高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数小结导学案(无答案)新人教A版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦整体设计教学分析1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．三维目标1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用．教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出S (α－β)、S (α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sin α＝55，α∈(0，π2)，cos β＝1010，β∈(0，π2)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C (α－β)很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．推进新课新知探究会推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数式的值．活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α＋cos 2α＝1来互化，这些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos(π2－α)＝sin α，sin(π2－α)＝cos α，我们可以得到：sin(α＋β)＝cos[π2－(α＋β)]＝cos[(π2－α)－β]＝cos(π2－α)cos β＋sin(π2－α)sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β.在上述公式中β用－β代之，则sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α＋β)、S (α－β)．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))．应用示例思路1例1课本本节例1.变式训练1．已知sin α＝－35，α是第四象限角，求sin(π4－α)，cos(π4＋α)的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．解：由sin α＝－35，α是第四象限角，得 cos α＝1－sin 2α＝1－－352＝45， 于是有sin(π4－α)＝sin π4cos α－cos π4sin α ＝22×45－22×(－35)＝7210， cos(π4＋α)＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×45－22×(－35) ＝7210. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个题目的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．2．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2sin(α＋π4)等于( ) A.75 B.15 C.72D ．4 答案：A例2课本本节例2.变式训练已知sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)．求sin(α－β)，cos(α＋β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S (α－β)、C (α＋β)应先求出cos α，sin β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．解：由sin α＝23，α∈(π2，π)，得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－232＝－53. 又由cos β＝－34，β∈(π，3π2)， 得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－342＝－74， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×(－34)－(－53)×(－74) ＝－6－3512. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝(－53)×(－34)－23×(－74) ＝35＋2712. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.例3求证：cos α＋3sin α＝2sin(π6＋α)． 活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α＋β)展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．证明：方法一：右边＝2(sin π6cos α＋cos π6sin α) ＝2(12cos α＋32sin α) ＝cos α＋3sin α＝左边．方法二：左边＝2(12cos α＋32sin α) ＝2(sin π6cos α＋cos π6sin α) ＝2sin(π6＋α)＝右边． 点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边的系数1与3分别变为了12与32，即辅助角π6的正、余弦．关于形如asinx ＋bcosx(a ，b 不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x ＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x ＋φ)的形式．一般情况下，如果a ＝Acos φ，b ＝Asin φ，那么asinx ＋bcosx ＝A(sinxcos φ＋cosxsin φ)＝Asin(x ＋φ)．由sin 2φ＋cos 2φ＝1，可得：A 2＝a 2＋b 2，A ＝±a 2＋b 2，不妨取A ＝a 2＋b 2，于是得到cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，因此asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx ＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx ＋bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.例4课本本节例3.思路2例1若sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值．活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值． 解：∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又已知sin(3π4＋α)＝513，cos(π4－β)＝35， ∴cos(3π4＋α)＝－1213，sin(π4－β)＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)] ＝sin[(3π4＋α)－(π4－β)] ＝sin(3π4＋α)cos(π4－β)－cos(3π4＋α)sin(π4－β) ＝513×35－(－1213)×(－45)＝－3365. 点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值． 解：∵α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213， ∴3π2<α＋β<2π，π2<β－π4<3π4. ∴cos(α＋β)＝45，cos(β－π4)＝－513. ∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.例2化简α－βsin αsin β＋β－θsin βsin θ＋s θ－αsin θsin α.活动：本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．解：原式＝sin αcos β－cos αsin βsin αsin β＋sin βcos θ－cos βsin θsin βsin θ＋sin θcos α－cos θsin αsin θsin α＝sin αcos βsin θ－cos αsin βsin θsin αsin βsin θ＋sin αsin βcos θ－sin αcos βsin θsin αsin βsin θ＋sin θsin βcos α－cos θsin βsin αsin θsin βsin α＝0sin θsin βsin α＝0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力. 变式训练化简α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β. 解：原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βsin αsin β＋cos αcos β ＝β－αβ－α ＝tan(β－α).知能训练课本练习1～8.作业已知0<β<π4，π4<α<3π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值． 解：∵π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<0.∴sin(π4－α)＝－1－352＝－45. 又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π.∴cos(3π4＋β)＝－1－5132＝－1213. ∴sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β)＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos(3π4＋β)cos(π4－α)－sin(3π4＋β)sin(π4－α)＝－(－1213)×35－513×(－45)＝5665. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明？2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．设计感想1．本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”；它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力．2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，会用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．备课资料三角函数知识口诀三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现．同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧．诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了．三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变．将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值．计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变．换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称．第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦公式的灵活应用．思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．1．化简下列各式：(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β；(2)sin 2x sinx －cosx －sinx ＋cosx tan 2x －1－sinx －cosx. 2．证明下列各式： (1)α＋βα－β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β； (2)α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 答案：1.(1)cos α；(2)0.2.证明略．教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的公式进行回顾复习，由此展开新课．推进新课新知探究知识要点：运用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值与证明．活动：两角和与差的余弦公式是我们进行三角变换的重要公式，要熟练运用它解决有关问题，就必须熟悉公式的结构特点，并能熟练记忆，既要能正向运用，更要会逆向运用．另外，在运用公式解决有关求值问题时，应注意讨论研究题中所有涉及到的角以及所给角之间的关系．待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法；教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时，还要注意角的相对性，如：α＝(α＋β)－β，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β〔S (α±β)〕，cos(α±β)＝cos αcos βαsin β〔C (α±β)〕．应用示例思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值．(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°.活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S (α－β)的右边、(2)同公式C (α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．解：(1)由公式S (α－β)，得原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.(2)由公式C(α＋β)，得原式＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.点评：本例体现了对公式的全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.例2课本本节例4.例3课本本节例5.例4课本本节例6.知能训练课本练习1、2.作业课本习题3.1(2)9、10、11、12.课堂小结1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题？2．我们在运用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简和三角函数式的证明问题时，应该注意运用角变换，以达到问题的最简化，在解决具体问题时应该注意整体观察式子中所涉及的角，以便能非常正确地进行角变化．设计感想1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧；因此本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“asinx＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．2．对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路．通过变式训练再进行方法巩固．备课资料一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝12(α＋β)＋12(α－β)等．②公式的逆用与变形用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形．③“1”的妙用：在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin 2α＋cos 2α，也有1＝sin90°＝tan45°等．二、备用习题1．在△ABC 中，sinAsinB<cosAcosB ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形 2.3cos π12－sin π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C. 2 D ．23．在△ABC 中，有关系式tanA ＝cosB －cosCsinC －sinB 成立，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．A ＝60°的三角形C ．等腰三角形或A ＝60°的三角形D ．不能确定4．若cos(α－β)＝13，cos β＝34，α－β∈(0，π2)，β∈(0，π2)，则有() A ．α∈(0，π2) B ．α∈(π2，π)C ．α∈(－π2，0)D ．α＝π25．求值：2cos5°－sin25°cos25°＝__________.6．若sin αsin β＝1，则cos αcos β＝__________.7．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan αtan β＝__________.8．求函数y ＝2sin(x ＋10°)＋2cos(x ＋55°)的最大值和最小值．9．化简＋sinA －2cos(A ＋B)．10．已知5sin β＝sin(2α＋β)，求证：2tan(α＋β)＝3tan α.参考答案：1．B 2.C 3.C 4.B 5. 3 6.0 7.－148．解：∵y＝2sin(x ＋10°)＋2cos[(x ＋10°)＋45°]＝2sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)－sin(x ＋10°)＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°) ＝2sin[(x ＋10°)＋45°] ＝2sin(x ＋55°)，又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，∴当x ＋55°＝k·360°－90°，即x ＝k·360°－145°(k∈Z )时，y min ＝－2； 当x ＋55°＝k·360°＋90°，即x ＝k·360°＋35°(k∈Z )时，y max ＝ 2.9．解：原式＝＋＋A]－＋sinA ＝＋－＋sinA ＝＋－A]sinA ＝sinB sinA. 点评：本题中的三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．10．证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.∴2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α.∴2tan(α＋β)＝3tan α.点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；当然变换形式不惟一，应因题而异，要具体问题具体分析．。

3.1.1 两角和与差的余弦课堂导学三点剖析一、两角和与差的余弦公式的推导和公式的运用【例1】 已知cosα=53,cosβ=135且α,β∈(0,2π),求cos(α-β). 思路分析:联系公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,已知α,β的余弦值,利用同角三角函数的基本关系式求出其正弦,用α,β单角的三角函数表示α与β两角差的余弦函数. 解：由cosα=53,cosβ=135,且α,β∈(0,2π),得 sinα=54)53(1cos 122=-=-α, sinβ=1312)135(1cos 12=-=-β, ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=53×135+6563131254=⨯. 各个击破类题演练 1求值:cos(225°-30°).解:cos(225°-30°)=cos225°cos30°+sin225°sin30° =42621)22(2322+-=⨯-+⨯-. 变式提升 1已知α,β都是锐角,sin α=53,sin(α-β)=72,求cos β的值. 解:因为α是锐角,sin α=53,所以cos α=54)53(1sin 122=-=-α. 因为α,β都是锐角,sin(α-β)=72>0,所以cos(α-β)=753)(sin 12=--βα. 所以cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =75354⨯+72×53=356512+. 二、公式的逆用熟练地逆用公式化简是三角变换中一类重要题型.解这类问题的方法是凑公式的形式,其中要熟练地掌握运用诱导公式.【例2】 求值:sin(4π+3x)cos(3π-3x)+cos(6π+3x)cos(4π+3x). 思路分析:观察出题中出现的四个角的关系,从而运用诱导公式转化成只含有两个角的三角函数的关系是解决此题的关键,再逆用两角差的余弦公式.解：原式=sin(3x+4π)sin(6π+3x)+cos(6π+3x)cos(3x+4π) =cos ［(6π+3x)-(4π+3x)］=cos(6π-4π) =cos 6πcos 4π+sin 6π·sin 4π=426+. 类题演练 2化简cos(α+β)sin(2π-α)+sin αcos ［2π-(α+β)］. 解：原式=cos α·cos(α+β)+sin α·sin(α+β)=cos ［α-(a+β)］=cos(-β)=cos β. 变式提升 2已知cos α-cos β=21,sin α-sin β=31-,求cos(α-β)的值. 解：将cos α-cos β=21和sin α-sin β=31-的两边，分别平方并整理，得 cos 2α+cos 2β-2cos αcos β=41， sin 2α+sin 2β-2sin αsin β=91， 上述两式相加，得2-2(cos αcos β+sin αsin β)=3613, 即cos(α-β)=7259. 三、公式的灵活运用 【例3】 设α∈R ,若sinα-3cosα=m m --464成立,试求实数m 的取值范围. 思路分析:要熟练掌握公式的形式和结构,再寻找等式两边有何特点,使等式两边的取值范围保持一致.解：∵sinα-3cosα=2(21sinα-23cosα) =2(sin30°sinα-cos30°cosα)=-2(cos30°cosα-sin30°sinα)=-2cos(α+30°),又∵α∈R ,∴-2≤-2cos(α+30°)≤2,即-2≤m m --464≤2.解得-1≤m≤37.∴m 的取值范围是-1≤m≤37.类题演练 3计算:cos15°-sin15°.解法一:原式=cos(45°-30°)-cos(45°+30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°-cos45°cos30°+sin45°sin30° =2sin45°·sin30°=2×22×21=22.解法二:原式=2(22cos15°-22sin15°) =2(cos45°cos15°-sin45°sin15°) =2cos(45°+15°)=2cos60°=22.变式提升 3在△ABC 中,sinA=53,cosB=135,求cosC 的值. 解:∵cosB=135>0,∴B<90°. ∴sinB=1312.又sinA=53,∴cosA=54.(当cosA=-54时,∠A 为钝角,而sinB>sinA=sin(π-A),∴B>π-A,即A+B>π,矛盾)∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=6516.。

3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的正弦公式应用初步【例1】求值.（1）sin12π; (2)sin 187πcos 92π-sin 9πsin 92π. 解：（1）sin 12π=sin(3π-4π) =sin 3πcos 4π-cos 3πsin 4π =23×22-21×22=426-. (2)原式=sin187πcos 92π-cos(2π-9π)sin 92π =sin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π =sin(187π-92π)=sin 6π=21. 温馨提示解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2.两角和与差的正弦公式的综合应用【例2】已知2π＜β＜α＜π43，cos （α-β）=1312，sin （α+β）=35-，求sin2α的值. 思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos （α-β）和sin （α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.解：由2π＜β＜α＜π43，得 α-β∈（0，4π），α+β∈（π，π23）. ∴sin（α-β）=135)1312(1)(cos 122=-=--βα. cos （α+β）=)(sin 12βα+-- =54)53(12-=--.故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin （α-β）cos （α+β）+cos （α-β）sin （α+β） =135×（54-）+1312×（35-）=-6556. 温馨提示（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.3.变形或逆用两角和与差的正弦公式【例3】化简下列各三角函数式.（1）3sin α-cos α;(2)sin(x+60°)+2sin(x -60°)-3cos(120°-x).思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简. 解析：（1）3sin α-cos α=2(23sin α-21cos α) =2(sin αcos6π-cos αsin 6π) =2sin(α-6π). (2)解法1：原式=sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-3cos120°cosx -3·sin120° sinx=（cos60°+2cos60°-3sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-3cos120°)cosx =(21+2×21-3×23)sinx+(23-2×23+3×21)cosx=0; 解法2：原式=sin(x+60°)+3cos(x+60°)+2sin(x -60°)=2［21sin(x+60°)+ 23cos(x+60°)］+2sin(x-60°) =2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin ［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)=2sin(x+120°)+2sin(x -60°)=-2sin(x-60°)+2sin(x -60°)=0.温馨提示（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+3π）和（π32-x ）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.各个击破类题演练1求下列各式的值.（1）sin75°；（2）sin15°；（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.解：（1）sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30° =22·23-22·21=426+； （2）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30° =22·23-22·21=426-； （3）原式=sin （13°+17°）=sin30°=21. 变式提升1已知cos φ=53，φ∈（0，2π），求sin （φ-6π）. 思路分析：先求出sin φ的值，再代入公式运算.解：∵cos φ=53，φ∈（0，2π），∴sin φ=54. ∴sin（φ-6π）=sin φcos 6π-cos φsin 6π =54×2335-×21=10334-. 类题演练2已知cos α=54，sin （α-β）=35-，且α、β∈（0，2π），求sin β的值. 解：∵cos α=54，α∈（0，2π）， ∴sin α=53.又∵α，β∈（0，2π）， ∴α-β∈（-2π，2π）∵sin（α-β）=35-， ∴cos（α-β）=54.∴sin β=sin[α-（α-β）]=sin αcos （α-β）-cos αsin （α-β） =53×5454-×（35-）=2524. 变式提升2 已知cos （α+β）=31-，cos2α=-135，α、β均为钝角，求sin （α-β）. 思路分析：将已知条件整体使用，并且发现α-β=2α-（α+β），因此要求sin （α-β）的值，关键是求出sin （α+β）及sin2α.解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，360°）.∵cos（α+β）=31-＜0，cos2α=-135＜0， ∴α+β，2α∈（180°，270°）.∴sin（α+β）=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα. sin2α=1312)135(12cos 122-=-----α. ∴sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]=sin2αcos （α+β）-cos2αsin （α+β）=（-1312）（31-）-（-135）（322-） =3921012-. 类题演练3求值：［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解析：原式=（2sin50°+sin10°·︒︒+︒10cos 10sin 310cos ）·2sin80° =(2sin50°+2sin10°·︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10°=22［sin50°cos10°+sin10°cos （60°-10°）］=22sin （50°+10°）=22sin60°=22×623=. 变式提升3（1）若sin （α+β）=21,sin(α-β)=101,则βαtan tan =_________________.思路分析：欲求βαt a n t a n −−→−切化弦βαt a n t a n =βαβαsin cos cos sin ,从而转化为由条件求出sin αcos β、cos αsin β.解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,101)sin(,21)sin(βαβα 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.101sin cos cos sin ,21sin cos cos sin βαβαβαβα 解得，sin αcos β=103,cos αsin β=51. 则有βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =103×5=23. （2） 已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.解析：由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得，lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC ，即sinA=2sinBcosC.∵A=π-(B+C),∴sin［π-(B+C)］=2sinBcosC,即sin （B+C ）=2sinBcosC ，sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC ，移项：sinBcosC-cosBsinC=0，即sin （B-C ）=0.∴B=C.∴△ABC 为等腰三角形.。

3．1.1 两角和与差的余弦整体设计设计思路整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．教学目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．教学过程情景创设1．物理情景如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1 m，已知|F|＝1 N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？2．数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．建构数学探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．图2图3前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式[cosα－β－1]2＋sin2α－β＝cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2.图4引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？数学运用我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例题选讲例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．例2已知sinα＝23，α∈(π2，π)，cosβ＝－35，β∈(π，3π2)，求cos(α＋β)． 学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．例3已知α、β都是锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cosβ. 探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sinα，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin 2β＋cos 2β＝1，用方程思想求解．启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．学生练习1．利用两角和(差)的余弦公式化简：(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．2．已知cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，求cos(π3－θ)的值． 课堂小结先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．·熟记公式 (化归的思想)·向量方法探索公式的简洁美 (其他探索方法)·公式应用 (求值型，证明型，化简型)注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．巩固作业1．已知sinα＝23，cosβ＝－34，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值． 2．已知π4<α<β<π2，且sin(α＋β)＝45，cos(α－β)＝1213. (1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求cos2α的值．教学反思1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．。

3.1.3 两角和与差的正切课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切公式应用初步【例1】计算下列各式的值.（1）tan15°+tan75°;(2)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan . 解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°) =︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1 =331331331331-+++-=13313113-+++-=4. (2)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3.温馨提示要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.2.两角和与差的正切公式的综合应用【例2】已知：A 、B∈(0,2π),且A+B=4π. 求证：（1+tanA ）(1+tanB)=2.思路分析1：从局部入手， tanB=tan(4π-A)=A A tan 1tan 1+-. 思路分析2：从整体入手，（1+tanA ）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB) 〔此式由tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕.证法1： ∵A+B=4π, ∴tanB=tan(4π-A)=A A tan 1tan 1+-. 左边=（1+tanA ）(1+A A tan 1tan 1+-)=(1+tanA)·Atan 12+=2=右边. 故原式成立. 证法2：由tan(A+B)=B A B A tan tan 1tan tan -+得， tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tanA+tanB.∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)+(1+tanA·tanB). 又∵A+B=4π, ∴tan(A+B)=1.∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边.故原式成立.温馨提示tan α±tan β=tan （α±β）（1 tan αtan β）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tan α+tan β或tan α-tan β，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.3.角的变换与角的范围的确定【例3】已知α、β、γ都是锐角，且tan α=21，tan β=51，tan γ=81，求α+β+γ的值.解：因为tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan[（α+β）+γ]=γβαγβαtan )tan(1tan )tan(+-++ =819718197⨯-+=1. 由已知γ＜β＜α，又因0＜21＜33， 所以0＜γ＜β＜α＜6π， 得0＜α+β+γ＜2π. 故α+β+γ=4π. 温馨提示本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.各个击破类题演练1计算下列各式的值.（1）︒+︒-15tan 115tan 1; (2)12tan 3112tan 3ππ--. 解：（1）原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°)=tan30°=33. (2)原式==+-12tan 3112tan 3tan ππππan tan(3π-12π)=tan 4π=1. 变式提升1求出下列各式的值，完成填空.（1）︒∙︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan =________________； （2）︒+︒-15tan 3115tan 3=______________.思路分析：（1）原式=tan （75°-15°）=tan60°=3.（2）原式=︒∙︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan45°=1. 答案：（1）3 （2）1类题演练2求tan50°-tan20°-33tan50°·tan20°的值. 解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50°-tan20°是两角差正切公式中的分子〔tan （50°-20°）=︒︒+︒-︒20tan 50tan 120tan 50tan 〕，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.解：∵tan50°-tan20°=tan30°（1+tan50°·tan20°），∴tan50°-tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°（1+tan50°·tan20°）-33tan50°·tan20°=tan 30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33.变式提升2求tan(6π-θ)+tan(6π+θ)+3tan(6π-θ)·tan(6π+θ)的值.解析：∵tan［(6π-θ)+(6π+θ)］=tan 3π=3, ∴3=)6tan()6tan(1)6tan()6tan(θπθπθπθπ+--++- tan(6π-θ)+tan(6π+θ)=3[1-tan(6π-θ)·tan （6π+θ)］.∴原式=3［1-tan(6π-θ)·tan(6π+θ)］+3tan(6π-θ)·tan(6π+θ)=3.类题演练3若tan α=43,tan β=71,且α、β都是锐角，求α+β的值.解析：∵tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙-+=1,又根据已知0＜α＜2π,0＜β＜2π,得0＜α+β＜π,∴α+β=4π.变式提升3已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π).思路分析：先利用α+β、α-β构造出2α、2β，即2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),再用公式解题.解：tan2α=tan ［（α+β）+（α-β）］ =)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-∙+--++ =7435135-=⨯-+.tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =)tan()tan(1)tan()tan(βαβαβαβα-∙++--+=8135135=⨯+-. tan(2α+4π)=1137417412tan 112tan =+-=-+αα.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

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3.1 两角和与差的三角函数小结【学习目标】1。

熟练掌握和应用两角和的三角函数公式；2. 初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。

【新知自学】知识梳理：1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β）＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan（α±β)＝错误!.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α;tan 2α＝错误!.3．有关公式的逆用、变形等（1)tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；（3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝（sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。

感悟:1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β）＋（α－β）;α＝(α＋β)－β；β＝错误!－错误!;错误!＝错误!－错误!。

3．1.3 两角和与差的正切整体设计教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课新知探究1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明． 教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβco sαcosβ－sinαsinβ. 如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan －β1－tanαtan －β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ. 由此推得两角和与差的正切公式，简记为T (α－β)、T (α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2＋kπ(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C (α＋β)、S (α＋β)、T (α＋β)叫和角公式；S (α－β)、C (α－β)、T (α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin π2－βcos π2－β＝cosβsinβ来处理等．应用示例例1课本本节例1.变式训练在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个根，求tanC 的值． 解：∵tanA、tanB 是方程3x 2＋8x －1＝0的两根，∴tanA＋tanB ＝－83，tanAtanB ＝－13. ∴tanC＝tan[180°－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝－－831－－13＝2.例2课本本节例2.变式训练求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).例3课本本节例3. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．设计感想本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．备课资料一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式sinαcosα＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S (α＋β)与C (α＋β)具有一般性，因此公式T (α＋β)也具有一般性，在公式T (α＋β)中以－β代β便可得到公式T (α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z )时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的． 3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T (α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(π2＋β)，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(π2＋β)＝sin π2＋βcos π2＋β＝cosβ－sinβ＝－1tanβ. 二、备用习题 1．如果tan(α＋β)＝25，cot(α＋π4)＝4，则tan(β－π4)为( ) A.16 B.1318C.322D.13222．已知tan(α－β2)＝12，tan(β－α2)＝－13，则tan α＋β2的值等于________． 3．已知tan(α＋π4)＝－940，则tanα＝________，tan(α－π4)＝________. 4．已知tanα，tanβ是方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m ＝0的两个根，且m≠－12，求sin α＋βcos α－β. 5．已知α、β都是锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值．参考答案：1．C 2.173．－940 409 解析：∵tan(α＋π4)＝－940，∴1＋tanα1－tanα＝－940. 解得tanα＝－4931，tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝409. 4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m ＋1)，tanαtanβ＝2m ，∴sin α＋βcos α－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－4m ＋12m ＋1. 5．解：由题意tanα＝34，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan α－β1＋tanαtan α－β＝34＋131＋34×－13＝139. 又∵cos 2β＝11＋tan 2β＝11＋16981＝81250，∴cosβ＝91050. (设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)②已知sinα＝－35，α是第四象限角，求tan(π4－α)的值．(答案：7) ③求tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°的值．(答案：－3)学生练习，教师讲评中导入新课．推进新课新知探究本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握． 上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．应用示例例1课本本节例4.变式训练在锐角△ABC 中，A 、B 、C 是它的三个内角，记S ＝11＋tanA ＋11＋tanB ，求证：S<1. 证明：∵S＝1＋tanA ＋1＋tanB 1＋tanA 1＋tanB ＝1＋tanA ＋tanB ＋11＋tanA ＋tanB ＋tanAtanB， 又A ＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.例2课本本节例5.例3求证：sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α.活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法． 证法一：左边＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αs in 2βsin 2αcos 2β＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边．∴原式成立． 证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβsin 2αcos 2β ＝sin α＋βsin α－βsin 2αcos 2β＝左边．∴原式成立． 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．作业课本习题3.1(3) 8、9、10.设计感想作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．备课资料备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )A ．－1B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan －305°tan －25°＝________. 4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________．5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________. 6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值． 7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值． 8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a(或1－a 22a ) 5．25°＋k·180°(k∈Z ) 6.6316. 7．分析：如何求φ是本题的关键． 解：∵3sinx＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)． 又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6. ∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3. 8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα.故tan∠POQ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α. 设tan∠POQ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2， 即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t 3＋t 2＞0. 又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan∠POQ 的最大值为33. 所以∠POQ 的最大值为π6. 附：(设计者：王光玲)3．1.3 两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体教学过程情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求t an15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书) tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ T (α＋β) tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT (α－β) 思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T (α－β)能否由T (α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T (α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2 tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtan α＋β. (两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(π2＋α)可以用T (α＋β)公式展开吗？(2)T (α＋β)公式成立的具体条件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝12，求tan(α＋π4)； (2)已知tanα＝－12，tanβ＝－5，求tan(α＋β)． 分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x 2＋5x －6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝13，tanα＝－2，求tanβ的值． 分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T (α－β)公式求解即可．思路二：由13＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程． 反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：1＋tan15°1－tan15°＝ 3. 分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由3联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T (α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式)自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝ 3. 分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S (α±β)和C (α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中： cos15°－sin15°＝2(22cos15°－22sin15°) ＝2sin(45°－15°)＝22. cos15°＋sin15°＝2(22cos15°＋22sin15°) ＝2sin(45°＋15°)＝62. 思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m ＝cos15°＋sin15°cos15°－sin15°，则m>0， 从而m 2＝1＋2sin15°cos15°1－2sin15°cos15°＝1＋sin30°1－sin30°＝3212＝3，可证． 思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a ＝(1，－1)，b ＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－s in15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝2×1×cosθ，其中θ为a 与b 的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°， 从而cos15°－sin15°＝2cos60°＝22，同理可求 cos15°＋sin15°＝2cos30°＝62，从而可证． 反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．)(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明 tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3.分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．思考：能否用公式T (α＋β)的变形2来证明呢？(课后完成猜想)例3(教材例3)如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4. 分析：由图可知tanα＝12且0<α<π2，tanβ＝13且0<β<π2，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝π4. 反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．思考：你能从图形中观察出α，β均小于π4，那你能从代数的角度说明α，β均小于π6吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0<tanα＝12<33，则0<α<π6)思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝π4吗？为什么？ 变式题：已知A ，B 为锐角，且A ＋B ＝45°.(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．自主探究(1)课外思考(2)回顾小结1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．一中等生完成小结，学生笔记数学思想．作业教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.教后记本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．。

3.1.1 两角和与差的余弦示范教案整体设计教学分析本节是结合第一章，以圆上点的运动作引子，从中提出问题，引入本节的研究课题．在教学中要结合教科书中提供的问题背景，充分展示公式推导的思维过程．在正式推导之前，可组织学生谈谈自己对推导公式的想法，讨论、研究和分析可能出现的思路，使学生更好地经历和参与数学发现活动，体验数学的发展与创造过程．同时，引导学生复习两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示，并尝试自己推导两角和的余弦公式．在公式推出之后，还可以引导学生对推导过程进行反思，欣赏用向量方法推导公式的美妙，归纳、总结、发现公式的结构特点以便掌握和灵活运用．在公式应用的教学中，要引导学生充分注意变形中角的变化，灵活运用“角的代换”的方法，体会化归思想在三角恒等变换中的应用．利用向量知识探索两角差的余弦公式时要注意推导的层次性：①在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用；②结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；③探索过程不应追求一步到位，可以先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其线索进行探索，然后再反思，予以完善；④补充完善的过程，既要运用分类讨论的思想，又要用到诱导公式．本节是数学公式的教学，教师要遵循公式教学的规律，应注意以下几方面：①要使学生了解公式的由来；②使学生认识公式的结构特征加以记忆；③使学生掌握公式的推导和证明；④通过例子使学生熟悉公式的应用，灵活运用公式进行解答有关问题．三维目标1．通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”，了解单角与复角的三角函数之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．2．通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学当中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两角和与差的余弦公式．教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)如果知道了α，β的三角函数，如何计算α＋β，α－β的三角函数呢？下面我们从向量的角度来探究这一问题，接着导入新课．思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°＝22，cos30°＝32，由此我们能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？这里是不是等于cos45°－cos30°呢？教师可让学生验证，经过验证可知，我们的猜想是错误的．那么究竟是什么关系呢？cos(α－β)等于什么呢？这时学生急于知道答案，由此展开新课．推进新课 新知探究教师引导学生回顾两个向量数量积的定义及其坐标运算，复习单位向量的三角表示： OP →＝(cos α，sin α)，OQ →＝(cos β，sin β)并进一步讲解．我们知道cos(x －π4)可以看作是向量(cosx ，sinx)与向量(1,1)的夹角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是两个向量夹角的余弦值呢？把cos(α－β)看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究．如图1，在直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．图1设向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a ·b ＝|a ||b |cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 这就是两角差的余弦公式．教师引导学生探究“用－β代替β”的换元方法就可以得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)， 即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，这就是两角和的余弦公式． 这两个公式分别记为C α－β，C α＋β. 应用示例思路1例 1求cos105°及cos15°的值．解：cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45° ＝12·22－32·22＝2－64； cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22·32＋22·12 ＝6＋24.变式训练1．不查表求sin75°，sin15°的值． 解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. sin15°＝1－cos 215°＝1－6＋242＝8－26×216＝6－24.2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解：原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.例 2已知cos α＝－45(π2<α<π)，求cos(π6－α)，cos(π6＋α)．解：因为cos α＝－45，且π2<α<π，所以sin α＝1－－452＝35. 因此cos(π6－α)＝cos π6cos α＋sin π6sin α＝32(－45)＋12·35＝3－4310；cos(π6＋α)＝cos π6cos α－sin π6sin α＝32(－45)－12·35＝－3＋4310.变式训练已知sin α＝45，α∈(0，π)，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．解：①当α∈[π2，π)时，且sin α＝45，得cos α＝－1－sin 2α＝－1－452＝－35，又由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－5132＝－1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝(－35)×(－513)＋45×(－1213)＝－3365.②当α∈(0，π2)时，且sin α＝45，得cos α＝1－sin 2α＝1－452＝35， 又由cos β＝－513，β是第三象限角，得sin β＝－1－cos 2β＝－1－－5132＝－1213.例 3利用公式C α＋β证明：cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos α. 证明：cos[α＋(2k ＋1)π]＝cos αcos[(2k ＋1)π]－sin αsin[(2k ＋1)π] ＝－cos α.思路2例 1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°； (3)sinxsin(x ＋y)＋cosxcos(x ＋y)．活动：教师可以大胆放给学生自己探究，点拨学生分析题目中的角－15°，思考它可以拆分为哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°)＝cos15°再求值．让学生细心观察(2)(3)可知，其形式与公式C α－β的右边一致，从而化为特殊角的余弦函数．解：(1)原式＝cos15°＝cos(45°－30°) ＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0. (3)原式＝cos[x －(x ＋y)]＝cos(－y)＝cosy. 点评：本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值，从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力，为后面公式的学习打下牢固的基础.例 2已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈(0，π2)，求cos β的值．解：∵α、β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.1．先由学生自己思考回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变形用，并掌握运用变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下几点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识，三角变换的特点．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～5.设计感想 1．本节课是典型的公式教学模式，因此本节课的设计流程从“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”．它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题．从而培养学生独立探索数学知识的能力，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性．2．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的知识特点，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．备课资料备用习题1．若－π2<α<β<π2，则α－β一定不属于的区间是( )A ．(－π，π)B ．(－π2，π2)C ．(－π，0)D ．(0，π)2．已知α、β为锐角，cos α＝31010，cos β＝1010，则α＋β＝________.3．不查表求值：(1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°； (2)cos80°cos20°＋sin100°sin380°.4．已知：sin θ＝15，θ∈(π2，π)，求cos(θ－π3)的值．5．已知：sin α＝23，α∈(π2，π)，cos β＝－34，β∈(π，3π2)，求cos(α－β)的值．6．已知函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R 的最大值是1，其图象经过点M(π3，12)． (1)求f(x)的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f(α)＝35，f(β)＝1213，求f(α－β)的值．参考答案： 1．D 2.π23．(1)原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22. (2)原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝12.4．解：∵sin θ＝15，θ∈(π2，π)，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－125＝－265. ∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610. 5．解：∵sin α＝23，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. ∵cos β＝－34，β∈(π，3π2)，∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－916＝－74. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－53×(－34)＋23×(－74)＝35－2712. 6．解：(1)依题意有A ＝1，则f(x)＝sin(x ＋φ)，将点M(π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12. 而0<φ<π，∴π3<π3＋φ<4π3.∴π3＋φ＝5π6. ∴φ＝π2，故f(x)＝sin(x ＋π2)＝cosx.(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)，∴sin α＝1－352＝45，sin β＝1－12132＝513， f(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）【学习目标】1．掌握公式α2S 、α2C 、α2T 及其推导过程；2．会应用二倍角公式进行简单的求值、化简．【重点难点】重点：二倍角公式的推导、理解与运用．难点：余弦的二倍角公式．【学法指导】建议同学们重视公式型的特点，特别是二倍角的余弦公式有三种形式，需要在运用的过程加深记忆．另外，仍然需要通过例题与练习，多多体会公式是如何使用的？找出规律性．【学习过程】一．课前预习１．复习公式：=+)sin(βα ；=+)cos(βα ；=+)tan(βα .２．自学教材，P132-P135（1）二倍角公式的推导：当βα=时，由上面的和角公式分别得到公式：=α2sin ；=α2cos ；=α2tan .（2）公式的变形：由公式1cos sin 22=+αα及上面三个公式完成下面填空：①用αsin 表示α2cos 得：α2cos = ；②用αcos 表示α2cos 得 ：α2cos = ；以上（1）、（2）得到的五个公式都叫做什么公式？ .3．快乐体验，求下列各式的值：（1）sin15cos15_________=（2）22cos sin ________88ππ-=（3）2tan 22.5__________1tan 22.5=-（4）22cos 22.51_________-=二．课堂学习与研讨例1． 已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值.练习1．（1）已知4cos ,81285απαπ=-<<，求sin ,cos 44αα的值．（2）已知3sin()5απ-=，求cos 2α的值．例２．（1）已知1tan 2,3α= α是第三象限角，求tan α的值．（2）α为第四象限的角，且cossin 22αα-=，求αα2cos 2sin +的值.练习２．（1）已知sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈，求tan α的值．（2）已知1tan 23α=，求tan α的值．课堂小结：１．公式α2S 、α2C 、α2T 分别是公式)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 的特殊情况； ２．公式的相同特点：从左至右升幂；从右至左降幂；３．应用倍角公式要注意“倍”的关系，即2α是α的两倍，4α是2α的两倍，α是2α的两倍，等等．三．课堂检测1．化简)4(sin )4(cos 22απαπ---得到（ ）A.α2sinB.α2sin -C.α2cosD. α2cos -2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ（ ） A.21 B.21- C.23 D.23-3．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ) A.98- B.98 C.98± D.322四．作业1．教材13815,P A2．函数sin()cos()44y x x ππ=--是（ ）Ａ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数3．在△ABC 中，2tan ,54cos ==B A ,求)22tan(B A +的值.。

3.1.2 两角和与差的正弦课堂导学三点剖析一、运用公式求值对于给角求值题目,一般所给出的角都是非特殊角,必须观察非特殊角与特殊角之间的联系,然后运用和差的正弦公式求解.【例1】 已知α为锐角,且cosα=71,求sin(α+3π)的值.思路分析:由cosα=71且α为锐角,可求得sinα的值,然后直接运用和的正弦公式.解：因为α为锐角,且cosα=71,所以sinα=734)71(1cos 122=-=-α.所以sin(α+3π)=sinαcos 3π+cosαsin 3π=1435237121734=⨯+⨯.各个击破类题演练 1求sin15°+sin75°的值.解:原式=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30° =2sin45°cos30°=2×22×23=26.变式提升 1 已知2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53.求sin2α.解:由题意得π<α+β<23π,0<α-β<4π,∴sin(α-β)=135)(cos 12=--βα,cos(α+β)=54)(sin 12-=+--βα.∴sin2α=sin ［(α+β)+(α-β)］=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)·sin(α-β) =-53×1312+(54-)×135=5556-.二、运用公式化简三角函数式【例2】 化简:(1)153sinx+53cosx;(2)42sin(4π-x)+46cos(4π-x).思路分析:每个小题都要做好以下变换:asinα+bcosα=ααcos )sin (222222b a b b a a b a ++++).解：(1)153sinx+53cosx =56(23sinx+21cosx) =56(cos 6πsinx+sin 6πcosx)=56sin(x+6π). (2)42sin(4π-x)+46cos(4π-x) =22［21sin(4π-x)+23cos(4π-x)］ =22［cos 3πsin(4π-x)+sin 3πcos(4π-x)］ =22sin(4π-x+3π)=22sin(127π-x).类题演练 2把2sinx-3cosx 化成Asin(x+φ)的形式.解：∵a=2,b=-3,A=1322=+b a ,∴2sinx -3cosx=13sin(x+φ).其中φ在第四象限，且tan φ=23-.变式提升 2求函数f(x)=sin(x+3π)+2sin(x-3π)的最大值和最小值.解:f(x)=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π=23sinx-23cosx =3(23sinx-21cosx)=3sin(x-6π), ∴f(x)的最大值为3,此时x=32π+2kπ(k∈Z ); f(x)的最小值为-3,此时x=-3π+2kπ(k∈Z ). 三、公式的综合运用公式的综合运用包括公式的变形,三角恒等式的证明以及角的变形技巧.【例3】 已知sin(2α+β)=5sinβ,求证:2tan(α+β)=3tanα.思路分析:在已知当中有2α+β角的三角函数,在要证明的三角式中含有α+β角和α角,因此要进行角的变形.证明：∵2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,∴sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin (α+β)cosα+cos(α+β)sinα,而5sinβ=5sin［(α+β)-α］=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.由已知得sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα,等式两边都除以cos(α+β)cosα,得2tan(α+β)=3tanα.类题演练 3 证明αβαsin )2sin(+-2cos(α+β)=αβsin sin . 证明:等式左边=ααβαsin ])sin[(++-2cos(α+β) =ααβααβααβαsin sin )cos(2sin )cos(cos )sin(+-+++ αβααβαααβααβαsin sin sin ])sin[(sin sin )cos(cos )sin(=-+=+-+=, ∴等式成立.变式提升 3求式子2sin80°sin50°+sin10°cos10°(1+3tan10°)的值.思路分析:将tan10°化为tan10°=︒︒10cos 10sin 是求值过程中最关键的一步. 解:原式=2sin80°sin50°+︒︒+︒︒︒10cos )10sin 310(cos 10cos 10sin =2sin80°sin50°+2sin10°(21cos10°+23sin10°) =2sin80°sin50°+2sin10°cos50°=2(cos10°sin50°+sin10°cos50°)3=2sin60°=2×=3.2。