2019-2020学年高中数学北师大版必修4同步单元小题巧练：(9)三角函数的简单应用 Word版含答案

同步单元小题巧练（19）二倍角的三角函数1、设1sin+=43πθ⎛⎫⎪⎝⎭,则 2sinθ=( )A.7 9 -B.1 9 -C. 1 9D. 7 92已知是第三象限角,若,那么( ) A.B.C.D.3、已知5sin413xπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,则sin2x的值等于( )A. 120 169B. 119 169C.120 169 -D.119 169 -4、已知α是第三象限角,24sin25α=-,则tan2α等于( )3B. 34C. 34-D. 43-5、已知α为第二象限角, sin cos 3αα+=,则cos2α= ( )A. 3-B. 9-C.D.6、1tan tan A m A+=,则sin 2?A = ( ) A. 21m B. 1mC. 2mD.2m7、已知2sin 3α=,则cos(2)πα-= ( )A. B. 19-9D.8、函数221tan 21tan 2xy x-=+的最小正周期是( ) A. 4π B. 2πC. πD. 2π9、若3,?2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且cos sin 3αα-=-,则cos2?α= ( )A.9B. 9±C. 9-D.10、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是( )A.8π B. 4πC. 34πD. 38π11、已知cos()4x π-=2sin x =________.12、若1,3cos xcos y sin xsin y +=则()22cos x y -=______. 13、若14 tan tan θθ+=,则 2sin θ=________. 14、已知1sin cos 5αα+=且2παπ<<,则cos 2α的值是________.15、已知(0,)θπ∈,且sin(),410πθ-=则tan2θ=__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：略2答案及解析： 答案： C解析：把已知代入上式得:,且是第三象限角, 所以在第一或第二象限,所以.3答案及解析： 答案：D解析：∵5sin 413x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴2119sin 2cos 212sin 44169x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.4答案及解析： 答案：D解析：∵α是第三象限角,∴3222k k πππαπ+<<+ ∴3 224k k παπππ+<<+∴tan12α<-2tan242sin 2251tan 2ααα==-+,整理得212tan 25tan 12022αα++=求得4tan 23α=-或34- (排除)5答案及解析： 答案：A解析：由sin cos αα+=,平方得121sin 2sin 233αα+=⇒=-, 又α为第二象限角,因此sin 0α>,cos 0α<, 所以sin cos αα-+==所以22cos 2cos sin ααα=-()()cos sin cos sin 3αααα=+-=-.6答案及解析：答案：D解析： 1sin cos tan tan cos sin A A A A A A +=+22sin cos 2sin cos sin 2A A m A A A +===,所以2sin 2A m=.7答案及解析： 答案：B 解析：8答案及解析： 答案：B解析： 221tan 2cos 41tan 2x y x x -==+,242T ππ==.9答案及解析： 答案：A解析： ()217cos sin 9αα-=,4sin cos 9αα=-,而sin 0α<,cos 0α<,∴1cos sin 3αα+==-,22cos 2cos sin ααα=-()()cos sin cos sin αααα=+-1339⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭10答案及解析： 答案：D解析：()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,向右平移ϕ个单位后为()24y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 224x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.其图像关于y 轴对称,所以2,42k k Z ππϕπ-+=+∈,所以,82k k Z ππϕ=--∈,1k =-时, ϕ取最小正值为38π.点拨:解答本题的关键是将原函数化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式,再根据图像平移规律求解.11答案及解析： 答案：2425- 解析：∵2 2(2)2()124sin x cos x cos x ππ=-=-- 224221.10025sin x ∴=⨯-=-12答案及解析： 答案：79- 解析：2171()()(22212199)3cosxcosy sinxsiny cos y cos x y cos x x y +=∴--=⨯--=-=-=，13答案及解析： 答案：12解析： 由11tan +=4sin cos tan cos sin sin cos θθθθθθθθ=+=,得1sin cos 4θθ=则1122 2.42sin sin cos θθθ==⨯=14答案及解析：答案：5解析：将1sin cos 5αα=-代入22sin cos 1αα+=, 化简,得225cos 5cos 120αα--=,解得4cos 5α=或3cos 5α=-. ∵2παπ<<,∴cos 0α<,cos02α>.∴3cos 5α>-,∴cos 25α==.15答案及解析： 答案：247-解析：由sin()410πθ-=得1cos )sin cos 2105θθθθ-=⇒-=, 解方程组221sin cos {,5sin cos 1θθθθ-=+=得4sin 5{,3cos 5θθ==或3sin 5{,4cos 5θθ=-=-因为(0,)θπ∈,所以sin 0θ>,所以3sin 5{,4cos 5θθ=-=-不合题意,舍去,所以4tan 3,θ=所以22422tan 243tan 241tan 71()3θθθ⨯===---.。

同步单元小题巧练（6）余弦函数的图像与性质1、设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( ) A.13B.3C.6D.92、函数()cos f x x =在[)0,+∞内( )A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点 3、函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图像是( )A.B.C.D.4、三个数cos100︒,sin10︒,cos110-︒的大小关系为( ) A. cos100sin10cos110︒>︒>-︒ B. cos100cos110sin10︒>-︒>︒C. cos110sin10cos100-︒>︒>︒D. sin10cos100cos110︒>︒>-︒5、使得等式2cos ?1?x m -=有意义的m 的取值范围是( ) A. 0m ≥ B. 0m ≤ C. 11m -≤≤ D. 31m -≤≤6、函数cos y x x =-的部分图像是( )A.B.C.D.7、设函数()cos f x x =,[]0,2x π∈,对于以下三个命题: ①函数()f x 的值域为[]1,1-;②当且仅当0x =时, ()f x 取得最大值; ③当且仅当322x ππ<<时, ()0f x <. 其中正确的命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 8、已知函数()()cos f x x x R =-∈,则下面结论错误的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数 9若函数为偶函数,则( )A.B.C.D.10函数的值域为( )A. B. C. D.11、函数22cos 33y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域是__________.12、12函数图像的对称中心为 。

2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数基础知识检测 北师大版必修4一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角 [答案] C[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A 等于( ) A ．1213 B ．513 C ．－513D ．－1213[答案] D[解析] ∵tan A ＝－512，∴A ∈(π2，π)．由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝－512，可得cos A ＝－1213.3．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] B[解析] 由cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第三象限角． 5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[答案] A[解析] y ＝tan x 为T ＝π的奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数．6．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{α|0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} [答案] D[解析] [2k π，(2k ＋1)π]∩[－4,4]在k ≥1或k ≤－2时为空集，于是，A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．7．若α为第二象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第一、二象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限[答案] D[解析] 当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ， 则k ·180°＋α＝n ·360°＋α为第二象限角；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则k ·180°＋α＝n ·360°＋180°＋α为第四象限角，故选D ．8．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．13[答案] A[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.故应选A ．9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π6)＝( )A ．12B ．32 C ．0 D ．－12[答案] A[解析] 本题考查递归运算，诱导公式．f (236π)＝f (176π)＋sin 176π＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin116π＋sin 176π＝0＋12－12＋12＝12.10．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 是( )A ．[－π，0]上的增函数B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π4上的增函数C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的增函数D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，54π上的增函数 [答案] B[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π4上是增函数．11．(2015·全国卷Ⅰ理，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z [答案] D[解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos(πx ＋π4)，令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为(2k －14，2k ＋34)，k ∈Z ，故选D .12．已知将函数y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝5π3C ．x ＝4π3D ．x ＝π[答案] C[解析] 由已知得y ＝sin(x －π3)――→横坐标伸长2倍y ＝sin(12x －π3) y ＝sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(12x －π6)．令12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即函数的对称轴方程为x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18[解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝lα＝6.根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝12×6×6＝18.14．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝________.[答案]32[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.15．设f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin xx <π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝________.[答案]22[解析] ∵T ＝3π2，∴kT ＝k ·3π2(k ∈Z )都是y ＝f (x )的周期，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 ＝sin 3π4＝sin π4＝22.16．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y ＝sin|x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2是偶函数． [答案] ①④[解析] ②中y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设tan(α＋8π7)＝a ，求15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7的值．[解析] 原式＝sπ＋8π7＋α＋α＋8π7－3ππ－8π7－α－α＋8π7＋2π＝－8π7＋α－α＋8π7－8π7＋α－α＋8π7＝8π7＋α＋38π7＋α＋1＝a ＋3a ＋1. 18．(本小题满分12分)已知cos(π6－α)＝33，求cos(5π6＋α)－2sin(4π3＋α)．[解析] cos(5π6＋α)－2sin(4π3＋α)＝cos[π－(π6－α)]－2sin[π＋π2－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＋2cos(π6－α)＝cos(π6－α)＝33.19．(本小题满分12分)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，53π时函数的最大值与最小值．[解析] 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，53π时，12x －π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，23π，令t ＝12x －π6， ∵y ＝2sin t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，23π上的单调性为在－π3，π2上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，23π上减．∴当12x －π6＝－π3即x ＝－π3时，函数取最小值，y min ＝2sin(－π3)＝－3，当12x －π6＝π2即x ＝43π时，函数取最大值，y max ＝2. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.(1)求实数a 的值；(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋a ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，∴12≤sin(2x ＋π3)≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧f x max＝2＋af xmin＝1＋a，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π3)．将函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像先向右平移π6个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．21．(本小题满分12分)如图，它表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)在任意一段1100秒的时间内，电流I 有可能既取得最大值|A |，又取得最小值－A 吗？[解析] (1)观察图像，A ＝3，∵T ＝2(120－150)＝350，∴ω＝2πT ＝100π3.由ω·150＋φ＝π可解得φ＝π3.∴I ＝3sin(100π3t ＋π3)．(2)∵T ＝350>1100，∴不可能在任意一段1100秒的时间间隔内，I 既取得最大值|A |，又取得最小值－|A |. 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x2|cos x |.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )．∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝－x 2－x＝－sin x2|cos x |＝－f (x )，∴此函数为奇函数． (2)f (x )＝sin x2|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧22tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，图像如图所示，(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 三角函数 同步练习(二)1．函数x y cos =的图像与直线1+=x y 有_______交点． 2．在同一坐标系中画出下面两个函数的图像]2,0[π∈x ．（1）x y cos 2=； （2）x y cos 21=．3．计算：︒+︒-︒+︒270cos 10180cos 390cos 20cos 5．4．化简：)42cos(2)3cos(25cos 2cos 22ππππππ--++-ad ab b a ．5．函数x y cos =与函数xy 3log =的图像有______交点．6．如果0cos ,0sin ><θθ，那么θ是第______象限的角．7．根据函数x y cos =的图像，写出使)(22cos R x x ∈≥成立的x 的取值集合．8．函数x y cos 21-=的单调减区间是__________． 9．函数)cos 21(log 3x y -=的定义域是__________．10．求函数x y cos 21+=的最大值和最小值，并写出使函数取得最大值和最小值时的自变量x 的集合．11．比较下列各组数的大小：（1）︒103cos 与︒164cos ； （2）︒508cos 与︒44cos ．12．函数x y x cos 115cos -+=的定义域是____________．13．判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos sin 2+=； （2）x x y sin cos 2+=； （3）2)3(cos +=x y ； （4）3cos +=x y ．14．求函数2cos cos )(2--=x x x f 的单调递增区间． 15．正切函数x y tan =是周期函数，它的最小正周期是____________． 16．已知角α终边经过点P （4，－5），则αtan ＝________．17．求下列正切值：（1）4tanπ； （2）)4tan(ππ+； （3）)42tan(ππ+．18．为什么0tan =π？19．函数的单调减区间是_____________．20．函数x y tan 6-=是周期函数，它的最小正周期是_________． 21．函数)(tan log 3x y =的定义域是____________．22．判断下列函数的奇偶性：（1）x y tan 5=； （2）x x y cos tan 2+=； （3）2)3(tan +=x y ； （4）x y tan 11-=．23．=︒-)450tan(__________；tan 1 ︒770=________． 24．=+-+--+ααππααπsin )tan()5sin()tan(________． 25．化简：)tan()tan()2tan()2tan(απαππαπα+∙-++∙-．26．已知21)sin(-=+απ，则)7tan(πα-＝__________．27．求函数)tan 3(log 1sin 23x x y -+-=的定义域．28．已知41)cos(=-απ，且)23,(ππα∈，试求)25sin(απ+和)23tan(πα-的值． 29．函数x y 5sin =的周期是__________；xy 51sin =的周期是________． 30．函数xy 31sin =的单调增区间是__________． 31．写出函数x y 3sin =的单调增区间．32．函数的周期是________．33．试说明将函数xy cos=的图像作怎样的变换就可以得到函数xy41cos=的图像．答案:5、一个6、四7、8、9、10、11、12、13、14、15、π 16、45-17、(1)1 (2)1 (3)118、19、20、π 21、22、23、-1,33-24、0 25、0 26、33±27、28、29、52π,π1030、31、32、52π33、。

三角函数一、单项选择题1．与角︒315终边相同的角是（ ）A ．︒495B ．︒-45C ．︒-135D ．︒4502．2cottan )cos(0sin πππ++-+等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－13．函数2tanx y =的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．已知0sin <θ且0cos >θ，则角θ在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．617cosπ等于（ ）A ．21B ．23C ．－23D ．－216．下列各式中正确的是（ ）A ．ααsin )180sin(=+︒B ．ααcos )180cos(=-︒ C ．ααtan )180tan(=+︒ D ．ααcos )180cos(=+︒ 7．要得到)32sin(π-=x y 的图像，需把x y 2sin =的图像（ ） A ．向左移3π B ．向右移3π C ．向左移6π D ．向右移6π8．若παπα223,tan <<=m ，则αsin 等于（ ）．A ．12+m mB ．－12+m mC ．±12+m m D ．以上都不对 9．下列命题中，唯一正确的命题是（ ）A ．若角α在第二象限，且n m ==ααcos ,sin ，则n m -=αtan B ．无论α为何角，都有1cos sin 22=+ααC ．总存在一个角α，使得1sin =+ααcoxD ．总存在一个角α，使得21sin ==ααcox10．设α第四象限角，且2cos |2cos |αα-=，则2α所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题11．比较大小：101sin _________23cos ．12．扇形的中心角为32π，弧长为π2，则其半径=r ______．13．函数)4sin(2x y -=π的递增区间是________．14．函数)43sin(2π--=x y ，当=x _______时，y 取最大值_______． 三、解答题 15．化简：θθθθcos sin cos sin 21--（θ为第二象限的角）16．求证：1tan tan 1sin cos cos sin 2122-+=-+x x x x x x ．17．已知21sin -=α，求α的其他的三角函数值．18．已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角．19．已知πα<<0，且231cos sin -=+αα，求α的值．20．已知关于x 的二次方程0)cos 1(2sin 432=-+-θθx x 有实数根，求)sin 1(log )sin 1(log 5.05.0θθ++-的最大值，并求出此时θ的值．。

同步单元小题巧练（18）两角和与差的三角函数1、设,αβ都是锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β=（ ）A. 5B. 25C. 25或5D. 5或252、2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是（ ） A. 12B.23、在ABC ∆中,已知sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥,则ABC ∆是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形 4、sin1212ππ的值是（ ）A. 0B.D. 25、sin15cos15sin15cos15︒+︒=︒-︒ ( )A. 3D. 6、在ABC ∆中, 3,2 tan A tan B tan C tan B tan Atan C ++==,则角 B = ( )A.30°B.45°C.60°D.120°7、如果sin msin n αβαβ(+)=(-),那么tan tan βα等于( ) A. m nm n -+ B. m nm n +- C. n mn m -+ D. n mn m +-8、化简()()()()45154515cos cos sin sin αααα︒-+︒-︒-+︒的结果是() A. 12 B. 12-D. -9、已知53,,2,132cos ααπ⎛⎫=∈π ⎪⎝⎭则4cos απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于( )A. 26B. 13C.D. 1310、已知5,0,6133cos θππ⎛⎫θ+=<< ⎪⎝⎭则cos θ等于( )A. 1226D.613+11、已知cos()sin 65παα-+=,则7sin()6απ+的值是__________ 12、 27 33 27 33tan tan tan tan ︒+︒+︒︒=________.13、75 15sin sin ︒+︒122的值等于________. 14、()()()()270180270180cos x cos x sin x sin x +︒-︒++︒-︒的值等于__________.15、已知1,0,,52cos ααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：∵34sin(),cos()55αβαβ+=∴+=或45-，又∵,αβ都是锐角，且cos α=，∴sin 5α=且cos()cos αβα+<，故4cos()5αβ+=-， ∴cos cos[(+)]cos(+)cos sin (+)sin βαβααβααβα=-=+43()555525=-⨯+⨯=。

同步单元卷（17）同角三角函数的基本关系1、已知是第四象限角, ,则 ( )α5tan 12α=-cos α=A. B. C.D. 1515-12133121-2、已知,则的值为（ ）4sin cos ,(0,)3π4θθθ+=∈sin cos θθ-B.C. D.1313-3、若为第三象限角,( )αA.3 B.-3 C.1 D.-14、若是第四象限角,且,则 ( )α12cos 13α=sin α=A.513B. 513-C. 512D. 512-5、若是第四象限角，则下列各式中，成立的是（ ）αA. sin tan cos ααα=-B. 2cos 1sin αα=--C. 2sin 1cos αα=-D. cos tan sin ααα=8、已知,且是第二象限角,那么等于( )4sin 5α=αtan αA. 43-B. 34-C. 34D. 439、已知,,则 ( )sin cos αα-=()0,απ∈tan α=A. 1-B.D. 110、若,则 ( )113πα=tan cos αα= A.12B. 12-C. 3311、已知,,则__________.3sin 5m m θ-=+42cos 5mm θ-=+m =12、已知,且,则__________.1sin 3α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan α=13、,则_______.tan100k ︒=sin 80︒=14、若,则__________.sin cos 22sin cos αααα+=-tan α=15、设为第二象限角,若,则__________θ1tan 3θ=sin cos θθ+=16、已知,则__________.7(0,),sin cos 13απαα∈+=tan α=6已知,则( )A.B.C.D.7若△ABC 的内角A 满足,则的值为( )A.B.C.D.答案以及解析1答案及解析：答案：C 解析：2答案及解析：答案：B解析：因为,22216(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 9θθθθθθθθ+=++=+=所以，所以72sin cos 9θθ=,2222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 9θθθθθθθθ-=+-=-=又因为,所以,即,所以故选(0,4πθ∈sin cos θθ<sin cos 0θθ-<sin cos θθ-=.B3答案及解析：答案：B解析：∵为第三象限,∴,,αsin 0α<cos 0α<cos 2sin 123cos sin αααα=+=--=-4答案及解析：答案：B解析：由于是第四象限角, ,则α12cos 13α=5sin 13α===-5答案及解析：答案：C解析：由同三角函数的基本关系式得是第四象限角)是成立的.2sin 1cos αα=--α6答案及解析：答案： D解析： 因为,所以.7答案及解析：答案： A解析： 因为,所以内角A 为锐角,所以.8答案及解析：答案：A解析：是第二象限角,α所以,cos 0α<∵,4sin 5α=∴,3cos 5α=-∴sin 4tan cos 3ααα==-9答案及解析：答案：A解析：∵,sin cos αα-=,2=24πα⎛⎫-⎪⎝⎭∴.sin =14πα⎛⎫-⎪⎝⎭又∵,0a π<<∴,42ππα-=∴,34πα=∴.tan 1α=-故选A.10答案及解析：答案：C解析：,11tan cos sin sin sin 33ππααα===-=11答案及解析：答案：0或8解析：,解得或.2222342sin cos 155m m m m θθ--⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭0m =812答案及解析：答案：解析：∵,且,1sin 3α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴.cos α===∴.sin tan cos ααα====13答案及解析：21k +解析：,∴,tan1000k ︒=<tan 80k ︒=-∴22sin 80sin 80cos 80︒=︒+︒22tan 8011k ==︒++14答案及解析：答案：1解析：由,分子分母同时除以得,解得.sin cos 22sin cos αααα+=-cos αtan 122tan 1αα+=-tan 1α=15答案及解析：答案：解析：222(sin cos )sin cos 2sin cos θθθθθθ+=++,2222sin cos 2tan 32111sin cos tan 155θθθθθθ=+=+=-=++又∵为第二象限角, ,∴θ1tan 13θ=->-3(,)4θππ∈∴sin cos θθ+=16答案及解析：答案：125-解析：,又74960sin cos 12sin cos sin cos 013169169αααααα+=⇒+=⇒=-<,所以因为所以()0,απ∈sin 0,cos 0,αα><7sin cos ,13αα+=所以125sin .cos ,1313αα==-12tan .5α=-。

单元练习--三角函数一、选择题1．设，函数.的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ． 3【答案】C2．已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】B3． 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，02πωϕ><，）的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是（ ）A ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RB ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RD ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A4． 已知tan()34πα-=， 则1sin cos αα=（ ）A ．52B ．75C ．52-D ．75-【答案】C5．()()f x 2sin x m =ω+ϕ+，对任意实数t 都有f t f t ,f 3,888πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且则实数m 的值等于（ ） A ．—1 B ．±5 C ．—5或—1D ．5或1【答案】C6．已知ABC ∆中，12cot 5A =-， 则cos A =（ ） A ．1213B ．513C ．513-D ． 1213-【答案】D7．函数的图象以得到的图象经过适当变换可x 2cos y x 2sin y ==，则这种变换可以是( )A ．个单位轴向右平移沿4x πB ． 个单位轴向左平移沿4x πC ．个单位轴向左平移沿2x πD ． 个单位轴向右平移沿2x π【答案】B8．在地面上某处测得山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m 后，测得仰角为2θ，继续前进后又测得仰角为4θ，则山的高度为（ ）m . A ．200 B ．300C ．400D ．500【答案】B9． 在ABC ∆中, 3π=∠B ，三边长a ，b ，c 成等差数列，且6=ac ，则b 的值是( )A ．2B ．3C ．6D ． 【答案】C10．已知点的终边在在第三象限，则角a a a P )cos ,(tan ( ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B11．为得到函数x y sin =的图象，只需将sin()6y x π=+函数的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移65π个长度单位D ．向右平移65π个长度单位【答案】B12．要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ． 向右平移π6个单位D ． 向左平移π6个单位【答案】CII 卷二、填空题13．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________. 【答案】10714． 在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A=__________________ 【答案】03015．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60视角，从B 望C 岛和A 岛成75视角，则B 、C 间的距离是 . 【答案】65海里16．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是c b a ,,,73tan =C ,4715=∆ABC S , 9=+b a ,则=c ______ _____． 【答案】6 三、解答题17．在锐角．．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-.A ．求角B 的大小及角A 的取值范围；B ．设A)2cos (3,n (sinA,1),m ==，试求n m ⋅的最大值. 【答案】（1）由正弦定理得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-， 所以C B C B B A sin cos cos sin cos sin 2+=, 即A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=, 因为,0sin ≠A 所以21cos =B . 因为B 为锐角，所以60=B又因ABC ∆是锐角三角形，所以30<A<90. (2）1sin 3sin 22cos sin 32++-=+=⋅A A A A n m=-2(817)43sin 2+-A , 因为︒<<9030A ,所以1sin 21<<A , 所以n m ⋅的最大值为817. 18．解下列各题：(1）计算：429tan )329cos(629sinπππ--+； (2）求证：xxx x sin cos 1cos 1sin -=+. 【答案】（1）原式=)456tan()310cos()654sin(ππππππ+-+-++ .0121214tan216sin )4tan(21)6sin(45tan 3cos 65sin=-+=-+=+-+-=-+=πππππππππ (2）证法一：右边左边=-=-=--=+=x xxx x x x x x x sin cos 1sin )cos 1(sin cos 1)cos 1(sin cos 1sin 22 ， ∴等式成立.证法二：x x 22cos 1sin -= ，即)cos 1)(cos 1(sin sin x x x x -+=⋅，又0cos 10sin ≠+≠x x ，， .)cos 1(sin )cos 1)(cos 1()cos 1(sin sin sin x x x x x x x x +-+=+⋅∴即x xx x sin cos 1cos 1sin -=+∴等式成立.证法三：x x x x x x x x x sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin sin cos 1cos 1sin 2+-+-=--+ .0sin )cos 1(sin sin sin )cos 1()cos 1(sin 2222=+-=+--=x x x x x x x x19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin 3B =.（Ⅰ）求cos A 及sinC 的值；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）因为2A B =， 所以2cos cos 212sin A B B ==-.因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?. 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =因为sin sin 22sin cos A B B B ===所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=. (Ⅱ）因为sin sin b aB A=，2b =，3=.所以a =.所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 20．锐角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为c b a ,,，设向量),(),,(c b a a b a c +=--=，且.//n m(1）求角B 的大小；(2）若1=b ，求c a +的取值范围。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。

同步单元小题巧练（9）三角函数的简单应用1、设()y f t =是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中024t ≤≤下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察,函数()y f t =的图象可以近似地看成函数()y k Asin t ωϕ=++的图象,下面函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( ) A. []123,0,246y sint t π=+∈ B. []123,0,246y sin t t ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭C. []123,0,24122y sin t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭D. []123,0,2412y sint π=+∈ 2、如图所示,设点A 是单位圆上的一个定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧»AP 的长为l ,弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是( )A.B.C.D.3、电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数()sin I A t ωϕ=+的图象如图所示,则t 为7120(秒)时的电流强度为( )A. 0B. 52-C. 102D. 102-4、如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系sin()2(0,0)y A x A ωϕω=++>>,则有( )A. 15,32A ωπ== B. 2,315A πω==C. 2,515A πω==D. 15,52A ωπ==5、某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈()()sin f x A x B ωϕ=++0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定()f x 的解析式为( ) A. ()2sin 744f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭()*112,x x N ≤≤∈B. ()9sin 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭()*112,x x N ≤≤∈C. ()22sin 74f x x π=+()*112,x x N ≤≤∈D. ()2sin 744f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()*112,x x N ≤≤∈6、动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t (单位:秒)的函数的单调递增区间是( ) A.[]0,1B.[]1,7C.[]7,12D.[]0,1和[]7,127、已知某人的血压满足函数解析式()24 160115,f t sin t π=+其中()f t 为血压, t 为时间,则此人每分钟心跳的次数为( ) A.60 B.70 C.80 D.908、如图所示,为一简谐振动的图像,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s 和0.5s 时振动速度最大D.该质点在0.3s 和0.7s 时的速度方向相同9、一根长l 厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系是: 3cos 3g s t l ⎛⎫π=+ ⎪ ⎪⎝⎭.已知980g =厘米/秒,要使小球摆动的周期是1秒,线的长度应当是( )A.980cm π B. 245cm πC. 245cm 2πD. 980cm 2π10、如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为6sin(2)6s t ππ=+,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A. 2s πB. s πC. 0.5sD. 1s11、如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动需要__________s 往返一次12、某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间0t =时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将,A B 两点的距离(cm)d 表示成时间(s)t 的函数,则d =__________,其中[0,60]t ∈。