3x ＋2)2－64＝0.分析：表面上本题是求方程的解，但实质上可理解为求平方根，用开平方求出x 值；(2)中(x ＋1)、(3)中(3x ＋2)看作一个整体，求出它们后，再求x .解：(1)∵x 2－361＝0，∴x 2＝361.∴x ＝±361，即x ＝±19.(2)∵(x ＋1)2＝289，∴x ＋1＝±289，即x ＋1＝±17.当x ＋1＝17时，x ＝16；当x ＋1＝－17时，x ＝－18.(3)∵9(3x ＋2)2＝64，∴(3x ＋2)2＝649. ∴3x ＋2＝±649，即3x ＋2＝±83. 当3x ＋2＝83时，x ＝29；当3x ＋2＝－83时，x ＝－149. 例5 某建筑工地，用一根钢筋围成一个面积是25 m 2的正方形后还剩下7 m ，你能求出这根钢筋的长度吗？分析：先求出面积是25 m 2的正方形需用的钢筋长度，然后再求出这根钢筋的总长度． 解：正方形的边长为5 m ，钢筋的长度为27 m.教学说明在实际问题中要注意正方形的面积与边长的关系即一个正数与它的算术平方根的关系．【运用新知，深化理解】1.964的平方根是 ±38__，179的平方根是 ±34. 2．81的算术平方根的相反数为 －9 .3．若|a －2|＋b －3＝0，则a 2－2b ＝ －2 .4．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是( C )A ．1B ．－1C ．0D ．1，05．要使a ＋4有意义，则a 的取值范围是( D )A ．a >0B ．a ≥0C ．a >－4D ．a ≥－46．求下列各式的值． (1)0.09＋0.25；(2)120.04＋50.16； (3)（－3）2＋（－4）2；(4)1－（－3）×（－27）；(5)0.64×1916；(6)1－716. 教学说明学生自主完成，教师巡视，然后集体订正．【师生互动，课堂小结】根据下列问题梳理所学知识，学生交流．问题：1.什么叫一个数的平方根？2．正数，0，负数的平方根有什么规律？3．怎样求出一个数的平方根？数a 的平方根怎样表示？【课后作业】1．布置作业：从教材“习题6.1”中选取．2．完成练习册中本课时的练习．【教学反思】本课时教学重在挖掘平方根与算术平方根间的区别与联系，通过实例训练引导学生认识新知识，形成计算能力．。
