2020年高考数学考纲揭秘专题12数系的扩充与复数的引入理2

第一节数系的扩充与复数的引入 一、基础知识批注——理解深一点1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论汇总——规律多一点(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(二)选一选1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵(1－i)x ＝1＋y i ⇒x －x i ＝1＋y i ⇒(x －1)－(x ＋y )i ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y i ＝1－i ，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D. 3．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.(三)填一填4．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是________． 解析：由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋(3)2＋i ＝2＋i ，则z ＝2－i. 答案：2－i5．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.答案：4考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0B.12C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C.22D.12解析：选B 法一：由z ＝4i 1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ， 得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2.答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π 3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45， 所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3. 答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14.答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。

秘籍12 数系的扩充与复数的引入1．如果复数z=2−1+i，则（ ）A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i 【答案】C【解答】：由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ， 所以|z|=√2，z 的实部为﹣1，z 的虚部为﹣1， z 的共轭复数为﹣1+i ， 故选：C ．【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.复数的定义形如a +b i （a ，b ∈R ）的数叫作复数，其中a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部，i 为虚数单位且规定i 2=–1．注意：复数的虚部是b ，而不是b i ．2．复数21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【答案】B【解答】：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴z 的共轭复数z =1﹣i 故选：B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 互为共轭复数的充要条件：a +b i 与c +d i 互为共轭复数⇔a =c ，b =–d （a ，b ，c ，d ∈R ）．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．3．若i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且2i ﹣z =4﹣i ，则复数z 的模等于（ ） A ．5B ．25C ．√5D ．√17 【答案】A【解答】：∵2i ﹣z =4﹣i ，∴z =﹣4+3i ，∴z=﹣4﹣3i ，∴|z|=√(−4)2+(−3)2=5， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.复数的模向量OZ u u u r的长度r 叫作复数z =a +b i 的模，记作|z |或|a +b i|，则|z |=|a +b i|=r =22a b （r ≥0，r ∈R ），即复数a +b i的模表示点Z （a ，b ）与原点O 的距离． 特别地，b =0时，z =a +b i 是实数a ，则|z |=|a |． 求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a +b i|=22a b 和性质|z 2|=|z |2=z ·z ，|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|，|12z z |=12||||z z ，|z |=|z |等进行计算．1．己知点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数z 对应的向量为Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则复数z 对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1),所以复数z 对应点位于第二象限，故本题选B.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.复数的几何意义2．已知复数a+i2−i 是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．﹣1【答案】C 【解答】：∵a+i 2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(a+2)i 5=2a−15+a+25i 是纯虚数，∴{2a −1=0a +2≠0，解得a=12．故选：C ．复数的分类z =a +b i 0000b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（）纯虚数（）虚数（）非纯虚数（）注意：（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0； （2）两个不全是实数的复数不能比较大小；（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．3．已知i 为虚数单位，则2342018i i i i i ++++⋯+=（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1C．1﹣i D ．0【答案】A【解答】：2342018i i i i i ++++⋯+=i(1−i 2018)1−i=i[1−(i 4)504⋅i 2]1−i=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ．故选：A．复数的四则运算1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．2．复数运算中的常用结论：（1）（1±i）2=±2i；（2）1i1i+-=i；（3）1i1i-+=–i；（4）iia b+=b–a i；（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．1．下列命题中，假命题的是（）A．若z为实数，则z=z B．若z=z，则z为实数C．若z为实数，则z•z为实数D．若z•z为实数，则z为实数2．已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣13．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（）A．﹣2B．−12C．2D．124．设复数z满足z+i1−i=1+i，则z=（）A ．2﹣iB ．√2+iC ．√3 iD ．2+i5．设z=﹣12+√32i ，则z 2+z=（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．26．若z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ，则|z 1z 2|=（ ） A ．6 B ．√10C ．√6D ．√27．已知复数2i ﹣3是方程2x 2+px+q=0的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，0 B ．24，26C ．12，26D ．6，88.复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1﹣z 2=2−4i2+i ，则z 1•z 2=（ ） A ．1 B ．﹣1C ．iD ．﹣i9.若复数z 满足（1﹣2i ）z=2﹣i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知复数z=2+bi （b ∈R ）（i 为虚数单位）的共轭复数为z ，且满足z 2为纯虚数，则z ⋅z =（ ） A ．2√2 B ．2√3C ．8D ．1211. 复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为 2+3i ，3+2i ，−2−3i ，则 D 点对应的复数是 ( )A. −2+3iB. −3−2iC. 2−3iD. 3−2i12.复数 z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i ，若 z 1+z 2 是实数，实数 a 的值为 .1.D 【解答】：对于A 、若z 为实数，则z =z ，正确；对于B 、设z=a+bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ，由z =z ，可得b=﹣b ，则b=0，即z 为实数，故B 正确； 对于C 、若z 为实数，则z •z=|z|2为实数，故C 正确； 对于D 、对于任意复数z ，都有z •z=|z|2为实数，故D 错误． 故选：D ．2.D 【解答】：∵（a+i ）2i=（a 2﹣1+2ai ）i=﹣2a+（a 2﹣1）i 为正实数，∴22010a a -⎧⎨-=⎩＞，解得a=﹣1．故选：D ．3.C 【解答】：设z=bi （b ≠0），由z （1﹣2i ）=a+i ，得bi （1﹣2i ）=a+i ， 即2b+bi=a+i ， ∴b=1，a=2． 故选：C ． 4.A 【解答】：∵z+i 1−i=1+i ，∴z+i=（1+i ）（1﹣i ）=2， ∴z=2﹣i ． 故选：A ．5.A 【解答】：由z=﹣12+√32i ， 得z 2+z=z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．6.B 【解答】：∵z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ， ∴|z 1z 2|=|1+2i|•|1﹣i|=√5×√2=√10． 故选：B ．7.C 【解答】：∵2i ﹣3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根， 由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i ﹣3，则q2=（﹣3+2i ）（﹣3﹣2i ）=13，即q=26， ﹣p2=﹣3+2i ﹣3﹣2i=﹣6，即p=12 故选：C ．8.A 【解答】：z 1﹣z 2=2−4i 2+i=(2−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−10i 5=﹣2i ，由|z 1|=|z 2|=1，设z 1=cos α+isin α，z 2=cos β+isin β， ∴cos α=cos β，sin α﹣sin β=﹣2， ∴cos α=cos β=0，sin α=﹣1，sin β=1， ∴z 1=﹣i ，z 2=i ， 则z 1•z 2=﹣i •i=1． 故选：A ．9.A 【解答】：由（1﹣2i ）z=2﹣i ，得z=2−i 1−2i =(2−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=45+35i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（45，35），位于第一象限． 故选：A ．10.C 【解答】：∵z=2+bi ， ∴z 2=4﹣b 2+4bi ，由z 2为纯虚数，得{4−b 2=04b ≠0，得b=±2． ∴z ⋅z =|z|2=22+b 2=8． 故选：C ． 11.答案：B 12.3【解答】：z 1+z 2=3a+5+(a 2−10)i +21−a +(2a −5)i =(3a+5+21−a)+[(a 2−10)+(2a −5)]i =a−13(a+5)(a−1)+(a 2+2a −15)i.因为 z 1+z 2 是实数，所以 a 2+2a −15=0，解得 a =−5 或 a =3 . 因为 a +5≠0，所以 a ≠−5， 故 a =3 .。

考点21数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T2)若z =1+2i+i 3,则|z |=()A .0B .1C .2D .2【命题意图】本题主要考查向量的模的计算公式的应用,属于容易题.【解题指南】先根据i 2=-1将z 化简,再根据向量的模的计算公式即可求出.【解析】选C .因为z =1+2i+i 3=1+2i-i=1+i,所以|z |=12+12=2.2.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T1)若z =1+i,则|z 2-2z |=()A .0B .1C .2D .2【命题意图】本题主要考查复数的基本运算,重点考查复数的模长公式.【解析】选D .由z =1+i 得,z 2=2i,2z =2+2i,所以|z 2-2z |=|2i-(2+2i)|=2.3.(2020·全国卷Ⅱ文科·T2)(1-i)4=()A.-4B.4 C.-4i D.4i【命题意图】本题考查了复数的乘方运算,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选A .(1-i)4=[(1-i )2]2=(1-2i +i 2)2=(-2i)2=-4.4.(2020·全国卷Ⅲ理科·T2)复数11-3i 的虚部是()A.-310 B.-110C.110D.310【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,涉及复数的虚部的定义.【解析】选D .因为11-3i =1+3i (1-3i )(1+3i )=110+310i,所以复数11-3i 的虚部为310.5.(2020·全国卷Ⅲ文科·T2)复数·(1+i)=1-i,则z =()A.1-iB.1+i C.-i D.i【命题意图】本题主要考查复数的除法运算,涉及共轭复数的概念.【解析】选D .因为=1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i 2=-i,所以z =i .6.(2020·新高考全国Ⅰ卷)2-i 1+2i =()A.1 B.-1 C.i D.-i【命题意图】本题考查复数的运算法则,考查运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养.【解析】选D .2-i 1+2i =(2-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2-4i -i -2(1+2i )(1-2i )=-5i 5=-i .7.(2020·北京高考·T2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i【命题意图】考查复数的有关概念、乘法运算、复数的几何意义.【解析】选B.z=1+2i,i·z=i(1+2i)=-2+i.8.(2020·浙江高考·T2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2【命题意图】本题主要考查复数的基本概念,考查逻辑思维能力,体现数学抽象的核心素养.【解析】选C.因为a-1+(a-2)i为实数,所以a-2=0,a=2.二、填空题9.(2020·天津高考·T10)i是虚数单位,复数8-i2+i=.【命题意图】本题考查复数的四则运算,属于基础题.【解题指南】将分子、分母同乘以分母的共轭复数,然后运算化简可得结果.8-i2+i=(8-i)(2-i)=15-10i5=3-2i.(2+i)(2-i)答案:3-2i10.(2020·全国卷Ⅱ理科·T15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.【命题意图】本题考查复数的加减运算、复数的模、复数的几何意义,意在考查学生的运算求解能力.【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=3+i,所以2(cos+cos)=32(sin+sin)=1,两式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化简得cosθcosα+sinθsinα=-12,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|=4(cos-cos)2+4(sin-sin)2=8-8(cosvos+sinLin)=8+4=23.答案:23【光速解题】在复平面内记复数z1,z2对应的向量分别为,,记z3=z1+z2=3+i,+=(如图),则复数z3对应的向量为,由平行四边形法则可知:OAPB是边长为2,一条对角线长为2的菱形,故另一条对角线的长为|z1-z2|=23.答案:2311.(2020·江苏高考·T2)已知i是虚数单位,则复数z=1+i2-i的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=1+i2-i=3+i,则实部为3.答案:3。