湖南省湘潭县一中、岳阳县一中2015-2016学年高二上学期联考(期中)数学(理)试题 Word版含答案

湖南省湘潭市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·鹰潭期中) 数列{an}：1，﹣，，﹣，…的一个通项公式是（）A . an=（﹣1）n+1 （n∈N+）B . an=（﹣1）n﹣1 （n∈N+）C . an=（﹣1）n+1 （n∈N+）D . an=（﹣1）n﹣1 （n∈N+）2. （2分） (2017高一下·安平期末) 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A . 180B . 200C . 128D . 1623. （2分） (2019高一下·吉林月考) 在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 直角三角形4. （2分）的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a=80,b=100,A=30，则此三角形（）A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形C . 一定是钝角三角形D . 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形5. （2分）设，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . b>c>aC . b>a>cD . a>c>b6. （2分）在△ABC中，①若sinA>sinB,则A>B ，②若cos2B>COS2A,则A>B，③若A>B,则sinA>sinB ，④若A>B ,则cos2B>cos2A,其中正确结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）A . ﹣24C . 3D . 88. （2分）设等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（）A .B .C .D .9. （2分）各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，a3 ， a5 ， a6成等差数列，则 =（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·银川模拟) 在中，角的对边分别为，已知的面积为，且，则的最小值是（）A .B .C .11. （2分）(2020·随县模拟) 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 若，，，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·湖北月考) 已知数列为等差数列，为的边上任意一点，且满足，则的最大值为________．14. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 在△ABC中，|AB|=4，|AC|=2，∠A=60°，|BC|=________．15. （1分）(2017·河西模拟) 已知数列{an}满足a1= ，an+1=an2+an（n∈N*），则的整数部分是________．16. （1分）设2＜x＜5，则函数的最大值是________三、解答题 (共6题；共65分)17. （5分）在△ABC中，bsinA=acosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．18. （10分）(2018·郑州模拟) 在中，角的对边分别为，且 .（1）求角；（2）若的面积为，求的最小值.19. （15分）已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2 ．（1）求f（x）的表达式；（2）设数列{an}满足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求证bn+1=bn2；（3）求数列{bn}的通项公式．20. （10分）(2013·湖北理) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．（1）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21. （15分） (2016高一上·承德期中) 已知函数f（x）=（1）当x≤0时，解不等式f（x）≥﹣1；（2）写出该函数的单调区间；（3）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．22. （10分） (2018高二上·湖南月考) 数列满足， .（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

湘潭县一中岳阳县一中12月高二联考文科数学时量：120分钟 分值：150分本试卷分为第Ⅰ卷（基础部分100分）和第Ⅱ卷（能力部分50分）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（基础部分100分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案填涂在答题卡上 1.若a ∈R,则“a =1”是“|a |=1”的 （ ）A ．充要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分又不必要条件 2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( )A 、1+=n n a n B 、12-=n a n C 、n n n a )1(5-+= D 、13-=n a n 3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]4.直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为 ( )A . 15 B. 255 C. 55 D. 255. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A 所有不能被2整除的数都是偶数 B 所有能被2整除的数都不是偶数 C 存在一个不能被2整除的数是偶数 D 存在一个能被2整除的数不是偶数7. 已知双曲线12222=-by ax 的一个焦点与抛物线2y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于310，则该双曲线的方程为（ ） A ．1922=-y x B ．1922=-y x C ．122=-y x D ．19922=-y x8．若)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1)-+∞，C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答卷相应位置上9. 已知x >12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最小值是10. 在△ABC 中,若4,5,a b c ==则C ∠的大小为11. 已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增;命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅.若p 且q 为真命题,则实数c 的取值范围是_ ____.12.已知x ,y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为13．.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1>0，S 8＝S 13，S k ＝0，则k 的值为三．解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. （本小题满分11分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC,,75 =∠ADB ∠ACD=30°,AD =2.求：(I)求CD 的长; (II)求ΔABC 的面积15. （本小题满分12分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且51630,14S a a =+=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}2na 的前n 项和公式.16. （本小题满分12分）已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；Ⅱ卷（能力部分50分）一．选择题：（5分）17如图，双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为A .相交B .相切C .相离D .以上情况都有可能二．填空题：（5分） 18.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 .三．解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19（本小题满分13分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？20（本小题满分13分）.已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且)(04231*+∈=---N n n S S n n（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，/()f x 是函数()f x 的导函数，令/(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性21（本小题满分14分）.已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4。

2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设，是向量，命题“若=﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠||B．若=﹣，则||≠||C．若||≠||，则≠﹣ D．若||=||，则=﹣2．（5分）已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．ad＞bc C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d3．（5分）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥14．（5分）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}5．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=16．（5分）已知条件p：1≤x≤3，条件q：x2﹣5x+6＜0，则p是q的（）条件．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件7．（5分）若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}则a，b的值分别是（）A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=28．（5分）设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A．10 B．9 C．8 D．7.5二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a=3，A=30°，B=45°，则b=．10．（5分）已知{a n}是等比数列，，则公比q=．11．（5分）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值=．12．（5分）函数的最小值为．13．（5分）若数列{a n}满足，则数列{a n}的前n项和S n=．14．（5分）已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．三、解答题（共50分）15．（8分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．16．（10分）等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．（10分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？19．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设，是向量，命题“若=﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠||B．若=﹣，则||≠||C．若||≠||，则≠﹣ D．若||=||，则=﹣【解答】解：根据逆命题的定义，交换条件和结论即可得到命题的逆命题：若||=||，则=﹣．故选：D．2．（5分）已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．ad＞bc C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．故选：D．3．（5分）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1故选：A．4．（5分）若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1}，={x|0＜x≤2}故A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．5．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18又∵个焦点的坐标是（3，0），∴椭圆在x轴上，c=3∵c2=a2﹣b2∴a2=25 b2=16所以椭圆的标准方程为故选：B．6．（5分）已知条件p：1≤x≤3，条件q：x2﹣5x+6＜0，则p是q的（）条件．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件【解答】解：由x2﹣5x+6＜0得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，∵（2，3）⊊[1，3]，∴p是q的必要不充分条件，故选：C．7．（5分）若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}则a，b的值分别是（）A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=2【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}，∴﹣2，﹣是ax2+bx﹣2=0的两个根，∴，∴，故选：C．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A．10 B．9 C．8 D．7.5【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示令z=2x+3y，则y=，则表示直线在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线2x+3y=0，然后把该直线平移，结合图形可知，当直线z=2x+3y经过点B 时，z最大由可得B（3，1），此时z=9故选：B．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a=3，A=30°，B=45°，则b=3．【解答】解：由正弦定理，，可得，b===3．故答案为：．10．（5分）已知{a n}是等比数列，，则公比q=．【解答】解由题意：∴q=故答案是11．（5分）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值=16．【解答】解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴2=，解得m=16．故答案为：16．12．（5分）函数的最小值为4．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴f（x）=x+=（x﹣2）++2≥2+2=4，当且仅当x﹣2=1，即x=3时取等号∴函数f（x）的最小值为f（3）=4．故答案为：4．13．（5分）若数列{a n}满足，则数列{a n}的前n项和S n=．【解答】解：当x=0时，a n=﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n==﹣n2﹣n；当x=1时，a n=1﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣n2；当x≠0，1时，S n=﹣n2﹣n．∴数列{a n}的前n项和S n=．故答案为：．14．（5分）已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：三、解答题（共50分）15．（8分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）依题意：，∴（4分）（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即：a2=（b+c）2﹣2bc﹣bc，∴3bc=（b+c）2﹣a2=9，bc=3．（7分）∴．（8分）（另解：算出b=1，c=3或c=1，b=3，没有分情况说明扣（1分）．）16．（10分）等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a 2+a4=6，a6=S3，得，解得．∴a n=1+1×（n﹣1）=n；（Ⅱ），由a k，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4．17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[（10分）]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）18．（10分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000=8000000【解答】解：（元）=800（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000=200000（元）=20（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列（2分）所以函数表达式为：；…（6分）（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：…（10分）=（元）…（12分）当且仅当，即x=30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…（14分）19．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意。

岳阳市一中2015年下期高二期中考试数学试卷时量：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则()U C A B U 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,42．命题“若α=4π,则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π,则tan α≠1 B.若α=4π,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠4πD.若tan α≠1,则α=4π3.若n x x x x ,,,,321 的平均数为x ，则a x +1,a x +2,…,a x n +的平均数为( )A . a x +B ．x aC ．x a 2D .2a x +4.已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则y x +2的最大值是（ ）A. 3B.2C. 0D.-45.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A.1 B.21 C.31D.616.下列命题中正确的是( )A.22bc ac b a >⇒> B.22b a b a >⇒> C.33b a b a >⇒> D.b a b a >⇒>227.“φ＝2π”是“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数的”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．4+B 1C D 19.在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则222||||||PA PB PC +=( ) A ．2B ．4C ．5D ．1010（限文科生做）设[]x 表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1），对于给定的n ∈N *,定义[][])1()1()1()1(+--+--=x x x x x n n n C xn ，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x C 8的值域是( ) A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦（限理科生做）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -． 例如，当x x x x sin )(,)(231==ϕϕ时，B x A x ∈∈)(,)(21ϕϕ．现有如下结论：①设函数)(x f 的定义域为D ，若对于任何实数b ，存在D a ∈，使得b a f =)(，则)(x f A ∈； ②若函数)(x f B ∈，则)(x f 有最大值和最小值；③若函数)(x f ，)(x g 的定义域相同，且B x g A x f ∈∈)(,)(，则B x g x f ∉+)()(； ④若函数)(x f ＝),2(1)2ln(2R a x x xx a ∈->+++有最大值，则B x f ∈)(． 其中正确的是（ ） A. ②③④B. ①③④C. ②③D. ①③二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是_________ .13.下列命题： ①命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”;②若命题p ：2,10x R x x ∀∈++≠，则p ⌝：2,10x R x x ∃∈++=; ③若p q∨为真命题，则p ，q 均为真命题; ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.其中正确命题的序号有_________ .14.已知：0{(,)|yx y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =的交点，它们围成的封闭平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2()[,1]2P M ππ-∈，则实数m 的取值范围为 .15.如右图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 111111111,,1222363412=+=+=+,…， 则(1)第6行第2个数（从左往右数）为_________；(2)第n 行第3个数（从左往右数）为_________．三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值．17、（本小题满分12分）已知命题0352:2<+-x x p ，命题:q []()02)12(≤-⋅+-a x a x ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥,CD AC ⊥, ︒=∠60ABC ,BC AB PA ==,E 是PC 的中点． (1)证明：AE CD ⊥；(2)证明：⊥AE 平面PDC ；(3)（限理科生做,文科生不做）求二面角D PC B --的余弦值．ABCD PE19、（本小题满分13分）如下图，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ， 其中36AB =米，20=AD 米. 记三角形花园AMN 的面积为S .(1）问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； (2）若S 不超过1764平方米，求DN 长的取值范围. 20、（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率2e =．过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．21、（本小题满分13分）正项数列｛n a ｝的前n 项和为S n ，q 为非零常数.已知对任意正整数n, m ，当n m >时m n m m n S q S S -⋅=-总成立.(1）求证：数列｛n a ｝是等比数列；(2）若互不相等的正整数n, m, k 成等差数列，比较,n k S S + 2m S 的大小； (3）（限理科生做,文科生不做）若正整数n, m, k 成等差数列，求证：n S 1＋k S 1≥mS 2.2015年高二期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分C C A BD C A D D D(B)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上． 11.x y 82= 12. 4 13. ①②④ 14. []1,0 15.)2)(1(2,301--n n n 三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（1）1)6sin(2)0(-=-=πf ……（6分）（2）,1310sin 2)23(==+απαf 56cos 2)2sin(2)23(==+=+βπβπβf53cos ,135sin ==∴βα6563)sin(=+⇒βα……（12分） 17．(12分)解: p 是q 的充分不必要条件说明p 对应的集合是q 对应集合的子集而:p 对应集合是集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=231x x A ；……（4分） 而024)14(:22≤+++-a a x a x q因式分解得到： []()02)12(≤-⋅+-a x a x 即有： 122+≤≤a x a 也就是命题q 对应的集合为： {}122+≤≤=a x a x B …… （7分）要满足要求，则须：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤23212a a 2141≤≤∴a …… （12分） 18.（12分）（1）证明： ⊥PA 底面ABCD ，∴CD PA ⊥.又 CD AC ⊥∴⊥CD 面PAC ，⊂AE 面PAC ，∴AE CD ⊥. ……（4分）（2）证明： BC AB =,︒=∠60ABC ∴ABC ∆是等边三角形，∴AC PA =，又E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥，又由（1）可知AE CD ⊥，∴⊥AE 面PDC ……（8分）（3）解：由题可知 AD AB PA ,,两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设2=AB ，则),,,(),,,(),,,(200031002P C B ),,(0340D .y设面PBC 的一个法向量为),,(z y x =，),,(202-= ),,(031-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m PB 即⎩⎨⎧=+-=-03022y x z x 取3=y 则3==z x ，即),,(333= 设面PDC 的一个法向量为),,(z y x =，),,(231-= ),,(2340-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PD即2020x z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取3=y 则21==z x ,即),,(231=n 742821633=++=>=<||||,cos n m ， 由图可知二面角D PC B --的余弦值为742-．……（12分）19．（13分）（1）设DN x =米（0x >），则20AN x =+.因为DN AN DC AM =,所以2036x x AM +=，即36(20)x AM x+=. 所以2118(20)2x S AM AN x +=⨯⨯= ……（4分）40018(40)1440x x=++≥，当且仅当20x =时取等号. 所以，S 的最小值等于1440平方米.……（7分）(2）由218(20)1764x S x+=≤得2584000x x -+≤. 解得850x ≤≤.所以，DN 长的取值范围是[8, 50]. ……（13分）20.（13分）解：（1）由题意可得2a =，2c e a ==，∴c = ∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=．……（4分） （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=．……（8分） （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n==--， ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 所以直线CD 与圆O 相切． ……（13分）21．（13分）解（1）因为对任意正整数n, m ，当n ＞ m 时，m n m m n S q S S -⋅=-总成立 所以当n ≥2时：111S q S S n n n --=-，即11-⋅=n n q a a ，且1a 也适合，又n a ＞0， 故当n ≥2时：q a a n n=-1（非零常数），即｛n a ｝是等比数列．……（4分） (2）若1=q ，则111,,ka S ma S na S k m n ===所以12(2)0n k m S S S n k m a +-=+-=n k S S ∴+=2m S 若0,q >1≠q ，则q q a S n n --=1)1(1，q q a S m m --=1)1(1，qq a S k k --=1)1(1所以12[(1)(1)2(1)]1n k m n k m a S S S q q q q+-=-+----1(2)1n k m a q q q q=-+--0,1q q >≠222220n k nkmmm q q q q qq +∴+->=-=①若1,q >n k S S +>2m S ②若01,q <<n k S S +<2m S ……（8分）(3）若1=q ，则111,,ka S ma S na S k m n ===所以11211nka m nka k n S S k n =+=+≥mS ma a m m a k n m 222)2(211212===⋅+ 若0,1q q >≠，则q q a S n n --=1)1(1，q q a S m m --=1)1(1，qq a S k k --=1)1(1所以k n S S 11+≥212)1)(1()1(212a q q q S S kn k n ---= 又因为k n k n k n q q q q q +++-=--)(1)1)(1(≤22)1(2121m m m k n kn q q q q q-=+-=+-++ 所以k n S S 11+≥212)1)(1()1(212a q q q S S k n k n ---=≥mm S a q q 2)1()1(22122=⋅-- 综上可知：若正整数n, m, k 成等差数列，不等式 n S 1＋k S 1≥mS 2总成立 (当且仅当k m n ==时取“＝”) ……（13分）16.(8分)解: p 是q 的充分不必要条件说明p 对应的集合是q 对应集合的子集而:p 对应集合是集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=231x x A ；（2分） 而024)14(:22≤+++-a a x a x q因式分解得到： []()02)12(≤-⋅+-a x a x 即有： 122+≤≤a x a 也就是命题q 对应的集合为： {}122+≤≤=a x a x B （4分）要满足要求，则须：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤23212a a 2141≤≤∴a （8分） 18.（9分）（1）证明： ⊥PA 底面ABCD ，∴CD PA ⊥.又 CD AC ⊥∴⊥CD 面PAC ，⊂AE 面PAC ，∴AE CD ⊥. （3分）（2）证明： BC AB =,︒=∠60ABC ∴ABC ∆是等边三角形，∴AC PA =，又E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥，又由（1）可知AE CD ⊥，∴⊥AE 面PDC （6分）又⊥PA 底面ABCD ，∴PA AB ⊥， 又 AD AB ⊥∴⊥AB 面PDA ∴AB PD ⊥∴⊥PD 平面ABE .（3）解：由题可知 AD AB PA ,,两两垂直,如图建立空间直角坐标系,设2=AB ，则),,,(),,,(),,,(200031002P C B ),,(0340D设面PBC 的一个法向量为),,(z y x =，),,(202-= ),,(031-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m PB 即⎩⎨⎧=+-=-03022y x z x 取3=y 则3==z x ，即),,(333= 设面PDC 的一个法向量为),,(z y x =，),,(231-= ),,(2340-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PD 即2020x z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取3=y 则21==z x ,即),,(231=n y742821633=++=>=<||||,cos n m ， 由图可知二面角D PC B --的余弦值为742-．（9分）20.（10分）解：（1）由题意可得2a =，c e a ==c = ∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=．（3分） （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=．（6分） （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n==--， ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====，所以直线CD与圆O相切．（10分）20．为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半圆形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，∠CAB=90°．（1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；（2）拟在半圆形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C 较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．20．（本小题满分1 3分）为了改善人居环境，市政府计划在如图所示的一块空地上修建公园，设计将上面的半网形区域建为休闲广场，将下面的三角形区域建为人工湖，同时修建从居民区C到点A，B的直线道路；经测量得AC=6，CB=10，∠CAB=90°．（1）拟在人工湖中修建一座湖心亭，为了达到最佳观赏效果，要求湖心亭到三条湖岸的距离相等，请确定湖心亭的具体位置；（2）拟在半网形区域内设计一条界线，并在界线上栽种名贵树木，将休闲广场分为两部分；考虑到市民休闲的方便，是否能确定这样一条界线，使位于界线一侧的点沿CA到C较近，而另一侧的点沿CB到C较近？如能，请确定这条界线；如不能，请说理由．9、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ，P 为一个动点，且12||||PC PC +=(1）求动点P 的轨迹M 的方程；（2）是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D ，使得11||||C C C D =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C - （2分）∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以原点为中心，1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点，长轴长为2a =的椭圆，1,1a c b ==== （4分）∴椭圆的方程为2212x y +=，即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (6分) （2）(i)当直线l 的斜率不存在时，易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部，直线l 与椭圆M 无交点，所以直线l 不存在。

岳阳县一中、湘潭县一中2015年高二联考化学试卷时量：90分钟分值：100分命题：何灿辉（湘潭县一中）审题：阎海红（岳阳县一中）本卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 Si 28 O 16 As 75第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上。

）1、发展生物柴油具有战略意义，生物柴油就是以大豆、油菜籽等油料作物、工程微藻等水生植物以及动物油脂、废餐饮油等为原料制成的液体燃料，是优质的石油、柴油代用品。

据以上信息，下列有关生物柴油的说法错误的是A．生物柴油是可再生能源B．发展生物柴油也有益于保护生态环境C．生物柴油的组成成分与矿物柴油完全相同D．发展生物柴油有利于调整产业结构、增加农民收入2、已知某酸性溶液中含有Ba2+、Fe3+，则下列能与上述离子共存的离子组是（）A．CO32﹣、SO42﹣、NH4+、Na+ B． Cl﹣、SCN﹣、NO3﹣、Cu2+C．Br﹣、I﹣、Mg2+、Na+ D． H+、Cl﹣、NO3﹣、Al3+3、右图是立方烷的球棍模型，下列有关说法不正确的是( )A．它的一氯代物只有一种同分异构体B．它的二氯代物有三种同分异构体C．它能使溴水褪色D．它与苯乙烯（C6H5—CH=CH2）互为同分异构体4、下列有关化学用语表示正确的是（）A．丙烯的结构简式：C3H6 B．氢氧根离子的电子式：C．氯原子的结构示意图：D．中子数为146、质子数为92 的铀(U)原子146 92U5、在2A＋B 3C＋4D反应中，表示该反应速率最快的是A．υ（A）＝ 0.5 mol/（L·ｓ） B．υ（B）＝ 0.3 mol/（L·ｓ）C．υ（C）＝ 12 mol/（L·min） D．υ（D）＝ 6 mol/（L·min）6、为了检验溴乙烷中含有溴元素，有以下操作，顺序合理的是（）①加AgNO3溶液②加NaOH溶液③加热④加蒸馏水⑤加硝酸至溶液显酸性A．②①③⑤ B．②④⑤③ C．②③⑤① D．②①⑤③7、N A为阿伏加德罗常数，下列说法正确的是（）A．标准状况下，11.2L的戊烷所含的分子数大于0.5N AB．28g乙烯所含共用电子对数目为4N AC．标准状况下，11.2 L二氯甲烷所含分子数为0.5N AD．现有乙烯、丙烯、丁烯的混合气体共14g，其原子数为2N A＞9、反应：L(s)＋a G(g)b R(g) 达到平衡时，温度和压强对该反应的影响如图所示：图中压强p1＞p2，x轴表示温度，y轴表示平衡混合气中G的体积分数。

湘潭市一中上学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分） 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则等于 （ ） A ．B ．3C ．D ．3. 6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( )A.CB.AC.. AD. A ·A4．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( ) A.31B. 32C. 21D.435．若不等式在上恒成立,则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.6．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同7．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为 全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽 取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：附表：参照附表，下列结论正确的是（）．A. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”；C ．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”；D ．有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”．8．如图1，已知正方体ABCD－A1B1C l D1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A.B.C.D.9．下列四个结论，其中正确的有（）个．①已知，则；②过原点作曲线的切线，则切线方程为（其中为自然对数的底数）；③已知随机变量，且，则④已知为正偶数，用数学归纳法证明等式时，若假设时，命题为真，则还需利用归纳假设再证明时等式成立，即可证明等式对一切正偶数都成立．⑤在回归分析中，常用来刻画回归效果，在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近1，表示回归的效果越好．A．2 B．3 C．4 D．510．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为（）A．B．C．D．11．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1，2，…，8，若同颜色的球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法种数为（）A．31 B．27 C．54 D．6212．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( )A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若，则。

2015-2016学年湖南省岳阳一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}2．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=3．（5分）若x1，x2，x3，…，x n的平均数为，则x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为（）A． B．C． D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．45．（5分）一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．6．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b7．（5分）“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知F1，F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4+2B．﹣1 C．D．9．（5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A．2 B．4 C．5 D．1010．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n ∈N*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数的值域是（）A．B．C．[28，56）D．11．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下结论：①设函数f（x）的定义域为D，若对于任何实数b，存在a∈D，使得f（a）=b，则f（x）∈A；②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则（f（x）+g（x））∉B；④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．②③D．①③二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．12．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是．13．（5分）若x∈（0，l）时，不等式恒成立，则实数m的最大值为．14．（5分）下列选项叙述错误的是．①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0；③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题；④“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．15．（5分）已知平面区域Ω=，直线l：y=mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．16．（5分）如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，==+，=+，…，则（1）第6行第2个数（从左往右数）为；（2）第n行第3个数（从左往右数）为．三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α∈[0，]，β∈[﹣，0]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos （α+β）的值．18．（12分）已知命题p：2x2﹣5x+3＜0，命题q：[x﹣（2a+1）]•（x﹣2a）≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：CD⊥AE；（2）证明：AE⊥平面PDC；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．（13分）如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=36米，AD=20米．记三角形花园AMN的面积为S．（Ⅰ）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；（Ⅱ）若S不超过1764平方米，求DN长的取值范围．21．（13分）设椭圆的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率e=．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．22．（13分）正项数列{a n}的前n项和为S n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m=q m•S n﹣m总成立．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若互不相等的正整数n，m，k成等差数列，比较S n+S k，2S m的大小；（3）若正整数n，m，k成等差数列，求证：+≥．2015-2016学年湖南省岳阳一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B为（）UA．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，3，4}D．{0，2，4}【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选：D．2．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．3．（5分）若x1，x2，x3，…，x n的平均数为，则x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为（）A． B．C． D．【解答】解：x1，x2，x3，…，x n的平均数为，∴=（x1+x2+…+x n）；∴x1+a，x2+a，…，x n+a的平均数为（x1+a+x2+a+…+x n+a）=（x1+x2+x3+…+x n）+a=+a．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，0），此时z=2×1=2，故选：C．5．（5分）一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，其高已知为1，底面是长度为1的直角三角形，底面积是=其体积是=故选：D．6．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b 【解答】解：选项A，当c=0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a=﹣1，b=﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a=﹣2，b=﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选：C．7．（5分）“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为φ=⇒函数y=sin（x+φ）=cosx为偶函数，所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”充分条件，“函数y=sin（x+φ）为偶函数”所以“φ=kπ+，k∈Z”，所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知F1，F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4+2B．﹣1 C．D．【解答】解：依题意可知双曲线的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）∴F1F2=2c∴三角形高是cM（0，c）所以中点N（﹣，c）代入双曲线方程得：=1整理得：b2c2﹣3a2c2=4a2b2∵b2=c2﹣a2所以c4﹣a2c2﹣3a2c2=4a2c2﹣4a4整理得e4﹣8e2+4=0求得e2=4±2∵e＞1，∴e=+1故选：D．9．（5分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A．2 B．4 C．5 D．10【解答】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，∵AB是Rt△ABC的斜边，∴以AB为直径的圆必定经过C点设AB=2r，∠CDB=α，则A（﹣r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）∵点P为线段CD的中点，∴P（rcosα，rsinα）∴|PA|2=+=+r2cosα，|PB|2=+=﹣r2cosα，可得|PA|2+|PB|2=r2又∵点P为线段CD的中点，CD=r∴|PC|2==r2所以：==10故选：D．10．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[]=1），对于给定的n ∈N*，定义，x∈[1，+∞），则当x∈时，函数的值域是（）A．B．C．[28，56）D．【解答】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选：D．11．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下结论：①设函数f（x）的定义域为D，若对于任何实数b，存在a∈D，使得f（a）=b，则f（x）∈A；②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则（f（x）+g（x））∉B；④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．②③D．①③【解答】解：（1）对于命题①，“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a ∈D，f（a）=b”，∴命题①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④，∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→﹣，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，x+≥2，∴0＜，即0＜f（x）；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣＜0，即﹣．∴﹣．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．12．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是y2=8x．【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2∴可设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∵∴2p=8∴抛物线的方程为y2=8x故答案为：y2=8x13．（5分）若x∈（0，l）时，不等式恒成立，则实数m的最大值为4．【解答】解：∵x∈（0，1），∴1﹣x∈（0，1），∵x+（1﹣x）=1，∴+=（+）[x+（1﹣x）]=2++≥2+2 =4，当且仅当=，即x=时取等号，∴m≤4，即实数m的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）下列选项叙述错误的是③．①命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；②若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0；③若p∨q为真命题，则p，q均为真命题；④“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．【解答】解：①根据逆否命题的定义可知命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”；所以①正确．②根据含有量词的命题的否定可知¬p：∃x∈R，x2+x+1=0，所以②正确．③若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，所以③错误．④由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，所以“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．所以④正确．故答案为：③15．（5分）已知平面区域Ω=，直线l：y=mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1] ．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．16．（5分）如图所示的三角形数阵叫“牛顿调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，==+，=+，…，则（1）第6行第2个数（从左往右数）为；（2）第n行第3个数（从左往右数）为．【解答】解：将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，就得到牛顿调和三角形．2，∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C n﹣1则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=，第6行第2个数=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α∈[0，]，β∈[﹣，0]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos （α+β）的值．【解答】解：（1）…（3分）（2），即…（5分），即…（8分）∵，…（9分）∴，…（10分）∴…（12分）18．（12分）已知命题p：2x2﹣5x+3＜0，命题q：[x﹣（2a+1）]•（x﹣2a）≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：由2x2﹣5x+3＜0得1＜x＜，由[x﹣（2a+1）]•（x﹣2a）≤0得2a≤x≤2a+1，∵p是q的充分不必要条件，∴，得得≤a≤，即实数a的取值范围是≤a≤．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：CD⊥AE；（2）证明：AE⊥平面PDC；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，∴CD⊥AE．…（4分）（2）∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴PA=AC，又E是PC的中点，∴PC⊥AE，又由（1）可知CD⊥AE，∵CD∩PC=C，∴AE⊥面PDC．…（8分）解：（3）由题可知PA，AB，AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则，．设面PBC的一个法向量为，∵，，∴，即，取，则x=z=3，即，设面PDC的一个法向量为，∵，，∴，即，取则x=1，z=2，即，，由图可知二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．…（12分）20．（13分）如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=36米，AD=20米．记三角形花园AMN的面积为S．（Ⅰ）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；（Ⅱ）若S不超过1764平方米，求DN长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设DN=x米（x＞0），则AN=x+20．因为DC∥AB，所以△NDC∽△NAM所以，所以，即．所以…（4分）=，当且仅当x=20时取等号．所以，S的最小值等于1440平方米．…（8分）（Ⅱ）由得x2﹣58x+400≤0．…（10分）解得8≤x≤50．所以，DN长的取值范围是[8，50]．…（12分）21．（13分）设椭圆的左右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），离心率e=．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意，可得a=2，e==，可得c=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=1，因此，椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，代入得，即x2+y2=4．即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4．（y≠0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），∵A、C、R三点共线，∴∥，而=（m+2，n），=（4，t），则4n=t（m+2），∴t=，可得点R的坐标为（2，），点D的坐标为（2，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴直线CD的斜率为k==，而m2+n2=4，∴﹣n2=m2﹣4，代入上式可得k==﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线CD的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得mx+ny﹣4=0，∴圆心O到直线CD的距离d===2=r，因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（13分）正项数列{a n}的前n项和为S n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m=q m•S n﹣m总成立．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若互不相等的正整数n，m，k成等差数列，比较S n+S k，2S m的大小；（3）若正整数n，m，k成等差数列，求证：+≥．【解答】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n﹣S m=q m•S n﹣m 总成立，=q n﹣1•S1，即a n=a1q n﹣1，所以n≥2时，令m=n﹣1，得到S n﹣S n﹣1=a1q n﹣2，分析可得a n﹣1故当n≥2时：（非零常数），即{a n}是等比数列（2）若q=1，则S n=na1，S m=ma1，S k=ka1所以S n+S k﹣2S m=（n+k﹣2m）a1=0∴S n+S k=2S m若q＞0，q≠1，则，，所以=∵q＞0，q≠1∴①若q＞1，S n+S k＞2S m②若0＜q＜1，S n+S k＜2S m（3）若q=1，则Sn=na 1，Sm=ma1，Sk=ka1所以=====若∵q＞0，q≠1，所以=又因为（1﹣q n）（1﹣q k）=1﹣（q n+q k）+q n+k≤=（1﹣q m）2．所以=综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，不等式≥总成立（当且仅当n=m=k时取“=”）。

湖南湘潭岳阳2015-2016高二上学期数学期中联考试卷（理带答案）岳阳县一中、湘潭县一中201年高二联考理科数学试卷时量：120分钟分值：10分命题：彭小霞（岳阳县一中）审题：王冲（湘潭县一中）一、选择题：本大题共12个小题，每小题分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的1、已知集合，则集合中的元素个数（）A．1 B．2 ．3 D．42、已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( ) A．B．．D．23、已知为钝角，，则（的中点，则异面直线EF与GH所成的角为（）A．B．．D．8、给出如下四个命题：①若“ ”为真命题，则均为真命题；②“若”的否命题为“若，则”；③“ ”的否定是“ ”；④“ ”是“ ”的充分不必要条．其中不正确的命题是( )A．①②B．②③．①③D．③④9、已知，，其中，则、的大小关系是（）A．B．．D．10、一个多面体的三视图如图2所示，则该多面体的表面积为（）A．B．．D．11、设函数的定义域为,若函数满足条：存在,使在上的值域是则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是( ) A．B．．D．12、从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（）A．B．．D．不确定二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上13、在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点P ，则满足的概率是．14、设抛物线焦点F,经过点P(4，1)的直线与抛物线相交于A、B 两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=1、如图3，已知点在线段上，，用和表示向量，则等于16、若函数( )满足且时, ,函数,则函数在区间内零点有个．三、解答题：解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）如图, 已知四边形ABD和BEG均为直角梯形，AD∥B、E∥BG，且，平面ABD⊥平面BEG，B=D=E=2AD=2BG=2．(Ⅰ)求证：AG∥平面BDE；(Ⅱ)求几何体EG-ABD的体积．18、（本小题满分12分）函数是定义在上的奇函数,且(Ⅰ)求的解析式,(Ⅱ)用函数单调性的定义证明在上是增函数．19、（本小题满分12分）已知直线与双曲线x2－2＝1的左支相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为点，定点(－2，0)．(Ⅰ)求实数的取值范围；(Ⅱ)求直线在轴上的截距的取值范围．20、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．21、（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，）（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．22、（本小题满分12分）已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，，，判断是否为定值，若是，计算出该定值；若不是，说明理由．高二理数答案一、B A D A B B A D A B二、填空题：13、14、10 1、16、_ 8 _个．三、解答题：17、证明：（1）在平面BDG中，过G作GN⊥E交BE于，连D，则由已知知；G=N，N∥B∥DA,且G∥AD,G=AD，故四边形ADG为平行四边形，AG∥D……4分∵D 平面BDE，AG 平面BDE，AG∥平面BDE………………分（Ⅱ）………………10分18、【解】(Ⅰ)由题知, 是上的奇函数,所以,即……3分所以又因为,所以, …6分(Ⅱ) 则有……………………9分由,所以,又由所以即,又因,所以,即所以函数在区间上为增函数……………………………………………12分19、解：(Ⅰ)．把直线＝x＋1代入x2－2＝1整理有(1－2)x2－2x－2＝0，…2分∵设A(x1，1)，B(x2，2)，由韦达定理可知x1＋x2＝＜0，①x1&#8226;x2＝＞0．②………………4分且&#8710;＝(－2)2－4(1－2)&#8226;(－2)＝42－8 2＋8＞0得－＜＜③………………分∴1＜＜………………6分(Ⅱ)．∵，，即∴：＝x＋………………9分在轴线截距为＝，………………10分当∈(1，)，有＞2或＜－2－………………12分20、解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分因为，所以又，所以………………… 2分因为，所以平面因为平面，所以……… 3分（Ⅱ）由已知，，所以，又为正三角形，且，所以…………………… 分因为，所以所以由（Ⅰ）知是二面角的平面角所以平面平面…………………………………………… 7分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面过作于，连结，则所以是二面角的平面角………………………………… 10分在中，易求得因为，所以………………………… 11分所以即二面角的余弦值为……12分方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直以为原点建立如图所示的空间直角坐标系易知，，，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以平面的一个法向量为……………………… 10分易知平面的一个法向量为所以由图可知，二面角为锐角所以二面角的余弦值为…………………………………… 12分21、解：（Ⅰ）．由已知，（，），……2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴………4分（Ⅱ）．∵，∴，要使恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴恒成立．………6分（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴……………8分（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴即，又为非零整数，则．…………10分综上所述，存在，使得对任意，都有．…12分22、解：（Ⅰ）由条得，所以方程……4分（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令由……分………………6分由得…………………7分由得……………8分将代入有…………12分。

湘潭县一中岳阳县一中2015年高二联考数学（理科）时量：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷 （选择题 共６0分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若{2,3,4}A =，(){| ,,}B x x n m m n A m n ==⋅∈≠，则集合B 的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2、设2()log f x x =，则a b >“”是()()f a f b >“” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为（ ）AB ．2CD4、()cos sin f x x x =-在下列哪个区间上是单调递减的（ ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．[]0,πD ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、已知函数()()(),ln ,ln 1x f x x e g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 从大到小的顺序为 （ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >> 6、三棱锥S ­ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示, 则棱S B 的长为（ ）A ．B．C． D．7、对任意的实数,a b ，记{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，若(){}max (),(),R F x f x g x x =∈，第6题图第7题图其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值-2，()y g x =是正比例函数，函数()()0y f x x =≥与函数()y g x =的图象如图所示．则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是（ ）A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =在()3,0-为增函数C ． ()y F x =有极大值(1)F -,极小值()0FD ．()y F x =最小值为-2，最大值为2 ８、直线2y x m =+和圆221x y +=交于点,A B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若AB =，那么()sin αβ-的值是（ ）A ．12 BC ． 12±D．±９、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =.当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S =（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．100910、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a的取值范围是（ ）A ．[]6,2-B ．()6,2-C ．[]3,1-D ．()3,1-11、设P 是椭圆221259x y +=上一点，M N ，分别是两圆：22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最小值、最大值的分别为（ ）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212、己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()e xf x <的解集为（ ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共2０分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 .14、以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是 .15、曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 . 16、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于 .三、解答题：本大题共6小题，共7０分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. 17、（本小题满分10分）已知函数2()1,()65f x x g x x x =-=-+-. （1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围； （2）求()()g x f x -的最大值. 18、（本小题满分12分）设锐角△ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c 向量m(1,sin )A A = ，n 3(sin ,)2A = ，已知m 与n 共线.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，c B =，且△ABC B 的取值范围.19、（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小. 20、（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a ()*N n ∈，首项13a =，前n 项和为n S ，且33S a +，55S a +，44S a +成等差数列．⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列{}n nS 的前n 项和n T ．NMQP DCBA21、（本小题满分12分）已知函数32(),f x x ax =-其中R,x a ∈为参数 （1）记函数1()()ln 6g x f x x '=+，讨论函数()g x 的单调性； （2）若曲线()y f x =与x 轴正半轴有交点且交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≥.22、（本小题满分12分）如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,M N 两点，点D 的坐标为(，OD MN ⊥交MN 于点D ，,OM ON ⊥抛物线的焦点为F .(1) 求p 的值；(2) 记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与曲线C 相交于点,A B ，2l 与曲线C 相交于点,D E ，求→AD ·→EB 的最小值．湘潭县一中岳阳县一中2015年高二联考数学（理科）时量：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷 （选择题 共６0分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、若{2,3,4}A =，(){| ,,}B x x n m m n A m n ==⋅∈≠，则集合B 的元素个数为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．52、设2()log f x x =，则a b >“”是()()f a f b >“” 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为 （ A ） AB ．2CD4、()cos sin f x x x =-在下列哪个区间上是单调递减的（ D ）A ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．[]0,πD ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、已知函数()()(),ln ,ln 1x f x x e g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 从大到小的顺序为 ( A )A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>6、三棱锥S ­ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱S B 的长为（A ） A ．B． C．D．7、对任意的实数,a b ，记{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，若(){}max (),(),R F x f x g x x =∈，其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值-2，()y g x =是正比例函数，函数()()0y f x x =≥与函数()y g x =的图象如图所示．则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是（ Ｃ ）第6题图A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =在()3,0-为增函数C ． ()y F x =有极大值(1)F -,极小值()0FD ．()y F x =最小值为-2，最大值为2８、直线2y x m =+和圆221x y +=交于点,A B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若AB =，那么()sin αβ-的值是 _________（ D ） A ．12B．2 C ． 12± D．2± ９、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =.当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S = ( Ｃ )A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009解：当2n ≥时，由12n n a S n -+=得112n n n S S S n ---+=即1n n S S n -+= ① 所以11n n S S n ++=+ ②②－①得111n n S S +--=，又11a =即11S =数列{}21n S -构成等差数列，()201511008111008S =+-⨯=10、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a的取值范围是（ B ） A ．[]6,2- B ．()6,2-C ．[]3,1-D ．()3,1-11、设P 是椭圆221259x y +=上一点，M N ，分别是两圆：22(4)1x y ++=和22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN +的最小值、最大值的分别为（ C ）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1212、己知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(2)f x+为偶函数，(4)1f =，则不等式()e x f x <的解集为 （ D ）A ．()2,-+∞B ．()4,+∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞解：构造函数()(),x f x F x e =则()()2()()()()x x x x f x e f x e f x f x F x e e ''--'== 因为()()f x f x '<，及0xe >所以()0F x '<，函数()F x 在R 上单调递减 由(2)f x +为偶函数，(4)1f =，得(0)1f =()()1x f x F x e=<得0x >，即不等式()e x f x <的解集为()0,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共2０分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 . 答案：114、以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是 .解：记甲组四名同学为1A ，2A ，3A ，4A ，他们植树的棵树依次为9，9，11，11：乙组四名同学为1B ，2B ，3B ，4B ，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（1A ，1B ）（1A ，2B ）（1A ，3B ）（1A ，4B ）（2A ，1B ）（2A ，2B ）（2A ，3B ）（2A ，4B ）（3A ，1B ）（3A ，2B ）（3A ，3B ）（3A ，4B ）（4A ，1B ）（4A ，2B ）（4A ，3B ）（4A ，4B ）.设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C ，则C 中的结果有4个，它们是（1A ，4B ）（2A ，4B ）（3A ，2B ）（4A ，2B ），故所求概率为41)(=C P15、曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 .3π16、已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于__π8_____________.三、解答题：本大题共6小题，共7０分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. 17、（本小题满分10分） 已知函数2()1,()65f x x g x x x =-=-+-. （1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围； （2）求()()g x f x -的最大值. 解：（1）当1x ≥时，()1f x x =-由()()g x f x ≥得2651x x x -+-≥-整理得()()140x x --≤所以[]1,4x ∈当1x <时，()1f x x =-+由()()g x f x ≥得2651x x x -+-≥-+整理得()()160x x --≤所以[]1,6x ∈又1x <，得x ∈∅综上，实数x 的取值范围[]1,4x ∈（2）由（1）知()()g x f x -的最大值必在[]1,4x ∈上取到()22599()()651244g x f x x x x x ⎛⎫-=-+---=--+≤ ⎪⎝⎭当94x =时()()g x f x -取到最大值9418、（本小题满分12分）设锐角△ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c 向量m (1,sin )A A = ，n 3(sin ,)2A = ，已知m 与n 共线.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，c B =，且△ABC B 的取值范围.解：（1）因为m 与n 共线，则3sin (sin )2A A A +=即23sin cos 2A A A +=…………… 2分所以1cos 232222A A -+=即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭………………5分 A 为锐角，则262A ππ-=，所以3A π=……………6分（2）因为2a =，c B =，则1sin 2ABCSac B =2122B =⨯⨯2B = 1cos 22B-=B =. ……………………（9分）由已知，B <，即1cos 22B >. …………………… （10分）因为B 是锐角，所以023B π<<，即06B π<<，故角B 的取值范围是0,6π⎛⎫⎪⎝⎭…………（12分） 19、（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，点Q 在棱PA 上，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ===,M N 分别是,PD PB 的中点．（1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小.NMQP DCBA解析（一）：以A 为原点，以,,AD AB AP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系O xyz -，由2,1,AB CD AD ===44PA PQ ==，,M N分别是,PD PB 的中点，可得：()()))()()0,0,0,0,2,0,,,0,0,4,0,0,3,2,A B CDP Q M ⎫⎪⎪⎝⎭()0,1,2N∴()()2,1,0,0,2,4BC PB =-=-，MQ ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭………2分 设平面的PBC 的法向量为()0,,n x y z =，则有：())()()00,,1,000,,0,2,40240n BC x y z y n PB x y z yz ⎧⊥⇒⋅-=⇒-=⎪⎨⎪⊥⇒⋅-=⇒-=⎩令1z =，则()022,2,1x y n ==⇒=， ……………4分∴)02,102MQ n ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，又MQ ⊄平面PCB∴MQ //平面PCB ……………6分（2）设平面的MCN 的法向量为(),,n x y z =， 又()2,1,2,2,0,22CM CN ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭则有：()()(),,1,202022,,2020n CM x y z x y z n CN x y z z ⎧⎛⎫⊥⇒⋅--=⇒--+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⊥⇒⋅=⇒+=⎪⎩令1z =，则()12,1,1x y n ==⇒=， …………9分又()0,0,4AP =为平面ABCD 的法向量，∴41cos ,242n AP n AP n AP⋅===⨯⋅，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为3π………12分 解析（二）：（1）AP E ED ED 取的中点，连结，则//CN ， …………1分////Q EP MQ ED MQ CN 依题有为的中点，所以，所以， ………3分又MQ ⊄平面PCB ，CN平面PCB , ∴MQ //平面PCB …………6分（2）易证：平面//MEN 底面ABCD ，所以截面MCN 与平面MEN 所成的二面角即为平面MCN 与底面ABCD 所成的二面角因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥平面MENE EF MN F QF QF MN ⊥⊥过做，垂足为，连结，则由三垂线定理可知，由（1）可知,,,M C N Q 四点共面所以QFE ∠为截面MCN 与平面MEN 所成的二面角的平面 角………9分R =1t MEN ME NE MN EF ∆在中，，所以：tan QFE ∠ 所以：3QFE π∠=………………12分20、（本小题满分12分）已知正项等比数列{}n a ()*N n ∈，首项13a =，前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列．⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列{}n nS 的前n 项和n T ． 解：⑴依题意，设13-=n n q a ……1分，33a S +、55a S +、44a S +成等差数列，所以)()()(2443355a S a S a S +++=+……2分，即)2()2()2(2432132154321a a a a a a a a a a a a ++++++=++++，化简得354a a =……4分，从而142=q ，解得21±=q ……4分，因为{}n a （*∈N n ）是正项数列，所以21=q ，n n a 26=……5分⑵由⑴知)211(6n n S -=……6分，)2(6)233(6)222(6)211(632n n nn T -++-+-+-=)2232221(6)1(332n n nn n T ++++-+= ……8分，设n n n R 223222132++++= ，则122232212-++++=n n nR ……10分，两式相减得nn n n n n R 2222212121211132+-=-+++++=- ……11分， 所以12)2(312)1(36)1(3-++-+=-+=n n n n n n R n n T ……12分21、（本小题满分12分）已知函数32(),f x x ax =-其中R,x a ∈为参数 （1）记函数1()()ln 6g x f x x '=+，讨论函数()g x 的单调性； （2）若曲线()y f x =与x 轴正半轴有交点且交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≥.解：（1）证明：函数()g x 的定义域是()0,+∞()232,f x x ax '=-()21()32ln 6g x x ax x =-+()111()622633a a g x x a x x x '=-+=+-≥- 当6a ≤时，则203a-≥，所以()0g x '≥，所以函数()g x 在定义域()0,+∞上单调递增.当6a >时，令233()03x ax g x x -+'==，则12x x ==可知函数()g x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()0,f x =则0x =或x a =若曲线()y f x =与x 轴正半轴有交点，则0a >且交点坐标为(),0P a又()232,f x x ax '=-则()2f a a '=所以曲线在点P 处的切线方程为()2y ax a =-，即23()g x a x a =-令3223()()()h x f x g x x ax a x a =-=--+()()()22323h x x ax a x a x a '=--=+-函数()h x 在区间()0,a 上单调递增，在区间(),a +∞上单调递减，所以当x a =时，()h x 有最小值，所以()0h x ≥，则()()f x g x ≥ 22、（本小题满分12分）如图，已知直线与抛物线()220y px p =>交于,M N 两点，点D 的坐标为(，OD MN ⊥交MN 于点D ，,OM ON ⊥抛物线的焦点为F .(3) 求p 的值；(4) 记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与曲线C 相交于点,A B ，2l 与曲线C 相交于点,D E ，求→AD ·→EB 的最小值．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，由,OM ON ⊥得12120x x y y+= 由已知得直线MN的方程是)1yx =-即40x-=，则有()()1212440y y+=即)121240y y y y ++= ①由40x -=与22ypx =消去x ，得280y p +-= ② 所以1212,8y y y y p +=-=- ③ 把③代入①得()82340p p ---+=解得2p =当2p =时方程②成为2160y +-=，显然此方程有实数根 所以2p =（2）由（1）知抛物线方程为24y x =由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ．得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1．∵l 1⊥l 2，∴l 2的斜率为－1k．设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1． 故→AD ·→EB ＝(→AF ＋→FD )·(→EF ＋→FB )＝→AF ·→EF ＋→AF ·→FB ＋→FD ·→EF ＋→FD ·→FB＝|→AF ||→FB |＋|→FD ||→EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋(2＋4k2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，→AD ·→EB 取最小值16．。