高中数学第一讲1绝对值三角不等式学案含解析新人教A版选修9

1.绝对值三角不等式基础巩固1已知|a-b|=1,b=(3,4),则|a|的取值范围是()A.[3,4]B.[4,5]C.[4,6]D.[3,6]||a-b|-|b||≤|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,∴4≤|a|≤6.2已知ab>0,有如下四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.3已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是() A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<||a|-|b||D.|a-b|<|a|+|b|4已知|x-m|<ξ2,|ξ−ξ|<ξ2,则|4ξ+2ξ−4ξ−2ξ|小于()A.ξB.2ξC.3ξD.ξ25若不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为⌀,则a的取值范围为() A.(5,+∞) B.[5,+∞)C.(-∞,5)D.(-∞,5]6已知|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是.ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,又|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以3≤|ξξ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13.7x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.8不等式|ξ+ξ||ξ|-|ξ|≥1成立的充要条件是.⇔|ξ+ξ|-(|ξ|-|ξ|)|ξ|-|ξ|≥0.∵|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9设|a|≤1,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明：|f(x)|≤54.(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=−(|ξ|-12)2+54≤54,即|f(x)|≤54.10已知f(x)=ax2+bx+c,且当|x|≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)|b|≤1.由|f(0)|≤1,得|c|≤1.(2)由|f(1)|≤1,得|a+b+c|≤1,由|f(-1)|≤1,得|a-b+c|≤1,故|b|=|ξ+ξ+ξ+(-ξ+ξ-ξ)|2≤12(|ξ+ξ+ξ|+|ξ−ξ+ξ|)≤1.能力提升1已知x 为实数,且|x-5|+|x-3|<m 有解,则m 的取值范围是( )A.m>1B.m ≥1C.m>2D.m ≥2|x-5|+|x-3|≥|x-5+3-x|=2, ∴|x-5|+|x-3|的最小值为2. ∴要使|x-5|+|x-3|<m 有解,则m>2.2已知h>0,a ,b ∈R ,命题甲:|a-b|<2h ;命题乙:|a-1|<h ,且|b-1|<h ,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 与b 的距离可以很近,满足|a-b|<2h ,但此时a ,b 与1的距离可以很大,因此甲不能推出乙;若|a-1|<h ,|b-1|<h ,则|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h ,故乙可以推出甲.因此甲是乙的必要不充分条件.3已知|a|≠|b|,m =|ξ|-|ξ||ξ-ξ|,ξ=|ξ|+|ξ||ξ+ξ|,则ξ,ξ之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m ≤n,知|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|,则|ξ|-|ξ||ξ-ξ|≤1≤|ξ|+|ξ||ξ+ξ|.4设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2 C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小(a+b )(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )+(a-b )|=2|a|<2, 当(a+b )(a-b )<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b )-(a-b )|=2|b|<2.综上可知,|a+b|+|a-b|<2.5下列不等式恒成立的个数是()①x+1ξ≥2(x≠0);②ξξ<ξξ(ξ>ξ>ξ>0);③ξ+ξξ+ξ>ξξ(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ);④|a+b|+|b-a|≥2a.A.4B.3C.2D.1,当x<0时不等式不成立;②成立,a>b>c>0⇒ξξξ>ξξξ即1ξ>1ξ,又由于c>0,故有ξξ>ξξ;③成立,因为ξ+ξξ+ξ−ξξ=(ξ-ξ)ξξ(ξ+ξ)>0(ξ,ξ,ξ>0,ξ<ξ),所以ξ+ξξ+ξ>ξξ;④成立,由绝对值不等式的性质可知|a+b|+|b-a|≥|(a+b)-(b-a)|=|2a|≥2a,故选B.6已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则实数a的取值范围为.-∞,32]7函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.★8下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③|ξξ+ξξ|≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1.其中恒成立的是(只填序号).x>1,∴log x10+lg x=1lgξ+lg x≥2,①正确;当ab ≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确; ∵ab ≠0,ξξ与ξξ同号,∴|ξξ+ξξ|=|ξξ|+|ξξ|≥2,③正确; 由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上可知,①③④正确.★9对定义在区间[-1,1]上的函数f (x ),若存在常数A>0,使得对任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤A|x 1-x 2|,则称f (x )具有性质L .问函数f (x )=x 2+3x+5与g (x )=√|ξ|是否具有性质L ?试证明.f (x )具有性质L,函数g (x )不具有性质L . 证明如下:(1)对于函数f (x )=x 2+3x+5,任取x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|=|ξ12−ξ22+3(ξ1−ξ2)|=|(x 1-x 2)(x 1+x 2+3)| =|x 1-x 2||x 1+x 2+3|≤|x 1-x 2|(|x 1|+|x 2|+3)≤5|x 1-x 2|. 故存在A=5,使f (x )具有性质L . (2)对于函数g (x )=√|ξ|,设它具有性质L,任取x 1,x 2∈[-1,1],当x 1,x 2不同时为0时, 则|g (x 1)-g (x 2)|=|√|ξ1|−√|ξ2||=√|ξ12≤√|ξ12≤A|x 1-x 2|,得A ≥√|ξ121ξ≤√|ξ1|+√|ξ2|≤2.得1ξ∈(0,2]. 取x 1=14ξ2≤1,x 2=116ξ2≤14,有√|ξ1|+√|ξ2|=12ξ+14ξ=34ξ<1ξ, 与√|ξ1|+√|ξ2|≥1ξ矛盾, 故函数g (x )=√|ξ|不具有性质L .。

1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知m ，n ∈R ，则1m >1n成立的一个充要条件是() A ．m >0>n B ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0 解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn>0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0. 答案：D2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ； 而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．ab 2>cb 2D ．a (a －c )<0解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．答案：A4．设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a <b 且a >0，b >0，则1a >1b ⇒－1a <－1b ， 所以a －1a <b －1b. 若a －1a <b －1b， 且a >0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .答案：C5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则()A.1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0xy ＞1 ln(xy )＞0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． 答案：C二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0， 所以a ＜1a. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值X 围是______．解析：因为－4＜b ＜2，所以0≤|b |＜4，所以－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，所以－3＜a －|b |＜3.答案：(－3，3)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三、解答题9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值X 围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝52.所以3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤3a －2b ≤10.10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －bb （b ＋1）.因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －bb （b ＋1）＞0.所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级 能力提升1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则()A ．a c ＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：法一 由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝xc －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c＞ba c ，B 错； 易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错； 由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．法二 依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确． 答案：C2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a （a －1）＝a －b a （a －1）. 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知c a ＞d b，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。

1.2 绝对值不等式庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1。

定理1 如果a，b是实数，则|a+b|≤|a｜+｜b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b〈0时，等号都是成立的，即有｜a+b|=｜a｜+|b｜.除此之外，就是｜a+b｜<｜a|+｜b｜了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立。

即有｜a+b|≤|a|+｜b|成立，当且仅当向量a，b不共线时，有｜a+b｜<｜a｜+|b｜成立。

联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么｜a|—|b｜≤｜a±b|≤|a|+|b｜。

（2）|a1+a2+a3+…+a n｜≤｜a1|+｜a2|+|a3｜+…+｜a n｜（n∈N*）.2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a，b，且向量a，b不共线时，所成立的不等式|a+b｜〈|a｜+|b|。

绝对值三角不等式即向量不等式｜a+b|〈｜a｜+|b｜的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边（如下图所示）.记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的,所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了。

3.定理 2 如果a,b，c是实数，那么｜a—c｜≤|a-b｜+|b—c|,当且仅当(a-b）（b-c)≥0时，等号成立。

对于定理2，同学们不但要记住它的形式,还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b,只有右边才有。

学法一得要注意|a—c｜可以变形为｜（a—b）+(b-c）|，熟悉这种变形,那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了。

二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法,它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a〉0，则有:｜x｜<a⇔-a〈x〈a，因此，不等式|x｜〈a的解集是（-a，a）；|x｜>a⇔x〈-a或x〉a，因此，不等式｜x|>a的解集是（-∞，-a）∪(a，+∞）.1.｜ax+b｜≤c和｜ax+b｜≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x｜〉a的不等式的解法即可.2。

第一课时 绝对值三角不等式[基础达标]1.若实数a ，b ，c 满足|a －c |＜|b |，则下列不等式中成立的是 A.|a |＞|b |－|c |B.|a |＜|b |＋|c |C.a ＞c －bD.a ＜b ＋a解析 由|a |－|c |≤|a －c |＜|b |知|a |－|c |＜|b |， 即|a |＜|b |＋|c |. 答案B2.已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是A.m >nB.m <nC.m ＝nD.m ≤n解析 由绝对值不等式的性质，知 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ∴|a |－|b ||a －b |≤1≤|a |＋|b ||a ＋b |.∴m ≤n .答案D3.已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________.解析|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝4.答案 44.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值X 围是________. 解析 利用绝对值不等式的性质求解.∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案 －2≤a ≤45.已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |＝s3，求证|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .证明 ∵|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3， ∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[能力提升]1.对于|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，下列结论正确的是 A.当a 、b 异号时，左边等号成立 B.当a 、b 同号时，右边等号成立 C.当a ＋b ＝0时，两边等号均成立D.当a ＋b ＞0时，右边等号成立；当a ＋b ＜0时，左边等号成立 答案B2.若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，则a 的取值X 围是 A.(－∞，3)B.(－∞，3]C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，即a <[|x ＋1|－|x －2|]min ，也就转化为求函数y ＝|x ＋1|－|x －2|的最小值问题.∵||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.∴[|x ＋1|－|x －2|]min ＝－3，∴a <－3. 答案C3.函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的最小值是 A.3B.2C.1D.0解析 ∵y ＝|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，∴y min ＝3. 答案A4.若1＜1a ＜1b，则下列结论中不正确的是A.log a b ＞log b aB.|log a b ＋log b a |＞2C.(log b a )2＜1D.|log a b |＋|log b a |＞|log a b ＋log b a |答案D5.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |<|b －c |，则 A.ad ＝bcB.ad <bcC.ad >bcD.ad 与bc 大小不定答案C6.若关于x 的不等式|x |＋|x －1|<a (a ∈R)的解集为∅，则a 的取值X 围是 A.[－1，1]B.(－1，1)C.(－∞，1]D.(－∞，1)解析 ∵|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，∴若关于x 的不等式|x |＋|x －1|的解集为∅，则a 的取值X 围是a ≤1.答案C7.设x 1、x 2是函数f (x )＝2 011x定义域内的两个变量，且x 1＜x 2，若α＝12(x 1＋x 2)，那么下列不等式恒成立的是A.|f (α)－f (x 1)|＞|f (x 2)－f (α)|B.|f (α)－f (x 1)|＜|f (x 2)－f (α)|C.|f (α)－f (x 1)|＝|f (x 2)－f (α)|D.f (x 1)f (x 2)＞f 2(α) 答案B8.对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________. 解析解法一 |x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分).∵|x －2y ＋1|＝5·|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离.当(x ，y )为(0，3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55.故|x －2y ＋1|max ＝5.解法二 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案 59.已知|a ＋b |＜－c (a 、b 、c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ； ⑤|a |＜－|b |－c .其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上). 答案 ①②④10.对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试某某数x 的取值X 围.解析 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，则|x －1|＋|x －2|小于或等于|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值，∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |， 当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值等于2，∴x 的X 围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解.∵|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，又数轴上的12，52对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52. 11.已知f (x )＝x 2－x ＋c 定义在区间[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，求证： (1)f (0)＝f (1)；(2)|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|. 证明 (1)f (0)＝c ，f (1)＝c ， 故f (0)＝f (1). (2)|f (x 2)－f (x 1)| ＝|x 22－x 2＋c －x 21＋x 1－c |＝|x 2－x 1||x 2＋x 1－1|，∵0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，0＜x 1＋x 2＜2(x 1≠x 2)， ∴－1＜x 1＋x 2－1＜1， ∴|x 2＋x 1－1|＜1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 1－x 2|.12.设x 、y ∈R，求证：|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.证明 由绝对值不等式的性质得： |2x－x |＋|2y－y |≥|2x＋2y －(x ＋y )| ≥|2x＋2y|－|x ＋y |， ∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y | ≥|2x＋2y|＝2x＋2y. 又∵2x＋2y≥22x·2y＝2x ＋y2＋1，∴|2x－x |＋|2y－y |＋|x ＋y |≥2x ＋y2＋1.。

第1课时绝对值三角不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题．知识点绝对值三角不等式思考1 实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？答案|a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离．思考2 代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？答案表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和．梳理(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1.求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1，∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a |＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2|＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)|≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a |＋|2|＝2|a |＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1 已知|A －a |＜s 3，|B －b |＜s 3，|C －c |＜s 3，求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＜s . 证明 ∵|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |，又∵|A －a |＜s 3，|B －b |＜s 3，|C －c |＜s 3， ∴|A －a |＋|B －b |＋|C －c |＜s 3＋s 3＋s 3＝s ， ∴|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＜s .类型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围． 解 (1)方法一 ||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.方法二 把函数看作分段函数，。